勾股定理證明-G170

(1)

勾股定理證明-G170

【作輔助圖】

1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE，以AC為邊，向內作一正方形ACFG。 2. 連接GE（由證明過程第 1 點可知F G E  三點共線）。

3. 延長AC作AH BC。

4. 連接HE，在HE上作HI BC；連接IB並與AG交於J點形成正方形AHIJ（G169 已說明四邊形AHIJ為正方形）。

5. 從D點作DK垂直IB，交EF於L點。

6. 從H點作AB的平行線交BD於M 點，且HM 交AE於N 。 7. 從C點作CO垂直HM 。

C

A B

E D

F

G H

J I

K M

N

O L

【求證過程】

由作圖可將正方形ABDE的面積分割為為兩矩形之和，接著運用圖形等底同高則面積相等的性質，說明這兩個矩形與另外兩個正方形的關係，即可推得勾股定理關係式。

1. 證明三角形AEG全等於三角形ABC，並推得F G E  三點共線：

因為EAG BAG 90 , CAB BAG 90 , 所以EAG CAB. 因為前述 EAG CAB

   , 及AEAB, AG AC, 所以 AEG ABC

   (SAS 全等),

由上述結論可推得AGE AGF   90 90 180, 因此F G E  三點共線。

2. 證明三角形EDL全等於三角形ABC：

(2)

因為DLEL, 所以ELD   90 ACB, 因為DL//BC, DE//AB, 所以EDL

ABC. 因為DEAB, 及前述ELD   90 ACB, EDLABC, 所以 EDL ABC

   (AAS 全等).

3. 由圖形可知

ABMN=AB BM = ABKH, 另外因為平行四邊形ABKH以BK為底邊，則HI為高，推得

ABKH=BK HI  AHBC, 且由作圖過程可知AH BC, 所以

ABKH=AHAH AHIJ, 綜合上述可得

ABMN= ABKH= AHIJ. 4. 由圖形可知

DENM=DE DM = DEHK, 另外平行四邊形DEHK以DK為底邊，則EL為高，推得

DEHK=DKEL;

因為四邊形CFEH為一矩形, 所以EH CFAC, 且DK EH, 所以DK AC, 因為前述 DEHK=DKEL, DK AC, 及由第 2 點可知ELAC, 所以

DEHK=DK EL AC AC =   ACFG, 綜合上述可得

DENM= DEHK= ACFG. 5. 由圖形可知及前述第 3, 4 點結論可得：

(3)

, ABDE ABMN DENM

ABKH DE

ABD HK

AHIJ A E

ABDE CFG

 

即

. ABDE AHIJ  ACFG 6. 整理第 5 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：

因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形ACFG邊長為AC, 正方形AHIJ邊長為BC, 所以由第 5 點結論可推得

2 2 2

AB BC AC , 即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1899). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 6(2), 33-34.

2. 心得：此證明圖形雖看起來較複雜，用到的概念卻只是小學即學過的圖形間等底同高的面積關係，但由於圖形複雜因此仍算較進階的證明，此類證明圖形可加強學生的幾何概念，並藉此體會勾股定理的背後面積概念；輔助線中的

CO

在證明過程中並沒有使用到，可省略。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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