5 波動

5 波動

A sand scorpion

5.1 波與粒子

 波的類型

 機械波

 governed by Newton’s laws, exist only within a material medium ( 介質 )

 電磁波

 governed by Maxwell’s laws, require no material medium to exist

 all travel at c = 299,792,458m/s

5.2 橫波與縱波

transverse

 displacement wave ⊥ ( 橫波 )

longitudinal

 displacement wave ∥ ( 縱波 ₎

脈 波

、 正 弦 波 與 縱

沙蠍的定位

s m

s d m

v d v

t d

l t









 )

/ 150

1 /

50 ( 1

一維波函數具有兩個變數 :

) sin(

) ,

(x t y kx t

y  _m  

5.3 波長與頻率

瞬間快照

kx y

x

y( ,0)  _m sin

Snapshot at t = 0 (or any other instant)

y = y(t) at a fixed position

t y

t y

t

y(0, )  _m sin( )   _m sin

定點變化



 

  2  k  ² k

• Why picking the sine wave ？

• Need a videotape to show it in real time.

• Wavelength and angular wave number – wavelength (λ):

• Angular wave number(k):

) sin(

) (

sin

sin kx₁ y k x₁  y kx₁ k

y_m  _m   _m 

波長 λ 與角波數 k

Period, angular frequency, and frequency f

) sin(

) (

sin sin

1 1 1

T t

y

T t

y t

y

m m m



























 

2 , 1

2  

 f T

T

週期 T 與角頻率 ω

5.4 行進波的波速

The wave speed

dt v  dx

T f v k

dt k dx t

kx

 





















0 constant,

a

Traveling Wave

A left-going wave

- k v

t kx

y t

x

y( , )  _m sin(   ), = 

例一 A sinusoidal wave

) 72 .

2 1

. 72 sin(

000327 .

0 )

, (

t x

t x y







) sin(

) ,

(x t y kx t

y  _m 

y a

t kx

t y a u

t kx

t y u y

t kx

y t

x y

m y

m m

2

2 sin( )

) cos(

) sin(

) , (





 





 































例二 橫向速率與加速度

R

F l



 2 sin  (2 ) =  由牛頓第二定律推導

5.5 繩波的波速

v v l

R a v

l m

R l F

 





















 









 



2

2

l

,

= ) 2

(

sin 2

繩波的波速– II

l₂  2l₁ , ₂  4₁

1 2

2 1

2 2

1 1

2 2

/ /

=

/

=

v v

v v v v







  









例三 山難救援

2 1

1 2

2 1

2 2

1 1

2 2

/

/

=

/

=

v v v

v

v v







  









2 2 2

2 2

2 1

1 2

5

2

2 /

= v

l d

v

d l

v l

v

d l

v l t d





 

 





山難救援– II

5.6 能量與功率

動能與彈性位能

) (

cos )

)(

2 ( 1

) cos(

2 1

2 2

2

t kx

y dx

dK

t kx

t y u y

dmu dK

m m





















 

 



能量傳遞率

2 2

2 2 2

2 2

2 2 1

4 ) 1

( 2 cos

1

m

m m

y dt v

P dK

y v

t kx

y dt v

dK















 



 



 







) (

cos )

)(

2 (

1 _{2 2}

t kx

y dx

dK    _m  

能量傳遞率– II

) , ( )

, ( )

,

(x t y₁ x t y₂ x t

y  

• Fourier Analysis

1 sin3 1 sin2

1 sin )

(t   t  t  t  

y 

 

 



• The Principle of Superposition for Waves

5.7 波的重疊原理

例四 鋸齒波

鋸齒波– II

• 合成波

) sin(

) , (

) sin(

) , (

2 1

















t kx

y t

x y

t kx

y t

x y

m m

) , ( )

, ( )

,

(x t y₁ x t y₂ x t

y  

) 2 (

cos 1 )

2 ( sin 1 2

sin sin

) sin(

) sin(



































 y_m kx t y_m kx t

5.8 波的干涉

) sin(

)

sin(kx  t  y kx  t  

y_{m m}









2 cos 1 2

2 ) sin( 1

2 ] cos 1 2

[ )

, (

m m

m

y y

t kx

y t

x y

 





 

完全建設性與完全破 壞性干涉

180

=

0 )

, (

0

=

) sin(

2 )

, (







 



 

t x y

t kx

y t

x

y _m

2 

cos 1 2 _m

m y

y 

同相與異相

(exactly in phase/out of phase)

• 節點 / 反節點 node/antinode

5.9 駐波

) sin(

) , (

) sin(

) , (

2 1

t kx

y t

x y

t kx

y t

x y

m m













) , ( )

, ( )

,

(x t y₁ x t y₂ x t

y  

) sin(

)

sin(kx t y kx t

y_m    _m  



t kx

y t

x

y( , )  [2 _m sin ]cos

數學分析

t kx

y t

x

y( , )  [2 _m sin ]cos

















n x

n kx

, , ,

= n n x

n kx

2 2)

( 1

= 2)

( 1

2 1 0

2

=

 

 

數學分析– II

在邊界反射之相位變化

5.10 駐波與共振

A string of length L

n: harmonic number







 n= , , ,

L n v

f v n

L 0 1 2

2

= 2

 

例五 共振例

例六 波長與張力的實驗

敬請期待

物理 VI– 聲波