December 26, 2004

 

»º º

December 26, 2004

 


1

num = ∆ + ∆ + ∆ 1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 1

1.3

num = ∆ + ∆ + ∆ . . . . 3

1

num = ∆ + ∆ + ∆

  









 

 











1.1





x ² ₁ + x ² ₂ 

y ₁ ² + y ₂ ² 

= (x 1 y ₁ − x ₂ y ₂ ) ² + (x 1 y ₂ + x 2 y ₁ ) ² .





x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ 

y ² ₁ + y ₂ ² + y ₃ ² + y ² ₄ 

= z ₁ ² + z ² ₂ + z ₃ ² + z ₄ ² ,



⎧

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

z ₁ = x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + x ₃ y ₃ + x ₄ y ₄ , z ₂ = x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ + x ₃ y ₄ − x ₄ y ₃ , z ₃ = x ₁ y ₃ − x ₃ y ₁ + x ₄ y ₂ − x ₂ y ₄ , z ₄ = x 1 y ₄ − x 4 y ₁ + x 2 y ₃ − x 3 y ₂ .

1.2

1.1



2 = 1 ² + 1 ² + 0 ² + 0 ²

p



(1)

m (1 ≤ m < p)

mp



p + 1

1 + 0 ² , 1 + 1 ² , 1 + 2 ² , · · · , 1 +

 p − 1 2

 ₂ ,

−0 ² , −1 ² , −2 ² , · · · , −

 p − 1 2

 ₂ .



 



p

 

x, y

1 + x ² ≡ −y ² (mod p), 0 ≤ x, y ≤ ^p−1 ₂ .



1 ≤ 1 + x ² + y ² < 1 + 2( ^p−1 ₂ ) ² < p ²

0 ² + 1 ² + x ² + y ² = mp,

(2)

m

mp



m = 1

(1)

mp = x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ , 1 ≤ m < p.



m

m

mp = x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄




(x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ ) ² ≡ x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ ≡ mp ≡ 0 (mod 2)



x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄

(a) x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄

(b) x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄

(c) x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄

x ₁ , x ₂




x ₃ , x ₄





x ₁ + x ₂ , x ₁ − x ₂ , x ₃ + x ₄ , x ₃ − x ₄

mp

2 =

 x ₁ + x 2

2

 ₂ +

 x ₁ − x 2

2

 ₂ +

 x ₃ + x 4

2

 ₂ +

 x ₃ − x 4

2

 ₂ ,



(mp)/2

m

m





m = 1

m

3 ≤ m < p,

m

 

x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄

mp = x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄

p




0

y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄



x _i ≡ y _i (mod m),

|y _i | < ^m ₂ , i = 1, 2, 3, 4.

 

1 ≤ y ₁ ² + y ₂ ² + y ² ₃ + y ₄ ² < 4
_m

2

 ₂

= m ²

y ₁ ² + y ₂ ² + y ² ₃ + y ₄ ² ≡ x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ ≡ 0 (mod m)

⇒ y ² ₁ + y ₂ ² + y ₃ ² + y ² ₄ = nm, 1 ≤ n < m < p

⇒

x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ 

y ² ₁ + y ² ₂ + y ₃ ² + y ₄ ² 

= nm ² p.

⎧

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

z ₁ = x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + x ₃ y ₃ + x ₄ y ₄ , z ₂ = x 1 y ₂ − x 2 y ₁ + x 3 y ₄ − x 4 y ₃ , z ₃ = x ₁ y ₃ − x ₃ y ₁ + x ₄ y ₂ − x ₂ y ₄ , z ₄ = x ₁ y ₄ − x ₄ y ₁ + x ₂ y ₃ − x ₃ y ₂ .



x _i ≡ y i (mod m)

x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ = mp ≡ 0 (mod m)

z ₁ ≡ z 2 ≡ z 3 ≡ z 4 ≡ 0 (mod m).

 


⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

nm ² p =

x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ 

y ² ₁ + y ₂ ² + y ² ₃ + y ² ₄ 

= z ₁ ² + z ₂ ² + z ₃ ² + z ₄ ² 1 ≤ n < m < p

⇒ np =
_{z 1}

m

 ₂ +
_{z 2}

m

 ₂ +
_{z 3}

m

 ₂ +
_{z 4}

m

 ₂ ,



np

m

m = 1



(1), (2)

1.2 (

)

 


1.3

num = ∆ + ∆ + ∆

 



(n − 1)n

2 , n

,






0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, · · · .

1796

EΥPHKA! num = ∆ + ∆ + ∆.

 !


1.3 (

)






1.4





1





N

8N + 3



 

8N + 3 = (2a + 1) ² + (2b + 1) ² + (2c + 1) ² = 4(a ² + a + b ² + b + c ² + c) + 3.



N = a(a + 1)

2 + b(b + 1)

2 + c(c + 1) 2 .





1.1



1.2



1.3

119



1.4

2023



1.5

(1)

6(x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ + x ² ₄ ) ² =

1≤i<j≤4

(x _i + x _j ) ⁴ +

1≤i<j≤4

(x _i − x _j ) ⁴ .

(2)

n

6n ²

12

(3)

53



1.6

x ₁ , x ₂ , x ₃ ; y ₁ , y ₂ , y ₃

z ₁ = f (x ₁ , x ₂ , x ₃ , y ₁ , y ₂ , y ₃ ), z ₂ = g(x 1 , x ₂ , x ₃ , y ₁ , y ₂ , y ₃ ), z ₃ = h(x ₁ , x ₂ , x ₃ , y ₁ , y ₂ , y ₃ )



x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ 

y ₁ ² + y ² ₂ + y ₃ ² 

=

z ₁ ² + z ₂ ² + z ₃ ²  .



1.7

T

1 · T + 0, 9 · T + 1, 25 · T + 3, 49T + 6, 81 · T + 10







' 

1

ó
º


M. B. Nathanson

Additive Number Theory

23




 
  ) 


 
)




) 

) *









n ≥ 3

x y

2 ⁿ = x ² + 7y ² .


 DZ

  


1 ² + 2 ² + 3 ² + · · · + n ²



n = 1

n = 24




,Í 

 DZ

 n 0

 +

 n 1

 +

 n 2

 +

 n 3





n = 2, 7, 15

74