December 28, 2004




»º º

December 28, 2004

 


1

1

1






1.1 (

)

α

N

n (1 ≤ n ≤ N )

m

α − m n

< 1 nN .

 


N

0 ≤ nα − [nα] < 1, n = 1, 2, 3, · · · , N.



N

[0, 1/N), [1/N, 2/N), [2/N, 3/N), · · · , [(N − 1)/N, 1)

N

(1)

n(1 ≤ n ≤ N )

0 ≤ nα − [nα] < 1 N ⇒

α − [nα]

n

< 1 nN .

(2)

1 ≤ n ₁ < n ₂ ≤ N

 i

N ≤ n ₁ α − [n ₁ α] < ⁱ⁺¹ _N

N i ≤ n ₂ α − [n ₂ α] < ⁱ⁺¹ _N ⇒ 0 ≤| (n ₂ − n ₁ )α − ([n ₂ α] − [n ₁ α]) |< _N ¹

⇒


α − ^{[n 2} _n ^α]−[n _{2 −n 1} ^{1 α]}


< _{(n 2 −n} ¹ _{1 )N} .



1.2

α

m/n

n



m

α − m n

< 1 n ² .

 


d

d

m _i

n i , i = 1, 2, 3, · · · , d.



α

α − m i /n i = 0

1

N <

α − m i

n _i

, i = 1,2,3,··· ,d



N

n (n ≤ N )

m

α − m n

< 1 nN ≤ 1

n ² .



α − m n

< 1 nN ≤ 1

N ,



m/n

d

α − m n

< 1 n ²

 


m/n

n

m

α − m n

< 1 n ² .

1.3

s

(x, y)

| x ² − sy ² |< 1 + 2 √ s.

   
 


x/y

√ s − x

y

< 1 y ² ⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

| y √

s − x |< 1 y

| y √

s + x |≤| −y √

s + x | +2y √ s < 1

y + 2y √ s

⇒| x ² − sy ² |< ¹ _y

 1

y + 2y √ s



= 1 y ² + 2 √

s ≤ 1 + 2 √ s.

 



(x, y)

| x ² − sy ² |< 1 + 2 √ s.

s = 3

(x, y)

x ² − 3y ²

≤ 4.




x ² − 3y ² = ±1, ±2, ±3, ±4




??

s = 2

??








1 = 1, 2 · 1 − 1

2 = 1 + 1 2 , 3 · 1 − 3 · 1

2 + 1

3 = 1 + 1 2 + 1

3 , 4 · 1 − 6 · 1

2 + 4 · 1 3 − 1

4 = 1 + 1 2 + 1

3 + 1 4 ,

 



p, q

x ³ − px + q = 0

(1)

p ≥ 0

(2)

α

x ³ − px + q = 0

| α |≤ 2 p

3 .

 



n

F _n

F n = 2 ^{2 n} + 1.

 
      





 
 
 


P

P



F ₀ = 3, F ₁ = 5, F ₂ = 17, F ₃ = 257, F ₄ = 65537

 


7, 11, 13