香港中學文憑 – 數學科 必修部份 非基礎課題 v1.2
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16.6. 理解標準差在涉及標準分和正態分佈的現實生活問題時的應用
（Understanding the Applications of Standard Deviation to Real-life Problems involving Standard Scores and the Normal Distribution）
l 標準差嘅值除咗可以用嚟量度數據離差嘅之外，標準差喺統計上亦有更重要嘅用途。
n 喺課入面就要求我哋識標準差喺標準分同正態分佈上嘅應用。
16.6.1. 標準分
l 標準分嘅槪念其實好簡單，就係將一個數據嘅值“標準化”。
l 我哋可以用以下嘅例子嚟理解標準分嘅用途：
n 小明上學期數學考試嘅分數喺80 分。因為想考好 D，所以小明請咗補習老師幫佢補 數。結果下學期考試分數係75 分。
n 咁到底補習對小明係唔係冇幫助呢？
u 就咁睇就好似係冇幫助。
u 但如果上學期班入面嘅平均分係85 分、而下學期考試班嘅平均分係 70 分，咁又 好似唔同講法（因為小明補習後嘅分數變得比平均分高）。
u 當然，上面嘅例子好似極端咗少少。
咁如果上學期考試班入面嘅平均分係70 分、而下學期考試班嘅平均分係 65 分呢？
小明兩次嘅分數都係高過平均分10 分。咁又點呢？
Ø 喺依個時候我哋就可以先將小明兩次嘅分數“標準化”，然後再作比較。
l 通常標準分會用z 嚟代表，而標準分嘅計算方法係：
z = x − x σ
n 當中 x 係別個數據原來嘅值（原值）
x 係數據組嘅平均值 σ 係數據組嘅標準差
n 由以上嘅公式我哋可以見到標準分其實係講緊“某個數據嘅值同平均數嘅距離係幾 多個標準差”，而標準分嘅正負就代表咗數據嘅原值喺高過定低過平均分。
l 用返小明數學考試嘅例子。如果，第一次成班嘅平均分係70 分，而標準差係 5 分。而第 二次成班嘅平均分係65 分，而標準差係 3 分。
n 咁小明第一次數學考試嘅標準分 = (80 – 70) / 5 = 2 n 而小明第二次數學考試嘅標準分 = (75 – 65) / 3 = 5
n 因為小明嘅標準分有所提升，所以補習對小明嚟講應該有用。
² 總結：透過以標準差作單位嚟量度數據與嘅平均數嘅距離，標準分往往能消除一D 環境 因素（例如考試卷嘅深淺）、從而更有意思地表達出該數據嘅喺數據組內嘅高低。
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16.6.2. 正態分佈
l 正態分佈簡單嚟講就係“正常”
n 而所謂嘅正常亦可以話係“
l 要理解咩係正態分佈，我哋先睇吓 n 假設香港成年人嘅平均身高係 n 如果我哋將數據每10cm 分一組
u 最多人嘅組別會係“160cm u “170 - 179cm”嗰組應該會比
Ø 即距離平均數越遠
n 其實你有咁嘅認同係因為你一早就接受咗上嘅身高係
l 右面顯示咗幾個“同自然有關”
n x-軸可以睇成為數據嘅值、
數（至於D 數據內容、單位
n 我哋發現幾個數據分佈圖形狀都差唔多 仲有以下嘅特點：
u 分佈曲線圖為鐘形（bell u 分佈曲線圖對稱於平均值
u 平均值、中位數同眾數嘅值相等
（即圖中各線曲線最高嗰點
² 正態分佈可以話係一個喺各領域（
經常出現嘅數據分佈情況。
n 其實只要數據量大，好多嘢都係擁有一個 u 人嘅身高、體重、壽命等等
u 一般公開試嘅學生成績 u 工廠生產嘅“5 公斤米
有少少偏差）。
n 不想喺中學文憑嘅必修部份
u 大家只要對正態分佈有個概念 正態分佈嘅應用。）
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”嘅分佈。
“最常見”或者大家都“期望係咁”嘅分佈情況 先睇吓以下嘅假設例子。
人嘅平均身高係165cm。我哋隨機抽出 5000 成年人量度身高 分一組。我諗你好自然都會認為：
160cm - 169cm”嗰組（因為平均數喺依組入面 嗰組應該會比““180 - 189cm”嗰組多人。
距離平均數越遠，組別內嘅人數就會越少。
其實你有咁嘅認同係因為你一早就接受咗上嘅身高係“正常咁分佈”。
”嘅統計數據
、而y-軸係數據嘅頻 單位喺咩大家唔駛理）
圖形狀都差唔多，而且
bell-shaped）
分佈曲線圖對稱於平均值
中位數同眾數嘅值相等 最高嗰點）
各領域（包括數學、物理、生物、工程及統計等等）
好多嘢都係擁有一個正態分佈嘅。例如：
壽命等等
一般公開試嘅學生成績（要指明公開試係因為喺公開試先會有大量嘅考生 公斤米”嘅實際重量（5 公斤只係一個期望值，但每包米都可以
不想喺中學文憑嘅必修部份，我認為大家唔需要詳細學咩係正態分佈。
有個概念、知邊佢係鐘形就OK。（當然仲要學有關標準差喺
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嘅分佈情況。
量度身高。
因為平均數喺依組入面）。
。
）都非常重要、
要指明公開試係因為喺公開試先會有大量嘅考生）
但每包米都可以
。
當然仲要學有關標準差喺
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16.6.3. 標準差在正態分佈上的應用
l 對於一組正態分佈嘅數據，數學家發現當知道咗數據組嘅平均數 均數、眾數同中位數係相等嘅）
n 約68.2% 嘅數值分佈喺距離平均值有 個標準差之內嘅範圍
n 約95.4% 嘅數值分佈喺距離平均值有 個標準差之內嘅範圍
n 約99.7% 嘅數值分佈喺距離平均值有 個標準差之內嘅範圍
l 舉個例子：某次數學公開考試內 均分係70 分、而標準差係 8 分。
n 平均分 + 3 x 標準差 = 70 + 3 x 8 n 平均分 – 3 x 標準差 = 70 – n 因此我哋可以推論出有約99.7%
l 如果諗深一層，可能你會問：“
範圍內，其實數一數都得啦”。
n 冇錯。但其實以上只係解釋標準差嘅大細可以用嚟指出數據嘅分散嘅集中度
² 標準差更加重要嘅應用係喺統計入面
l 舉個例子嚟解釋標準差喺統計內嘅應用 n 某機構做咗個“香港成年人高身 n 第一次調查時訪問咗100 人
u 結果如下：數據嘅範圍係 u 而機構就發表以下嘅結論
Ø 香港人平均身高係 u 睇落好似冇咩問題。但其實
範圍”，所以機構最多只可以講 Ø 但“七成”又好似唔夠準 n 機構結果做咗第二次調查。
u 結果如下：數據嘅範圍係 u 雖然數據嘅範圍大咗，
Ø 香港人平均身高係
² 由此我哋可以見到“統計數據嘅標準差對一個統計嘅可信性有好大影響
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標準差在正態分佈上的應用
數學家發現當知道咗數據組嘅平均數（留意正態分佈數據嘅平
）同標準差之後，可以得到同一個結果：
距離平均值有1
距離平均值有2
距離平均值有3
某次數學公開考試內，考生嘅平
。
= 70 + 3 x 8 = 94 分 – 3 x 8 = 46 分
99.7%的考生成績應在 46 分至 94 分內。
“既然D 數據都知邊晒，咁如果想知有幾多個
。
但其實以上只係解釋標準差嘅大細可以用嚟指出數據嘅分散嘅集中度 標準差更加重要嘅應用係喺統計入面。
嚟解釋標準差喺統計內嘅應用
香港成年人高身”嘅統計調查。
人。
數據嘅範圍係“165cm 至 185cm”、平均數 175cm、標準差係 而機構就發表以下嘅結論：
香港人平均身高係175cm，絕大部份人嘅高身係喺“165cm 至 但其實“165cm 至 185cm”只係“平均值+/- 所以機構最多只可以講“約七成人嘅身高係喺165cm 至
又好似唔夠準、冇咩特別意思。
。今次訪問咗10000 人。
數據嘅範圍係“150cm 至 189cm”、平均數 174cm、標準差係
，但標準差就細咗。而機構就可以發表以下嘅結論 香港人平均身高係174cm，約 95%人嘅高身係喺“164cm 至
統計數據嘅標準差對一個統計嘅可信性有好大影響
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留意正態分佈數據嘅平
咁如果想知有幾多個%嘅數據喺咩
但其實以上只係解釋標準差嘅大細可以用嚟指出數據嘅分散嘅集中度。
標準差係10cm。
185cm”內。
1 個標準差嘅 至185cm 內”。
標準差係5cm。
而機構就可以發表以下嘅結論：
185cm”內。
統計數據嘅標準差對一個統計嘅可信性有好大影響”。
