2-2 三角函數的應用【習題】

(1)

2-2 三角函數的應用

【習題】

1. 求下列各函數的最大值與最小值﹕(1)

y

 3 sin

x

cos

x

﹒(2)y  12sinx  5cosx﹒

解答　(1)最大值為 2﹐最小值為  2;(2)最大值為 13﹐最小值為  13

　解析　(1)因為 3 1

3 sin cos 2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )

2 2 6 6 6

y

_

x

_

x

_

x

_

x

_

x 

_

x 

_

x

_



_﹐

　所以

y 的最大值為 2

﹐最小值為  2﹒

(2)因為 12 5

12sin 5cos 13( sin cos ) 13(sin cos cos sin )

13 13

y



x



x



x



x



x 



x 

 13sin(x 



)﹐

　其中 12

cos



13﹐ 5 sin



13﹐

　所以

y 的最大值為 13

﹐最小值為  13﹒

2. 求函數

y

3sin

x

 3 cos

x

 在下列各範圍內的最大值與最小值﹐並求其對應的 x 值﹒2 (1)0  x  2



﹒(2)0  x 



﹒

　解答　(1)當

x 

3

 時﹐最大值 2 3 2 ﹐當 4

x

_ 3



時﹐最小值 2 3 2  ;

(2)當

x 

3

 時﹐最大值 2 3 2 ﹐當 x 



時﹐最小值 3 2 　解析　先將函數化為正弦函數﹐得

3 1

3sin 3 cos 2 2 3( sin cos ) 2 2 3(sin cos cos sin ) 2

2 2 6 6

y

_

x

_

x

_{ }

x

_

x

_{ }

x 

_

x 

_

2 3 sin( ) 2

x 

6

   ﹒

(1)因為 0  x  2



﹐所以 13 6

x

6 6



_{ }



_



_﹒

　當

x

_

 

6 _ 2 _﹐即

x 

3

 時﹐y 有最大值 2 3 1 2 2 3 2    ﹒

　當 3

6 2

x

_



_



_﹐即 4

x

_ 3



_時﹐

y 有最小值 2 3 ( 1) 2

    2 3 2 ﹒

(2)因為 0  x 



﹐所以 7 6

x

6 6



_{ }



_



_﹒

　當

x

_

 

6 _ 2 _﹐即

x 

3

 時﹐y 有最大值 2 3 1 2 2 3 2    ﹒

　當 7

x

_



_



_﹐即

x  

時﹐y 有最小值 1

2 3 (  ) 2   3 2 ﹒

(2)

3. 在 0  x  2



範圍內﹐求函數 2sin( ) 2cos

y

_

x

_



6 _

x

_{的最大值與最小值﹒}

　解答　最大值 2﹐最小值  2

　解析　先利用和角公式把 2sin( )

x

_



6 _展開﹐得

3 1

2sin( ) 2cos 2(sin cos cos sin ) 2cos 2( sin cos ) 2cos

6 6 6 2 2

y

_

x

_



_

x

_

x 

_

x 

_

x

_

x

_

x

_

x

3 sin

x

cos

x

  ﹒

再化成正弦函數﹐得 3 1

2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )

2 2 6 6 6

y

_

x

_

x

_

x 

_

x 

_

x

_



_﹒

因為0  x  2



﹐所以 11 6

x

6 6

  

    ﹒

當

x

_{  ﹐即}

 

6 2 2

x

_ 3



時﹐y 有最大值 2﹒

當 3

6 2

x

_



_



_﹐即 5

x

_ 3



時﹐y 有最小值  2﹒

4. 在 0  x  2



範圍內﹐求方程式 cos

x

 3 sin

x

 的解﹒1 　解答　4

3



_或 0

　解析　將方程式的左式化成正弦函數的形式﹐得

3 1

cos 3 sin 2( sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )

2 2 6 6 6

x

_

x

_{ }

x

_

x

_{ }

x 

_

x 

_{ }

x

_



_﹒

代回原方程式﹐得 2sin( ) 1

x 

6

   ﹐即 1

sin( )

6 2

x

_



_{  ﹒}

因為0  x  2



﹐即 11 6

x

6 6

  

    ﹐所以 7

6 6

x

_



_



_或

6

 ﹐解得



4

x

_ 3



_或

0﹒

5. 關於函數 1

( ) (sin cos )

y



f x

2

x



x

的圖形﹐選出正確的選項﹕　(1)週期為



(2)振幅為 2 　(3)與 y 軸的交點 為 1

(0, )

2 　(4)與 x 軸有無限個交點　(5)對稱於 y 軸﹒

　解答　34

　解析　因為 1 2 1 1 2

(sin cos ) ( sin cos ) (sin cos cos sin )

2 2 2 2 2 4 4

y

_

x

_

x

_

x

_

x

_

x 

_

x 

　　 2

sin( ) 2

x 

4

  ﹐

(3)

所以將

y  sinx 的圖形向左平移

4



_{單位﹐再將振幅縮小為} 2

2 ﹐就得到 2

sin( )

2 4

y

_

x

_



_的圖形﹒

(1)週期為 2



﹒ (2)振幅為 2

2 ﹒

(3)當 x  0 時﹐ 2 2 2 1 2 sin4 2 2 2

y

_



_ _  ﹒因此與 y 軸的交點為 1 (0, )

2 ﹒ (4)由上圖知與 x 軸有無限個交點﹒

(5)因為以 y 軸為折線﹐對折後左右圖形不重合﹐所以函數圖形不對稱於 y 軸﹒

故選(3)(4)﹒

6. 已知 P(x,y)為圓 x²  y²  6x  2y  9  0 上的點﹐求 x²  y²  2y 的最大值﹒

　解答　15

　解析　因為 P 為圓(x  3)²  (y  1)²  1 上的點﹐所以可設 P(3  cos



,1  sin



⁾﹐0 



 2



﹒ 於是

x

²  y²  2y  (3  cos



⁾²  (1  sin



⁾²  2(1  sin



⁾

　　　　　　　 9  6cos



 cos²



 1  2sin



 sin²



 2  2sin



 9  6cos



﹐ 故

x

²  y²  2y 的最大值為 9  6  1  15﹒

7. 已知正方形的邊平行坐標軸﹐且內接於橢圓 ² ² 1 4 9

x



y

 ﹐求此正方形的面積﹒

解答　144 13

　解析　如圖所示﹐設此正方形在第一象限的頂點 P 之坐標為(2cos



,3sin



)﹐ 0 

 

﹒

(4)

因為是內接正方形﹐所以由橢圓的對稱性﹐

得2cos



 3sin



 sin 2 tan cos 3

 





 ﹐即 3 2 6 6

(2 ,3 ) ( , )

13 13 13 13

P

  

P

﹒

故此正方形的面積為 6 ² 144 4( )

13  13 ﹒

8. 已知 P 為橢圓



^： ² ² 1 9 4

x



y

 上一點﹐求點 P 到直線 L：x  2y  10  0 的最短距離及此時 P 點的坐標﹒

　解答　 5 ﹐ 9 8 ( , )

5 5

　解析　因為 P 為橢圓



^： ² ² 1 9 4

x



y

 上的點﹐所以可設 P(3cos



,2sin



)﹐0 



 2



﹒

利用點到直線的距離公式﹐得

P 到直線 L 的距離為

2 2

| 3cos 2 2sin 10 | | 4sin 3cos 10 | 1 ( 2) 5

d





 



  









  ﹒

因為 4 3

4sin 3cos 5( sin cos ) 5sin( )

5 5

     

        ﹐其中 4

cos



 ﹐5 3 sin



 ﹒5

所以

P 到直線 L 的最短距離為 d 的最小值

| 5 10 | 5 5 5 5

    ﹐

此時 2 2

 

 

     ﹐得 P 點的坐標為

 

9 8

(3cos( ),2sin( )) ( 3sin , 2cos ) ( , )

2 2 5 5





 





 

 

  ﹒

9. 求 3 1 sin 20 cos 20

 的值﹒

　解答　4

　解析　原式 3 1

2( cos 20 sin 20 )

3 cos 20 sin 20 2 2 2(sin 60 cos 20 cos60 sin 20 ) sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20

  

       

  

     

2sin(60 20 ) 2sin 40 1 4 sin 20 cos 20 sin 40

2

   

  

   ﹒

(5)

10. 如圖是函數 y  asinx  bcosx 圖形的一部分﹐求(1)此函數的週期﹒(2)實數 a﹐b 的值﹒

　解答　(1)2



^;(2)

a

 3﹐b   1 　解析　(1)由圖知﹐週期為 5 2

2( ) 2

3 3











﹒

(2)因為過點(0,  1)與 2 ( ,2)

3



﹐所以

sin 0 cos0 1

2 2

sin cos 2

3 3

a b

a  b 

  



  



1 3 1 2 2 2

b

a b

  

 

 



　解得

a

 3﹐b   1﹒

11. 欲在一半徑為 50 公尺的圓形池塘上建造一座「T」字型的木橋（如圖所示﹐ DC 垂直 AB 於 C 點﹐且 AC CB

）﹒問這木橋的總長最長為多少公尺﹖

　解答　 50 5 50

　 解析　設 O 為圓心﹐連接 AO ﹒令COA  x﹐得

AC

50sin

x

﹐

OC

50cos

x

﹐ 所以木橋的總長為

2 50sin 50cos 50 50(2sin cos ) 50

AB CD

  

x



x

 

x



x



　　　　 2 1

50 5( sin cos ) 50 50 5(sin cos cos sin ) 50

5

x

5

x x  x 

     



  

(6)

其中 2

cos



 5 ﹐ 1

sin



 5 ﹒故木橋最長為 50 5 50 （公尺）﹒

12. 已知函數 y  sinx  acosx 的圖形對稱於直線 5

x

_ 3



_﹐求實數

a 的值﹒

　解答　 3

 3

　解析　因為直線 5

x

_ 3



通過圖形的最高點或最低點﹐所以

2 2

5 5 3 1

sin cos 1 1

3



_

a

3



_{  }

a

_{ } 2 _2

a

_{  }

a

_﹒

兩邊平方﹐得3 3 1 ² ²

4 2

a

4

a

 1

a

﹐ 即3

a

²2 3

a

  1 0 ( 3

a

1)² ﹒0

解得 3

a

  3 ﹒

2-2 三角函數的應用 【習題】

y

x

x

y

x

x

x

x

x 

x 

x



y 的最大值為 2

y

x

x

x

x

x 

x 







y 的最大值為 13

y

x

x





x 

x



x 



y

x

x

x

x

x 

x 

x 



x







x

 

x 

x





x



y 有最小值 2 3 ( 1) 2



x







x

 

x 

x





x  



y

x



x

x



y

x



x

2-2 三角函數的應用【習題】