∴∠=° A 90 132 +=

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：100.09.27 範

圍

1-3、4 正、餘弦定理和角公式

班級二年____班姓座號名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.△ABC 中﹐∠A = 45°﹐∠B = 60°﹐BC = 2﹐則：(1) AB =____________﹒ (2) AC =____________﹒

解答 (1) 3 +1;(2) 6

解析 (1)∠C = 180° − 45° − 60° = 75°﹐

由正弦定理：

sin a

A= sin

c

C ⇒ 2

sin 45°= sin 75

c

°

⇒

2 sin 75 6 2 2

sin 45 2 sin 75 2

sin 45 4 2

c

° = ° ⇒ =

c

° = × + × =

°

^{3 + 1﹒}

(2)由正弦定理：

sin a

A= sin

b

B ⇒ 2

sin 45°= sin 60

b

°

⇒

2 sin 60 3 2

sin 45 2 sin 60 2

sin 45 2 2

b

° = ° ⇒ =

c

° = × × =

°

^{6 ﹒}

2.△ABC 中﹐AB = 3 ，AC= 1﹐∠B = 30°﹐則：

(1) BC =____________﹒ (2)∠C =____________﹒

解答 (1) 1 或 2 ;(2) 120°或 60°

解析 (1)由餘弦定理知﹐b² = a² + c² − 2accosB

⇒ 1² = a² + ( 3 )² − 2a． 3 cos30° ⇒ a² − 3a + 2 = 0 ⇒ a = 1 或 2﹐

(2)△ABC 中﹐① BC = 1= AC ﹐∠A = ∠B = 30°﹐∠C = 180° − 30° − 30° = 120°﹒

② BC =2, AC = 1﹐AB = 3 ⇒

1

²

+ 3

²

= 2

²

∴∠ = °

A

90

, ∠B = 30°﹐∠C = 180° − 30° −90° = 60°﹒

3.△ABC 中﹐b = 4﹐c = 2﹐tanB = 15 ﹐則 a = ____________﹒

解答 4

解析 tanB = 15

1

,

∠B

為銳角

⇒ cosB =1

4﹐又 b² = c² + a² − 2cacosB

⇒ 16 = 4 + a² − 2．2．a．1

4 ⇒ a² − a − 12 = 0 ⇒ a = 4﹒

(2)

4.△ABC 中﹐a = 3 − 1﹐c = 3 + 1﹐∠A = 15°﹐則 b = ____________﹒

解答 2 2 或 6

解析 ( 3 − 1)² = ( 3 + 1)² + b² − 2b( 3 + 1)cos15°

⇒ 4 − 2 3 = 4 + 2 3 + b² − 2b( 3 + 1) 6 2 4

+ = 4 + 2 3 + b² − 2 (2 + 3 )b

⇒ b² − (2 2 + 6 )b + 4 3 = 0 ⇒ (b − 2 2 )(b − 6 ) = 0 ⇒ b = 2 2 或 6 ﹒

5.△ABC 之三邊長為 8﹐10﹐12﹐則：

(1)△ABC 之面積為______﹒ (2)△ABC 之外接圓半徑為_________﹒

(3)△ABC 最大邊上之中線長為_____﹒ (4)△ABC 之內切圓半徑為_________﹒

解答 (1)15 7 ;(2)16 7

7 ;(3) 46

;(4)

7 解析 (1)設 a = 8﹐b = 10﹐c = 12﹐則 s =1

2(8 + 10 + 12) = 15﹐

由海龍公式△= 15 3 5 7．．． = 15 7 ﹒

(2)由△=

4 abc

R ⇒ 15 7 =8 10 12 4R

× × ⇒ R = 240

15 7 = 16 7 7 ﹒ (3)最大邊上之中線長 =1

2

2 2 2

2a +2b −c =1 2

2 2 2

2．8 +2．10 −12 = 46 ﹒

(4)由 △= 15 7

15 7 rs r

s

⇒ = =∆ =

6.(1)∆三高長 12、8、6，求∆面積為___________________。

(2)∆三中線長 5、6、7，求∆面積為____________________。

解答 (1)

96 15

;(2)

8 6

解析 (1) 設 1 1 1 1 1 1

12, 8, 6 : : : : : : 2 : 3 : 4

12 8 6

a b c

h h h a b c

h h h

= = = ⇒ = = =

又令

2 2 2

3 4 2 7 15

2 , 3 , 4 cos , sin

2 3 4 8 8

a= t b= t c= t⇒ A= + − = A=

× ×

又 6 2

sin 3

hc

A= b = t = t ，即

15 2 16 16 15

8

t

15 15

= ⇒ =

t

=

32 15 1 32 15

2 12 96 15

15 2 2

a= t= ⇒ ∆ = × × =

(2) 4 4

9 4 3 2 8 6 3 ^m 3

∆ = ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ =

(3)

7.△ABC 中﹐∠B = 45°﹐∠C = 60°﹐a = 3 + 1﹐求外接圓半徑 = ______﹒

解答 2

解析 ∠B = 45°﹐∠C = 60° ⇒ ∠A = 75°﹐

由正弦定理知﹐

sin BC

A= sin

AB C

⇒ AB = sin sin BC C

A = ( 3 1)sin 60 sin 75

+ °

° =

( 3 1) 3 2

6 2

4 + ×

+ = 6 ﹐

又 2R = sin

AB

C ⇒ R = 2sin

AB

C= 6 2 3

． 2

= 2 ﹒

8.設△ABC 中﹐∠ A 的分角線交 BC 於 D﹐已知 AB = 3﹐AC = 5﹐∠ A = 120°﹐則 AD 的長為________﹒

解答 15 8 解析

由△ABC =△ABD +△ACD

⇒ 1

2．3．t．sin60° +1

2．5．t．sin60° =1

2．3．5．sin120° ⇒ 8t = 15 ⇒t =15 8 ﹒

9.圓內接四邊形 ABCD 中﹐若 AB = 6﹐ BC = 4﹐ CD = 6﹐∠B = 120°﹐則：

(1) AC = ____________﹒ (2) AD = ____________﹒ (3)四邊形 ABCD 的面積 = ____________﹒

解答 (1)10;(2)2 19 ;(3)21 3

解析 (1)圓內接四邊形 ABCD﹐∠ B = 120° ⇒ ∠ D = 60°﹐於△ABC 中﹐利用餘弦定理﹐

AC = 62 ²+ 4²− 2．6．4．cos120° = 76 ⇒ AC = 76 = 2 19 ﹒ (2)於△ADC 中﹐設AD = d﹐再用餘弦定理﹐

AC = 62 ²+ d ²− 2．6．d．cos60° ⇒ d ²− 6d − 40 = 0 ⇒ d = 10﹒

(3)四邊形 ABCD 之面積 =1

2． 6．4． 3 2 + 1

2．6．10． 3

2 = 21 3 ﹒

10.已知△ABC 內接於半徑為 R 的一個圓﹐且 AB = 2﹐ AC = 3﹐∠A = 120°﹐則：

(1) BC = ____________﹒ (2)R = ____________﹒

解答 (1) 19 ;(2) 57 3

解析 BC =2² ² + 3² − 2．2．3．cos120° = 4 + 9 + 6 = 19﹐∴ BC = 19 ﹐

(4)

cos120° = ² ² ( 19)² 2

R R

+ −

．． ⇒ −1

2 =

2 2

2 19 2 R

R

− ⇒ 3R² = 19﹐故 R = 57 3 ﹒ 11.已知圓內接四邊形 ABCD﹐ AB = BC = 3﹐ CD = 5﹐ DA = 8﹐則

(1)BD = ____________﹒(2) 四邊形 ABCD 面積= ____________﹒

解答 (1) 7;(2)39 3 4

解析 (1)利用餘弦定理﹐則

2 2 2

8 3 2 8 3 cos 5 3 2 5 3 cos BD

BD

α β

 = + − × × ×



 = + − × × ×







﹐

 =  ⇒ 64 − 48cosα = 25 − 30cosβ﹐

64 − 48cosα = 25 − 30(− cosα)（∵ α + β =

180°

）﹐

64 − 48cosα = 25 + 30cosα ⇒ cosα =1

2代入﹐

BD2= 8² + 3² − 2 × 8 × 3 ×1

2= 49﹐∴ BD = 7﹒

(2) 3 3 5 8 19

2 2

s= + + + =

圓內接四邊形 ABCD 面積

13 13 9 3 39 3

( )( )( )( )

2 2 2 2 4

s a s b s c s d

= − − − − = ⋅ ⋅ ⋅ =

12.四邊形的兩對角線長為 8 與 10﹐若兩對角線夾角為α β, ﹐且α =5β ﹐則此四邊形之面積為_____﹒

解答 20

解析 α β+ =180° ⇒6β =180° ⇒ = ° ﹐四邊形面積β 30 1

8 10 sin 30 20 2

= × × ° = ﹒

13.設 0°< α < 90° < β <180° ﹐且 sinα =13

14﹐sinβ =11

14﹐則 (1) cos(α − β ) = _____﹒(2) α − β = _______﹒

解答 (1)1

2;(2) − 60°

解析 ∵ 0°< α < 90° < β <180° ﹐且 sinα =13

14﹐sinβ =11

14﹐∴ cosα =3 3

14 ﹐cosβ = −5 3 14 ﹐ 故 cos(α − β ) = cosα cosβ + sinα sinβ =3 3

14 ( −5 3 14 ) +13

14．11 14= 98

196=1 2﹐

∵ −180° < − β < −90° ﹐且 0 < α < 90° ﹐∴ −180° < α − β < 0°﹐故α − β = − 60° ﹒

(5)

14.若 90° < <α 180 ,° −180° < < − ° ﹐且β 90 1 1 tan , tan

2 3

α = − β = ﹐則 (1) tan(α β− ) = ____________﹒(2)α β− 之值為____________﹒

解答 (1) 1− ;(2)315°

解析 90° < <α 180° ﹐ 180− ° < < − ° ⇒β 90 180° < − <α β 360° ﹐

1 1

( ) ( )

tan tan 2 3

tan( ) 1

1 tan tan 1 ( 1 1)( ) 2 3

α β

α β α β

− −

− = − = = −

+ + − ﹐ ∴α β− =315° ﹒

15.設 sin92° = a, cos48° = b, 以 a, b 表示： (1) sin140° = ___________﹒ (2) cos44° = ___________﹒

解答 (1)ab− 1−a² 1−b² ;(2)− b 1 a− ²+a 1 b− ²

解析 sin92° = a ⇒ cos92° = − 1 a− ² ﹐cos48° = b ⇒ sin48° = 1 b− ² ﹒

(1) sin140° = sin(92° + 48°) = sin92° cos48° + cos92° sin48° = ab − 1−a² 1−b² ﹒

(2) cos44° = cos(92° − 48°) = cos92° cos48° + sin92° sin48° = − b 1 a− ²+ a 1 b− ² ﹒ 16.cos316°sin164°− sin224°cos344°=____________﹒

解答 3 2

解析原式 = cos(360° − 44°) sin(180° − 16°) − sin(180° + 44°) cos(360° − 16°) = cos44° sin16° + sin44° cos16° = sin(44° + 16°) = sin60° = 3

2 ﹒ 17.以 x − cos40°除 f (x) = 3x − 4x³之餘式為____________﹒

解答 1 2

解析由餘式定理以 x − cos40°除 f (x) = 3x − 4x³的餘式為 f (cos40°)﹐

f (cos40°) = 3cos40° − 4cos³40° = − (4cos³40° − 3cos40°) = − cos(3×40°) = − cos120° = −( −1

2) =1 2﹒ 18.設 tan

2 θ ₌3

4﹐則 4cosθ + 3sinθ = ____________﹒

解答 4

解析原式 =

2

2 2

9 3

1 tan 2 tan 1 2

16

2 2 4

4 3 4 3 4

9 9

1 tan 1 tan 1 1

2 2 16 16

θ θ

−

− + = + =

+ + + +

．

．．．． ﹒

= 4 − 4 [64

+ 3．(−7 )．4

] =20

﹒

(6)

19.如圖所示﹐有一半徑為 1 的圓﹐圓上有四點 A ﹐ B ﹐ C ﹐ D ﹐若 10 CD=13﹐ 6

BC = ﹐ BAC5 ∠ = ﹐ CADα ∠ = ﹐則 sin(β α β+ )= ____________﹒

解答 ⁵⁶ 65

解析由正弦定理： 2 2

sin sin

CD BC

β ⁼ α ⁼ R^{= ﹐∴}

sin 3

α = ﹐5 5 sinβ =13 3 12 4 5 56 sin( ) sin cos cos sin

5 13 5 13 65

α β α β α β

⇒ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ﹒

20.設 tanA= ﹐ tan3 B= ﹐則5 sin( ) cos( ) A B A B

−

+

=

____________﹒

解答 1 7

解析 sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin

A B A B A B

− ⋅ − ⋅

+ = ⋅ − ⋅

cosAcosB

同除 tan tan 3 5 1

1 tan tan 1 15 7

A B

− −

= =

− − ﹒

21.設 90° < <θ 180° ﹐sin 2 5

θ = ﹐則 (1) sin2θ = ____________﹒ (2) cos2θ = ____________﹒

解答 (1) −4

5;(2) 3

−5

解析 90° < <θ 180° ﹐sin 2 5

θ = ⇒ cosθ = 1 5

− ﹒

(1) sin 2θ = 2sinθ cosθ = 2． 2 5

．( 1 5

− ) = −4 5﹒ (2) cos2θ = 1 − 2sin²θ = 1 − 2．( 2

5

)² = −3 5﹒ 22.設 90° < θ <180°﹐且 cosθ = −1

3﹐則 sin3θ + cos3θ = ____________﹒

解答 23 10 2 27

−

解析 90° < θ <180° ﹐cosθ = −1

3﹐∴ sinθ =2 2 3 ﹐

∴ sin3θ = 3(2 2

3 ) − 4(2 2

3 )³ = 10 2 27

− ﹐cos3θ = 4( −1

3)³ − 3( −1 3) =23

27﹐

∴ sin3θ + cos3θ =23 10 2 27

− ﹒

∴∠=° A 90 132 +=

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.09.27 範

圍

1-3、4 正、餘弦定理 和角公式

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

2 sin 75 6 2 2

sin 45 2 sin 75 2

sin 45 4 2

° = ° ⇒ =

° = × + × =

°

2 sin 60 3 2

sin 45 2 sin 60 2

sin 45 2 2

° = ° ⇒ =

° = × × =

°

1

+ 3

= 2

∴∠ = °

90

,

為銳角

;(4)

96 15

8 6

15 2 16 16 15

8

15 15

= ⇒ =

=

180°

13 13 9 3 39 3

( )( )( )( )

2 2 2 2 4

= − − − − = ⋅ ⋅ ⋅ =

=

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：100.09.27 範

1-3、4 正、餘弦定理和角公式

班級二年____班姓座號名