3.4. Internal Direct Sum

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3.4. Internal Direct Sum

給定一個 linear operator T : V → V, 若選夠好的 ordered basis, T 的 representative matrix 可以是較好處理的 matrix. 不過這需要將 V 寫成所謂的 internal direct sum of T -invariant subspaces. 所以這一節我們先不談 linear operator, 先探討 internal direct sum 的性質.

我們在 Chapter 1 所介紹的 direct sum 其實是所謂的 external direct sum, 它是不管每 個 vector space 之間的關係, 而造出的 vector space. 不過若每個 vector space 間有關係, 那麼我們便可以探討有關於 internal direct sum 的問題.

假設 U,W 皆為 V 的 subspace. 可以考慮函數 T : U⊕W → U +W, 定義為 T ((u, w)) = u + w, ∀u ∈ U,w ∈ W.

依定義很容易得到 T 是 well-deﬁned function, 且可得 T 是一個 onto 的 linear transforma- tion. 接下來我們自然要問 Ker(T ) 是什麼? 若 (u, w)∈ Ker(T), 表示 T((u,w)) = u+w = OV, 得 u =−w. 但 u ∈U,w ∈W, 故得 u = −w ∈U ∩W. 反之, 若 u ∈U ∩W, 考慮 (u,−u) ∈U ⊕W, 可得 T ((u,−u)) = OV. 得證 Ker(T ) ={(u,−u) | u ∈ U ∩W}.

Question 3.10. 為何要得到 T : U⊕W → U +W 這個函數需要 U,W 皆為 V 的 subspace 這個假設?

Question 3.11. 試證明 {(u,−u) | u ∈ U ∩W} ≃ U ∩W. 利用 the First Isomorphism Theo- rem, 我們可不可以說 (U⊕W)/(U ∩W) ≃ U +W?

特別地, 當 U∩W = {OV} 時, 因 (OV, O_V) = O_U⊕W, 我們得 Ker(T ) = O_U⊕W. 亦即 T 為 one-to-one, 我們有以下之結果.

Proposition 3.4.1. 假設 U,W 皆為 V 的 subspace, 若 U∩W = {OV}, 則 U⊕W ≃ U +W.

就是因為這個原因, 當 U,W 皆為 V 的 subspace 且 U∩W = {OV} 時, 我們會將 U +W 用 U⊕W 來表示. 要注意此時 U ⊕W 指的是 V 的 subspace U +W, 不是以前定的那個新的 vector space. 這裡我們用 U⊕W 這個符號來強調 U ∩W = {OV}. 為了區分清楚, 我們會說 這是 U,W 的 internal direct sum. 所以要注意, 若 U,W 皆為 V 的 subspace 且 U∩W ̸= {OV} 時 U⊕W 這個符號絕對是代表 external direct sum. 若 U,W 皆為 V 的 subspace, 而我們強 調 U⊕W ⊆ V 或說是 internal direct sum, 就表示 U ∩W = {OV}. 當然了若 U,W 沒有任何 關聯, 那麼 U⊕W 指的是原本的 external direct sum.

當 V 為 ﬁnite dimensional vector space, 且 U 是 V 的 subspace. 我們可以找到另一個 V 的 subspace W 使得 V = U⊕W. 事實上任取 U 的一組 basis S = {u1, . . . , u_m}, 我們知可 以將 S 擴大成 V 的一組 basis{u1, . . . , u_m, w₁, . . . , w_n}. 此時若令 W = Span({w1, . . . , w_n}), 由於 {u1, . . . , um, w1, . . . , wn} 為 linearly independent, 我們知 U ∩W = {OV}. 所以可得 U ⊕W 這一個 U,W 的 internal direct sum. 又因為 V = Span({u1, . . . , u_m, w₁, . . . , w_n}), 我們得

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60 3. Linear Operator

U⊕W = V. 由於將一組 linearly independent 元素擴展成 basis 的方法並不唯一, 從這裡我 們也了解到給定 V 的一個 subspace U, 可將 V 寫成 U⊕W 的 W 並不唯一.

Example 3.4.2. 考慮 F²={(x,y) | x,y ∈ F}, 若 U = {(x,0) | x ∈ F}, 則 W1={(0,y) | y ∈ F}

和 W₂={(y,y) | y ∈ F} 都滿足 F²= U⊕W1 以及 F²= U⊕W2.

將 V 寫成 internal direct sum V = U⊕W 的一個好處就是若 v ∈ V, 則存在唯一的 u ∈ U 以及 w∈ W 使得 v = u + w. 我們將 V 寫成兩個 subspaces 的 internal direct sum 的性質列舉如下.

Proposition 3.4.3. 假設 U,W 為 V 的 subspaces. 下列是等價的 (1) V = U⊕W.

(2) 若 v∈ V, 則存在唯一的 u ∈ U,w ∈ W 使得 v = u + w.

(3) 對任意 U,W 的 basis S1, S2, 我們有 S1∩ S2= /0 且 S1∪ S2 為 V 的一組 basis.

Proof. (1)⇒ (2): 依定義 V = U +W, 故對任意 v ∈ V, 必存在 u ∈ U,w ∈ W 使得 v = u+w.

現若 u^′∈ U,w^′∈ W 使得 v+w = u^′+ w^′, 則考慮 u−u^′= w^′−w ∈ U ∩W = {OV}, 得證 u = u^′ 且 w = w^′.

(2)⇒ (3): 假設 v ∈ S1∩ S2, 表示 v∈ U ∩W. 考慮 v = v + OV = O_V + v 其中第一個 v 看成在 U, 第二個 v 看成在 W 且第一個 O_V 看成在 W , 第二個 O_V 看成在 U, 則利用唯 一性知 v = O_V. 但 v∈ S1, 此和 S₁ 為 linearly independent 相矛盾, 得知 S₁∩ S2= /0. 另外對任意 v∈ V, 知存在 u ∈ U,w ∈ W 使得 v = u + w, 然而因 S1, S₂ 分別為 U,W 的 basis, 知 存在 u₁, . . . , um∈ S1, w1, . . . , wn∈ S2 以及 c₁, . . . , cm, d1, . . . , dn∈ F 使得 u = c1u₁+··· + cmu_m, w = d₁w₁+··· + dnw_n. 因此得 v = c₁u₁+··· + cmu_m+ d₁w₁+··· + dnw_n, 得證 S₁∪ S2 為 V 的 spanning set. 另一方面若 S1∪ S2 不為 linearly independent, 利用 Corollary 1.4.4 知存在 v̸= OV 使得 v∈ Span(S1)∩ Span(S2) = U∩W. 同前面證明 S1∩ S2= /0 的方法知, 此與 v 寫 成 U, W 元素相加的唯一性相矛盾. 故知 S₁∪ S2 為 linearly independent.

(3)⇒ (1): 由 S1∪ S2 為 V 的一組 basis, 知 V = Span(S₁) + Span(S₂) = U +W . 現僅需證 U∩W = {OV}. 因 S1∩S2= /0 我們有 (S1∪S2)\S1= S2, 故利用 Corollary 1.4.4 知 S1∪S2為 linearly independent 表示 Span(S₁)∩ Span(S2) ={OV}, 亦即 U ∩W = {OV}. 我們可以把兩個 subspaces 的 internal direct sum 推廣到更多 subspaces 的 internal direct sum. 例如 V = U⊕W, 我們還可將 W 寫成兩個 W 的 subspaces W1,W₂ 的 direct sum, W = W1⊕W2, 而得 V = U⊕W1⊕W2. 這裡因 W = W1⊕W2, 我們有 W1∩W2={OV}, 又 因 V = U⊕W, 我們也有 U ∩W1⊆ U ∩W = {OV}, U ∩W2⊆ U ∩W = {OV}. 不過這些條件 (即 W1∩W2={OV}, U ∩W1={OV} 和 U ∩W2={OV}) 並不足以讓我們有類似 Proposition 3.4.3 的性質 (例如任意 v 有唯一的 u∈ U,w1∈ W1, w₂∈ W2 使得 v = u + w₁+ w₂), 我們看以下的例子.

Example 3.4.4. 在 Example 3.4.2 中 U∩ W1 = W1∩ W2 = U∩ W2={(0,0)}, 不過任意 (x, y)∈ F², 若 y̸= 0, 我們有 (x,y) = (x,0) + (0,y) + (0,0) = (x − y,0) + (0,0) + (y,y), 其中

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((0, 0)∈ W1 但 (0, 0)̸= (0,y) ∈ W1. 同樣的, (0, 0)̸= (y,y) ∈ W2. 所以 F² 中的元素寫成 U,W1,W₂ 之和的方法不唯一.

到底要怎麼定義 internal direct sum 呢? 我們可以回到 external direct sum 的看法. 假 設 V₁,V₂,V₃ 為 V 的 subspace, 考慮從 external direct sum V₁⊕V2⊕V3 到 V₁+ V₂+ V₃ 的 linear transformation T , 定義為 T (v1, v2, v3) = v1+ v2+ v3. 依定義 T 為 onto. 若 T 為 one- to-one, 則需 Ker(T ) ={(OV, O_V, O_V)} 亦即若 v1∈ V1, v₂∈ V2, v₃∈ V3 且 v₁+ v₂+ v₃= O_V, 則 v₁= v2= v3= OV. 然而 v1+ v2+ v3= OV, 知 v1=−(v2+ v3)∈ V1∩ (V2+ V3), 同理知 v₂∈ V2∩(V1+V₃), v₃∈ V3∩(V1+V₂). 因此若知 V₁∩(V2+V₃) = V₂∩(V1+V₃) = V₃∩(V1+V₂) = {OV}, 則可得 Ker(T) = {(OV, O_V, O_V)}. 反之, 若 v1∈V1∩(V2+V₃),則存在 v₁∈V2, v₃∈V3滿足 v₁= v2+ v3, 此時 (v1,−v2,−v3)∈ Ker(T). 因此若 Ker(T) = {(OV, OV, OV)} 表示 v1= OV, 故知 V₁∩ (V2+ V₃) = O_V. 同理可得 V₂∩ (V1+ V₃) = V₃∩ (V1+ V₂) = O_V. 將此推廣到任意有限多個 subspaces, 我們有以下之定義.

Deﬁnition 3.4.5. 假設 V1, . . . ,Vk 為 V 的 subspaces, 且 Vi∩ (

∑

j̸=i

Vj) ={OV}, ∀i = 1,...,k

則 V 的 subspace V₁+··· +Vk 稱為 V₁, . . . ,V_k 的 internal direct sum, 用 V₁⊕ ··· ⊕Vk 表示.

再次強調, 對於 V 的 subspaces V₁, . . . ,V_k, 我們都有 V₁+··· +Vk 這一個 subspace. 若我 們寫成 V₁⊕···⊕Vk⊆ V 或強調為 internal direct sum, 便是說 V1, . . . ,V_k 滿足 V_i∩(∑j̸=iVj) = {OV}, ∀i = 1,...,k 這些條件. 另外, 以後我們要談的 decomposition theorem, 都是將一個 vector space 拆解成一些 subspaces 的 internal direct sum, 我們不會再去談 external direct sum, 所以我們就不再強調為 internal direct sum.

將 vector space 寫成多個 subspaces 的 direct sum, 和寫成兩個 subspaces 的 direct sum 有同樣的性質. 由於證明和 Proposition 3.4.3 相同, 我們就不再證明了.

Proposition 3.4.6. 假設 V₁, . . . ,V_k 為 V 的 subspace. 下列是等價的 (1) V = V₁⊕ ··· ⊕Vk.

(2) 若 v∈ V, 則對於所有 i = 1,...,k 皆存在唯一的 vi∈ Vi 使得 v = v₁+··· + vk. (3) 對任意 Vi 的 basis S_i, 我們有 S1∩ ··· ∩ Sk= /0 且 S₁∪ ··· ∪ Sk 為 V 的一組 basis.

Question 3.12. 若 V 為 ﬁnite dimensional vector space 且 V1, . . . ,Vk 為 V 的 subspaces 使 得 V = V₁⊕ ··· ⊕Vk, 那麼可以知道 dim(V ) 會等於 dim(V₁) +··· + dim(Vk) 嗎?

當 U,W 為 V 的 subspaces 且 V = U⊕W, 又 W1, . . . ,W_k 為 W 的 subspaces 且 W = W₁⊕ ··· ⊕ Wk, 那麼我們可以得 V = U⊕ W1⊕ ··· ⊕ Wk 嗎? 答案是肯定的. 這是因為若 v∈ V, 由 V = U ⊕W 知存在 u ∈ U,w ∈ W 使得 v = u + w. 另一方面由 W = W1⊕ ··· ⊕Wk, 知存在 w_i ∈ Wi, 使得 w = w1+··· + wk. 也就是說對任意 v∈ V, 皆存在 u ∈ U,w1 ∈ W₁, . . . , w_k∈ Wk 使得 v = u + w₁+···+wk (證得存在性). 又若 u^′∈ U,w^′₁∈ W1, . . . , w_k∈ Wk 使

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得 v = u^′+ w^′₁+··· + w^′_k, 則因 u, u^′∈ U 以及 w1+··· + wk, w^′₁+··· + w^′_k∈ W, 由 V = U ⊕W 得 u = u^′ 以及 w₁+···+wk= w^′₁+···+w^′_k. 又因 wi, w^′_i∈ Wi, 由 W = W1⊕···⊕Wk 得 w_i= w^′_i (證得唯一性), 所以由 Proposition 3.4.6 我們有以下之結果.

Corollary 3.4.7. 若 U,W 為 V 的 subspaces 且 V = U⊕ W, 又若 W1, . . . ,Wk 為 W 的 subspaces 且 W = W₁⊕ ··· ⊕Wk, 則 V = U⊕W1⊕ ··· ⊕Wk.

3.5. Primary Decomposition

讓我們回到 linear operator. 若 T : V→ V 為 linear operator, 我們希望將 V 寫成一些 subspaces 的 direct sum, 使這些 subspaces 的 ordered basis 所組成 V 的 ordered basis 讓 T 的 representative matrix 有比較好的形式. 要達到這個目的, 我們希望 T 限制在這些 subspaces 上是不會跑掉的 (即希望它們仍為 linear operator), 所以我們有以下的定義.

Deﬁnition 3.5.1. 假設 T : V → V 是一個 linear operator. 若 W 為 V 的 subspace 且滿足 T (W )⊆ W (即對所有 w ∈ W 皆有 T(w) ∈ W), 則稱 W 為 T-invariant.

Question 3.13. 假設 T : V→V 是一個 linear operator. 下列哪些 subspaces 是 T-invariant?

(1) V. (2){OV}. (3) Im(T ). (4) Ker(T ).

回顧一下, 當 T : V → V 為 linear operator, 對於 f (x) = adx^d+··· + a1x + a0∈ F[x], 我們 可定義一個 linear operator f (T ) = a_dT^◦d+··· + a1T + a₀id.

Lemma 3.5.2. 假設 V 為 F-space, T : V → V 為 linear operator. 若 W 為 T-invariant, 則 對任意 f (x)∈ F[x], W 為 f (T)-invariant

Proof. 因 W 為 T -invariant, 對任意 w∈ W, 因為 T(w) ∈ W 故得 T^◦2(w) = T (T (w))∈ W.

利用數學歸納法知 T^◦i(w)∈ W, ∀i ∈ N. 現若 f (x) = adx^d+··· + a1x + a0∈ F[x], 因 W 為 subspace, 得 f (T )(w) = a_dT^◦d(w) +··· + a1T (w) + a0w∈ W, ∀w ∈ W. 得證 W 為 f (T)-

invariant.

很容易判斷 Im(T ) 和 Ker(T ) 皆為 T -invariant. 我們可以利用 f (x)∈ F[x] 得到更多 T -invariant subspaces.

Lemma 3.5.3. 假設 V 為 F-space, T : V→ V 為 linear operator 且 f (x) ∈ F[x]. 則 Im( f (T)) 和 Ker( f (T )) 皆為 T -invariant subspaces.

Proof. 假設 w∈ Im( f (T)), 即存在 v ∈ V 使得 w = f (T)(v). 由 Lemma 3.2.3 我們知 T◦ f (T) = f (T) ◦ T, 因此

T (w) = T ( f (T )(v)) = (T◦ f (T))(v) = ( f (T) ◦ T)(v) = f (T)(T(v)) ∈ Im( f (T)), 得證 Im( f (T )) 為 T -invariant.

假設 v∈ Ker( f (T)), 亦即 f (T)(v) = OV. 此時 f (T )(T (v)) = T ( f (T )(v)) = T (OV) = OV, 亦即 T (v)∈ Ker( f (T)), 得證 Ker( f (T)) 為 T-invariant.

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給定一個 linear operator T : V→ V, 考慮 V 的一個 subspace W, 我們可以將 T 的定義域 限制在 W 上, 即考慮 T|W: W → V, 定義為 T|W(w) = T (w),∀w ∈ W. 這是一個從 W 到 V 的 linear transformation, 我們稱為 the restriction on W . 當 W 為 T -invariant 時, 因 T (w)∈ W,

∀w ∈ W, 我們有 T|W : W → W, 為一個 W 上的 linear operator. 我們自然可以探討 T|W

和 T 的 minimal polynomial 之間的關係. 首先對於 f (x)∈ F[x], 因 W 亦為 f (T)-invariant (Lemma 3.5.2), 我們有興趣知道 f (T )|W 和 f (T|W) 這兩個 W 的 linear operator 之間的關 係. 現對所有 w∈ W, 因

T^◦2|W(w) = T^◦2(w) = T (T (w)) = T|W(T|W(w)) = T|W◦2(w),

我們知 T^◦2|W 和 T|W◦2 為 W 上相同的 linear operator. 利用數學歸納法可得 T^◦i|W = T|W◦i,∀i ∈ N. 現若 f (x) = adx^d+··· + a1x + a₀∈ F[x], 則對於任意 w ∈ W, 皆有

f (T )|W(w) = f (T )(w) = a_dT^◦d|W(w) +··· + a1T|W(w) + a₀id|W(w)

= a_dT|W◦d(w) +··· + a1T|W(w) + a₀id|W(w) = f (T|W)(w).

也就是說 f (T )|W 和 f (T|W) 是 W 上相同的 linear operator, 因此知

f (T )|W = f (T|W). (3.3) 利用此結果, 我們有以下之 Lemma.

Lemma 3.5.4. 假設 T : V → V 為 linear operator, W 為 T-invariant subspace, 則 T 的 restriction on W , T|W: W→ W 為 W 上的 linear operator, 且其 minimal polynomialµT|W(x) 滿足

µT|W(x)|µT(x).

Proof. 已知 µT(T ) = O 為一個 zero mapping, 故 µT(T )|W = O. 故由等式 (3.3) 知 µT(T|W) =µT(T )|W = O, 再由 Lemma 3.3.5 得證 µT|W(x)|µT(x). 假設 V 可以寫成兩個 T -invariant subspace U,W 的 (internal) direct sum V = U⊕W, 分 別選取 U,W 的一個 ordered basisβ1= (u1, . . . , ul),β2= (w1, . . . , wm),則由 Proposition 3.4.3 知 β = (u1, . . . , u_l, w₁, . . . , w_m) 亦為 V 的 ordered basis. 此時由於 T (u_i) = T|U(u_i)∈ U, 我們 知 [T ]_β 的前面 l 個 columns, 每個 column 的前 l 個 entry 都和 [T|U]_β₁ 相同, 而且後面 m 個 entry 皆為 0. 同樣的, 由於 T (w_j) = T|W(w_j)∈ W, 我們知 [T]_β 的後面 m 個 columns, 每 個 column 的前 l 個 entry 都是 0 而後面 m 個 entry 皆和 [T|W]_β₂ 相同. 也就是說 T 對於 β 的 representative matrix 為

[T ]_β =

( [T|U]_β₁ O O [T|W]_β₂

)

(3.4) 要探討 T, T|U, T|W 的 characteristic polynomial 間的關係, 需了解等式 (3.4) 這類 block diagonal matrix 的 determinant 算法. 我們簡單回顧一下, 考慮 matrix

A =

( B O O C

)

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其中 A∈ Ml+m(F), B∈ Ml(F),C∈ Mm(F) 皆為 square matrix. 我們可以用降階及數學歸 納法證得 det(A) = det(B) det(C). 方法大致如下: 我們對第一個 row 作降階得 det(A) =

∑^l+mk=1(−1)^1+ka_1kdet(A_1k),然而 A_1k 是將 A 的 ﬁrst row 和 k-th column 刪除, 因此當 1≤ k ≤ l 時, a_1k= b_1k 且 A_1k =

( B_1k O O C

)

這樣的 block diagonal matrix. 所以依數學歸納法假設, 此時 det(A_1k) = det(B_1k) det(C). 又當 l < k≤ l + m 時, a1k= 0, 故得

det(A) =

l+m

∑

k=1

(−1)^1+ka_1kdet(A_1k) =

∑

l k=1

(−1)^1+kb_1kdet(B_1k) det(C) = det(B) det(C).

利用這個結果我們就可以得到 characteristic polynomial 的關係了.

Lemma 3.5.5. 假設 V 為 ﬁnite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator. 若 V = U⊕W, 其中 U,W 為 T-invariant subspace, 則

χT(x) =χT|U(x)χT|W(x).

Proof. 選定 U,W 的 ordered basis β1= (u1, . . . , u_l),β2= (w1, . . . , wm), 可得 V 的 ordered basisβ = (u1, . . . , u_l, w₁, . . . , w_m). 此時利用等式 (3.4) 我們有

xIl+m− [T]_β=

( xIl− [T|U]_β₁ O O xIm− [T|W]_β₂

) . 利用上面所述有關於 block diagonal matrix 的 determinant 算法得

χT(x) = det(xI_l+m− [T]_β) = det(xI_l− [T|U]_β₁) det(xI_m− [T|W]_β₂) =χT|U(x)χT|W(x).

至於 minimal polynomial, 我們需要在複習一下代數有關於 F[x] 這一個 polynomial ring 的性質. 因為 F 是一個 ﬁeld, F[x] 上的元素有除法的性質, 即給定 f (x), g(x)∈ F[x], 若 g(x)̸= 0, 則存在 h(x),r(x) ∈ F[x] 其中 deg(r(x)) < deg(g(x)) 使得 f (x) = g(x)h(x) + r(x).

這個性質使得 F[x] 成為所謂的 Euclidean domain. 所以 F[x] 會是一個 principle ideal domain, 也因此是一個 unique factorization domain. 換言之, 任取 f (x)∈ F[x], 我們都可以 將 f (x) 唯一寫成一些 irreducible polynomial 的乘積. 所以任取兩個 F[x] 上的 polynomial f (x), g(x), 我們可以定義它們的最高公因式 (用 gcd( f (x), g(x)) 表示) 以及最低公倍式 (用 lcm( f (x), g(x)) 表示). 注意, 這裡為了要有唯一性 gcd( f (x), g(x)), lcm( f (x), g(x)) 我們都選 monic polynomial. 若令 l(x) = lcm( f (x), g(x)), 則我們有以下性質:

(1) f (x)| l(x), g(x) | l(x).

(2) 若 h(x)∈ F[x] 則 f (x) | h(x), g(x) | h(x) ⇔ l(x) | h(x).

利用這個性質我們可以得到以下有關 minimal polynomials 間的關係.

Lemma 3.5.6. 假設 V 為 ﬁnite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator. 若 V = U⊕W, 其中 U,W 為 T-invariant subspace, 則

µT(x) = lcm(µT|U(x),µT|W(x)).

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另一方面, 對於任意 v∈ V, 存在 u ∈ U,w ∈ W 使得 v = u + w, 故由等式 (3.3) 知 l(T )(v) = l(T )(u) + l(T )(w) = l(T )|U(u) + l(T )|W(w) = l(T|U)(u) + l(T|W)(w).

(1) Suppose that W is a T -invariant subspace of V . Prove T^′(W ) is also a T -invariant subspace.

(2) For f (x)∈ F[x], prove that Im( f (T^′)) and Ker( f (T^′)) are both T -invariant subspace of V .

———————————– 17 November, 2017