December 28, 2004

 


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December 28, 2004

 


1 1

1

??

2

4

1

3



4

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ 2,





3, 7, 11, · · ·

4

3

, 5, 13, 17, · · ·

4

1

.





 
 






  
 
Â

Ô



  Æ

4

1

3

6

5

 
Ò
 



d

a, b



d | a, d | b

d | am + bn,



m, n

1.1

4

3




4

3

p 1 = 3, p 2 = 7, p 3 , · · · , p n



n

N = 4p ₁ p ₂ · · · p _n − 1.



N > 1

N ≡ 3 (mod 4)

N




4

3

p m (1 ≤ m ≤ n)

p _m | N = 4p ₁ p ₂ · · · p _n − 1, p _m | p _m ⇒ p _m | −1.



p _m > 1

1.2

4

1




4

1

p 1 = 5, p 2 = 13, p 3 , · · · , p n

n

N = (2p ₁ p ₂ · · · p _n ) ² + 1.

p N

p|N ⇒ (2p ₁ p ₂ · · · p _n ) ² ≡ −1 (mod p)

⇒ (2p 1 p 2 · · · p n ) ⁴ ≡ 1 (mod p).



4

4|(p − 1) ⇒ p ≡ 1 (mod 4).



p = p m (1 ≤ m ≤ n)

p m |N

p m |p m

p m |1

4



1



1.1

6

5



1.2

8

1



1.3 ¹

n

2 ⁿ

1



1.4

n

n ⁴ − 20n ² + 4



1.5 ²

n

 n ³ − 6n ² + 2n − 12 


 
  


n

 


 


20

28

35

 



20 28 35



Â

(1)

p

x, y

p | x ² + y ²

p ≡ 1 (mod 4).

1

Æ 

DZDZ




2

 
 
­

3

(2) ³

8

5

 



a

b

π(n; a, b)

n

a



b

n→∞ lim

π(n; a, b)

n/ (φ(a) · ln n) = 1.

 


n

n

a

b

n φ(a) · ln n ,



φ(a)

φ

3



N = (5 · 13 · 29 · · · p n ) ² + 2 ² , N ≡ 5 (mod 8)

p

N

p ≡ 1 (mod 4)