AC BC CD DC AC BC CH ⊥ ABCH BC CA

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.04.08 班級

範 圍

2-1 銳角之三角函數 +Ans 座號

姓 名 一. 單選題(每題 10 分)

1.△ABC 中，AB= 7， BC = 3，CA = 5，則 (A) sinB =

5

3 (B) sinB = 7

3 (C) cosB = 7

5 (D) cosB = 5

4 (E)以上皆非 答案：(E)

解析：過 C 點作

CH

⊥

AB

於 H

設BH= x，AH= 7 − x，則 5² −(7−x)² = 3² −

x

²

⇒ x = 14 33

∴ CH = 14

3

15 ∴ sinB = 3 14

3 15

= 14 3

5 ，cosB = 3 14 33

=14 11

2.下圖為單位圓， OA ， OD 均為半徑，則cot

θ

為圖中的哪個線段？

(A) DC (B) OC (C) OB (D)AB (E)EF 答案：(D)

解析：如圖，∠OBA = ∠COD =

θ

，cot

θ

= AO AB =

AB =

1 AB 3. (複選)△ABC 中，AD垂直 BC 於 D，已知AB= 25，sinB =

5

3，sinC = 17

15，則下列敘述何 者正確？(A)AD= 15 (B) DC = 8 (C) AC = 17 (D) BC = 28 (E) sinA =

17 15

答案：(A)(B)(C)(D) 解析：

(1) sinB =

AD = AB

AD =

25 5

3 ⇒ AD=15 (2) sinC =

17

15 ⇒ tanC = 8 15=

CD

AD

⇒

CD = 8

(3) cosB =

BD =

25 5

4 ∴ BD= 20 ⇒

BC = 28

(4) sinC =

AC AD =

17

15 ⇒

AC = 17

(5)作 CH ⊥ AB

∵ △ABC = 2

1

BC ．

AD = 2

1 AB． CH ⇒

CH

= 5

84 ∴ sinA =

CH = AC

85 84

4. (複選)設 0° <

θ

< 90°，且 tan

θ

= k，下列何者正確？

(A) sin

θ

=

2 +1

k

k

(B) cos

θ

=

1 1

2 +

k

(C) cot

θ

= k

1 (D) sec

θ

=

k

² +1

(E) csc

θ

=

k

² +1 答案：(A)(B)(C)(D) 解析：∵ tan

θ

= k

sin

θ

= 1 k2

k

+ ，cos

θ

= 1 2

1

+

k

，tan

θ

= k，

cot

θ

= k

1， sec

θ

= 1 k+ ² ，csc

θ

=

k

k

² 1+

二、填充題(每題 10 分)

5. 直角△ABC中，∠C = 90°，若 5

3cosA + cosB = 1，則a：b：c = 。 答案：8：15：17

解析：

原式 ⇒ 5 3

c b+

c

a= 1 ⇒ 3b + 5a = 5c ⇒ 3b = 5c − 5a

又a² + b² = c² ⇒ 9a² + 25(c − a)² = 9c² ⇒ 34a² − 50ca + 16c² = 0

⇒ 17a² − 25ca + 8c² = 017( )a ² 25( ) 8a 0 c − c + =

設 17 ² 25 8 0 (17 8)( 1) 0 ⁸ , 1 17

x a x x x x x

= ⇒c − + = ⇒ − − = ⇒ =

故 ⁸ , 1 17 a

c = ⇒ a = 17

8

c或c（不合，因為 c為斜邊）

∴ 3b = 17

−40c+ 5c = 17

45c ⇒ b = 17 15

c

∴ a：b：c = 17 8c ：

17

15c：c = 8：15：17

6. 如右圖： AC= BC ，AD： DC= 3：2，則tan

θ

= 。 答案：7

3

解析：作AE⊥BE於 設

E

⇒ ∆

BCD

∼∆

AED

AD= 3， DC = 2， BC = 5，AE= 5t，DE= 2t

⇒ t = 29

3 ⇒ tan

θ

= BE AE=

29 29 6

29 15

+

=35 15=

7 3

7. 設

θ

為銳角且sec

θ

= 3，求

θ θ sin 1

cos

+ +

θ θ cos

sin

1+ = 。 答案：6

解析： ⇒原式 =

1 3 2 2 1+ 3

+ 3 1 3

2 1+2

=

2 2 1 +

3 + (3 + 2 2 ) = (3 − 2 2 ) + (3 + 2 2 )= 6

8. log₂sin30° + log2cos30° + log2tan30° = 。 答案：− 2

解析：

原式 = log2sin30°cos30°tan30° = log2sin²30° = log2( 2

1)² = − 2

9.如圖，BC ⊥ BD，AC=AD，sin∠CAB = 8

5，則cotD之值為 。 答案：5

1(8 + 39 )

解析：

令∠CAB = 2

θ

，且 AC=AD= 8 sin2

θ

=

AC BC =

8

5 ⇒ BC = 5，cos2

θ

= 8 39 =

AC AB

⇒ AB= 39 ，∴ cotD =

BC DB =

BC AB DA+ =

5 39 8+ 10.求下列各值：

(1) (1 + sin 45° + sin 60°) (1 − cos 45° + cos 30°) = 。

(2) log6 tan 60° + log6 cot30° + log6 sec45° + log6 csc45° = 。 答案：(1)

4

5+ 3 (2)1 解析：

(1)原式 (1 ^{2 3})(1 ^{2 3}) (1 ³)² ( ²)² 1 3 ^{3 2}

2 2 2 2 2 2 4 4

= + + − + = + − = + + − =

4 5+ 3 (2)原式

log (tan 60 cot 30 sec 45 csc 45 )6

= °⋅ °⋅ °⋅ °

6 6

3 3 2 2

log ( ) log 6 1

1 1 1 1

= ⋅ ⋅ ⋅ = =

11. ° °− ° °

° +

°

°

−

°

°

30 tan 45 cos 60 cos 30 sin

45 tan 60 tan 45 sin 30 cos 60 sin 2

2 2

2 2

之值為 。 答案：12

解析：

°

°

−

°

°

° +

°

°

−

°

°

30 tan 45 cos 60 cos 30 sin

45 tan 60 tan 45 sin 30 cos 60 sin 2

2 2

2

2 =

2 2

2 2

3 ) ( 3 2 ) ( 2 2 1 2 1

1 ) 3 ( 2 ) ( 2 2 3 2 3 2

．

．

．

．

．

−

+

− =

6 1 4 1

1

−

= 12

12.設

θ

是一個銳角且cos

θ

= 3

2，則(1) sin

θ

= 。 (2) tan

θ

= 。

答案：(1) 3

5 (2) 2

5

解析：

cos

θ =

²

3⇒sin

θ

= 3

5，tan

θ =

2

5

13.如圖，PQ，TA都垂直x軸，PR， SB 都垂直y軸，A，T，B 在圓上，已知AT=

5

3， OP = 1，則OQ． OS + BS 之值為

。 答案： 3

10

解析：

(1)令

θ

= ∠TOA = ∠OSB ⇒ tan

θ

= OA

AT = 3 1 5

=

AT

=

⇒ sin

θ

= 34

3 ，cos

θ

= 34

5 ，cot

θ

= 3

5，sec

θ

= 5

34，csc

θ

= 3 34

(2) cscθ=

1 OS OS

OB = ⇒

OS

=cscθ = 3 34

cos

θ

= OP OQ=

OQ ⇒

1 OQ=cosθ= 34 5 ，

cot

θ

= cos 1

BS BS

OS = ⇒BS= θ= 3 5

(3)∴ OQ． OS + BS = 34 5 ．

3 34+

3 5=

3 10

14.設等腰△ABC中，∠B = 90°，若D是 BC 的中點，則tan∠BAD = ，又tan∠CAD = 。

答案： 3

1 2 1； 解析：

如右圖所示：在△ABC 中，設

AB

= 2 2

BC

= ，而∠B = 90°，故

2 4

AC

=

BC

= ，過 D 作

DE⊥ AC

，令其垂足為 E，因為∠ = °

C

45

2 2

2

2 2

DE = EC = CD = ． ==1

因為

AE

=

AC

−

EC

= ，tan∠BAD = 3 2 1 2 2 2

BD

AB

= = ，tan∠CAD = 1 3

DE AE

=

15.設△ABC中，∠C = 90°， AC = 5， BC = 12，則(1) sinB = 。 (2) cosB = 。 答案：(1)

13 5 (2)

13 12

16.如右圖，等腰直角△ABC中，BD為∠B之角平分線，BM為 AC 之 中線，若∠CBM =

θ

，則cot

θ

= 。

答案：3

解析：同 14 題

17.△ABC中，AB= 5， BC = 3，CA = 4，∠B的分角線交 AC 於D，則 (1) cosB = 。 (2) tan∠DBC = 。

答案：(1) 5 3 (2)

2 1

解析：

(1)△ABC 中， ∠C = 90° ⇒ cosB = AB BC=

5 3

(2)BD為∠B 之分角線(內分比)AD： DC =AB： BC = 5：3 ⇒ CD = 4 ×

8 3=

2

3，故 tan∠DBC =

CD = BC

3 2 3

=2 1

18.設

θ

為銳角且csc

θ

= 5 ，則cot

θ

= ，又

θ θ θ

θ

sin 1

cot sin

1 tan

+ −

+ = 。

答案：2，

8 5 3 25+ 解析：

如圖：作△ABC，使得∠C = 90°，AB= 5 ，而 BC = 1，由畢氏 定理知， AC = 2，故sin

θ

=

2 tan 1 5

1 ，

θ

= ，cot

θ

= 2 故所求之值為

θ θ θ

θ

sin 1

cot sin

1 tan

+ −

+ =

) 1 5 ( 2

5 4 ) 1 5 ( 2

5 5

1 1 2 5 1 1

2 1

+ −

= +

− + +

= ^{5( 5 1) 4 5( 5 1)} 2( 5 1)( 5 1)

− + +

+ −

^{25 3 5} 8

= +

19.△ABC中，∠C = 90°， AC = BC ，∠A的分角線交 BC 於D，則 (1) sin∠DAB = 。 (2) tan∠DAB = 。

2 2 2−

(2) 2 −1 答案：(1)

解析：

1 1

2

2

A C

B

D P

(1)延長

CA

至P，使

PA

=

PB

= 2， DAB∠ = ∠

CAD

= ∠

P

PB

= ( 2 1)+ ²+ =1² 4 2 2+ ，

2 2

1 4 2 2 4 2 2

sin( ) sin( ) sin

4 2 2 4 (2 2) 2 2

DAB CAD P − −

∠ = ∠ = = = =

+ −

2 2 2

= −

(2) tan∠DAB 1

tan 2 1

2 1

=

P

= =

+ −

20.△ABC中，∠A + ∠B = 90°，sinA = 3

2，則(1) cotA = 。 (2) cscB = 。

答案：(1) 2

5 (2) 5 3

解析：(1)sinA =² 3⇒

3 2

5 5

cotA 2

⇒ =

(2) 3 csc sec

5

B

=

A

=

21.長方形 ABCD 的兩邊AB，BC 的長分別為 4，3，若兩對角線 AC 與BD所夾的銳角為

θ

， 求 sin

θ 及

tan

θ 之值。

答案：sin

θ

= 25

24，tan

θ

= 7 24

解析：

如圖所示：長方形 ABCD 的對角線 AC 與BD所夾的銳角

θ

， 作

CE⊥ BD

，母子相似⇒

BD

² =

BE

．

BD

∴ 5

2 9

=

=

BD

BE BC

，又

10 7 5 9 2 5− =

=

−

=OB BE

OE ，且斜邊上的高

5 12 =

=

BD CD CE BC

．

在△OCE 中，sin

θ

=

25 24 2 5 5 12

=

OC

=

CE

，tan

θ

=

7 24 10

7 5 12

=

OE

=

CE