PC AC DC AC

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.09.19 班級 普二 班

範

圍 1-2 向量的基本運用 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. xy 平面上，A，B，C 三點不共線，則向量

α

+

β

（

α

+

β

= 1，

α

≥ 0，

β

≥ 0）的所 有終點之集合為(A)一個三角形 (B)一個三角形區域 (C)一個平行四邊形 (D)一個平行四邊形區域 (E)一線段

____\

AB

____\

AC

【解答】(E)

【詳解】

其圖形為

2. 如右上圖，已知

____\

AP

= ^____\

19

3 AB

+

19

5

^____\

AC ，則△ABP 面積是△

ACP 面積的(A) 15

19

(B) 2 (C)

2 3

(D)

3 5

(E)

5 8

倍

【解答】(D)

【詳解】由 ^\

____

AP

= ^____\

19

3 AB

+

19

5

^____\

AC ∵

19 5

19 3 +

< 1 ∴ P，B，C 不共線 如圖，令^____

AD

^\ = t

____\

AP

=

19

3t

^____\

AB

+

19 5t

^____\

AC

∵ B，D，C 共線 ∴

19 5 19

3 t + t

= 1 ⇒ t =

8 19

∴ ^____

AD

^\ =

8 3

^____\

AB

+

8 5

^____\

AC

⇒

BD

： DC= 5：3

∴ △ABD：△ACD = 5：3，又△PBD：△PCD = 5：3 ⇒ △ABP：△ACP = 5：3 =

3 5

3. 設 2 =

α

+

β

，

α

，

β ∈ R，若 A，B，C 共線，則 α

+

β 之值為

(A) 1 (B) −1 (C) 2 (D) − 2 (E)不能確定

____\

PA

____\

PB

____\

PC

【解答】(C)

【詳解】2^____

PA

^\=

α

+

β

⇒ =

____\

PB

____\

PC

____\

PA 2

α ^____\

PB

+

2

β ^____\

PC

∵ A，B，C 共線 ∴

2 2

β

α

+

= 1 ⇒

α

+

β

= 2

二、填充題(每題 10 分)

1. △ABC中

， D為 BC 中點 ， E

∈ AC 且

AE

： EC= 1：3，

AD

交

BE

於 點P

，

若^____

CP

^\= x + y ，則數對(x

， y) =

____\

CA

____\

CB

。

【解答】(

5 3

，

5 1

)

【詳解】

由^____

CP

^\= x ^\+ y = x(

____

CA

^\

____

CB 3 4

^____\

CE

) + y ^\ ∵ E，P，B 共線 ∴

____

CB 3

4 x + y = 1

由 = x + y = x + y (2 ) ∵ A，P，D 共線 ∴ x + 2y = 1 由二式解得 x =

____\

CP

____\

CA

____\

CB

____\

CA

____\

CD

5 3

，y =

5 1

2. 設△ABC之外心為O，外接圓之半徑為 2，若∠A = 60°，∠B = 45°，則| OA^____\+ − =

____\

OB

|

____\

OC

，△ABC之面積 = 。

【解答】2

4 − 3

，3 + 3

【詳解】

由題意： = |= = 2

∠ A = 60° ⇒∠ BOC = 120° ⇒ ． = 2．2．(−

|

|

____\

OA

|

____\

OB

| |

____\

OC

____\

OB

____\

OC 2

1

) = − 2

∠ B = 45° ⇒∠ AOC = 90° ⇒ ． = 0

∠ C = 75° ⇒∠ AOB = 150° ⇒ ． = 2．2．(−

____\

OA

____\

OC

____\

OA

____\

OB 2

3

) = − 2 3

(1) + − ²

____\

| OA

____\

OB

|

____\

OC

= | |²

____\

OA +

| |² |

____\

OB +

| ²

____\

OC

+ 2 ． − 2 ． − 2 ． = 4 + 4 + 4 + 2(− 2

____\

OA

^\

____

OB

^\

____

OA

^\

____

OC

^\

____

OB

^\

____

OC

3 ) − 0 − 2(− 2) = 16 − 4 3 = 4(4 − 3 )

∴ | OA^____\ + − = 2

____\

OB

|

____\

OC 4 − 3

(2)△ABC為銳角三角形 ⇒ 外心O在△ABC之內部 a△OBC =

2

1

．2．2．sin120° = 3 ，

a△OCA =

2

1

．2．2．sin90° = 2 a△OAB =

2

1

．2．2．sin150° = 1

⇒ a△ABC = a△OBC + a△OCA + a△OAB = 3 + 3

3. A，B，C三點，|^____

AB

^\| = 2，| | = 3，若| + | = 4，求△ABC的面積

____\

AC

____\

AB

____\

AC

。

【解答】

4 15 3

【詳解】

| ^\ + |

____

AB

^\

____

AC

² = | ^\ |

____

AB

² + | ^\ |

____

AC

² + 2 ．

⇒ 4

____\

AB

^\

____

AC

2 = 2² + 3² + 2^____

AB

^\． ^\ ⇒ ． =

____

AC

____\

AB

^\

____

AC 2 3

△ABC面積 =

2

1

^____\ ₂ ^____\ ₂ ^{____\ ____\} ₂

) (

|

|

|

| AB AC − AB ． AC

=

2

1

₂

2) (3 9

4× − =

4

15 3

4. 若G是△ABC的重心，且

GA= 3， GB = 4， GC = 5，則 GB

^____\． ^\ =

____

GC

。

【解答】− 16

【詳解】

若G為△ABC之重心，則 ^\+ + =

0

____

GA

^\

____

GB

^\

____

GC

⇒ + = −

⇒ | + |

____\

GB

^\

____

GC

^\

____

GA

____\

GB

____\

GC

² = |− |

____\

GA

² ⇒ | |

____\

GB

² + | |

____\

GC

² + 2 ． = | |

____\

GB

____\

GC

____\

GA

²

⇒ 4² + 5² + 2^____

GB

^\． = 3

____\

GC

² ⇒ ^____

GB

^\． = − 16

____\

GC

5. △ABC中，已知

AB

= 6， BC = 7， AC = 5，則(以下每格 10 分) (1)

____\

AB

．^____

AC

^\ = 。 (2) G為△ABC之重心，且^____

AG

^\ = x

____\

AB

+ y^____

AC

^\ ，則(x，y) = 。 (3) I為△ABC之內心，且

____\

AI

= x^____

AB

^\+ y^____

AC

^\ ，則(x，y) = 。 (4) H為△ABC之垂心，且

____\

AH

= x^____

AB

^\+ y^____

AC

^\ ，則(x，y) = 。 (5) T為△ABC之外心，且

____\

AT

= x^____

AB

^\+ y^____

AC

^\ ，則(x，y) = 。

【解答】(1) 6 (2) (

3 1

，

3

1

) (3) (

⁵ 18

，

18

6

) (4) (

144

19

，

24

5

) (5) (

288 125

，

48 19

)

【詳解】

(1)

AB

= 6， BC = 7， AC = 5⇒^____

AB

^\．^____

AC

^\

2 2 2

36 25 49

2 2

AB

+

AC

−

BC

+

= = − = 6

(2) G為△ABC之重心 ⇒^____

AG

^\ =

3 2

^____\

AD

+

3 1

^____\

AC ，D為 AB

之中點 ⇒ ^____

AC

^\ =

3 2

．

2 1

^____\

AB

+

3 1

^____\

AC = 3 1

^____\

AB

+

3 1

^____\

AC ∴ x = 3 1

，y =

3

1

(3)

a = 7，b = 5，c = 6，

____\

AI

=

c b a

b + +

____\

AB

+

c b a

c + +

____\

AC = 18 5

^____\

AB

+

18

6

^____\

AC

∴ x =

18

5

，y =

18

6

=

3

1

⇒ (x，y )=(

⁵ 18

，

18 6

) (4)

由(1) ^\

____

AB

．^____

AC

^\ = 6，設

____\

AH

= x^____

AB

^\+ y 由

____\

AC

____\

AH

． ^\

____

AB

= ^\ ．

____

AC

____\

AB

⇒

AH

^____\ ．

____\

AB

= x⋅| |

____\

AB

² + y ^\ ．

____

AC

____\

AB

⇒ 36x + 6y = 6；

由 ^\

____

AH

．^____

AC

^\ =

____\

AB

． ^\ ⇒ ．

____

AC

____\

AH

____\

AC

= x

⋅

^____\

AC

． ^\

____

AB

+ y| AC |^{____\ 2}⇒ 6x + 25y = 6 解之得x =

144 19

，y =

24 5

(5) 設 ^\

____

AT

= x^____

AB

^\ + y 由

____\

AC

____\

AT

． ^\

____

AB

=

2

1

| |²

____\

AB

⇒^____

AT

^\． ^\

____

AB

= x⋅| |

____\

AB

² + y ^\ ．

____

AC

____\

AB

⇒ 36x + 6y = 18；

由 ^\

____

AT

．^____

AC

^\ =

2 1

| |

____\

AC

² ⇒^____

AT

^\．^____\

AC

= x

⋅

^____\

AC

． ^\

____

AB

+ y| AC |^{____\ 2}⇒ 6x + 25y =

2 25

解之得x =

288 125

，y =

48 19

6. 設P在△ABC之內部且 3 + 4 + 5 =

0

____\

PA

____\

PB

____\

PC

，若△PAB之面積為 20，則△ABC之面積 =

。

【解答】48

【詳解】

P ∈△ABC 之內部，3

^____

PA

^\ + 4 + 5 =

____\

PB

____\

PC 0

⇒△PAB：△PBC：△PCA = 5：3：4 = 20：12：16 又△ABC =△PAB +△PBC +△PCA = 48

7. 設四邊形ABCD中，P∈

AB

且

AP

：

PB

= 2：3，Q ∈ CD 且

CQ

：

QD

= 3：2，則

\=

____

PQ

____\

AD

+ ^____

BC

^\ 。

【解答】

5 3

，

5 2

【詳解】

= + + =

____\

PQ

____\

PA

____\

AD

____\

DQ

^\

____

5

2 BA

+^____

AD

^\ + ^\

____

5 2 DC

=

5

2

(^____

BC

^\+ ) + +

____\

CA

____\

AD 5

2

(^____

DA

^\+ ) =

____\

AC 5 2

^____\

BC

+ ^____\

5

3 AD

8. G為△ABC之重心，則^____

AG

^\ = ^\

____

AB

+ ^_____

BC

^\ 。

【解答】

3 2

，

3 1

【詳解】G 為△ABC 之重心⇒^____

AG

^\ = ^\

____

3

1 AB

+ ^____\

3

1 AC

= ^____\

3 1 AB

+

3

1

(^____

AB

^\+ ^\) =

____

BC

^\

____

3

2 AB

+ ^____\

3 1 BC

9. 在△ABC中，

AB

= 2，BC = 3，CA = 4 且

BE

為 AC 上之中線，則

BE

之長為 。

【解答】

2 10

【詳解】

中線定理，如圖 ^{2 2}

2

²

¹

2 AB BC BE AC

2

⇒ + = +

設中線

BE

= x ⇒2² + 3² =2x² +

¹

2 ×

4² ⇒ x =

2 10

10.平行四邊形ABCD中，E在 CD 上，且 3 CD= 5

DE

，

AE

與

BD

交於P點，若^____

AP

^\= x^____

AB

^\+ y ，則實數對(x，y) =

____\

AD

。

【解答】(

8 3

，

8 5

)

【詳解】

由 3 CD= 5

DE

，可知

^{3 3}

5 2

DE DE

CD = ⇒ CE =

， 由 PDE∆ ∼∆

PBA

⇒ 3 3 2

DP DE

PB

=

AB

=

+ 則 ^\

____

AP

=

8 3

^____\

AB

+

8 5

^____\

AD （由分點公式），得(x，y) = ( 8 3

，

8 5

)

11.O為△ABC內部一點，| | = 3，| | = 5，| | = 7，且 + + =

0

，求

(1) 與 夾角

____\

OA

____\

OB

____\

OC

____\

OA

____\

OB

____\

OC

____\

OA

^\

____

OB

。 (2)△ABC面積 。

4

3

【解答】(1)

45 3

π (2)

【詳解】(1) O為△ABC內部一點，且 + + =

0

____\

OA

^\

____

OB

^\

____

OC

，則O為重心，

已知| | = 3，| | = 5，| | = 7 + = − ⇒| +

OB

|

____\

OA

____\

OB

____\

OC

____\

OA

^\

____

OB

^\

____

OC

^\

____

OA

^\

____ 2 = | −

OC

^\ |

____ 2⇒9 + 2^____

OA

^\ ． ^\ + 25 = 49⇒ ． =

____

OB

^\

____

OA

^\

____

OB 2 15

又^____

OA

^\．

OB

= | |．| | cos

θ

⇒

____\ ____\

OA

____\

OB 2

15

= 3 × 5 × cos

θ

⇒ cos

θ = ¹

2

∴

θ

=

3

π

(2) sin

θ

=

2

3

∴ △ABC面積 = 3△OAB面積 = 3 ×

2

1

× 3 × 5 ×

2

3

=

4

3 45

12.設△ABC中，D，E，F三點分別在

AB

， BC ，CA 上，

AD = DB

，

BC

=4

BE

，

CF

=2

AF

且G是△DEF的重心，若^____

AG

^\ = x ，則(x，y) =

____\ ____\

AC

AB+ y

。

【解答】(

12 5

，

36 7

)

【詳解】∵ G 為△DEF 的重心 ∴ ^____

AG

^\ =

3

1

(^____

AD

^\ +

____\

AE

+ ) =

____\

AF

3 1

[(

____\

2

1 AB

)+( ^____\

4

3 AB

+ ^____\

4

1 AC

)+( ^____\

3 1 AC

)]

=

3 1

( ^\

____

4

5 AB

+ ^____\

12

7 AC

) = ^____\

12

5 AB

+ ^____\

36

7 AC

∴ (x，y) = (

12

5

，

36

7

)

13.若△ABC中，

AB

= 2， AC = 3， BC = 4 且∠ A的角平分線

AD

交 BC 於D點，求 |^____

AD

^\ | = 。

【解答】

5 6 3

【詳解】

AB

= 2， AC = 3， BC = 4，

BD

： DC =

AB

： AC = 2：3 ∴ ^____

AD

^\ =

5 3

^____\

AB

+

5 2

^____\

AC

⇒ | ^\ |

____

AD

² =

25

1

| 3 ^\ + 2 |

____

AB

^\

____

AC

² =

25

1

(9 | ^\ |

____

AB

² + 12 ^\ ． + 4 | |

____

AB

^\

____

AC

____\

AC

²) 又 ^\ ．

____

AB

^\

____

AC

2 2 2

2

AB

+

AC

−

BC

= =

3 2 2

16 9 4

×

×

−

+

= −

2 3

故 | ^\ |

____

AD

² =

25

1

(9 × 4 + 12 × (−

2

3

) + 4 × 9) =

25

54

，即 |^____

AD

^\ | =

5

6 3

14.△ABC的面積 = 7，則點集合{P |^____

AP

^\=

α

+

β

，− 1 ≤

α

≤ 3，− 2 ≤

β

≤ 1}所表示區 域的面積為

____\

AB

____\

AC

。

【解答】168

【詳解】

(1)點集合{P | ^\

____

AP

=

α

+

β

，− 1 ≤

α

≤ 3，− 2 ≤

β

≤ 1}

的區域為一個平行四邊形，如右圖陰影部份

(2)其面積為 [3 − (− 1)] × [1 − (− 2)] × (2△ABC) = 24 (△

ABC) = 24 × 7 = 168

____\

AB

^\

____

AC

15.△ABC中，D是

AB

中點，E點在 AC 上，且

AE

： EC= 2：1，CD 與

BE

交於P點，

(1)設

____\

AP

= x^____

AB

^\ + y ，求數對(x，y) =

____\

AC

。 (2)求

BP

：

PE

= 。

【解答】(1) (

4 1

，

2

1

) (2) 3：1

【詳解】

(1)

____\

AP

= x^____

AB

^\ + y = x +

____\

AC

____\

AB 2 3 y

____\

AE （∵ AE

： EC= 2：1）

∵ B，P，E 三點共線 ∴ x +

2

3 y = 1……c

____\

AP

= x ^\+ y = 2x + y （∵

____

AB

____\

AC

____\

AD

____\

AC AD

：

DB

= 1：1）

∵ D，P，C 三點共線 ∴ 2x + y = 1……d 由cd得(x，y) = (

4 1

，

2 1

)

(2)由(1)，

____\

AP

=

4 1

^____\

AB

+

2 1

^____\

AC

⇒ ^____

AP

^\=

4 1

^____\

AB

+

4 3

^____\

AE

⇒

BP

：

PE

=

4 1

：

4

3

= 3：1