混凝土軟化模式對輕質骨材鋼筋混凝土深梁剪力強度之影響

混凝土軟化模式對輕質骨材鋼筋混凝土深梁剪力強度 之影響

林文山

中華科技大學建築系

摘 要

本研究以不同之混凝土軟化組成律，利用軟化壓拉桿評估常重混凝土 (NWC) 與輕質骨材混凝土 (LWC) 之深梁剪力強度，並且以混凝土之峰值應 變與彈性模數為參數，討論其參數對不同混凝土軟化組成律造成剪力強度評估 結果之差異性。研究結果顯示，無論是 NWC 或 LWC，以 Zhang 和 Hsu、Belarbi 和 Hsu、Vecchio 和 Collins 之 Model A、Ueda 等人、簡算法，所建議之軟化組 成律可以有效掌握不同混凝土強度及跨深比對深梁之剪力強度行為，但評估 LWC 時，上述軟化組成律之軟化係數需折減為 NWC 之 0.85 倍，否則會有些 許安全之疑慮。利用上述五種軟化組成律，在混凝土峰值應變可能變化內 (0.7

ε₀

~1.3

ε₀

)，其評估剪力強度比之變異性，只有在 3%以內；在彈性模數可能 變化內 (0.8E

c

~1.1E

c

) 其評估剪力強度比之變異性，約在 7%以內，且 NWC 評 估結果偏向安全側 (實驗值大於評估值)，LWC 經過修正後 (軟化係數為 NWC 之 0.85 倍) 評估結果亦偏向安全側，這顯示如果用上述之五種軟化組成律評估 深梁之剪力強度，其混凝土峰值應變、彈性模數之變異性，對其評估之結果是 可以接受的。

關鍵詞：輕質骨材混凝土，軟化模式，剪力強度，壓拉桿模式。

EFFECT OF SOFTENED MODEL OF CONCRETE ON SHEAR STRENGTH OF LIGHTWEIGHT CONCRETE DEEP BEEMS

Wen-Shan Lin

Department of Architecture China University of Science and Technology

Taipei, Taiwan 11581, R.O.C.

Key Words: lightweight concrete, softened model, shear strength, strut and

tie model.

ABSTRACT

This paper presents the results of using a softened strut-and-tie model

with different softened constitutive laws of concrete to predict the shear

strength of normal weight concrete (NWC) deep beams and light weight

concrete (LWC) deep beams. In addition, 2 parameters, the peak strain

and the modulus of concrete, were reviewed because of their impact on the

prediction of shear strength based on different softened constitutive laws of

concrete. The results of the predictions show that the softened constitute

laws of concrete proposed by Zhang and Hsu, Belarbi and Hsu, Vecchio

and Collins [Model A], Ueda et al. and the simplified method can well predict the shear strength of the LWC deep beams or NWC deep beams with different concrete strengths and shear span ratios. However, the softening coefficient must be decreased to 0.85 while evaluating the LWC, otherwise there might be safety concerns. With the peak strain range falling between 0.7 ε

₀

and 1.3 ε

₀

, the predicted shear strength of deep beams resulted in variations in ratio of the shear strength that are equal to or differing by less than 3%, calculated based on 5 different types of softened constitutive laws of concrete mentioned above. If the modulus of concrete ranges between 0.8 E

c

and 1.1 E

c

, the predicted shear strengths of deep beams will be equal to or vary less than 7%. Such prediction results indicate that it is safe to accept these numbers. If the softening coefficient is decreased to 0.85 while evaluating the LWC, the result of the prediction also indicates that it is safe. These results indicate that by using the 5 different types of softened constitutive laws of concrete mentioned above to evaluate the shear strength, the variation of the peak strain and the modulus of the concrete shows that the results of the predictions are reasonable.

一、前 言

近年來，輕質骨材混凝土為國內外積極發展之環保材 料，輕質混凝土具有節能、耐震等效能已被證明其相當有 效，國內公私部門亦成立許多專案來推廣輕質骨材混凝 土。輕質骨材混凝土之應用大致可分為結構用途與非結構 用途，在使用於結構用途之輕質骨材混凝土時，其設計必 須遵守設計規範。鋼筋混凝土剪力強度評估方式，依其跨 深比可分為一般梁和深梁，文獻上大致將其分為 B 區域與 D 區域，D 區域通常發生於幾何形狀不連續處或是應力集 中處，深梁即屬於此區域，ACI 318-99 及土木 401-86 規範 針 對 深 梁 之 強 度 係 利 用 半 實 驗 半 理 論 之 經 驗 式 ， ACI 318-02 [1]以及土木 401-93 [2]增加壓拉桿模式計算鋼筋混 凝土混凝土 D 區之剪力強度。針對常重混凝土而言，根據 呂及黃[3]之研究，軟化拉壓桿模式計算深梁強度準確度大 於半實驗半理論之經驗式，可精確掌握常重混凝土深梁之 剪力行為，其精度不受跨深比、混凝土強度及水平箍筋量 之影響，Hwang 和 Lee [4]更發展不需迭代計算之軟化壓拉 桿模式 (軟化壓拉桿—簡算法)，並驗證其對於常重混凝土 之適用性。軟化壓拉桿模式，其考慮力的平衡、變形的諧 和，材料的組成律，且考慮混凝土之軟化效應，林英俊等 人[5]、呂文堯等人[6]及 Mo 和 Rothert [7]，曾經利用不同 之軟化模式驗證常重混凝土深梁、托架及剪力牆，其結果 顯示 Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Zhang 和 Hsu [9]

之軟化組成律皆可精確預測常重混凝土深梁、托架及剪力 牆之剪力強度。

由於輕質骨材混凝土其組成律與常重混凝土不同，且 其文獻之軟化模式皆為常重混凝土試驗迴歸而得，因此輕 質骨材混凝土深梁對軟化壓拉桿之適用性，必須加以檢討 驗證。因此，本研究擬利用軟化壓拉桿模式以不同軟化模

式評估輕質骨材鋼筋混凝土深梁之強度，並與文獻上深梁 之試驗結果及土木 401-93 規範附篇 A 壓拉桿計算方法相 比較，最後亦與常重混凝土相比較。

二、壓拉桿模式介紹

1. 軟化壓拉桿模式

呂文堯和黃世建[3]認為軟化壓拉桿不僅需滿足平衡 條件，亦需滿足材料之組成律及諧和條件，且明確定義混 凝土、鋼筋所扮演之力學機制，並成功驗證常重混凝土 D 區域之剪力強度。軟化壓拉桿程序[3]如下：

(一) 根據力平衡求解對角壓桿之壓力 D、水平拉桿之拉力

Fh

、垂直拉桿之拉力

Fv

1 ,

sin ( )

d

d h v

D R V

R R R

θ

= −

+ +

1 ,

tan ( )

h h

d h v

F R V

R R R

=

θ

+ + (1)

( )

v v

d h v

F R V

R R R

= + +

其中，

θ

為對角壓桿之傾斜角度，R

d

、R

h

、R

v

分別為 剪力分配至對角壓桿、水平拉桿、垂直拉桿之比例，

其值計算如下：

(1 )(1 ) , (1 ) , (1 )

1 1 1

2cot 1 2 tan 1

3 , 3

h v h v v h

d h v

h v h v h v

v h

R γ γ R γ γ R γ γ

γ γ γ γ γ γ

θ θ

γ γ

− − − −

= = =

− − −

− −

= =

(2)

(二) 根據材料組成律計算對角壓桿之壓應力

σ_d,max

、水平拉 桿之拉應變

ε_h

、垂直拉桿之拉應變

ε_v

2 2

,max

1 sin cos

1 1

cos 2 sin 2

h v

d str

F F

A D

θ θ

σ θ θ

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢ − ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

(3)

其中，A

str

= a

s

× b

s

為壓桿面積，b

s

為壓桿厚度 (等於 RC 梁之寬度)，

a_s

=

w²_c

+

l_{b top}²_,

為壓桿寬度，

lb,top

為載 重處之承壓板寬度，w

_c

為混凝土壓力深度，假設深梁 受撓曲後平面保持平面，壓力區深度為

kd，d 為深梁

受壓外緣至受拉鋼筋中心之有效深度，壓力區深度係 數為：

' 2 ' '

'

( 1) 2 ( 1) /

( 1)

k n n n n d d

n n

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎣ + − ⎦ + ⎣ + − ⎦

⎡ ⎤

− ⎣ + − ⎦

(4)

其中，n 為鋼筋與混凝土之彈性模數比，

ρ

為拉力鋼 筋比，

ρ^'

為壓力鋼筋比，d 為拉力筋有效深度，d

^'

為 壓力筋有效深度，常重混凝土應力應變曲線為：

2 '

0 0

2

^{d d}

d fc ε ε

σ ξ

ξε ξε

⎡ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎤

⎢ ⎥

= − ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

(5)

其中，

σd

為混凝土之壓應力，

εd

為混凝土之壓應變，

ε₀

為混凝土之峰值應變，

ξ

混凝土軟化係數。常重混 凝土峰值應變為：

' 3

0

2 20 10 80

fc

ε

= ^⎡ ⎢ + ^{− ⎤} ⎥ ×

⁻

⎣ ⎦ (6)

混凝土軟化係數為：

'

5.8 1 0.9

1 400

_r

1 400

_r fc

ξ

⁼ +

ε

^≤ +

ε

(7)

式 (6) 和 (7) 中，

f 為混凝土抗壓強度，其單位為_c^'

MPa，

ε_r

為與壓桿垂直之混凝土拉應變；鋼筋組成律 為完全彈塑性，如下所示：

h th s h yh

F

=

A Eε

≤

F

(8)

v tv s v yv

F

=

A Eε

≤

F

(9)

其中，A

th

為水平鋼筋之面積，

Atv

為垂直鋼筋之面積，

Es

為鋼筋之彈性模數，

ε_h

為水平鋼筋之應變，

ε_v

為垂 直鋼筋之應變，

Fyh

= A

thfyh

為水平鋼筋降伏時之拉力，

Fyv

= A

tvfyv

為垂直鋼筋降伏時之拉力。

(三) 符合諧和條件

圖 1 輕質骨材混凝土之彈性模數

r d h v

ε

+

ε

=

ε

+

ε

(10)

壓拉桿滿足前述之平衡條件、材料之組成律及諧和條 件，無法直接求解，必須利用迭代方式求解，其迭代 程序詳見呂及黃之研究[3]。

對於輕質骨材混凝土其應力－應變曲線與常重混凝 土不同，兩種相同強度之混凝土而言，輕質骨材混凝土之 彈性模數較低，且受壓應力－應變曲線上升段較為線性，

峰值應變較大；輕質骨材混凝土之應力－應變曲線、彈性 模數與峰值應變受輕質骨材之性質和量之影響，但總體而 言，其值隨著混凝土強度增加而增加，一般描述混凝土之 應力－應變曲線上升段和下降段，可用單一方程式表示[10]

如下：

2 2

( 1) 1 ( 2)

Ax B x

y A x Bx

+ −

= + − + (11)

其中，

y

=

f_c f_c^'

，

x

=

ε ε_{d 0}

，

A E E

=

_{c p}

，

E_p

=

f_c^' ε₀

，

'

f 為混凝土之強度，c ε0

為混凝土強度時之應變稱為峰值應

變，E

c

為混凝土之彈性模數，B 為控制混凝土應力—應變 曲線下降段之參數，其值愈小表示愈脆性，對於不同原料 和強度等級之混凝土，甚至約束混凝土選用合適之參數 值，可以得到與試驗相符之曲線，本研究因輕質骨材混凝 土，受壓應力—應變曲線下降段較陡，因此採用

B = 0。圖

1 為本研究蒐集輕質骨材實驗文獻[11-20]之彈性模數彙整 資料並和 ACI 規範建議之公式相比較，實驗資料顯示利用 ACI 規範建議之公式計算彈性模數有高估之現象，由圖 1 所示，建議取 ACI 規範的 85%，為合理之估算，因此本研 究採用 ACI 規範的 85%，如下：

1.5 '

0.036

c c c

E

=

γ f

(12)

圖 2 輕質骨材混凝土之峰值應變

其中，

f 的單位為 MPa，_c^' γc

為輕質骨材混凝土單位 重，單位為 kgf m 。圖 2 為本研究蒐集輕質骨材實驗文

³

獻及文獻上所歸納建議[14, 20-24]之峰值應變隨強度變化 之彙整資料，本文採用 Khaloo [20]建議峰值應變隨混凝土 強度變化如下：

' 3

0

2.17 0.015

f_c

10

ε

= ⎡ ⎣ + ⎤ ⎦ ×

⁻

(13)

2. 混凝土軟化模式介紹

關於混凝土軟化模式已有許多文獻[4, 8, 9, 25-33]發 表，混凝土之峰值應變

ε₀

及開裂方向之應變

ε_r

影響混凝土 開裂後之軟化係數，進而影響評估軟化壓拉桿之強度。本 研究利用軟化壓拉桿評估深梁剪力強度時，輕質骨材混凝 土之峰值應變採用式 (13)，而常重混凝土之峰值應變採用 式 (6)，輕質骨材混凝土之組成律採用式 (11)，而常重混 凝土之組成律採用式 (5)；不同軟化模式利用軟化壓拉桿 評估剪力強度只要改變式 (7) 之軟化係數即可，本研究根 據文獻[4, 8, 9, 25-33]計算採用軟化係數如下：

(一) Zhang 和 Hsu [9]

' '

5.8 1 0.9 , : MPa 1 400

_r

1 400

_r ^c

c

f f

ξ

⁼ +

ε

^≤ +

ε

(14)

(二) Belarbi 和 Hsu [25]

1 1 600

_r

ξ

⁼ +

ε

(15)

(三) Ueda 等人[26]

0.39

1 0.8 0.6 (1000

_r

0.2)

ξ

⁼ +

ε

+ (16)

(四) Miyahara 等人[27]

3

3 3

3

1.0 1.2 10

1.15 125 1.2 10 4.4 10 0.6 4.4 10

r

r r

r

for for for

ε

ξ ε ε

ε

−

− −

−

⎧ ≤ ×

= ⎪ ⎨ − × × ≤ ≤ ×

⎪ × ≤

⎩

(17)

(五) Mikame 等人[28]

0.167

1 0.27 0.96

^r

o

ξ ε

ε

= + ⎛ ⎜ ⎞ ⎟

⎝ ⎠

(18)

(六) Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]

1 1

k k_{c f} ξ

=

+ (19)

其中，

0.8

'

0.35 0.28 1.0

0.1825 1.0

c r

d

f c

k

k f

ε ε

⎛ ⎞

= ⎜ − − ⎟ ≥

⎝ ⎠

= ≥

(20)

組成律關係如下：

( 1)

d p

dbase p nk

d p

n f

n ε σ ε

ε ε

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − ⎛ ⎞

− + − ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠

(21)

其中，

0.8 17

fp

n

= + (22)

1.0 0

0.67 62

d p

p

p d

for

k f

for

ε ε

ε ε

≤ − ≤

⎧ ⎪

= ⎨ ⎪⎩ + ≤ − (23)

'

0 0

'

0 0

'

0 0

dbase p c p 0 d

d c d

dbase p c p d

f f for

f for

f f for

σ ξ ε ξ ε ε ξε

σ ξ ξε ε ε

ξ σ ε ε ε ε

⎧ = × = × < − ≤

= − ×⎪⎨ < − ≤

⎪ × = = < −

⎩

(24) (七) Vecchio 和 Collins 之 Model B [8]

1 1

k_c ξ

=

+ (25)

表一 各種評估方法之比較

剪力強度比

^test

calculate

V

V

變異係數 (%)

評估方法

NWC LWC NWC LWC ACI 318 02 1.63 (1.26)* 2.30 (1.24)* 29.0 (25.5)* 36.1 (26.7)*

軟化壓拉桿－簡算法 1.18 0.97(1.12) 19.9 18.8(18.9)

Zhang and Hsu (1998) 1.11 0.91 (1.02) 21.4 18.4 (18.9) Belarbi and Hsu (1991) 1.10 0.93 (1.04) 20.0 18.4 (18.9) Ueda 等人 (1991) 1.10 0.93 (1.05) 19.8 18.6 (19.1) Miyahara 等人 (1988) 0.93 0.80 (0.90) 20.0 18.5 (18.7) Mikame 等人 (1991) 0.83 0.70 (0.90) 19.5 18.4 (18.5) Vecchio and Collins 之 Model A (1998) 1.22 1.01 (1.16) 19.9 19.5 (19.0) Vecchio and Collins 之 Model B (1998) 0.94 0.75 (0.86) 20.1 17.9 (18.3) Vecchio and Collins (1982) 1.09 0.80 (0.96) 24.4 18.3 (19.6) Vecchio and Collins (1986) 0.94 0.75 (0.84) 20.3 17.9 (18.2) Vecchio and Collins (1982) 0.93 0.79 (0.89) 19.9 18.0 (18.3) Schlaich and Schäfer (1983) 0.77 0.67 (0.77) 19.6 19.0 (19.0) Peter (1964) 0.73 0.63 (0.73) 19.5 19.0 (18.9) 軟

化 壓 拉 桿 模 型

Robinson and Demorieux (1974) 0.71 0.61 (0.71) 19.5 19.0 (18.9) ( ) 為各種軟化係數 × 0.85 之評估結果

( )* 為假設為壓桿上端破壞之評估結果

0.27

^r

0.37

c

o

k ε

ε

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ (26)

組成律，

σ_d

=

σ_dbase

，且

f_p

=

ξf_c^'

及

ε_p

=

ε_o

(八) Vecchio 和 Collins [29]

1 0.85 0.27

^r

d

ξ ε

ε

=

−

(27)

(九) Vecchio 和 Collins [30]

1 0.85 0.34

^r

o

ξ ε

ε

=

+ (28)

(十) Vecchio 和 Collins [29]

1 0.85 170

_r

ξ

⁼ +

ε

(29)

(十一) Schlaich 和 Schäfer [31]

ξ

= 0.8 (30)

(十二) Peter [32]

ξ

= 0.85 (31)

(十三) Robinson 和 Demorieux [33]

ξ

= 0.88 (32)

(十四) 簡算法[4]

' '

3.35

f_c

0.52,

f MPa_c

:

ξ

= ≤ (33)

三、試驗值與分析值之比較與討論

本文利用 ACI318-02、軟化壓拉桿－簡算法及軟化壓 拉桿配合不同軟化模型評估方法，來預測文獻[34-42]共 243 個之剪力實驗，其中 NWC 有 136 個試體，LWC 有 107 個試體，其中 LWC 試體均為常重砂輕質混凝土，其評估 結果之強度比 (試驗值／計算值) 平均值與變異係數如表 一所示。表中顯示，對於 NWC 而言，Zhang 和 Hsu [9]、

Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算法[4]，所建議之軟化組成律皆能提供精確 之剪力強度評估，上述五種以外之軟化模式組成律，其評 估結果有安全之疑慮，亦即，評估值大於實驗值，此點與 林英俊等人[5]、呂文堯等人[6]及 Mo 和 Rothert [7]，評估 常重混凝土之深梁、托架及剪力牆有相同之結論。

對於 LWC 而言，不論採用何種軟化組成律，LWC 所 預測之平均強度稍高於實驗值，其結果偏向不安全側 (評估值大於實驗值)，這是因為計算壓桿承壓面積時，

LWC 之混凝土壓力深度 kd 比 NWC 大，導致 LWC 計算之

圖 3 混凝土強度與分析模型之影響 圖 4 跨深比與分析模型之影響

圖 5 ACI 318-02、實驗與混凝土強度之比較

壓桿強度較大，且以軟化壓拉桿分析 LWC 時之軟化係 數係

ξ

採用與 NWC 相同之公式，所導致之結果。對於 混凝土開裂後之軟化係數

ξ

，NWC 與 LWC 是否相同，

至今少有相關研究報導，但於 ACI318-02 及土木 401-93 規範內，對於 LWC 而言，如果剪力筋配置在開裂方向 符合∑(A

si

/bs

i

)sin

γ_i

≥ 0.003 時，則 NWC 與 LWC 具有相 同之軟化係數 (0.85

β_s

= 0.85 × 0.75 = 0.6375)，但不符合

∑(As

i

/bs

i

)sin

γ_i

≥ 0.003 時，則 LWC 之軟化係數為 0.4335 (0.85

β_s

= 0.85 × 0.6

λ

= 0.85 × 0.6 × 0.85 = 0.4335)，而 NWC 之軟化係數為 0.51 (0.85

β_s

= 0.85 × 0.6 = 0.51)，這代表當 LWC 受約束 (∑(A

si

/bs

i

)sin

γ_i

≥ 0.003) 時，拉應變

ε_r

不大，

其軟化係數與 NWC 相同，當 LWC 較無約束 (∑(A

si

/bs

i

)sin

γ_i

< 0.003) 時，拉應變

ε_r

較大，其軟化係數為 NWC 之 0.85 倍。當混凝土受剪力作用時，可根據應力之轉換為受拉和 受壓之應力態，而混凝土特性為抗壓不抗拉，必先由拉應 力破壞，故 LWC 開裂後之軟化係數

ξ

，應與其拉力強度 有關，另 Ivey 和 Buth [43]根據 Hanson [44]輕質骨材混凝 土之抗拉強度試驗結果統計顯示，LWC 抗拉強度為 NWC 抗拉強度之固定倍數 (常重砂輕質混凝土為 0.85；全輕質 混凝土為 0.75)。因此，本研究將 LWC 之軟化係數折減為 NWC 之 0.85 倍，再重新分析 LWC 之試體，結果如表一所 示，此分析結果與 NWC 評估結果一致，Zhang 和 Hsu [9]、

Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算法[4]，所建議之軟化組成律皆能提供精確 之剪力強度評估，如圖 3 和圖 4 所示，不同混凝土強度、

跨深比之平均強度比與變異係數均在合理範圍內，且變異 係數與 NWC 一樣約為 19%左右，上述五種以外之軟化模 式組成律，其評估結果有安全之疑慮。由此可知 LWC 利 用軟化壓拉桿分析不同之混凝土強度和跨深比均能有一致 之結果，亦即，軟化壓拉桿模型可以有效掌握不同混凝土 強度及跨深比對深梁之剪力強度行為，這顯示軟化壓拉桿 模式利用 Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算法[4]，所建議

圖 6 ACI 318-02、實驗與跨深之比較

之軟化組成律，修正後亦能用於輕質骨材剪力強度之評估。

由表一中可知，無論 NWC 或 LWC，利用軟化壓拉桿 模型之精確度優於 ACI 318-02 壓拉桿模式，這是因為兩種 評估方法之破壞模式不同、壓桿承壓面積不同、軟化係數 不同、剪力鋼筋貢獻不同所造成之結果，其中以破壞模式 不同導致差異性最大。呂文堯和黃世建[3]認為在一般撓曲 拉力主筋有良好的錨定條件下，抗剪元素較高彎矩側有較 嚴重之應力流集中現象，因此以軟化壓拉桿模式評估深梁 其剪力強度是依據上端壓桿強度大小決定；而 ACI 318-02 壓拉桿模式必須分別檢核壓桿強度 (壓桿上端與壓桿下 端)、節點強度 (上端節點與下端節點) 與拉桿強度，並取 其最小者為控制者，利用 ACI318-02 壓拉桿評估文獻[34-42]

上之剪力強度實驗發現，大部分為拉桿控制或壓桿下端控 制，這與文獻實驗觀察[34-42]結果不同，因為文獻實驗之 壓桿下端有效拉桿寬度

wt

= 2(h – d) 比壓桿上端混凝土壓 力區深度

w_c

= kd 有效拉桿寬度小，因此對於具有相同尺寸 之載重處之承壓板寬度 (l

_b,top

) 和支承反力處之承壓板寬 度 (l

b,bottom

) 而言，ACI318-02 評估壓桿總是下端控制。若 將 ACI 318-02 破壞模式與軟化壓拉桿相同，均採用壓桿上 端，且軟化壓拉桿—簡算法計算 LWC 剪力強度之軟化係 數為 NWC 之 0.85 倍，則 ACI 318-02 與軟化壓拉桿—簡算 法計算強度，如圖 5、圖 6 和表一所示，不同之混凝土強 度和跨深比之深梁皆能得到滿意之結果。

四、混凝土參數之影響分析

軟化壓拉桿模式評估深梁之剪力強度，主要為混凝土

開裂軟化後之應力強度與壓桿承壓面積相乘積而得，故主

要參數為混凝土開裂後之軟化組成律與壓桿承壓面積之計

算。對於相同之混凝土強度而言，軟化組成律的主要影響

因分子為軟化係數

ξ

和峰值應變

ε₀

，進而可能影響剪力強

度，NWC 和 LWC 之主要差別除了軟化組成律可能不同

外，因其彈性模數不同導致混凝土壓力深度 kd 不同，進而

表二 混凝土不同峰值應變導致評估剪力強度結果之比較

剪力強度比

^test

calculate

V V

1.5 '

NWC (

E_c

= 0.042

γ_c f_c

) LWC (

E_c

= 0.036

γ_c^1.5 f_c^'

)

'

3 0

2 20 10 80

fc

ε

= ^⎡ ⎢ + ^{− ⎤} ⎥ ×

⁻

⎣ ⎦

' 3

0

(2.17 0.015 ) 10

f_c

ε

= + ×

⁻

軟化壓拉桿模型

0.7

ε₀

0.8

ε₀

0.9

ε₀ ε₀

1.1

ε₀

1.2

ε₀

1.3

ε₀

0.7

ε₀

0.8

ε₀

0.9

ε₀ ε₀

1.1

ε₀

1.2

ε₀

1.3

ε₀

Zhang and Hsu

(1998) 1.08 1.09 1.10 1.11 1.16 1.12 1.13 0.88 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.93 Belarbi and Hsu

(1991) 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.12 0.90 0.91 0.92 0.93 0.93 0.94 0.95 Ueda 等人 (1991) 1.08 1.09 1.10 1.10 1.11 1.11 1.12 0.91 0.92 0.92 0.93 0.94 0.94 0.95

Miyahara 等人

(1988) 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 Mikame 等人

(1991) 0.86 0.85 0.84 0.83 0.83 0.82 0.82 0.72 0.71 0.70 0.70 0.70 0.69 0.69 Vecchio and Collins

之 Model A (1998) 1.22 1.22 1.22 1.22 1.22 1.22 1.22 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 1.01 Vecchio and Collins

之 Model B (1998) 1.02 0.99 0.96 0.94 0.94 0.91 0.89 0.80 0.78 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 Vecchio and

Collins (1982) 1.44 1.26 1.16 1.09 1.04 1.00 0.97 0.91 0.86 0.82 0.80 0.77 0.76 0.74 Vecchio and

Collins (1986) 1.03 0.99 0.96 0.94 0.92 0.90 0.89 0.80 0.78 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 Vecchio and

Collins (1982) 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 Schlaich and

Schäfer (1983)

0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.77 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 Peter (1964) 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.63 0.63 0.63 0.63 0.63 0.63 0.63 Robinson and

Demorieux (1974) 0.71 0.71 0.71 0.71 0.71 0.71 0.71 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 簡算法 (2002) 1.18 1.18 1.18 1.18 1.18 1.18 1.18 0.97 0.97 0.97 0.97 0.97 0.97 0.97

影響壓桿承壓面積，故本節將以峰值應變和彈性模數為主 要參數配合不同軟化模式，探討這些參數對軟化壓拉桿模 式評估深梁之剪力強度影響。

1. 混凝土峰值應變之影響

文獻上混凝土之軟化係數大致與混凝土開裂方向及 其垂直方向之主軸應變

εr

和

εd

相關或與峰值應變

ε0

相關。

Vecchio 和 Collins 之 Model A 和 Model B [8]所建議之軟化 組成律，其開裂後混凝土強度具有軟化效應，亦即強度為

σ_d

=

ξf_c^'

，但混凝土壓應變並不折減，亦即達到混凝土強度 時，其所對應之應變仍可為

εd

=

ε0

，其餘其他組成律，開 裂後混凝土強度及其對應之應變皆具有軟化效應，亦即，

σd

=

ξf_c^'

和

εd

=

ξε0

。根據應變之諧和律可知，當混凝土開 裂後且達到其軟化後之強度時，其開裂方向之應變

ε_r

將隨

著混凝土不同之峰值應變

ε0

而改變 (

εr

=

εh

+

εv

–

εd

=

εh

+

εv

–

ξε0

)，進而影響其軟化係數。

由 於 混 凝 土 之峰 值 應 變 受 骨材 之 性 質 及 其配 比 影 響，但總體而言，其值隨著混凝土強度增加而增加，如圖 2 所示，其適用範圍可達 100 MPa，NWC 和 LWC 之峰值 應變如式 (6) 和式 (13) 所示。本研究利用文獻[34-42]之 試驗為資料庫，以不同軟化模式，利用軟化壓拉桿評估方 法，探討混凝土不同之峰值應變對深梁剪力強度之影響，

由於主要評估混凝土不同峰值應變對剪力強度之影響，因

此 LWC 之軟化係數並未修正。不同之混凝土峰值應變之

選取，NWC 以式 (6)、LWC 以式 (13) 為其基準，其變異

性分別為 NWC 以式 (6) 及 LWC 以式 (13) 之 0.7 倍至 1.3

倍加以評估，以 30 MPa 之混凝土強度而言，NWC 峰值應

變範圍為0.00149 至 0.00276，LWC 峰值應變範圍為 0.00183

圖 7 NWC 峰值應變影響各種軟化模式評估剪力強度之 結果

至 0.00341，此範圍應可涵蓋混凝土強度 30 MPa 大部分之 峰值應變，這點從圖 2 可觀察得知。

因混凝土峰值應變不同，導致各種軟化模式評估結果 之平均剪力強度比 (試驗值／評估值) 如表二所示。不同 峰值應變評估之平均剪力強度比和以式 (6) (NWC) 或式 (13) (LWC) 計算峰值應變評估之平均剪力強度比結果的 比值 ((V

test

/V

_cal,nε0

)

ave

/(V

test

/V

_cal,ε0

)

ave

)，如圖 7 和圖 8 所示，

此圖可比較各軟化模式對峰值應變之影響程度。對於軟化 係數為常數 (Schlaich 和 Schäfer [31]、Peter [32]、Robinson 和 Demorieux [33]) 及不受應變影響者 (簡算法[4])，其評 估結果不受峰值應變之影響，此點在評估前即可判定，從 表二及圖 7 和圖 8 可再一次驗證；對於 Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]所建議之軟化組成律，其評估結果亦不受峰 值應變之影響，這是因為在 Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]

所建議之軟化組成律計算

kc

值皆小於 1.0，故直接取 k

c

= 1.0。根據 Hwang 和 Lee [4]所提之軟化壓拉桿模式，認為 若未配置水平鋼筋，則限制

ε_h

= 0.002，若未配置垂直鋼 筋，則限制

ε_v

= 0.002，若配置水平或垂直鋼筋，其應變可 限制在降伏應變，因此，可取

ε_h

=

ε_v

= 0.002，故對於 Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]所建議軟化組成律之 k

c

大於 1.0 時，峰值應變

ε₀

必須小於 0.00134，否則 k

c

= 1.0，故，對 於本研究之峰值應變內，Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]

評估剪力強度不受峰值應變

ε₀

之影響。從圖 7 和圖 8 可知，

不管是對 NWC 或是 LWC 而言，除了 Vecchio 和 Collins [29]

建議之軟化係數，其評估之剪力強度比變異性大於 10%

外，其餘文獻建議之軟化係數，其評估之剪力強度比變異 性小於 10%；另從第三節之評估結果比較知道 Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算法[4]，所建議之軟化組成律能提 供精確之剪力強度評估，而這五種軟化組成律對於本研究 之混凝土峰值應變內 (0.7

ε₀

~1.3

ε₀

)，對其評估剪力強度比 之變異性很小，其中 Vecchio 和 Collins 之 Model A [8] 在

圖 8 LWC 峰值應變影響各種軟化模式評估剪力強度之 結果

本研究之峰值應變內不受峰值應變影響，簡算法[4]之軟化 係數僅與混凝土強度有關，Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、Ueda 等人[26]，對其評估剪力強度比之變異性，

更只有在 3%以內，這顯示如果用上述之五種軟化組成律 評估深梁之剪力強度，其峰值應變之變異性，對其評估之 結果影響極小。從軟化組成律方程式 (5) 上顯示，軟化組 成律的主要影響因子為軟化係數

ξ

和峰值應變

ε₀

，但從以上 分析結果顯示峰值應變之變異性，對剪力強度評估之結果 影響極小，故可判斷軟化組成律的主要影響因子為軟化係 數，另從軟化係數方程式 (14)-(29) 上顯示，主要影響混 凝土之軟化係數之因素為混凝土開裂後之拉應變，這也是 ACI 318-02 及土木 401-93 依據拉應變方向之配筋是否足 夠，而給予不同之將軟化係數的原因。

2. 混凝土彈性模數之影響

軟化壓拉桿模式之壓桿承壓面積受彈性模數影響極 大，因 NWC 和 LWC 之彈性模數不同導致計算之壓桿承壓 面積亦不相同。混凝土之彈性模數受骨材之性質及其配比 影響，對於 NWC 而言，陸景文[45]根據國內外相關實驗資 料，建議取 ACI 363 規範之 0.9 倍；對於輕質骨材混凝土 混凝土而言，本研究蒐集許多實驗文獻[11-20]彈性模數資 料和 ACI 規範建議之公式比較，如圖 1 所示，實驗資料顯 示利用 ACI 規範建議之公式計算彈性模數有高估之現象，

實驗值大部分介於 0.8 倍至 1.0 倍之間，因此，不同混凝土 之彈性模數之選取，不論 NWC 或 LWC 以 ACI 建議之公 式為其基準，其變異性分別為 0.8 倍至 1.1 倍加以評估，以 30 MPa 之混凝土強度而言，NWC (

γ_c

= 2320 kgf/m

³

) 彈性 模數範圍為 20900 MPa 至 28750 MPa，LWC (

γ_c

= 1900 kgf/m

³

) 彈性模數範圍為 15500 MPa 至 21300 MPa，此範 圍應可涵蓋混凝土強度 30 MPa 大部分之彈性模數。

本研究再次以文獻[34-42]之試驗為資料庫，利用軟化

壓拉桿評估方法探討混凝土不同之彈性模數對深梁剪力強

表三 混凝土不同彈性模數導致評估剪力強度結果之比較

剪力強度比

^test

calculate

V V

1.5 '

0.0427

c c c

E

=

γ f

NWC (

γ_c

= 2300 kg/m

³

) LWC (

γ_c

試驗報告提供) 軟化壓拉桿模型

0.8 E

_c

0.9 E

_c

1.0 E

_c

1.1 E

_c

0.8 E

_c

0.9 E

_c

1.0 E

_c

1.1 E

_c

Zhang and Hsu (1998) 1.03 1.05 1.08 1.10 0.896 0.921 0.943 0.964 Belarbi and Hsu (1991) 1.03 1.05 1.07 1.09 0.915 0.940 0.963 0.984 Ueda 等人 (1991) 1.03 1.05 1.08 1.10 0.919 0.944 0.967 0.989 Miyahara 等人 (1988) 0.87 0.89 0.91 0.93 0.793 0.816 0.836 0.855 Mikame 等人 (1991) 0.78 0.80 0.81 0.83 0.691 0.711 0.730 0.747 Vecchio and Collins 之

Model A (1998) 1.14 1.17 1.19 1.21 0.995 1.023 1.050 1.072 Vecchio and Collins 之

Model B (1998) 0.88 0.90 0.92 0.93 0.742 0.764 0.783 0.800 Vecchio and Collins (1982) 1.02 1.04 1.06 1.08 0.786 0.808 0.827 0.845 Vecchio and Collins (1986) 0.88 0.90 0.92 0.93 0.737 0.758 0.777 0.794 Vecchio and Collins (1982) 0.87 0.89 0.91 0.93 0.784 0.806 0.886 0.844 Schlaich and Schäfer (1983) 0.72 0.74 0.75 0.77 0.658 0.677 0.695 0.711

Peter (1964) 0.68 0.70 0.71 0.73 0.624 0.642 0.659 0.675 Robinson and Demorieux

(1974) 0.66 0.68 0.69 0.70 0.605 0.623 0.640 0.655 簡算法 (2002) 1.101 1.128 1.153 1.176 0.958 0.987 1.013 1.037

圖 9 NWC 彈性模數影響各種軟化模式評估剪力強度之 結果

度之影響，由於主要評估混凝土不同彈性模數對剪力強度 之影響，因此 LWC 之軟化係數並未修正，且彈性模數採 用 ACI 建議公式

E_c

= 0.0427

γ^1.5_c f_c^'

，對於 LWC 與 NWC 之差別在於混凝土之單位重

γc

，LWC 評估時

γc

採用文獻試 驗報告所提供。因混凝土彈性模數影響壓桿之承壓面積，

導致各種軟化模式評估結果之平均剪力強度比 (試驗值／

評估值) 如表三所示。不同彈性模數評估之平均剪力強度

圖 10 LWC 彈性模數影響各種軟化模式評估剪力強度之 結果

比和以ACI 建議彈性模數公式計算彈性模數評估之平均剪

力強度比之比值 ((V

test

/V

cal,nEc

)

ave

/(V

test

/V

cal,Ec

)

ave

)，如圖 9 和

圖 10 所示，此圖可比較各種軟化模式彈性模數對平均剪力

強度比之影響程度，圖 9 和圖 10 顯示，不管任何軟化模式

評估深梁之剪力強度，其彈性模數之影響皆有相同之結果

(彈性模數為規範之 1.1 倍時，平均剪力強度比增加為 1.02

倍，彈性模數為規範之 0.9 倍時，平均剪力強度比減少為

圖 11 NWC 彈性模數影響壓桿面積之比較

0.98 倍，彈性模數為規範之 0.8 倍時，平均剪力強度比減 少為 0.93~0.94 倍)，探究其原因為彈性模數僅影響壓桿承 壓面積，而不會影響軟化係數之結果，任何一種軟化模式 評估剪力強度在本研究之彈性模數範圍內 (0.8E

c

~1.1E

c

)，

其差異性在約在 9% (NWC 約為 8%，LWC 約為 9%)。NWC 和 LWC 因不同彈性模數造成測試試驗深梁之壓桿承壓面 積比 (A

str,nEc

/ A

str,Ec

，以 ACI 建議彈性模數公式為分母)，如 圖 11 和圖 12 所示比較彈性模數對壓桿承壓面積之影響程 度，圖中顯示，對於 NWC 而言，每相差 0.1E

c

所造成承壓 面 積 比 約 為 0.025 ， 在 本 研 究 之 彈 性 模 數 範 圍 內 (0.8E

c

~1.1E

c

)，其面積比約為 0.08 左右的差異，對於 LWC 而言，每相差 0.1E

c

所造成承壓面積比約為 0.03，在本研 究之彈性模數範圍內 (0.8E

c

~1.1E

c

)，其面積比約為 0.1 左 右的差異，這些承壓面積之差異直接影響剪力強度評估之 結果。從表三中，可再一次驗證對於 NWC 而言，Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算法[4]，所建議之軟化組成律能 提供精確之剪力強度評估，而這五種軟化組成律在本研究 之彈性模數範圍內 (0.8E

c

~1.1E

c

) 對其評估剪力強度比之 變異性，約在 7%以內，且 NWC 評估結果偏向安全側 (實 驗值大於評估值)，另從表一可知 LWC 經過修正後 (軟化 係數為 NWC 之 0.85 倍)評估結果亦偏向安全側。

五、結 論

本研究以不同之混凝土軟化組成律，利用軟化壓拉桿 評估常重混凝土與輕質骨材混凝土之深梁剪力強度，且以 混凝土之峰值應變與彈性模數為參數，討論參數對不同混 凝土軟化組成律造成剪力強度評估結果之差異性，並且與 ACI 318-02 規範之比較。研究成果可歸納幾點結論：

圖 12 LWC 彈性模數影響壓桿面積之比較

1. 以各種軟化模式利用軟化壓拉桿評估深梁之剪力強 度，對於 NWC 而言以 Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、

簡算法[4]，所建議之軟化組成律能提供精確之剪力強度 評估，而對於 LWC 而言，建議將軟化係數折減為 NWC 之 0.85 倍，則 Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、

Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算 法[4]可得不錯之評估結果，否則會有些許安全之疑慮，

這顯示軟化壓拉桿模式修正後亦能用於輕質骨材剪力 強度之評估。

2. 軟化壓拉桿模型之精確度優於 ACI 318-02 規範；無 論是 NWC 或 LWC 軟化壓拉桿模型可以有效掌握不 同混凝土強度及跨深比對深梁之剪力強度行為，利用 ACI 318-02 壓拉桿模式評估深梁之剪力強度，無論是 NWC 或 LWC 其結果是保守的，其最主要之差異在於 破壞模式之認定，若 ACI 318-02 同樣以上端壓桿為 破壞來評估其剪力強度，NWC 和 LWC，可以得到不 錯之評估。

3. Zhang 和 Hsu [9]、Belarbi 和 Hsu [25]、Vecchio 和 Collins 之 Model A [8]、Ueda 等人[26]、簡算法[4]，所建議之 軟化組成律能提供精確之剪力強度評估，而這五種軟化 組成律對於本研究之混凝土峰值應變內 (0.7

ε₀

~1.3

ε₀

)，

對其評估剪力強度比之變異性，更只有在 3%以內，在

彈性模數範圍內 (0.8E

c

~1.1E

c

) 對其評估剪力強度比之

變異性，約在 7%以內，且 NWC 評估結果偏向安全側

(實驗值大於評估值)，LWC 經過修正後 (軟化係數為

NWC 之 0.85 倍) 評估結果亦偏向安全側，這顯示如果

用上述之五種軟化組成律評估深梁之剪力強度，其混凝

土峰值應變、彈性模數之變異性，對其評估之結果是可

以接受的。

符號索引

Astr

壓桿面積

Ath

水平鋼筋之面積

Atv

垂直鋼筋之面積

as

壓桿寬度

bs

壓桿厚度

D

對角壓桿之壓力

d

拉力筋有效深度

d '

為壓力筋有效深度

Ec

混凝土之彈性模數

Es

鋼筋之彈性模數

Fh

水平拉桿之拉力

Fv

垂直拉桿之拉力

Fyh

水平鋼筋之降伏力

Fyv

垂直鋼筋之降伏力

'

f c

混凝土抗壓強度

n

鋼筋與混凝土之彈性模數比

Rd

剪力分配至對角壓桿之比例

Rh

剪力分配至對水平拉桿之比例

Rv

剪力分配至垂直拉桿之比例

ρ

拉力鋼筋比

ρ'

壓力鋼筋比

γ_c

混凝土單位重

θ

為對角壓桿之傾斜角度

σ_d,max

對角壓桿之壓應力

σ_d

混凝土之壓應

ε_d

混凝土之壓應變

ε_r

壓桿垂直之混凝土拉應變

ε₀

混凝土之峰值應變

ε_h

水平鋼筋之應變

ε_v

垂直鋼筋之應變

ξ

混凝土軟化係數

參考文獻

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2009 年 12 月 18 日 收稿 2009 年 12 月 25 日 初審 2010 年 08 月 17 日 複審 2010 年 12 月 15 日 接受