第八章电磁感应

(1)

上课是不是照着ppt念？！

(2)

第八章电磁感应

(3)

法拉第的圆盘发电机

(4)

法拉第的电磁感应实验装置

(5)

电磁学08-01: 电磁感应实验现象

 电磁感应：

(6)

 电磁感应：

(7)

 电磁感应：含有铁芯的线圈与未含铁芯的线圈产生的感应电流非常不同，意味著是 B 而非 H 的变化导致电流产生。

 电磁感应现象--当回路磁通发生变化时在 回路中产生感应电动势的现象，其电流叫感应电流。

(8)

 Some movies for demonstration

 Back emf in a Large Solenoid

 Galvanometer Principle

 Jacob's Ladder and the Melting Nail

 Lenz's Law

 Pendulum and Magnet

(9)

电磁学08-02: 楞次定律(Lenz’s law)

 当回路磁通变化时，感应电流所产生的感应磁通总是力图阻止原 磁通的变化。(An induced current is always in such a direction as to oppose the motion or change causing it)

 感应电流所起作用是对抗产生感应的那个因素，存在相互能量转换，与能量守恒定律一致。

 楞次定律含有惯性的意象。

(10)

电磁学08-02: 法拉第电磁感应定律

 当导体回路中磁通发生变化时，

回路中的感应电动势与穿过此回路的磁通变化率成正比。

 感应电动势

(11)

 感应电动势的方向问题：定义与变化

(12)

 磁通变化产生感应电动势的方法有两类：

 (1) 磁感应强度不变、磁感应线贯穿的曲面空间变化；

 (2) 磁感应线贯穿的曲面空间不变，磁感应强度变化；

 两类方法微观机制不同，但殊途同归



^{电磁感应现象。}

(13)

 (1) 磁感应强度不变、磁感应线贯穿的曲面空间变化

* * *

1 2

* *

Lorentz force:

( ) /

Static force:

f e v B E f e v B

f E d

E E e

f f

       

 

    



 



  

 



^静电

 

静电

2 2

1

E dl

^ 1

( v B dl )

   ^  ^   ^  ^  ^

感应电动势为非库仑力场 E* ( 其大小和方向均等于单位正电 荷所受的洛伦兹力)沿电路自低 电势端到高电势端的线积分。

(14)

 导体中真实的电场、电势是洛伦兹力驱动电荷运动 建立起来的静电场、静电势，E* 是虚拟等效电场。

 对于闭合回路：

( )

L

E dl

^ L

v B dl

    ^  ^    ^   ^ ^

 最简单的回路：两种方法

(1) : ( )

(2) :

L L

B

v

E dl v B dl

Blx

d dx

dt d Bl l

t Bl

vB

 



   



  

      

 ^ ^  ^ ^ ^

 

感应电动势方向问题

(15)

 (2) 磁感应线贯穿的曲面空 间不变，磁感应强度变化：

完全不同的物理机制。

 与电流产生磁场类比。

 磁感应强度随时间变化激发周围空间形成漩涡电场 E_感

 

L

B B

L S

E dl

d d d

E dl B dS

dt dt dt

   

 

         



 

 

  



感

左手螺旋法则

 漩涡感应电动势：沿漩涡电场方向的“回路”线积分，这个回路 可以是虚拟的，即空间存在电场、电势。

(16)

 随时间变化磁场激发的漩涡电场沿任意闭合 曲线 L 的线积分等于通过曲线 L 所张曲面 S 的磁通量之时间变化率之负数。

( , ) / 0,

L S

S L t E dl B dS

t

  

              

  

  

^感

 微分形式与扩展形式：

0 0

( )

L S

L

L L S

B B

E dl dS rotE

t t

E dl rotE

E dl E E dl B B

t dS rotE t

   

            

   

  

 

  

           

 



  

 

  



   





 

感感

静静

静感

2

1

E dl

   ^

^感

 ^

普遍情况下电场为非保守

场，无电势

(17)

 从磁矢势 A 角度看：

 构建一任意面元 S，其边界为为 L：

B

S L L

L

d d d A

B dS A dl dl

dt dt dt t

E dl E A

t

E E E U A

t

 

           



      



     



  



  

 



 



   

 



^感 ^感

静感

(18)

 感应电动势与感应电场电势【例8.1.7】：

 涡旋电场(感生电场)是非保守力场，不能引入电势和电势 差；而静电场是库仑场，可以引入电势和电势差。

 如果涡旋电场中有导体，其上两点电势差有意义----导体 内与涡旋电场大小相等方向相反的静电场导致两点电势差。

0 0

L S

L

E dl B dS

E dl t

E E B

t

    

  

     



 



  

 



  



^库



^感

库感

(19)

 (3) 感应电动势一般形式：

( )

B

S S L

d d B

B dS dS v B dl

dt dt t

 

 

                   

 

  



 如导线运动和磁场变化同时存在，则感应定律中



^{的变化应理解为} 磁场变化和导线移动所引起的效应之叠加。

 将感应电动势看成动生电动势与感生电动势是相对不同参考系而言的。

回路中 B 随时间变化

回路在磁场中运动

(20)

 (4) 能量问题：洛伦兹力并不做功，功能关系？以导体运动为例

 左边：未形成回路，洛伦兹力 f_洛 静电力 f_静 (静电场 E₁)

 最初一瞬间有功能转换，达到稳态后 f_洛不做功

(21)

 右侧：形成回路，有焦耳热释放，因此有功能转换

 导体运动 (v) 导致的洛伦兹力 f₁ 静电力 f_静 (电场 E₁)

 电流流动 (u) 导致的洛伦兹力 f₂ 静电力 f₃ (电场 E₃)

 电流流动将 f₃ 通过电荷-晶格作用传递给导体，形成导体整体的 安培力 F_安培，否则电子会跑出导体了。^_^

(22)

1 2

1 1

2 3

2 2

( )

f f f ev B eu B e v u B

f f

f ev B

f eu B f f f F

      

   

 

  

        

       





     



  

 

  

    

导体静

安培

 受力的数学关系：

 功/能的数学关系：

2 2 2

1 1 1 1

nSl

1 2

2 2 2

2 2 2 2

/ / ,

( )

0 ( )

nSl

j I vBl I R vBl R u

ne neS neSR v B l

f p evB u P p

R P P

v B l

f p euB v P p

R

     

 

    

 

     

        

 

 







两个洛伦兹力做功之和为零

(23)

 考虑与 f₂ 对应的静电力 f₃ 做功问题：

 外力必须克服 F_安培，对系统做功，再通过功能关系转化焦耳热：

2 2 2

3 3 2 3 3

2 2 2

3 3

nSl

ampere ampere nSl

v B l

f p p P p

R v B l

f F P P

R

     

   





 

2 2 2 2 2 2

2 2

3

v B l ( vBl ) v B l

3

P P I R R P P

R R R

      

(24)

 (5) 做功问题的另外一种简化解释【例8.1.9】：

( )

( ) ( )

0 ( ) 0

( ) 0

Lorentz Lorentz

Lorentz u v Lorentz

f e u v B

f u v

dW f dl

f f f

f u v f u f u v f v





 

   

 

   

 

     

 

    



 



 

   

  

  

  

     

    

在实验室静止坐标系：

f_对感应电流自由电子做正功 f_ 对它们做负功

总功为零

(25)

 总结：

动生电动势感生电动势

特点磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运动导致回路中磁通量的

变化

闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变化导

致回路中磁通量变化原因 由于S 的变化引起回路

中



_B ^变化 由于 B 的变化引起回路中



_B ^变化非库仑力

来源

洛仑兹力 感生电场力(磁矢势A)

 

i v B dl

 



^ ^  ^ ^ⁱ ^



^E ^^dl ^{ }



^S ^_^B_t ^^dS

  



^涡

(26)

 总结：

静电场(库仑场) 感生电场(旋涡电场)

具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力由静止电荷产生由变化磁场产生

E_静 线是“有头有尾”的，起 于正电荷而终于负电荷

E_感 线是“无头无尾”的，是一组 闭合曲线

0

1

S E dS qi

  





^ ^



^库

 

S E^^涡 dS^  ⁰

L E dl  0



^ ^



^库



_L ^E ^^dl ^{ }



_S ^_^B_t ^^dS

  



^涡

(27)

电磁学08-03: 法拉第定律的应用

 【例2 p.312】长度为 L 的金属棒围绕一端以角速度



^在与 其垂直的均匀磁场 B 中转动，求其感应电动势。

2 0

( )

1 2

A L

O

d v B dl l Bdl

d l Bdl B L



 

    

      

 



2

2 2

1 2

1 1

2 2

d B L d

d d

B L B L

dt dt



 

   

     

方向的判断---- 是个绕弯弯的活！

(28)

 【例3 p.313】均匀磁场 B 以速率 dB/dt 增加，

求空间漩涡电场。

根据左手螺旋法则，知漩涡电场如图取向。根据法拉第定律也可以判断这一点。

2

2 2

( ) at

2 1

2 ( ) at

(2 ) ( ) 1

2 B r r R

d dB

E dl r

dt dt

dB dB

rE r E r

dt dt

B R r R

d dB R dB

E r R

dt dt r dt



 



 

  

     

    

  

      



 



 



^感

感感

感

(29)

 【例8.1.26】求端 a 与端 d 的电势差 U_ad

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

( )

d d

ad a d a s a

b c d

a b c

b c

a b

d

ad c

U U U E dl v B dl

v B dl v B dl v B dl v B dl v B dl vBl vBl

U v B d l

vBl

       

         

       

     

 

  

 



 

  

 



 



电动势与电势

差是相反的！

(30)

0 0

( )

( ) ( ) cos( )

( ) cos( ) sin( ) 2 sin

( ) 2 sin

( )

a a

b i b

a b

b b a

ab a b a s a i b i

b b

cb c s c i i

E dl v B dl v B dl vB Rd

v B dl vBR d vBR vBR

U U U E dl E dl E dl vBR

U E dl E dl E

 

  

     



     

   

        

           

     

 

  

 

 

  

 

 

 



  

 

  

/ 2

0

/ 4 / 2

0

cos( )

sin( ) (cos sin )

( ) (si n cos )

0

c b

c c

ac a c a s a i

dl vBR d

vBR vBR

U U U E dl E dl vBR

_



  

   

 

_

  

   

         

 



 

 【例8.1.30】求导线感应电动势、 ab 端 电势差，cb 端电势差，ac 端电势差

电子电荷为负，受力与 vB方向相反

(31)

 

   

0

3 2

( )

( ) cos ( ) sin

2 3( )

0

4

C C C

AC A i A A

C C

A A

C C

A A

E dl v B dl r B dl

B r r B dl r B dl

r B dl r r

r dl

B d

B m r r m

r r



  

     





 

           

 

           

 

       

 

  

     

 



  

 

  

     

 

  

     

 

    



 



 

0 3

0 0

3 2

3( ) 4

cos

2 2

r B m r r m

r m r m

r r





  

 

    

  

     

 

 【例8.1.47】金属丝圆环转动，小磁矩 m 与 转动角速度



同向，求 AC 间感应电动势 和 AB 间电势差

(32)

0 2

2 / 2

0 0

0

cos sin 2

4 sin 4

C

AC A

r m d

r

m m

r r



    

     

 

 

 

   



 继续

0

2 0

0 0

2

0

4 ( ) ( )

cos sin si n

0

2 4

4

AC A C AC

B B A A

AB A B A s A i B i B

A B

CB C B C A A B AC AB

U U U m

r

U U U E dl E dl E dl v B dl

m m

r d

r r

U U U U U U U U U m

r



 



  

    

 

 



     

           

 

   

         



   



   

    

(33)

2 2

2

, 2

, 1 ,

2 , 2

( ) ( ) ( )

i i

i

c c b c

ac a c a s a i a i b i

r dB r k r R

d dt

E dl E r

dt dB

R R k r R

dt kr r R

E kR

r r R

U U U E dl E dl E dl E dl

 



 

   

  

      

   



 

  

 



            



   

 

   



 【例8.1.63】导体棒abc，磁场 B(t) 只在半径为 R 的圆环区域内存在，

求导体 abc 的电势差 U_ac

 涡旋电场为 E_i，方向如图

(34)

 继续

2 2 2 2 2 2

)

0

2 2

The angle between and (- is

cos cos

cos ( / 2)

The angle between

( )

( ) cos 1 cos

2 1 1 1

( / 2) ( / 2) ( / 2)

2 2 2

( )

b a i

b b

a i a

b L

a c b i

dl Ei

r R

R L R

E dl

E dl kr dl

k R L dl k R L dl kL R L

E dl



 

 

 ^

 

 

 

   

















 



 

2 2

3 / 2

arcsin( )

2 2 2

2

2 2

arcsin( / 2)

and (- ) is

cos

( ) cos cos

2 2

3 / 2

arcsin( ) arcsin( )

2 2 2 2 2

c c c

b i b b

L

c L R

b L

R

dl Ei

dl rd

kR kR

E dl dl dl

r r

kR kR kR L L

d L R R



 

  

 

^



 







 

  

 

 

     

 





  





 

(35)

2

2 2

1 3 / 2

( / 2) arcsin( ) arcsin( )

2 2 2

3

2

3

12

a a

R

c c

L

U U U

kR L L

kL R L

L R R



kR





 

 

     

  



 继续

(36)

 电子感应加速器

 发电机

(37)

电磁学08-04: 自感与互感问题

 自感现象：由于回路自身电流、回路形状、或回路周围磁介质发生变化时，穿过该回路自身的磁通量随之改变，从而在回路中激发感应电动势。

0

3

if =const

4 ,

( )

B

S

L

Idl r

dB B I B d S I L I

r

d d dI dL dI

L I L I L

dt dt dt dt dt





          

  

         





 





    

 



这种自感现象会不会一级一级无穷无尽？！

(38)

 方向问题：回路电流参考方向与回路所张平面法线满足右手螺旋 法则，此时自感系数 L 恒为正；

 量纲问题：单位--亨利(H)=[]/[I]=Vs/A

 真空中的电势，自感系数的量值仅决定于回路的几何形状。

 若存在磁介质，则自感系数决定于回路的几何形状、周围介质的性质及所通电流。

自感电动势将反抗回路中电流的改变

(39)

 【例1 p.320】计算螺绕环的自感系数

 【例2 p.321】同轴电缆单位长度自感系数，内部填充了磁介质。

0 2 2

0 0 2

2 0 2

0 r ( )

r r

B

B N I

N S N Sl

l L n V

I l l

NΦ N SI

l

       

 

       

   



2 1

0 0

0 0 2

1

0 2

1

, ( )

2 2

2 2 ln

, 1 ln

2

r r

R r r

R

r

I Il dr

B d BdS B ldr

r r

Il dr Il R

d r R

LI L R

l I R

   

 

   

 

 



    

    

     

 



(40)

 相位问题：

( ) ( ) ( )

phase difference

sin cos

cos sin( ), sin =cos( ), c

( ) ( ) ( ) ( ) pha

circuit

os ,

relaxatio

s

2 n

2 2 in

U U t dQ

d dI

I I

d d

d Q t CU t i

dt

t B t t SB t L

d

t t

RC

d



   

     

 

           

     

  



 



se difference circuit relaxation 2 RL

 

(41)

 自感电路的过渡过程：电路接通

0 0

1 0

0 at 0,

(1 )

(1 ) at /

i t Rt

L

e

di di R

i t L iR dt

dt i L

R

di R

dt i e

L R

R i

i I t L R

 





      



    



  

 

回路时间系数弛豫时间

(42)

 自感电路的过渡过程：电路断开

0

0 0

at 0,

i t Rt

L I

i I t L di iR

R dt

di R

dt i I e

i L





    





 



 

 自感电路的危害与应用

 Resonant RLC circuit

(43)

 互感现象：一对相互靠近的感应线圈，因一个或两个载流线圈的电流变化而在对方线圈中激起感应电动势，这一现象称为互感应现象。

1

1 1

1 1 2 1

11 1 1 12 2 1

1 11 12 1 1 12

12 1

2

for loop :1 ( ) ,

S

S S

B B dS

B dS B dS

L I M I

M I

    



      

 



      







 



 



2

2 2

2 1 2 2

21 1 2 22 2 2

2 21 22 21 1 2

21 2

2

1

for loop :2 ( ) ,

S

S S

B B dS

B dS B dS

M I L I

M I

    



      

 



      



 



 



 



12 21

M  M  M

回路2对1的互感系数 M₁₂ 回路1对2的互感系数 M₂₁

(44)

 符号问题：每个回路电流参考方向与回路所张曲面法线方向满足右手螺旋法则；一旦实际电流与参考电流相反，则取负号。

1

12

12 2 1

2 2

2 2 1 2 1 12

2 2 2 1 12 ( 12 2) keeps its 1

if 0, ( ) ~ [ / 2, 3 / 2], 0 0

if 0, 0, 0 0, sign!

S

M B dS

I I

I B S B dS M

I B B dS M M I

 

   

      

     





 



 

(45)

 互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们的相对位置，以及周围介质的磁导率有关

 互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互影响程度。

1 1 2

1 1 11 12

2 1 2

2 2 21 22

2 2

12 12

for loop : for lo

1 2 op :

, at 1 /

dΦ dI dI

L M

dt dt dt

dΦ dI dI

M L

dt dt dt

dI dI

M M A s

dt dt

         

      



 互感系数在数值上等于当第二个回路电流变化率为每秒一安培时，在第一个回路所产生的互感电动势的大小。

(46)

 互感系数相等证明(两线圈电流从零变化到 I₁、I₂)

 从做功角度切入：

1 2

1 1 12 1 1 1

1 2

2 21 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 21 2 1

1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 12 1 2 21 21 2 1

for loop : ,

( ) , ( ) ( )

1 2

di di

L M dW i dt

dt dt

di di

M L dW i dt

dt dt

dW dW dW L i di L i di M i di M i di

i di d i i i di dW L i di L i di M d i i M M i di

     

     

       



 假定 (i₁, i₂) 各自独立变化到 (I₁, I₂)，则总功跟过程无关：

1, 2 1, 2

2 2

1 1 2 2 12 1 2 21 12 2 1

0 0

1 1

( )

2 2

I I I I

W 



dW  L I  L I  M I I  M  M



i di

(47)

 如果互感问题不涉及铁磁质，即功为单值函数，则

 如果互感问题涉及铁磁质，则磁化过程与路径相关，总功 W 不 再是单值函数，则：

21 12

M  M

1, 2 1, 2

21 12 0 2 1 0 2 1 21 12

(M  M )



^{I I} i di  0 ^



^{I I} i di  0, M  M

 实际电工学中上式都是成立的，互感系数不能视为相等。

(48)

 【例8.3.25】一大圆线圈半径为 a，共有 N 匝，电阻为 R。一磁偶 极矩为 p_m 的小磁棒沿它的轴线抽出，在离中心为 x 处时，抽出速 度为 v。求大线圈中产生的感应电动势；当小磁棒从线圈中心移 到无穷远处，大线圈中流过的电荷量。

 设在 x 处有一同轴小线圈 S：

2 0

2 2 3/ 2

2 2

0 0

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

at point :

2( )

2( ) 2( )

x B Na I

x a

Na IS Na S

BS M

x a I x a



 

 



      

 ^小大 

 设同轴小线圈 S 有电流 i 流过：

2

0 2 2 3/ 2

2( )

m M M Na m

p iS M i

x a

 ^ p

   



大小

大小小大

x

互感系数的等价与转换

(49)

 由此，小线圈引起的大线圈感应电动势：

2 2

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

2 2

2 2 5 / 2 2 2 5 / 2

1

2( ) 2 ( )

3 3

2( ) 2( )

m m

Na Na

d d d

dt dt x a dt x a

Na Na

p p

p x dx p x

x a dt x a v

   

             

 

 

 大线圈的电流：

2

2 2 3/ 2

2 2

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

0

1

2 ( )

1 1

2 ( ) 2 ( ) 2

x

m x

m

m m

Na

dq d

I dt R R dt x a

Na Na N

dq d q

R x a R x a aR

p

p p ^ p



 

       

 

         

(50)

 磁链的概念：

 【例8.3.28】同轴电缆有直导线(半径为a，磁导率



₁)和外圆筒(半径为 b)组成，中间充满介质(



₂)。电 流在电缆内均匀流动。求电缆单位长度自感 L。

 磁场局限在外圆筒内部：导线内磁链为



_i^，磁介质内磁链为



_e^，则：

 对导线而言：

0

0 2 0 2 2

/ , /

2 ln l

2 n

2

i i e e i e

b b

e S a a e

L I L I L L L

Il dr Il b

B dS Bldr

r

l b

L a

a

   

 

 



      

 



^  ^ 







  

2 0 0 1

2 2 2

i

I Ir Ir

H dl rH r H B

a a a

  

 

  

      



^ ^



(51)

 继续：以轴心为原点，取半径 r 处的面积元 dS=ldr

 这部分磁通只是包围了导线内半径为 r 的部分，其电流为：

0 1

2 2

i Il r

d B Sd d

a r

 

   

2 2

0 1 3 0 1

4 2

0 2

0 1

2 8 8

i i

i a

i i i i

I r I a

I Il Il

d d r dr d

I

a

a I r

I

L l

I





    

 



 



 

   

    



  

0 2 0 1 0

2 1

ln 2 ln 1

2 8 4 2

e i

l b l L b

L L L

a l a

      

  

 

        

 

分数匝数

i i i

Id   I d 

磁链的概念

(52)

 对导线部分换一个角度求解：对截面取电流圆环 dI

2 2

0 1 0 1

2

0 1 0 1

2 2

0 1 0 2

0 0

2 2

1 (ln )

(ln )

dI

dI dI r r dI

i r r

r r a

dI S dI dI r

a a

i dI

dSdI ldr

I I

dI r dr r dr

a a

H dl rH dI B dI I r dr

r r a

I lI a

d B dS r dr ldr r dr

a r a r

lI a

d r dr

a r

 

   

  

   

 

 



 

 

   





   

 

      

   

  



 

    

 





 

 

 

 



1 0 1

4 4

i

Li

Il l

I







   

??????看起来不对！错误在哪里？

也可以从能量角度求！即【例2, p.328】，后面会涉及！

(53)

 对导线部分再换一个角度求解：一系列电流环 所产生自感的“叠加和” L_i=dL_i

 注意：在对 dL 进行求和时，我们化其为对 dr/a 的积分，以保证量纲一致。

 

⁰

0 0 1

2 2 2

0 1

0 1 2 0

0 1

2

1 1

0

2 2 , (ln )

1 2

4

1

4

dI dI a

dI r

a a

r

i i

i dI

a r

a

dI i

lI

I I a

dI r dr r dr d r dr

a a a r

d l

dL dr

dI r

l r dr l

a r dr

l

r d

Il r dr d

IL I L r

a r

a dL a

r

r dL adL

  

 

 



 















     

    



   

   







 





 



 



也可以从能量角度求！即【例2, p.328】，后面会涉及！

(54)

 【例8.3.7】两螺线管相套，略去 边缘效应，求自感、互感及相互关系。

 

2 2 0 1 1 1

1

1 2 2

0 2 2 2

1 1 1 2

2 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

2 2 0 1 1

1 1 1 1

2

0 1 2 1

21 2 21 2 2 1

2

0 1 2 1

21

1 1 1

1 2 2

1

( 0)( ) L N a

I l

L N a

l

B S B S S B S

a

N a

B n I N I B S I

l l

N N a I

l

N N a

N N N I

l N N a

M M L L

I l a

  



     

    

     

  



   

 

  

注意小螺线管外和大螺旋管内空间 没有 B₁，或 者说 B₁=0。

第八章 电磁感应

上课是不是照着ppt念？！