數學家 Paul Erd¨ os
蔡聰明
Paul Erd¨os (1913 ∼ 1996)
去年九月二十日, Paul Erd¨os (1913 ∼ 1996, Erd¨os 唸成 “air-dish”) 在波蘭華沙 參加一個數學研討會, 突然心臟病發而離開 人間。 數學界因此失去了一位非常獨特並且 具有高尚道德情操的偉大數學家。
如果火星人在 Erd¨os 活著的期間, 曾經 跟地球接觸過, 那麼請 Erd¨os 代表地球到火 星去當大使必是個好主意。 外星人應該會欣 賞 Erd¨os 的超地球凡俗的智慧。 他使用的是 宇宙普遍語言—數論, 既流利又機智。 更重要 的是, 他不受塵世所羈絆。 他沒有結婚, 沒有 孩子, 沒有房子, 沒有信用卡, 沒有固定工作,
沒有換鞋的麻煩。 事實上, 他什麼都沒有, 只 有一只簡便的行李箱, 裝著些許衣物以及一 些筆記本, 周遊全世界。 他不挑食, 只要有咖 啡。 他說:「一個數學家就像一部機器, 將咖啡 轉變成定理。」 他的樸素生活完全是為了數學, 他的整個身體與靈魂都是為數學而活。
數學? 這是令許多人頭痛的一門學問!
大多數受過一些教育的人, 你向他們解說大 霹靂 (the Big Bang) 或遺傳學, 他們可以 理解, 但是他們對於數學的興趣總是侷限在 只能了解銀行存款簿上的錯縱而已。 對於數 學家來說, 他們所從事的學問是人類心智最 純粹的創造, 而許多人都公認,Erd¨os 是本世 紀所出產的數學家中之翹楚。
一般而言, 當 Erd¨os 抵達他要給演講 的一個城市時, 他會打電話給他的數學家朋 友, 告知 「我的頭腦已經來到」, 聽起來彷彿是 從地獄來的聲音。 但是對於邀請他的主人, 這 個頭腦是一個可以共享的寶藏, 並且他們有 共同的責任加以開發。 主人只需打理他的吃、
住, 負責幫他清洗衣物, 就這麼簡單。
Erd¨os是一位雲遊世界的猶太人。 在他 的大半輩子, 故國匈牙利都是在獨裁者的統 治之下, 他的家人有許多位被德國的希特勒
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殺害。 為了回報照顧他生活的朋友之恩情, 他 從數論、 圖形與邏輯擷取美麗的珍珠。 他的問 題經常是很容易描述, 但是卻不易求解, 擁有 廣大的創造與驚奇空間。
舉個例子, 假設有無窮多個點畫在一張 無窮的畫布上, 使得任何兩點之間的距離都 是整數, 問這幅畫看起來是什麼樣子? 當他 向你說明, 這些點只能落在一條直線時, 他 會眉飛色舞, 額頭起皺紋。 但是你無法要求他 解釋他的美妙證明, 除非你對圓錐曲線有興 趣。(這個例子出自 Anning 和 Erd¨os 合寫的 一篇文章, 發表在 Bull. AMS 51 (1945), 598-600。)
他喜歡說: 上帝擁有一本超限的天書 (a transfinite book), 裡面包含所有的數學定 理以及它們的最佳可能證明。 如果上帝好意 的話, 他會讓你偷窺一下。 例如 Fermat 的
「兩平方和」 定理, 即任何形如 4n + 1 的質 數皆可唯一表成兩個自然數的平方和, Erd¨os 認為 Gauss 所提出的證明就是從這本天書擷 取的。 所謂的最佳證明是指最單純且最漂亮 的證明, 有時候這並不唯一。
Erd¨os的雙親都是數學教師。 在四歲時, Erd¨os 發現了負數, 有一天他對媽媽說:「如 果你從 100 減去 250, 那麼你將得到低於 0 的 150。」 那時他已會心算三位數與四位數 的乘法, 但是沒有人教他負數。 後來, 他總是 很高興地回憶說:「這是一種獨立發現。」 他又 說 : 「當我十歲時, 父親告訴我歐幾里得定 理“質數有無窮多個”的證明, 從此我就被數 學釣上了。」 一個正整數如果除了“1”之外不 能被比他小的正整數整除, 就叫做 「質數」。 例
如, 他的生年 1913 是質數, 他的享年 83 也是 質數。 他在十七歲進入 Budapest 大學, 當大 多數新鮮人只求功課平安及格時,Erd¨os 就得 到生平第一個重要的數學發現: 對於著名的 Chebyshev 定理提出一個初等的論證, 證明 在任何兩個自然數n ≥ 2與2n之間, 至少存 在有一個質數。 從而, 歐幾里得定理是自然的 結論。 四年後, 他大學畢業並且得到數學的博 士學位。 對於先前數學家所發展出來的質數 理論, 他利用更簡潔的辦法加以重鑄, 被譽為 有如開闢巴拿馬運河的航路, 解除了必須繞 道南美洲的麻煩。
接著, 他得到英國 Manchester 大學 所給的四年獎學金。 從此以後, Erd¨os 就 採行 「雲遊學者」(the wandering scholar) 的生活方式, 成為 「宇宙的教授」(professor of the universe)。 他周遊世界, 經常在一 個月之中, 訪問了十五所大學與研究機構。
他養成在旅途中, 在飛機上, 隨時隨地都可 以做數學的習慣。 Gauss謙稱自己的研究成 果,「雖不多, 但個個熟透」(Few,but ripe), 這變成 Gauss 的格言; 而 Erd¨os 的格言 卻是 「另一個屋頂, 另一個證明」(Another roof,another proof)。 Erd¨os 從未有一個固 定的職位, 通常都是在幾家研究機構輪駐, 每 個地方只待上一段短時間。 他全心奉獻給數 學, 有幾位親近的朋友幫他打理財務, 包括報 稅。
在 1938∼39之間, 他待在普林斯頓的高 等研究院, 與 Mark Kac 及 Aurel Wint- ner 共同發展出機率式的數論 (probabilis- tic number theroy)。 在1949年, 他與 Atle
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Selberg 合作得到質數定理的一個初等但並 不容易的證明。 這使得 Selberg 在1950年得 到 Fields 獎, Erd¨os 在 1951 年得到 Cole 獎。 後來, 在 1983 年他和陳省身共同得到 Wolf 獎, Erd¨os 將五萬美元的獎金自留 750 美元, 其餘都捐出去。
漂亮歸漂亮, 可能有人會質疑 Erd¨os 所發表的約一千五百篇論文 (其中約五百篇 是跟他人共同合作) 是否有實用價值? 他並 沒有宣稱他的論文具有實用性。 他說, 只要 證明美妙, 這就夠了。 然而, 數學不論是多 麼抽象, 總是會有一天在某一個地方變成有 用, 這是數學的奧妙所在。 例如,「組合學」 是 Erd¨os 所探索的一支數學, 它可以計算用磚 鋪滿一個不規則空間所需的塊數。 他在圖枝 理論 (graph theory) 的研究工作, 也被應 用到通訊網路的設計上。
多年前, 有位著名的老數論家曾很不 客氣地當著 Gian-Carlo Rota 的面批評 Erd¨os 的研究工作說: 「Erd¨os 只是在重複 使用幾個戲法而已。」 這令 Rota 心裡不舒服, Rota 說 : 「事實上, 每個人都只有那幾招, 連 偉大的 Hilbert 亦不例外! 我跟大家一樣敬 佩 Erd¨os 在數學上的貢獻。」
超過 60 年以上驚人的研究生涯, Erd¨os 對數學作出許多貢獻, 主要是在數論、 機率 論、 實變與複變分析、 幾何學、 逼近理論、 集 合論與組合學, 其中要以數論與組合學是他 的天才特別閃亮的領域。
他的非凡左腦, 曾幫助過許多剛出道的 年輕數學家。 他設立兩個基金, 一個在匈牙 利, 一個在以色列, 專門獎勵年輕數學家。 對
於他來說, 具有潛力的數學家是個“ε”, 這 個希臘字母被數學家用來表示一個很小的量。
對於一個“ε”, 他扮演著“Uncle Paul”的關 懷角色。 他拋出問題, 如果他們能夠解出來, 他就給他們幾百美元作為獎勵, 藉此也把他 從演講與獲獎所得到的收入, 像散財童子般 地分送出去。 一個同事形容他像一隻勤勞的 蜜蜂: 嗡嗡嗡地飛到世界各地去傳播數學花 粉。
他所提出的未解決問題都附有標價, 從 10 美元到最高的一萬美元, 完全根據問題的 難度而定。 當然, 追尋 Erd¨os 未解決問題的 答案, 其誘因是榮譽大過金錢。 每個人都以能 擁有 Erd¨os 簽名的支票為榮。 舉一個例子:
考慮一個無窮數列, 各項都是自然數, 假設 其倒數和之無窮級數是發散的, 問此無窮數 列是否含有任意長度的算術數列 (即等差數 列)? 這一題的標價是三千美元。
Erd¨os與匈牙利神童 Louis P´osa 的相 遇相知最為人所津津樂道。 在 1959年的夏天, 當時 P´osa 未滿 12 歲,Erd¨os 從美國回匈牙 利, 人家告訴他說, 有一位小男生名叫 P´osa 知道相當多的高中數學 (P´osa 的母親是一 位數學家)。 於是 Erd¨os 非常好奇, 第二天 就跟 P´osa 共進午餐。 當 P´osa 在喝湯時, Erd¨os 就提出下面的問題: 給你n + 1 個自 然數, 皆小於或等於2n, 試證必存在有兩個 數是互質的。 這是 Erd¨os 在多年前發現的 結果, 他費去十來分鐘才找到真正簡單的證 明。 P´osa坐在那裡一面喝湯一面想, 經過半 分鐘, 他開口說: 「如果你有n + 1個自然數小 於或等於2n, 那麼必有兩個數是接續的, 因
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此他們互質。」 這 讓 Erd¨os 留下深刻的印 象, 他將這件事比美於 Gauss 7 歲時就會巧 算出1 + 2 + . . . + 100之和。 從此,Erd¨os 與 P´osa 結下不解之緣, Erd¨os常寫信拋問題給 P´osa, 兩人有系統地共同工作。
由於 Erd¨os 跟許多數學家合寫過論文, 於是 Casper Goffman 幽默地提出: 每個數 學家都有一個 Erd¨os 數 (Erd¨os number) 的概念。 設 A,B 為兩個數學家, 令Ai, i = 0, 1, . . . , n, 為n + 1個數學家, 使得A0 = A, An= B並且Ak與Ak+ 1至少合寫過一篇論 文, k = 0, 1, . . . , n − 1, 記成
A0 = A → A1 → A2. . .→ An = B 這是連結A 與B 的一條鏈, 我們稱此鏈的長 度為 n。 在連結A 與B 的所有鏈中, 最短的 長度叫做 B 的 A 數, 記為 ν(A; B)。 若 A 與 B 之間不存在鏈, 則定義 ν(A; B) = +∞。
顯然 ν(A; A) = 0, ν(A; B) = ν(A; B) 並 且有三角不等式
ν(A; C) ≤ ν(A; B) + ν(B; C) 特別地, 取A=Erd¨os, 則我們就得到 Erd¨os 數的函數
ν(Erd¨os; · ) : 所有數學家
→ {0} ∪N∪ {+∞}
例如,Goffman 算得 ν (Erd¨os; Goffman)
= 7, 後來又發現 7 可降為 3。 愛因斯坦的
Erd¨os 數為 2。 在數學界流傳有這樣一句話:
「如果你不知道 Erd¨os 的話, 你就不是一位 真正的數學家。」
有人稱讚 Erd¨os 為 「數學家的莫 札特」 或 「西方的 Ramanujan」, 也有 人拿他跟 L. Euler(1707∼1783) 相比。
Euler 是有史以來最令人驚異且最多產的 瑞士數學家。 我們很難描述 Erd¨os 對數 學的熱情, 我們只能說, 他在數學中一天 工作 19 小時, 一星期工作七天。 要找本 世紀專注於抽象思維而又視 「富貴如浮雲」
的人, 我們會發現奧地利哲學家 Ludwig Wittgenstein(1889∼1951) 與法國數學家 Alexandre Grothendieck(1928∼) 兩個人。
前者為了哲學剝光他的生命, 捨棄他的財產, 全力以赴; 後者拒絕接受瑞典科學院頒給他 的大獎, 理由是 「一個人的超額享受必以其 他人的需要為犧牲, 這難道不是很明顯嗎?」
Erd¨os 散盡他賺來的錢, 只不過是因為他不 需要它們。 他會說 「私有財產是擾人的」。 當 Wittgenstein 被內在狂亂驅迫到接近到自 殺邊緣時, Erd¨os 只是單純地建構他的人生, 從他偉大而莊嚴的思想中, 摘取最大量的幸 福。
—本文作者任教於台灣大學數學系—
