December 26, 2004

 

÷
»º º

December 26, 2004

 


1

^


1

1.1

^

. . . . 1

1.2

<sup>

 </sup>

. . . . 2

1.3

^


. . . . 3

1.4

<sup> 


</sup>

. . . . 4

1

^Ý


1.1

^



a, b, c

a, b, c

<sup>








</sup>

c ² = a ² + b ²



(a, b, c)

<sup>

   




</sup>



 


 

1901

^




1.1 (

^½»

)

^

x ² + y ² = z ²

^


(x, y, z) = 1

^

x, y, z

^{ 
}

(x, y, z)

^

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x = m ² − n ² , y = 2mn, z = m ² + n ² ,



⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x = 2mn, y = m ² − n ² , z = m ² + n ² ,



m, n

<sup>





</sup>

 

x, y, z

^

x ² + y ² = z ²

<sup>

 
</sup>



x, y, z

<sup>

</sup>

x, y

^

z

<sup>


</sup>



x, y

^

z

^

z ² = x ² + y ² ≡ 2 (mod 4)

^

x, y

^











y

^

x, z

^{ }

x, y, z






(z − x, z + x) = 2

^



(z − x, z + x) = d

d | z − x, d | z + x ⇒ d | 2x, d | 2z ⇒ d | 2 ⇒ d = 1

^

2.



z − x, z + x

<sup>

</sup>

d = 2

^

y ² = (z + x)(z − x),

^

(z + x, z − x) = 2

⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

z + x = 2m ² , z − x = 2n ² , y = 2mn,



m, n

⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x = m ² − n ² , y = 2mn, z = m ² + n ² ,



m, n

.



1.1

^

x ⁴ − 4y ⁴ = z ² (1.1)



x, y, z

^

 

x, y, z

<sup> 




</sup>

p

^


x

y



(1.1)

^

p ²

^

z

^


(x/p, y/p, z/p ² )

^

(1.1)

^





x

y

^{ }

x, y, z

<sup>

</sup>

(2y ² ) ² + z ² = (x ² ) ² (1.2)




2y ² , z, x ²

<sup>

</sup>

(1.2)

^

1.1

^

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

2y ² = 2mn, z = m ² − n ² , x ² = m ² + n ² ,

m, n

. (1.3)



m, n

y ² = mn

^

m = a ² , n = b ²

^

(1.3)

^

a, b, x



a ⁴ + b ⁴ = x ² . (1.4)






x ⁴ + y ⁴ = z ²

^

x, y, z

^

(1.4)

^

 

 


1.2

^Ý

Ý

1.2

^

x ⁴ + y ⁴ = z ²

^

x, y, z

^

 

x, y, z

^

x ⁴ +y ⁴ = z ²

^


z

^

(x, y, z) = 1

^






y

^

x, z

^


⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x ² = m ² − n ² , y ² = 2mn, z = m ² + n ² ,



m, n

⇒ n

m

^

x ² + n ² = m ²

^

⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x = c ² − d ² , n = 2cd, m = c ² + d ² ,



c, d

⇒ y ² = 4cd(c ² + d ² )

⇒ c = e ² , d = f ² , c ² + d ² = g ²

^

c, d, c ² + d ²

^


⇒ e ⁴ + f ⁴ = g ²

^

e, f, g

^{ }



g ≤ g ² = c ² + d ² = m < z

<sup>

</sup>

(e, f, g)

^

g < z




   
 




1.3

^

x ⁴ + y ⁴ = z ⁴

^

x, y, z

^




x ⁴ + y ⁴ = (z ² ) ² ,

^

1.2

^

x ⁴ + y ⁴ = z ⁴

^

x, y, z

^




x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ

^



n = 3, 4

^

 





n = 5

^


1823

^{ }




n = 7

^

1832

^{ 

}




n ≥ 3

<sup>


 


</sup>



1994

<sup>


 </sup>

1.3

^{ 
}

1.4

^

x ⁴ − 9y ⁴ = z ²

^

(1)

^

x, y, z

<sup> 





</sup>

2 | y

^

(2)

^

x ⁴ − 9y ⁴ = z ²

^

x, y, z

^



(1)




x, y, z

^

(x ² ) ² = (3y ² ) ² + z ²

^

y

^

(x ² ) ² = (3y ² ) ² + z ²

⇒

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x ² = m ² + n ² , 3y ² = m ² − n ² , z = 2mn,



m, n

⇒



3 | m

^

3 | n

^

x ² = m ² + n ²

^

, 3y ² = m ² − n ² ,

⇒ 3 | m

3 | n,

^

m, n

^



y

^



(2)

^

x ⁴ − 9y ⁴ = z ²

^


x

^

x, y, z

^

x



x, y, z

<sup>


</sup>

(x ² ) ² = (3y ² ) ² + z ²

^

(x, y, z) = 1

^{ }

(x ² , 3y ² , z) = 1, 3

^

(x ² , 3y ² , z) = 3

^

3|x, 3|z

^

3
y

^

x, y, z

^{ }

(x ² /3) ² = (y ² ) ² + (z/3) ²



3

^

0 ≡ 1 + (z/3) ² (mod 3)

^

( ) ² ≡ 0, 1 (mod 3)

^

(x ² , 3y ² , z) = 1

^

(1)

^

1.1

^

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x ² = m ² + n ² , 3y ² = 2mn, z = m ² − n ² ,



m, n

⇒



m = c ² − d ² , n = 2cd,



c, d

⇒ 3  _y

2

 ₂

= cd(c ² − d ² ),

^

c, d, c ² − d ²

^




c, d, c ² − d ²

<sup>

</sup>

c, d

<sup>


</sup>

3

 y 2

₂

= cd(c ² − d ² ).

(a)

^

3 | c

c ² − d ² = e ² ⇒ c ² = d ² + e ²

⇒ 3 | d

^

3 | e

⇒ 3 | d

^

3 | c

^

c, d

^

(b)

^

3 | d

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ c = e ² , d = 3f ² , c ² − d ² = g ² ,



e, f, g

^

e < c < n < x

⇒ e ⁴ − 9f ⁴ = g ² .



x

<sup>


</sup>

(c)

^

3 | c ² − d ²

^

3

^{ }

c

d

 c = e ² , d = f ² ,



e, f

^

3



⇒



(e ² − f ² )(e ² + f ² ) = c ² − d ² = 3g ² , 1 ≡ e ² ≡ f ² (mod 3).



c, d

^

(e ² − f ² , e ² + f ² ) = 1

^

3 | e ² − f ²

^



e ² + f ² = h ² ⇒ e, f

<sup>

</sup>

3



.



e, f

^

3

 ^



(a)

(b)

(c)

^

x ⁴ − 9y ⁴ = z ²

^


1.4

^Ý

Ì

1.5

^{   }

√

2

^{ }

 

√ 2

^


√ 2 = q p




p, q(p < q < 2p)

^

q/p

^{  }

p

^

√ 2 = q

p ⇒ 2p ² = q ²

⇒ 2(q − p) ² = (q − 2p) ²

⇒ √

2 = |q − 2p|

q − p



(q − p) < p

^

q/p

^{  }

p

^

√ 2







1.1

<sup>
 


   </sup>



1.2

^

x ⁴ + 1 = z ²

x, z

^



1.3

^

x ⁴ − y ⁴ = z ²

^

x, y, z

^



1.4

^

x ⁴ − y ⁴ = 2z ²

^

x, y, z

^



1.5

^

x ⁴ + 4y ⁴ = z ²

^

x, y, z

^



1.6

<sup> 



 

! </sup>



1.7

^

p

<sup>

   </sup>

√ p

^{ }

"


#

# 




$




 %  & 
#'




(%) )& &)%



 


%!
*
 

!
&*
 

&!
%*
 



(&)





&!
*
 

"%  &


#   





a, b, c

<sup>



 
</sup>

1

a α

1

b β

1

c

γ

α + β + γ = π 4 ,



a, b, c

^





|3 ^m − 2 ⁿ | = 1



m

n

^

 DZ

 

1956

<sup>

+
DZ</sup>

a, b, c

^

a ² + b ² = c ²



a ^x + b ^y = c ^z




x = y = z = 2

^{$Æ
,
}

-%./-

 
 

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n(n + 1) + 1,



n ≡ 1, 4, 5, 9, 10 (mod 12)

 DZ




0  
1

3 ⁿ + 4 ⁿ = 5 ⁿ

n = 2

^