第五章真空中恒稳电流的磁场

(1)

第五章真空中恒稳电流的磁场

(2)

电磁学05-01: 静电学的启发

 静电场梗概：

① 库仑定律(静止、点电荷>面电荷>

偶极子)

② 高斯定理(积分、微分)

③ 电场强度和电势(场)

④ 导体(自由电荷、等势体、电容器)

⑤ 介质(束缚电荷、极化、宏观场)

⑥ 静电场的能量和功能原理

⑦ 稳恒电流(闭环回路关系)

 静磁场梗概：

① 奥斯特实验安培定律

② 毕奥－萨筏尔定律

③ 安培环路定理

④ 磁场“高斯定理”磁矢势

⑤ 磁场对载流导线的作用

⑥ 带电粒子在磁场中的运动

(3)

 静磁场与静电场的唯像对应性：形式相似

 电磁场之间的关联与耦合性：物理关联性

(4)

(5)

电磁学05-02: 磁相互作用 (借鉴北大王稼军老师教案)

 基本实验事实：奥斯特实验

 19世纪20年代前，磁和电是独立发展的；

 奥斯特，丹麦物理学家 Hans Christian Oersted 深受 康德哲学关于“自然力”统一观点的影响，试图找出 电、磁之间的关系；

 1820年7月

(6)

电磁学05-02: 磁相互作用

 基本实验事实：奥斯特实验长直载流导线与之平行放置的磁针受 力偏转——电流的磁效应

 磁针是在水平面内偏转的 ——横向力

 突破了非接触物体之间只存在有心力的观念——拓宽作用力类型

 揭示了电现象与磁现象的联系；

 宣告电磁学作为一个统一学科诞生；

 历史性的突破；

 此后迎来了电磁学蓬勃发展的高潮。

 Ampere写道：“Oerster先生……已经永远把他的名字和一个新 纪元联系在一起了”；

 Faraday评论说：“它突然打开了科学中一个一直是黑暗的领域 的大门，使其充满光明”。

(7)

 基本实验事实：

 Forces on a Current-Carrying Wire

 Jumping Wire

 Magnetic Field of a Line Current (1)

(8)

 基本实验事实：安培实验

 Ampere 圆电流对磁针作用

 Ampere 平行电流对磁针作用

 Arago 钢片被电流磁化

 磁铁对电流的作用

 Ampere 通电导线受马蹄形 磁铁作用而运动

(9)

 基本实验事实：安培实验

 Ampere 螺线管与磁铁相互 作用时显示出N极和S极

 确定载流螺线管极性

 实验表明载流螺线管相当于磁棒

，螺线管的极性与电流成右手螺旋关系

(10)

 总结基本实验事实：

① 天然磁体周围有磁场；

② 通电导线周围有磁场；

③ 电子束周围有磁场；

④ 通电线能使小磁针偏转；

⑤ 磁体的磁场能给通电线以力的作用；

⑥ 通电导线之间有力的作用；

⑦ 磁体的磁场能给通电线圈以力矩作用；

⑧ 通电线圈之间有力的作用；

⑨ 天然磁体能使电子束偏转。

表现为：

使小磁针偏转

表现为：

相互吸引排斥

偏转等

 天然磁体和运动电荷周围的磁场有互作用

 不同的运动电荷周围的磁场之间也有互作用

电荷的运动---天啊

！

(11)

电磁学05-03: 磁的库仑定律

 磁相互作用的本质与规律？

 毕奥－萨筏尔的研究课题

 安培的研究课题

 电流产生磁的逆效应

 电、磁相互作用的传递问题

 比照点电荷的库仑定律定义磁荷：

 Q_m1、Q_m2，有：

1 2

2

0

1 2 7

2 0 0

1 4

1 /

4

m m

F k Q Q k r

F Q Q N A

r



 





  

    

 磁荷的库仑定律要求磁荷存在，目前为止尚无确凿证据；

 但最近在一些自旋冰体系和自旋液体体系中观测到有效磁单极子

 自1821安培的分子电流学说，目前电磁学理论以“一切磁现 象都是电流引起的，不存在磁荷”这一学说为基础的！

(12)

电磁学05-04: 安培的分子电流图像

 毕奥－萨筏尔(Biot-Savart)的研究：寻找电流元对磁极作用力的 定量规律

 认为电流对磁极的作用力是自然界的基本力

 受 Oester 横向力的影响，认为每一个电流元对磁极的作用力也 垂直于导线与磁极构成的平面

 困难是无孤立的电流元

 安培的研究：寻找电流产生磁场的规律

 几乎在同样背景下，安培提出的问题更深入，显示出大师风范

 安培认为：磁现象本质是电流、物质的磁性来源于“分子”电流

 这是安培根据实验的种种表现作出的重要的抽象

(13)

 “分子”电流

 所谓“分子”，是指构成物质的基元，当时对物质结构和分子

、原子的认识还很肤浅

 每个分子都有电流环绕着，当分子排列整齐时，它们的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流

 磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体效果

(14)

 “分子”电流

 以“分子电流”取代磁荷

——能解释磁棒与载流螺线管的等效性

 可将种种磁相互作用归结为电流之间的相互作用

 提出寻找任意两个电流元之间作用力的定量规律

——即可解决磁相互作用的问题

(15)

 电荷的运动是一切磁现象的起源：

 运动的电荷  磁场磁场  对运动电荷有磁力作用

 存在的困难：

 同样地：无孤立的电流元；

 两电流元及两者连线三者不共面；

 涉及的几何因素更多，难度增大；

 安培精心设计了四个示零实验来解决这些困难。

 (后面会回到这个精彩的问题上来)

(16)

电磁学05-05: 磁场与磁感应强度

 均匀磁场对电流元的作用力

 在假定的“磁场 B”大小与取向固定后，有：

( , )

max

sin dF  f Idl   dF  dF 

 无论



如何变化，F 总是与 Idl 垂直

，虽然大小变化  所谓横向力！

 在假定的“磁场 B”中，F 的大小与



有上述关系，因此可以定义：

dF

max

B dF Idl B

 Idl      

 安培力公式；B 的单位是 N/(A m)=Tesla(特斯拉)。

(17)

电磁学05-06: 毕奥-萨筏尔定律

 有了磁场(磁感应强度)的定义，可以开始讨 论电流元产生的磁场 B 了。

 Biot和Savart通过设计实验研究电流对磁极 的作用力；

 在数学家Laplace帮助下，得出B-S定律(早于 安培)。

0

4

3

Idl r

dB r





 

  

 Biot首先重复Oester的实验(实验一)：

 测量长直载流导线对单位磁极的作用力；

 装置：如图，沿圆盘径向对称放置一对相同的磁棒；

 看看是如何分析实验的。

(18)

 逻辑创意：

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 2 2

N pole: /

if 0 1

S pole: / if 1

1 ~ 0

i i

H r r r C

H L r H L

H r r r C r

H H r H r L

r H r

 

           

    

 





    

 

(19)

 B-S设计了实验二：电流折线实验

 磁极所受作用力方向垂直于折线与磁极构成的平面。

max

if 0, then 0 if /2, then

if /4, then 0.41 2

4 tan H

H I

H

H H k r

H



 





  

    

   

折



折

最大可能是横向力

！

这个实验里，夹角不能接近  !!

P

 - 

 r ^P

 - 

 r

(20)

 由实验证实电流元对磁极的作用力是横向力；

 整个电流对磁极的作用是这些电流元对磁极横向力的叠加；

 由对称性，上述折线实验结果中，折线的一支对磁 极的作用力的贡献是 H_折的一半。

tan , 1

2 2

H k I k k

r

  

_折

^P

 - 

 r ^P

 - 

 r

(21)

 Laplace参与分析电流元 Idl 对空间 P 点磁极的作用力 dH：

这里的 r 是任意的，与 前一张slide中的 r 有所不同。

d dr

dl

dH H H

dH dl dl

dl  r dl



 

 

         

(22)

2 2

( )

tan , 2

1 , tan

tan

2cos / 2

(1 cos ) sin sin ,

2

2 cos

dH H d H dr

dH dl dl

dl dl r dl

H k I r

H I H I

Idl I

d dr

again

dl r

dH k k dl

r r

r r r

dl

k k



 



 





 

 

   

 



 

  

  



  



 Laplace继续卖萌求dH：

(23)

 对磁极的力写成矢量式：

 考虑到是对磁极的作用力，N极和S极类比于磁荷，因 此，dH 实际上就是磁场 dB，只是在量纲上做一些统 一定义：

3

dH k Id

r

 

 l r 

0

3 3

4 Idl r Idl r

dB k

r r





 

 

   



(24)

 磁场叠加原理：

 所有电流元激发的 dB 的矢量和！

 闭合电流在空间所产生的磁场为：

 闭合电流在磁场中受到的力：

 若电流散发在广延的导体中：

p i

B ^   B ^

3

Idl r

B r







 

  ^{ }

 

F ^    Idl ^  B ^

3

B j r d

r









 

  ^{ }

 F ^   ( ^ j B d  ^ ) 

(25)

电磁学05-07: 毕奥-萨筏尔定律的应用

 计算简单电路的磁场：基本方法

 (1) 选取电流元 Idl 或选取典型载流导线元，写出其 dB；

 (2) 建立坐标系，对 dB 求矢量和或分量求和，注意磁场的分布；

 (3) 对某些载流导体的组合体，直接应用叠加原理计算。

(26)

0

2

0

2

sin 4

dB Idx

r B dB Idx

r

 

  



 

   

 【例1】载流直导线产生的磁场

 真空中，坐标系 XOY，参量 I,



₁,



₂, a；

 任取电流元 Idx，建立磁场 dB (大小及方向)

0

4 3

Idl r

dB r





 

    Magnetic Field of a Line Current (2)

(27)

2

1

2

0 0

2 2

0 0

1 2 2 1

2

0 0

1 2

( ) csc

sin sin sin

4 4 sin s

(cos cos ) (sin sin )

4 4

in sin (cos cos )

4 4

dx a d

x actg actg

r a

I dx ad

B I

r a

I d I

a B a B I

a a

I



    



     

 

     

 



     

 

     

 

 

  

    

 



 统一积分变量：

 推广与推论：

0

1 2

0

1 2

0, 2

/ 2,

4 B I

a B I

a

   



    



   

(28)

0 0

2

0 0 2

2 2

0

2

0 2 0 0

3 3

2 2 2 2

2 0 2 3

2 2

0 0 0

0 0

0 3

cos 4 sin

cos sin cos

4 4

sin cos 2

4 4 ( ) 2( )

0, 2 2

2 /2, sin

r r

r

B dB dB

dB Idl

r

Idl Idl

B r r

I IR R IR

d IR

r l R r R r

I S

r R

r B I

R

r r



 

     

 

     

 

 





  

  

 

 

    

 

  

 

 



 【例2】载流圆线圈轴线上的磁场

 已知 I, R, r₀，由对称性，只有轴线上分量非零

(29)

 推广与推论：

0

0 0

2 2

2 2 4

B I

R

I I

B R R

  

   

 

  

  

(30)

2 2

1 1

2 2

0 0

3 3

2 2

0 0

3 2

0

2 1

2 2

, & sin sin

( ) sin

2 sin 2

(cos cos ) 2

IR ndl IR ndl

dB B dB

r r

R R

l Rctg dl d

r

nIR R nI

B d d

r nI

 

 

  



    



  

   

    

   

 

 



 【例3】载流螺线管中的磁场

 长为 L、匝数为 N 密绕螺线管，忽略螺距，半径 为 R；一匝线圈轴线上的场可用圆电流结果；

 针对轴线上的 P 点(线圈匝密度n)。

标反了！

2 0

2 3 r

B IR

r

 

(31)

 推论：

 无限长或者半无限长螺线管有：

1 2

0

1 2

2

, , 0

, & , 0

2 2

B nI

B L

nI

  

 

    



    

   





标反了！

均匀磁场

 请证明事实上螺线管内处处磁场均匀！

 看一段录像：Field of a Circular Cylindrical Solenoid

(32)

 【例4】亥姆霍兹线圈

 结构：一对间距等于半径的同轴载流圆线圈；

 用处：所需磁场不太强时，用来产生均匀磁场；

 命题：证明线圈在轴线中心附近的磁场最为均匀；

 将两单匝线圈轴线上磁场叠加。

2 0

1 3

2 2 2

2 0

2 3

2 2 2

1 2

2 4

( )

2 2

4

( )

2 B R I

R x a B R I

R x a

B B B

 



 



    

    

 

(33)

 Field of Square Pair of Coils

(34)

0 2

5 5

2 2

2 2 2 2

2 2

2

0 2

7 7

2 2 2

2 2 2 2

2 2

4 6

( ) ( )

2 2

4 4

2 2

4 6

( ) ( )

2 2

a a

x x

dB R I

dx a a

R x R x

a a

x R x R

d B R I

dx a a

R x R x

 

 

   

 

    

        

    

 

     

         

     

   

        

    

 

 求一阶和二阶导数：

 在 x=0 处二阶导数为零时轴线中心点磁场最均匀的条件：

2 2 2

0 2 7

2 2

0 2

2 2

6 0

4

2 4

x

a R

d B a R

R I a R

dx a

R

  



     

 

 

 





(35)

 注意点：

 原则上，B-S 定理加上叠加原理可求任何载流导线在空间的 B；

 实际上，只在电流分布具有一定对称性，能够判断其磁场方向，

并可简化为标量积分时，才易于求解；

 为完成积分，需要利用几何关系，统一积分变量；

 一些重要的结果应牢记备用；

 如果对称性有所削弱，求解将困难得多

 如圆线圈非轴线上一点的磁场，需要借助特殊函数才能求解

 又如在螺距不可忽略时，螺线管的电流既有环向分量又有轴向分量，若除去密绕条件，就更为复杂。

(36)

 针对电流元之间磁相互作用，安培通过四个“

精致”实验及前人观测总结出安培定律。

 无定向秤的使用，它对均匀磁场无响应；但对 非均匀磁场有响应(为什么？)。

 实验一：

 用对折导线，在其中通以大小相等、方向相反的电流，把它移近无定向秤附近的不同部位，观察无定向秤的反应；

 结果：无定向称不动；说明当电流反向时

，它产生的作用力也反向；

 数学表达：

电磁学05-08: 安培定律

12 1 1

12 2 2

dF I dl dF I dl



(37)

 实验二：

 用载流曲折线对无定向秤无作用；

 电流元具有矢量性。

电磁学05-08: 安培定律

1 1

2 2

I dl I dl



(38)

电磁学05-08: 安培定律

 实验三：装置如图

 只允许圆弧形导体沿其切线方向运动而不允许圆弧形导体沿着与其垂直的方向运动；

 结果：圆弧导体不动；

 说明：作用在电流元上的力是 与它垂直的——横向力。

1

12 2

0

l

dF dl dF dl



 



 



A和B为磁铁或者线圈，产生向上的磁场

。箭头指的弧线可以在支撑架上沿圆弧切线滑动，但固定钩C勾住圆弧使之不能沿圆弧矢径方向运动。

(39)

 实验四：

 圆线圈A/B/C线度之比为1/n:1:n

，A与B距离以及B与C距离比为 1:n， A与C固定并串联，电流相 同；线圈B可以活动，通以另一 电流；

 结果：B不动；

 结论：所有几何线度增加同一倍数，作用力不变。

电磁学05-08: 安培定律

1 1 2 2

12 2

12

I dl I dl

dF  r

(40)

电磁学05-08: 安培定律

 根据安培的假设：两个电流元之间的相互作用沿它们的联线，

相当于承认：

12 12

[****** ]

dF    r 



多个标量项

 假设的目的是期望电流元之间作用力满足牛顿第三定律，由此推出公式：

12 1 2 12 3 1 2 5 1 12 2 12

12 12

2 3

( ) ( )( )

dF kI I r dl dl dl r dl r

r r

 

       

 

   

(41)

电磁学05-08: 安培定律

 实际没有孤立的电流元，两个孤立电流元不一定满足牛顿第三定律，横向力并不一定沿连线，此条件应该去掉。

 后人重新整理为：

0 1 1 12

3 1

0 1 2 2 1 12

12 3 2 2

12

2 2

4

2

(

4 ) I d l r

r I I d l d l r

dF I d l

r

I d l dB









 

  





   





 

(42)

电磁学05-08: 安培定律

 被Maxwell誉为“科学中最光辉的成就之一”；Ampere本人则被 誉为“电学中的Newton”；

 实际上原始安培公式很不好使用。

0 1 2 2 1 12

12 3

12

( )

4 I I d l d l r

dF r





 



  



 启示：

 安培从错综复杂的现象与联系中，提炼出磁现象的本质 ——独具慧眼

 提出寻找电流、电流之间的相互作用的定量规律问题——问题的深度、

广度和重要性高于其他同代人提出的问题，显示出大师风范，也反映了正确抽象、洞察本质的重要性；

 在解决问题上，面对难以测量的困难，巧妙地设计示零实验，设计与理论猜测相结合，揭示出电流元相互作用应具有的特点，采用矢量点乘、

叉乘来表示dl₁、_dl₂、r₁₂之间的关系。

(43)

电磁学05-08: 安培定律

 提出的课题：

 电流产生磁的逆效应的问题：将导致电磁感应现象的发现。

 电、磁相互作用的传递问题：超距作用和近距作用的论争再次激化，将导致电磁场理论的建立。

 探测磁场：Voltmeter Reading Induced by Magnetic Induction

 探测磁场：Field of Square Pair of Coils

(44)

电磁学05-08: 安培定律

 平行电流线之间通过磁场传递的相互作用力：

12 12 2 2 2 2 12

0 1 0 1 2

12 12 2

0 1 2 0 1 2

12 21

2 1

sin( , )

2 , 2

2 2

df Idl B F df df B I dl I dl B

I I I

B df dl

a a

I I I I

df df

dl a dl a

 

 

 

 

   



  

  

     

 



 电流单位“安培”的定义：放在真空中的两条无限长平行导线，通有相等 的稳恒电流，若两导线相距1m，而每一导线每米长度上所受另一导线对它的 作用力为210^-7N，则导线上的电流定义为1A。

 电流天平实验。

(45)

电磁学05-09: 磁场的“高斯定理”

 磁通量：任意磁场，磁通量定义为

d m

B dS_

 

 磁感应线：与电场线类似，定性表述大小方向。

 方向沿切线，密度遵循

B

S

B d S

   ^  ^

(46)

 磁感应线的特点：环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远。

B

0

S

B d S

   ^  ^ 

^{磁高斯定理，无源场}

 磁高斯定理：通过磁场中任一闭合曲 面 S 的总磁通量为零。

 单个电流元 Idl 的磁感应线：以 dl 方 向为轴线的一系列同心圆，圆周上 B 处处相等；

(47)

1

2

1 2

0

2

1 1 2 2

0 0

1 1 2 1 1 2

0 0

2 2 2 2 2 2

sin 4

cos cos

sin sin

4 cos 4

sin sin

4 cos 4

0

B

B B B

dB Idl

r

dS dS dS

Idl Idl

d d B d S dS dS

r r

Idl Idl

d d B d S dS dS

r r

d d d

 

  

    

 

    

 



  

     

    

     



 

 考察任一磁感应管(正截面为 dS )，

取任意闭合曲面 S，磁感应管穿入 S 一次，穿出一次；

(48)

 结论：任一磁感应管经闭合曲面 S 的磁通量为零；

 一个电流元产生的磁场可看成由许多磁感应管组成；

 有的穿入又穿出，有上述结论；

 有的没穿过 S，磁通量为零；

 任意载流回路——由许多电流元串联而成，由叠加原理得；

 结论：通过磁场中任一闭合曲面 S 的总磁通量恒等于零。

(49)

 微分形式：说明恒磁场的散度为零——无源场

0 0

B

S V

B d S BdV

B divB

       

     

 ^ ^  ^

 



0

1

S s

E dS Q

   

 ^ ^



内

(50)

电磁学05-10: 安培环路定理

 从简单类比开始：

 以无限长载流导线为例：

0

0 0

(1) 2 (2)

+

0 0

2 2

( ) ( ) 0

2 2

L

a b b c

c d d a

a c

B I B dl I

r

B dl B dl B dl

B dl B dl

I I

ab cd

r r

I I

r r

 



 

 

   

 

 

   

     

  

   

  



  

 

 

  

 



L

E dl   0

 ^ ^

  

L

B dl ^  ^  ^?

?

(51)

 以闭合导线为例：虽然微积分证明比较复杂，但结果是一样的；

 各种严格的证明在电动和网络上可以找到，后面提供一种证明。

 对于任何闭合电路所产生的磁场：

0

L

B dl    

L

I 

L

E dl  

 ^ ^  ^ ^



^内



(52)

 广延电流形式和微分形式：

0

( )

L

S S

B dl B d S j d S

B j



     

  



^ ^



^ ^



^ ^

 



_{说明 B 的旋度不为}

零——有旋场

 不闭合的稳恒电流激发的分磁场，安培环路定理并不成立 (

无限长直载流导线在无穷远处闭合的

_)。

0

2 2 1/ 2

0

2 2 1/ 2 0

2 ( )

( )

bc

B Ia

a r

B dl Ia I

a r





 

 

  

 ^ ^ 



L 0

S

B dl    j dS 

 ^ ^  ^ ^



(53)

 预备知识：对于曲面元 S，其外法向 n。

其内外两侧各有场点 P₊和 P_- 。

 面元 S 对 P₊ 所张的球面角 ₊>0，而对 P- 所张的球面角 _-<0。

 严格证明安培环路定理

 当 P₊ 和 P_- 都无限靠近球面内外侧时，这两个球面角的绝对值之和正好无限接近一个完整球面对球心 所张的球面角4：

4 

   

       

 也就是说，通过一个路径(此路径不穿过面元 S) 从 P_- 到达 P₊ 时，对应的球面角刚好变化 4。

(54)

 考虑一电流环 L₁ 在 P 点产生的磁场，满足：

1

0 1 12

2 ( ) 12

( ) ˆ

4 _L

 dI







^l ^r

B r



r

 考虑将 P 点移动位移 dl₂，相当于电流环 L₁ 位移 -dl₂

，到达新位置L₁^。

 计算如下点乘积：

1

1 1 1

0 2 1 12

2 2

( ) 12

0 2 1 12 0 12 0 21

2 2 2

12 12 21

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ˆ )

( ) 4

ˆ ˆ ˆ

( )

=

4 4 4

L

L L L

I d d

d

I d d I I

d d





  

  

    

 

    

  

      



  

A B C A B C

l l r

B r l

r

l l r r r

r r r

 



  

?? ??

L

B dl     B dl 

 ^ ^ ^ ^



(55)

 积分号里面的点乘项正是阴影面积元对 P 点所张开的 球面角，用 d ^表示：

1 1

0 21 0

2 2

( ) 21 ( )

( ) ˆ

4 _L 4 _L

I I

d



d



d



 

^{B r}  ^l  

 

 ^ ^r_r  

 

 对回路 L₁ 积分，得到的是整个环带  对 P 点张开的球面角 ^：

0

( ) 2

4 d



I

 

B r  l   也可理解为场点 P 作平移 dl₂ 引起立体角变化

 考虑一闭合曲面，由 S 曲面和 S^曲面和  共同组成。对 P 点而言，S 曲面对应的球面角 ，S ^曲面对应的球面角 ^。

(56)

2 2

0 0

2 2

0

'( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

' '

( ) 4 4

( ) 4

r r r

d d

I I

d d

I



 

 



 



    

   

          

     

 





l l

B r l l

B r

 ，

 下面来看 P 点划过空间形成一个回路 L，L 与一 个电流环套在一起：L 被分为两段 L₁ 和 L₂。

 从球面角几何关系有：

 实际上就是 P 点移动dl₂ 后的球面角，比移动之前球面角  增大^。

所以，闭合电流环对空间任一场 点 P 处产生的磁场与环对 P 点所 张球面角的梯度成正比。

(57)

 

2 1 2

1 2 1

2 2

2 1

1 1

( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0

( ) ( )

4 4 4 4 4

P P P

L P P P

L L L

P P

L L

d d d d

I I I I

d d I

     

   

       

          

   

 

B l B l B l B l

l l



 如果电流环路与回路 L 分离，则 P₁ 和 P₂重合，环路积分为零。

 对多个电流环与回路 L 套在一起，则应用叠加原理 如法炮制，得到：

 对回路 L 计算安培回路积分：

0 L L

B dl     I

 ^ ^



这种证明思路是很变态的，也说明电

磁学很Fantasy和优美至极！

(58)

电磁学05-11: 安培环路定理的应用

 【例1】无限长圆柱形载流导体磁场；

 导线半径为 R，电流 I 均匀地通过横截面；

 轴对称(利用 B 是轴矢量分析)，取环路：分两种情况。

0

2 0

2 2

S

if , then

2 if , then

2

S

r R I I B I

r

Ir

r R I I r B

R R





 

 

    





   





内

(59)

 讨论：长直载流圆柱面，已知 I

、

_R

0

if , 0

2 if ,

2 if , ??

r R B dl Bdl rB B r R I

r r R

 



 

      

 





^ ^



 

 讨论：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流 I

2

0

1 2

1

(1) , 0

2 (2) ,

2

(3) , 0

r R B

B dl Bdl rB B R r R B I

r r R B

 



 



        

  





^ ^



 

(60)

 【例2】载流长直螺线管内的磁场

 密绕，L>>R，忽略螺距；

 B 是轴矢量，垂直于镜面；

 论证管外 B=0，管外即使有磁场也是沿轴向的。

 (1) 无穷远处 B=0，所以 B_P=0；

 (2) 管内一点 P：

0 i

L S

B dl     I

 ^{ }



内

0 0

L P

P P

B dl B dl B dl B dl B dl B l  n lI B  nI

  

        

     

 ^{ }  ^{ }  ^{ }  ^{ }  ^{ }



(61)

 【例3】载流螺绕环的磁场

 密绕，匝数：N，电流：I

 利用 B 是轴矢量的特征分析场的对称性：

 磁感应线与环共轴

0 0

0

2 0

2 if , then

2

i L S

B dl B r I NI B NI

r

R d n N

R B nI

   



 

      

   



^{ }





内

(62)

 【例4】半径为 R 的无限长圆柱形导体管，

管内空心部分半径为 r，轴与圆柱的轴平行

，两轴间距为 a，且 a>>r。有电流 I 沿导体 管流动，电流均匀分布，求：(1) 洞内的 B

；(2) 洞中心O及大圆柱内一点的 B；

 在哪些情况下可以用安培环路定理求 B？

 本章最后，我们还会回到这些问题上来！

(63)

电磁学05-12: 磁矢势问题

 再回首，云遮断归途；再回首，你还不放逐：

0

0 0

S

L L

B d S B

B d l  I B j

      

 

     

 



 

  

   





内

• 无源场

• 有旋场----非保守场一般 不引入标势

 然而磁场的主要特征：无源 (无散)—— 磁高斯定理

 其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势

(64)

 磁“高斯定理”表明，对任意闭合曲面：

1 2

0

S S S

S S

B d S B d S B d S B d S B d S

     

  

  

 

     

   



磁通量仅由的共同边界线所决定

可能找到一个矢量 A，它沿 L 作线积分等于通过 S

L S 的通量

A dl   B dS 

 ^ ^  ^ ^



 数学上可以证明，这样的矢量 A 的确存在，对于磁感应强度 B

，A 叫做磁矢势，A 在空间的分布也构成矢量场，简称矢势。

(65)

 磁矢势的一个例子：

(66)

 磁矢势的矢量解释

 对任意矢量 A，可以定义：

    (  A )  0 

^definition

  B      A

 满足这一定义的磁矢势不唯一，类似于电场对应的电势不唯一，零点可以随意取。为证明这一点，从任意标量场



^出发：

Gauge transformation

0 ( )

( )

A A A B

B A A A

A



 

   

               

   

       

   



    

   



Stokes' th )

eorm

(

L S S

A dl    A dS  B dS



^ ^



^ ^



^ ^



 因此矢量 A 和 A+ 都是 B 的矢量势，不唯一。通

常取库仑规范势 A=0。电动力学求解基于方程：

0 B A

A A

      

   

 

 

(67)

 计算磁矢势的大学物理方法：

 计算任意电流元 dl 所产生的磁矢势 a：总可以先假定其沿 z 方向 a=a_z。取空 间任一闭合回路 L=L_a+L_b+L_c+L_d，无穷远 L_d 处的 a=0：

L SL

A dl  B dS



^ ^



^ ^



( )

0

L a b c d

b

S L L L L L

L

B dS a dl a dl a dl a dl a dl a dl a r dl

          

  

     



^z

    

      

 



第五章 真空中恒稳电流的磁场