=° 90 ∠ ACB =° 90 AC = 7

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.10.25 班級

範

圍 2-2 空間座標系

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

1、( C ) 下列何者正確？ (A)點(2, 1, −3)在 x 軸的正射影坐標為(−2, 0, 0) (B)P(2, 1, −3)與 x 軸之距離為 2

(C)P(2, 1, −3)關於 xy 平面之對稱點坐標為(2, 1, 3) (D)P(2, 1, −3)到 xy 平面之距離為 10

(E)P(2, 1,−3)關於 z 軸的對稱點為(−2, −1, 3) 解析：

(A)（╳）：正射影為(2, 0, 0)。

(B)（╳）：距離= 1 9+ = 10。 (C)（○）。

(D)（╳）：距離= − = 。 3 3 (E)（╳）：對稱點為(−2, −1, −3)。

2、( AD ) (複選)△ABC之三頂點坐標為A(4,2,4), B(-2,-1,6), C(1,4,-2)，則△ABC為 (A)等腰 三角形 (B)正三角形 (C)銳角三角形 (D)直角三角形 (E)鈍角三角形

解析：

∵AB=7, 98BC= =7 2, CA=7 ∴△ABC 為等腰直角

3、( ^BC_D ) (複選)一長方體的長寬高三稜線分別平行x軸、y軸與z軸，若已知其中兩頂點坐 標為(3,-1,2), (1,4,5)，則下列那些點亦為此長方體的頂點？

(A)(3,1,2) (B)(1,-1,2) (C)(3,4,5) (D)(1,-1,5) (E)(-1,4,2) 解析：

∵三稜線分別平行 x 軸、y 軸、z 軸

∴八個頂點為(1,-1,2), (1,4,2), (3,-1,2), (3,4,2), (1,-1,5), (1,4,5), (3,-1,5), (3,4,5)

4、( ^AC_DE ) (複選)空間中三點A(0, 6, 1), B(5, −2, 4), C(3, 4, 7)，下列何者正確？

(A)AC= 7 (B)AB的中點(⁵

2, −4,³

2) (C)△ABC為等腰直角三角形 (D)∠ACB = °90 (E)△ABC面積 > 24

解析：

2 2 2

5 8 3 98

AB= + + = ；AC= 3²+2²+6² = 49；BC= 2²+6²+3² = 49

∴AB² = AC²+BC²，且 AC = BC , ∠C 90= °

△ABC 之面積 ^{7 7} 2

= × = 49

2 >24，AB中點(⁵ 2, 2,⁵

2) 。

5、( AC ) (複選)△ABC的三頂點坐標為A(5,3,-1), B(3,1,7), C(-2,0,1)，則△ABC為 (A)等腰三角形 (B)正三角形 (C)銳角三角形 (D)直角三角形 (E)鈍角三角形

第 1 頁

解析：

72, 62, 62

AB= BC= AC= ，∴△ABC 為等腰三角形

∵AB² <BC²+AC²，∴△ABC 為銳角三角形

二、填充題 (每題 10 分)

1、 設 P 點坐標(1,4,-2)，則 P 對原點之對稱點為_____________，P 對 yz 平面的對稱點為 ______________。

答案：(-1,-4,2); (-1,4,-2)

2、 設 A(3,5,-1)，A 到平面 xy 之距離為____________，A 到 x 軸之垂足為____________。

答案：1; (3,0,0) 解析：

A 到平面 xy 之距離= − = ，A 到 x 軸之垂足為(3,0,0) 1 1

3、 空間中，第一卦限內一點 P(a, b, c)到 x, y, z 軸的距離分別為 5, 34 , 41 ，求 ________________。

( , , )a b c = 答案：(5, 4, 3) 解析：

令 P(a, b, c),且a>0,b>0,c>0，∴

2 2

2 2

2 2

25 34 41 b c a c a b

⎧ + =

⎪ + =

⎨⎪ + =

⎩

⇒a²+b²+c² 1

(25 34 41) 50

=2 + + =

∴a² =25, b² =16, c² =9, ∴a= , 5 b= , 4 c= , ∴3 a b c+ + = 12

4、 空間中，ABCD 為正四面體，若 A(0,0,0), B(0,2,0), C( 3 ,1,0)，則 D 點坐標為___________

或_____________。

答案：( ³,1,^{2 6}

3 3 ); ( ³,1, ²

3 3

− 6 )

解析：

ABCD 為正四面體，設

∴

( , , ) D x y z

2 2 2

2 2 2

2 2 2

4...

( 2) 4...

( 3) ( 1) 4...

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =

⎪ + − + =

⎨

①−② ………..④

①−③

⎪ − + − + =

⎩

①

②

③ 0

4y− =4

2 3x+2y=4 ………⑤ 由④⑤①⇒ y=1, 1 2

3, 3 x= z= ± 2

，∴D( ³,1,^{2 6}

3 3 )或( ³,1, ^{2 6})

3 3

−

5、如圖，有蓋的長方體盒子內長AB= 公寸，寬5 AD= 公寸，高3 AE=2公寸 (1)一隻蜜蜂，欲從 A 點飛到 G 點，其最短距離為____________公寸，

第 2 頁

(2)一隻螞蟻欲從 A 點爬到 G 點，其最短距離為______________公寸。

答案： 38 ; 5 2 解析：

(1)最短距離為AG= 5²+ +3² 2² = 38公寸 (2)由 A 爬到 G 的較短距離共有 3 種情形，

第一種為以AE+EH為長，AB為寬之長方形對角線長。

第二種為以AD+DC為長，AE為寬的長方形對角線長，

第三種為以AB+BF為長，AD為寬的長方形對角線長，

但 (5 3)+ ²+2² > (5 2)+ ²+3² > (2 3)+ ²+5² ∴最短距離為5 2 公寸

6、 設有一線段AB，在 xy 平面、yz 平面與 xz 平面上的正射影的長度分別為 13 , 2 5 與 5，求線段AB之長度為____________。

答案： 29 解析：

將線段AB之A平移置於原點，且 B(a, b, c), AB= a²+b²+c²

∴在 xy 平面的投影長度的平方=a²+b² =13 在 yz 平面的投影長度的平方=b²+c² =20 在 xz 平面的投影長度的平方=a²+c² =25

∴ ^{2 2 2 1}(13 20 25) 29

a +b +c = 2 + + = ， ∴AB = 29

7、 如圖，ABCO-PQRS 為長方體，若 OA = 2, AB=3, OS = 4，求 Q 點坐標為_____________。

答案：Q(3, −2, −4) 解析：

設 Q(a, b, c), ∴a > 0, b < 0, c < 0，∴Q(3, −2, −4)。

8、 設空間中有三點 A(2,1,-2), B(4,-3,0), C(0,5,6)，在 xz 平面上有一點 P，使PA=PB=PC， 則 P 點坐標為何？

答案：(³, 0,¹⁷ 5 5 ) 解析：

設P a( , 0, )c ∵PA

∴ ( ，∴

PB PC

= =

2) 1 ( 2) ( 4) 9 25 ( 6) a− ²+ + +c ² = a− ²+ +c² =a²+ + −c ²

第 3 頁

3

a=5, ¹⁷

c= 5

∴P(³, 0,¹⁷ 5 5 )

9、試求 A(1, 8, −5),B(−3, −4, 1)兩點的距離=____________________。

答案：14 解析：

2 2

( 3 1) ( 4 8) (1 5) AB= − − + − − + + ² = 4²+12²+6² =2 2²+6²+3² = × =2 7 14

第 4 頁