110 年度師資培育之大學數學領域教學研究中心 結合數位科技的數學概念研究計畫─教學動畫影片研發
教師： 蘇麗敏
課程名稱 向量線性組合與克拉瑪公式的幾何意涵 設計理念
(授課年級、
學習目標等)
1. 授課年級與時數：11 年級數 A 課程。
2. 教學目標：
藉由動畫呈現二元聯立方程組與向量線性組合概念的幾何呈現，連結到平行四 邊形面積，進而推導出克拉瑪公式。
教學大綱
1. 理解線性組合的意涵
藉由動手畫畫看，理解平面上任一向量皆可表為不平行兩向量的線性組合。
2. 二元聯立方程組與線性組合的關係
將二元聯立方程組轉換成向量線性組合表示，因此方程組的求解相當於求線性組合表示法。
3. 透過觀察動畫影片，理解克拉瑪公式
學生由動畫影片的陳述，理解求線性組何表示法可轉換為平行四邊形面積的比例，平行四邊形 面積又可以行列式表之，進而理解克拉瑪公式。
4. 克拉瑪公式幾何意涵
透過作業練習，讓學生再一次體會克拉瑪公式的幾何意涵，加強內化概念。
課程學習單
學習單一：線性組合練習。
學習單二：克拉瑪公式幾何意涵練習。
附錄(一)：線性組合學習單
【性質】若 a, b 不平行，則平面上任一向量皆可表為 a, b 的線性組合，即任給向量 c ，存在 實數 ,x y ，使得 c = x a+y b ，且x, y 為唯一的實數。
問題 1. 請依「向量線性組合」影片中的方法，將 c 表為 c =x a+ y b ，畫出x a 及 y b 。
問題 2. a =( , ) ,2 1 b =( ,3 1− ), c =( , ) ，因為 a0 5 , b 不平行，所以存在唯一的
實數 x, y，使得 c =x a+ y b ，試在下列平面上，畫出x a 及 y b 並求出 x,y 值。
圖三
附錄(二)：克拉瑪公式幾何意涵學習單
【概念說明】將二元聯立方程式 3 2 3 5 4 16
x y x y
− =
+ =
以向量表示。
設 a =( , ) ,3 5 b = −( 2 4, ), c =( ,3 16) ，則 x a +y b = c ， 即x(3, 5)+ −y( 2, 4)=(3,16) ，其中 x 與 y 的解即為 3 2 3 5 4 16
x y x y
− =
+ =
的解，
我們稱這個二元聯立方程式的向量表示法為 x a+y b = c 。
問題 1.試說明「克拉瑪公式幾何意涵」影片中，藍色平行四邊形面積為何與紅色平行四邊形面積相 等？
答：
問題 2. 「克拉瑪公式幾何意涵」影片中，若 a =( , ) ,3 5 b = −( 2 4, ), c =( ,3 16) ，請以行列式表示 下列平行四邊形的面積。
(1) a, b (黃色)所形成的平行四邊形面積為 。 (2) x a, b (藍色)所形成的平行四邊形面積為 。 (3) c , b (紅色)所形成的平行四邊形面積為 。
(4) 請將 x 寫成哪兩個行列式的比值 。
問題 3.請依「克拉瑪公式幾何意涵」影片的方法，若 a =( , ) ,3 5 b = −( 2 4, ), c =( ,3 16) ，畫出 y 可以表為哪兩塊平行四邊形的面積的比值，並將 y 以兩個行列式的比值表示。
