Birch 與 Swinnerton-Dyer 猜測
一一 價值百萬美金的數學謎題
余文卿
英國的克雷數學研究所 (Clay Insti- tute of Mathematics) 於 2000 年五月底在 巴黎舉行記者發表會, 提出數學上急切需要 解決的七個難題, 並提供百萬美金的獎金給 解決其中之一問題的人。 現討論其中之一的 Birch 與 Swinnerton-Dyer 猜測。 根據網 路所下載的資料如下:
數學家一直著迷於像求代數方程式 x2+ y2 = z2
的所有整數解的問題。 歐基里德 (Euclid) 曾給出這方程式的完全解。 對於較複雜的方 程, 求解變成困難的問題。 事實上, Yu V.
Matiyasevich 於 1970 年證明了 Hilbert 的 第十個問題無解, 即當這類方程式有整數解 時, 判別有無整數解的方法是不存在的。 但 在一些特殊情形, 我們會額外有所寄望。 當解 形成一交換曲體 (abelian variety) 上的所 有點時, Birch 與 Swinner-Dyer 猜測斷言 有理點的個數與附於曲線上面的 zeta 函數 ζE(s) 在 s = 1 的取值有關。 特別是這猜測
斷言, 若 ζE(1) = 0, 則 E 上有無窮多個有 理點 (方程式有無窮多個有理解), 且反過來, 若 ζE(1) 6= 0 則只會有有限多個這類有理 點。
1. 猜測的進一步說明與證據
因問題的對象是一般的大眾, 故說明中 未用上很多的專業術語。 現加以補充說明, 這 裡所指的交換曲體應是橢圓曲線, 其一般方 程式為
y2 = ax3+bx2+cx+d, a, b, c, d 是整數。
這方程式的複數解形成一加法群, 加上無窮 遠點後會同構於
C
/L, 其中 L 是C
上的方 格點:L =
Z
w1+Z
w2設 p 是一質數, 考慮橢圓曲線在有限體 Fp =
Z
/pZ
的點個數, 而得出附在 E 上的 Hasse- Weil zeta 函數為ζE(s) =
Y
p|NE
(1 − app−s)−1
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卷2
期 民91
年6
月·
Y
p∤NE
(1 − app−s+ p1−2s)−1 其中 NE 是 E 的引導子 (conductor), 是 E 上一些壞因子的乘積, 只限於有限多個, 而 1 + p − ap 是 E 在有限體 Fp 的元素個數。
知道橢圓曲線上的 Hasse-Weil zeta 函 數後, 我們重新敘述原先的猜測如下:
猜測 (B. J. Birch 與 H. P. F. Swin -nerton-Dyer): ζE(1) = 0 ⇔ E 具有無窮 多個有理點。
上面這猜測稱為“弱性 Birch 與 Swinner- ton -Dyer 猜測”。 因為原先於 1963 年提出 的猜測尚包括下列幾點:
(a) ζE(s) 在 s = 1 的零點重數等於E(
Q
) (有理點所形成的交換群)的階數(rank)。(b) ζE(s) 在 s = 1 的泰勒展開式的第一個 非零係數有明顯的表現式。
對具有複數乘法 (complex multipli- cation) 的橢圓曲線, 其 zeta 函數可做解析 延拓並滿足泛方程式, 而有底下的結果。
定理(J. Coates∗ 與 A. Wiles): 設 E 是定義於
Q
的橢圓曲線且 E 具有複數乘法。若 E 有無窮多個有理點, 則 ζE(1) = 0。
另一方面, 具模的橢圓曲線稱為模型曲 線, 這類曲線的 zeta 函數是權為 2之模型式 的 Mellin 轉換, 自然具有解析延拓與泛方程 式, 而有底下的已知結果。
定理(Gross 與 Zagier): 若 E 是定義 於
Q
的橢圓曲線, ζE(1) = 0 且 ζE′ (1) 6= 0, 則 E(Q
) 的階數至少為 1。有名的谷山−志村猜測 (Tanigama- Shimura Conjecture) 斷言每一橢圓曲線都 是模型曲線, 而這猜測已得到證實 (1999), 而猜測的特殊情形也被 Wiles 用於費馬最後 定理的證明。 無論如何, 現在問題的困難度已 縮減, 完全沒有解析延拓與泛方程式的問題。
2. 定義於複數的橢圓曲線
給定複數平面上的方格點 L =
Z
w1 +Z
w2, 其中 0, w1, w2 在複數平面上所表示 的三點不共線, 現欲建構一橢圓曲線 E, 使 E ∼=C
/L, 採取的方式是考慮雙週期函數℘(z) = 1
z2+
X
λ∈L,λ6=0
( 1
(z−λ)2− 1 z2) 這級數在
C
上的任一緊緻集上絕對收斂, 而 定義C
上的半純函數 (meromorphic func- tion), 這函數滿足℘(z + w1) = ℘(z) 且℘(z+w2) = ℘(z) 是一典型的 雙週期函數 。 在 z = 0 附近,
℘(z) 的展開式為
℘(z) = 1
z2 + 3G4z2+ 5G6z4+ . . . +(2n + 1)G2n+2z2n+ . . . 其中
Gk(w1, w2) = Gk(L) =
X
λ∈L,λ6=0
λ−k
=
X
(m,n)6=(0,0)
(mw1+ nw2)−k
*即是本期 「有朋自遠方來」 專訪的John Coates教授
Birch
與Swinnerton-Dyer
猜測37
是 Eisenstein 級數, Gk(z) = Gk(z, 1) 是 權為 k 的模型式, 即對
"
a b c d
#
∈ SL2(
Z
),Gk(az + b
cz + d) = (cz + d)kGk(z).
現把 ℘(z) 的展開式逐項對 z 微分得
℘′(z) = −2
z3 + 6G4z + 20G6z3 +42G8z5+ · · ·
因而
h
℘′(z)i
2= 4z6 − 24G4 1
z2 − 80G6 +(36G24− 168G8)z2+ · · ·
h
℘(z)i
3= 1z6 + 9G4 1
z2 + 15G6 +(21G8+ 27G24)z2+ · · · 觀察到
H(z)=
h
℘′(z)i
2−h
4℘3(z)− 60G4℘(z)−140G6
i
是 z 的解析函數且依然是雙週期函數, 必是 常數, 而得出
h
℘′(z)i
2= 4℘3(z)−60G4℘(z)−140G6 表示點 (℘(z), ℘′(z)) 落在橢圓曲線y2 = 4x3 − 60G4x − 140G6
上。 把 (℘(z) , ℘′(z)) 視為 上的點 (℘(z), ℘′(z) , 1) 而定
z → (℘(z), ℘′(z), 1) 這建立了
C
/L 與橢圓曲線E : y2 = 4x3− 60G4x − 140G6
在 上點的一一對應關係。
對於兩條橢圓曲線 E =
C
/L 與 E′ =C
/L′。 其中L =
Z
w1 +Z
w2, L′ =Z
w′1+Z
w′2. 定 z = ww12, z′ = w
′ 1
w′2
, 則 E ∼= E′ 的充要條 件是存在
"
a b c d
#
∈ SL2(
Z
), 使得 az + bcz + d = z′.
另一方面, 像 E =
C
/L, L =Z
i +Z
, 乘上 i 把 L 映至本身, 而對應到 E 的一自同構, 這 樣的 E 稱為具複數乘法。 又如, E =C
/L, L =Z
w +Z
, w = e2πi3 也具有複數乘法。 絕 大多數的橢圓曲線不具複數乘法。3. 定義於有限體上的橢圓曲線
設 Fq 是一具有 q 個元素的有限體, 當 然這裡的 q 一定是某一質數 p 的正整數冪 次, q = pn, 定義於 Fq 的橢圓曲線 E 的方 程式為
E : y2+ a1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4+ a6
固定每一 x 的值, y 至多有兩個解, 因而解 的個數至多是 2q + 1 個, 但任一隨機的二 次方程式, 有50% 的機會沒有實數解, 因而 解的個數約為 q + 1 個。 底下的定理來自 E.
Artin 的猜測而被 Hasse 於 1930 年左右得 到證明
定理(Hasse): 設 E 是定義於 Fq 的橢 圓曲線, #E(Fq) 表示曲線上點的個數, 則
|#E(Fq) − q − 1| ≤ 2√q
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期 民91
年6
月設 Fqn 是 Fq 的 n 次擴充體, 附著於 E 的 zeta 函數定義為
Z(E/Fq; T ) = exp{
∞
X
n=1
(#E(Fqn))Tn n } Weil 猜測到這函數是 T 的有理數且已 得到證實, 即
Z(E/Fq; T ) = 1 − aqT +qT2 (1 − T )(1 − qT ) 其中 q + 1 − aq =#E(Fq)。
現附於橢圓曲線 E 上的 Hasse-Weil zeta 函數就是以 Z(E/Fq; T )為根據的 zeta 函數, 定為
ζE(s)=
Y
p|NE
(1−app−s)−1
Y
p∤NE
(1−app−s+p1−2s)−1 其中 NE 是 E 的引導子, 是一些使 E/Fp
具有節點 (node) 或尖點 (cusp) 之質數 p 的冪次方乘積。
4. 結語
相較於里曼假設, Hodge 猜測, Poin -car´e 猜測等難以捉摸的難題, Birch 與 Swinnerton-Dyer 猜測算是較具體的, 尤其 谷山一志村猜測已得到證明, 考慮的對象就 是模型曲線。 但若像網路上所提的交換曲體, 那問題又另當別論了。
