x = 1 22 AB = 3

高雄市明誠中學 高二數學寒假作業 日期：94.02.06 班級 普二 班

範

圍 1-1 拋物線+ans

座號

姓 名 一. 選擇題 (每題 10 分)

1、( C ) 拋物線 之準線方程式為

(A) x = 2 (B) x = 1 (C) x = 0 (D) y = −1 (E) y = −2

2 4 2

y

=

x

−

y

− 5 解

解析析：配：配方方後後(

y

+1)² =4(

x

− ⇒1)

x x

方向方向拋物線，開開口口向向右右，，c

c

==11，，準準線線為為

x x

== 00

2、( B ) 設拋物線

y

² = x8 上有一焦弦AB，其坐標為 A(

x ,

₁

y

₁)，B(

x ,

₂ )，若知 ， 則

y

2

x

₁+

x

₂ =7 AB= (A)13 (B)11 (C)9 (D)7 (E)5

解析解析：：(

y

−0)² = ⋅ ⋅ − ⇒ =4 2 (

x

0)

c

2，頂，頂點點((00 ,, 00)) ，開開口口向向右右，，焦焦點點

F( F

(22 ,, 00))，，準準線線

x x

== −−22 ，，

2 2 2 2

1 8 ,1 2 8 2 ( 1 2) ( 1 0) ( 1 2) 8 1 ( 1 2)

y

=

x y

=

x

⇒

FA

=

x

− +

y

− =

x

− +

x

=

x

+ ²

∴

∴

FA

= +

x

₁ 2，，同同理理

FB

=

x

₂+2 ∴∴

AB

=

AF

+

FB

= + +

x

₁

x

₂ 4 ∴∴ AB=1=111

3、( E ) 設拋物線Γ 之焦點坐標為(2 , 2)，準線方程式為 x+y+4=0，則下列何者可為正焦弦 之端點坐標？ (A)(−2 , −2) (B)(0 , 0) (C)(2 , 2) (D)(4 , 0) (E)(6 , −2)

解析解析：焦：焦點點為為((22 ,, 22))，，準準線線為為

x+ x

+y

y+

+44==00故正故正焦焦弦弦在在直直線線

x+ x

+y

y−

−44==00上上，，且且其其方方向向向向量量(1, 1)−

d( d

(F

F,

,L

L)

)== 8

4 2 2 | |

2 = =

c

∴ ∴ | | 2 2c =

∴

∴ 利用利用位位移移量量求求正正焦焦弦弦兩兩端端點點為為 (1, 1) (2, 2) 4 2

2

± × − ==((66 ,, −−22)) 或 或 (−(−22 ,, 66))

4、( AB

DE ) 滿足下列各條件中的二次函數y = ax² + bx + c，頂點在的位置何者正確？(複選)

(A)a > 0，b > 0，b² – 4ac > 0，第三象限 (B)a < 0，b < 0，b² – 4ac > 0，第二象限 (C)a < 0，b < 0，b² – 4ac < 0，第一象限 (D)a > 0，b > 0，c < 0，第三象限 (E)a > 0，b < 0，c < 0，第四象限 二. 填充題 (每題 10 分)

5、平面上通過(−2,−1)且與 x = 3 相切的所有圓之圓心軌跡方程式為______。

答案答案：：( 1)² 10( ¹) y+ = − x−2 解

解析析：設：設圓圓心心

C C(

(x

x

,, y

y)

)，，F

F(

(−−22 ,, −−11))，，L

L:

: x

x

–– 33 == 00 ∴ ∴

d( d

(C

C

,, F

F)

) == d

d(

(F

F

,, L

L)

)

∴ ∴ 圓心圓心軌軌跡跡為為拋拋物物線線，，其其方方程程式式為為( 1)² 10( ¹) y+ = − x−2

6、設拋物線之頂點為(0 , 2)，焦點為(−2 , 2)，則此拋物線方程式為______。

答

答案案：：(

y

−2)² = −8

x

解析解析：：由由頂頂點點焦焦點點位位置置知知，，x

x

方方向向拋物線開開口口向向左左，，c

c

== −−22，，故故方方程程式式為為(

y

−2)² = −8(

x

−0) 7、在△ABC 中，設

AB

=

AC

，

BC

=2，有一拋物線Γ 之頂點為 B，焦點為 C，又過 A 點，

則AB之長為______。

答案答案：3：3

解析解析：建：建立立坐坐標標系系設設

B B(

(00,,00))，，C

C(

(22,,00)) ∴拋∴拋物物線線為為

y

² =8

x

，又，又 AB=

AC

，，¹ 1 2BC= 1

x

= 代入代入y² =8x⇒ = ±2 2y ∴∴

A A

坐標坐標為為((11,, 2 2) ) ∴ ∴

AB

= 3

8、設焦點為(1 ,1)，對稱軸平行 x 軸，正焦弦長為 8 之拋物線方程式為______或______。

) )

答案答案：：(

y

−1)² =8(

x

+1 ，，(

y

−1)² = −8(

x

−3 解析解析： 4 c： = 8 ∴∴

c

= ±2， ，

當當

c c

== 22，，頂頂點點為為((−−11 ,, 11))，，拋拋物物線線為為(

y

−1)² =8(

x

+1) 當當

c c

== −−22，，頂頂點點為為((33 ,, 11))，，拋拋物物線線為為(

y

−1)² = −8(

x

− 3)

9、設二拋物線 與 共頂點，則此頂點坐標為

______，又 a = ______，b = ______。

3 2 6 3 2

y

=

x

+

x

+ + a

y

= −2

x

²+4

bx

+ −3 2

b

²

答案答案：(：(−−11,,33)),, ³ 2, , −−11 解

解析析：：

y

=3(

x

+1)²+ a2 與與

y

= −2(

x b

− )²+3共頂共頂點點( 1, 2 )− a =( , 3)b

∴ ∴

b b

== −−11，，22a

a

== 33 ∴ ∴

a a

==³

2，頂，頂點點為為((−−11,, 33))

10、對稱軸平行於 x 軸，而且過 A(−3 , 2)、B(0 , 3)、C(5 , 4)三點的拋物線方程式為______，

又其焦點坐標為______。

答

答案案：：

x

=(

y

−1)² −4，(，( ¹⁵

− 4 ,1,1)) 解析解析：S：Sooll11：：

設設

x

=

ay

²+

by

+

c

，A(−3 , 2)、B(0 , 3)、C(5 , 4)三點代入 ，

，解之 ，

3 4 2 0 9 3 5 16 4

a b c a b c

a b

− = + +

⎧⎪ = + +

⎨⎪ = + +

⎩

c

1 2 3

a b c

⎧ =

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

2 2 1

2 3 ( 1) 4 ( 4

x=y − y− ⇒ y− = ⋅ ⋅ +4 x )

c c =

=¹

4，開，開口口向向右右，，頂頂點點為為((−−44 ,, 11))，，∴∴ 焦點焦點(( ¹⁵

− 4 ,1,1)) SoSoll22：：

設

設拋拋物物線線為為x=a y( −3)(y−α)+0，，代入代入((−−3 3 ,, 22))與與((55 ,, 44))，，3=a(2−α)，，5=a(4−α)

∴ ∴

a a

== 11 ，，

α

= = −−

4 1 1

∴ ∴

∴

∴ 頂點頂點為為((−

2 2

( 3)( 1) 2 3 ( 1)

x

=

y

−

y

+ =

y

−

y

− =

y

− −

−44 ,, 11))，，c

c =

=¹

4 ∴ ∴ 焦點焦點(( ¹⁵

− 4 ,1,1))

11、設拋物線Γ之焦點為(1,3)，準線為 2x+y+5=0，則其頂點為______，對稱軸為______。

答

答案案：(：(−−11,,22)),, x

x−

−22y

y+

+55==00

解析解析：焦：焦點點

F F(

(11,,33))，，準準線線

L L：

：22x

x+

+y

y+

+55==00，，

2 2

| 2 1 3 5 | 10 ( , )

2 1 5 d F L = × + + =

+ 焦點焦點

F F

在準在準線線

L L

之投之投影影點點為為 10 (2,1)

(1,3)

5 5

− ⋅ ==((−−33,,11))

∴ ∴ 頂點頂點為為((−−

5 1,1,22))，，對對稱稱軸軸為為

x- x

-22y

y+

+55==00

12、直線 y = x + k 與拋物線 相交於相異兩點 P、Q，

(1)求 k 的範圍為______，(2)若

2 3

y

= − +

x x

+ 6 2

PQ= ，則 k = ______。

答案答案：k：

k <

< 66,, −−33

解析解析：： ₂ 3 5

y x k

y x x

⎧ = +

⎨ = − + +

⎩ ⇒

x

²−2

x

+ − = 0(

k

5)

(1(1)) 相交於相異兩點 P、Q ∴∴

D D

>> 00,, 11−−((k

k − −

55)) >> 00,, k

k

<< 66

(

(22)) 設設

P x y

( ,_{1 2}), ( ,

Q x y

_{2 2})，，則則

x x

₁, ₂為為

x

²−2

x

+ − =(

k

5) 0之二之二根根且且 ^{1 2}

1 2

2 5

x x x x k

+ =

⎧⎨ = −

⎩ 因因

y

₁ = +

x

₁

k y

, ₂ =

x

₂+ ⇒ −

k y

₁

y

₂ = −

x

₁

x

₂，且，且PQ=6 2， ， 故

故 (

x

₁−

x

₂)²+(

y

₁−

y

₂)² =6 2⇒ 2(

x

₁−

x

₂)² =6 2⇒(

x

₁−

x

₂)² = 36，， 又

又(x₁−x₂)² =(x₁+x₂)²−4x x_{1 2}⇒ (2)²−4(

k

− =5) 36，k，

k =

= −−33

13、拋物線 之頂點為______，焦點為______，對稱軸為______，準線 為______。

4

y

2+4

y

−12

x

+13=0

答

答案案：(：(11 ,, ¹

−2))，，((⁷ 4,, ¹

−2)，)，y

y

== ¹

−2，，x

x

== ¹ 4 解析解析：配：配方方( ¹)² 4 ³ (

2 4

y+ = ⋅ ⋅ −1)x 為 為

x x

方向方向拋物線且開開口口向向右右

∴ ∴ 頂點頂點為為((11 ,, ¹

−2)，)，c

c

==³

4，焦，焦點點為為((⁷ 4,, ¹

−2)，)，對對稱稱軸軸為為

y y

== ¹

−2，，準準線線

x x

==¹ 4

14、設拋物線 與 相交於 P、Q 兩點，則 PQ 直線方程式為

______。

2 3 2

y

=

x

−

x

+

y

= −2

x

²+5

x

− 3 答

答案案：x：

x+

+33y

y=

=11 解

解析析：：

2

2

3 2 (1) 2 5 3 (2

y x x

y x x

⎧ = − +

⎨ = − + −

⎩

""

"" ) ^{(1) 2 (2)× + ⇒}3y3

y

== −−x

x

++11 ∴ ∴

PQ P Q

方方程程式式為為

x x

++33y

y

== 11 15、設拋物線 頂點為(1 , 2)，其對稱軸平行於 y 軸，又通過點 P(2 , 4)，則 之方程式為

______。

Γ Γ

答

答案案：：

y

=2(

x

−1)²+2 解

解析析：：設設Γ：：(

x

−1)² =4 (

c y

− )2 ，代，代入入((22 ,, 44))，，得得 ¹ ( 1)^{2 1}( 2)

8 2

c= ⇒ x− = y− ⇒ =

y

2

x

²−4

x

+ 4

16、拋物線 之頂點隨著實數 t 的改變而變，求頂點之軌跡方程式為

______。

2 2( 1) 2 2

y

=

x

+

t

+

x

+ +

t

答案答案：：

y

= − +(

x

1)²+1

解

解析析：：

y

=(

x t

+ +1)²− +1

t

² ∴∴頂頂點點為為((−− t

t −

−11 ,,− +t² 1) ) 頂

頂點點

x x

== −−t

t − −

11，，

y

= − +

t

² 1 ∴消∴消去去

t t

得得頂頂點點軌軌跡跡方方程程式式為為

y

= − +(

x

1)²+ 1

17、試求頂點為(−2 , −1)，對稱軸平行 y 軸，正焦弦長為 5 之拋物線方程式為______或______。

答

答案案：：(

x

+2)² =5(

y

+ )1 ，，(

x

+2)² = −5(

y

+1) 解

解析析： 4 c： = 5 ∴∴ ⁵

c= ±4 ∴∴ 拋拋物物線線為為(

x

+2)² =5(

y

+1)或或(

x

+2)² = −5(

y

+ 1)

18、設一拋物線之正焦弦二端點為 P(1,1)，Q(−3,1)，則拋物線方程式為______或______。

答案答案：：(

x

+1)² =4

y

，，(

x

+1)² = −4(

y

−2) 解

解析析：焦：焦點點為為((−−11,,11))，，c

c

==±1 1 ∴ ∴ 拋物拋物線線為為(

x

+1)² =4

y

或或(

x

+1)² = −4(

y

− 2) 19、拋物線

x

²+6

x

+4

y

+ = 01 之頂點為______，又準線方程式為______。

答

答案案：(：(−−33 ,,22))，，y

y

== 33

解析解析：：(

x

+3)² = −4

y

+8 ∴∴(

x

+3)² = −4(

y

− )2 ，，c

c

== −−11為為

y y

方向方向拋物線且開開口口向向下下，， 頂

頂點點為為((−−33 ,, 22))，，準準線線為為

y y

== 33

20、設圓 C 與圓

x

²+

y

² =1及直線 y = −3 相切，則動圓 C 之圓心之軌跡方程式為______或

______。

答案答案：：

x

² =8(

y

+2), ,

x

² =4(

y

+1) 解

解析析：(：(11))若若圓圓

C C

與圓與圓

x

² +

y

² =1外切外切，，則則其其圓圓心心軌軌跡跡方方程程式式為為焦焦點點在在((00 ,, 00))，，準準線線為為

y y

== −−44 的

的拋拋物物線線方方程程式式，，故故頂頂點點為為((00 ,, −−22))，，c

c =

= 22，，∴∴其其方方程程式式為為 ， ， (

(22))若若圓圓CC與圓與圓 內切內切，，則則其其圓圓心心軌軌跡跡方方程程式式為為焦焦點點為為((00 ,, 00))，，準準線線為為

y y

== −

2 8( 2)

x

=

y

+

2 2

1

x

+

y

= −22

的

的拋拋物物線線方方程程式式，，故故其其頂頂點點為為((00 ,, −−11))，，c

c =

= 11，，方方程程式式為為

x

² =4(

y

+ 1) 21、焦點為(1, 2)，正焦弦長 4，對稱軸 x = 1 之拋物線方程式為______。(兩解)

答

答案案：：(

x

−1)² =4(

y

− )1 ，，(

x

−1)² = −4(

y

−3)

22、設 P 點在拋物線

y

=

x

²− − 上移動，平面上有二定點 A(4 , 0)，B(3, −1)，則 P 點坐標

x

2 為何時，△ABP 有最小面積，又此最小面積為何？

答案答案：設：設

P P(

(t

t

,, t²− −t 2))⇒^____

AP

^\ = −(

t

4,

t

²− −

t

2),^____

AB

^\ = − −( 1, 1)

△A△

AB BP P

面面積積

4 2 2

1| |

2 1 1

t

−

t

− −

t

= − −

1 2

2 2 2 t t

= − + 1 ² 1

( 1) 1

2 t 2

= − + ≥

∴

∴ 令令

t t

== 11，，P

P(

(11 ,, −−22))時時，，△△A

AB BP P

有有最最小小面面積積¹ 2

23、試求以直線 L : 2x+ − =y 7 0為準線，F(–2, 1)為焦點的拋物線Γ 之方程式。

答案答案：P：

P(

(x

x,

, y

y)

) ∈Γ ⇔ ^{2 2}

2 2

2 7

( 2) ( 1)

2 1

x y

x y

+ −

+ + − =

+

⇔ ^{2 2} (2 7)²

( +2) + ( 1)

5

x y

x y

+ −

− =

⇔ 5(

x

+2)²+5(

y

−1)² =(2

x

+

y

)²−14(2

x

+

y

) 49+

⇔ (5

x

²+20

x

+20) 5+

y

²−10

y

+5

= =

故故Γ之方之方程程式式為為 。 。

2 2

4

x

+4

xy

+

y

−28

x

−14

y

+49

⇔

x

²−4

xy

+4

y

²+48

x

+4

y

−24= 0

2 2 0

4 4 48 4 24

x

−

xy

+

y

+

x

+

y

− =

24、試求對稱軸平行於 x 軸，而過 A(2, 1), B(4, 2), C(4, –1)三點的拋物線之方程式。

答案答案： ：

SoSoll11：： 設

設

x

=

ay

²+

by

+

c

，A(2, 1), B(4, 2), C(4, –1)三點代入 ，

，解之 ，

2

4 4 2 4

a b c

a b

a b c

= + +

⎧⎪ = + +

⎨⎪ = − +

⎩

c

1 1 2

a b c

⎧ =

⎪ = −

⎨⎪ =

⎩

2 2

x

=

y

− +

y

S

Sooll22：：

過

B B(

(44,, 22)),, C

C(

(44,, ––11))兩兩點點之之坐坐標標，，設設此此拋拋物物線線之之方方程程式式為為

x x

== a

a(

(y

y –

– 22))((y

y

++ 11)) ++ 44

A( A

(22,,11))代代入入，， 22 == a

a(

(11 –– 22))((11 ++ 11)) ++ 44

a a =

= 11

故拋故拋物物線線之之方方程程式式為為

x x

== ((y

y –

– 22))((y

y

++ 11)) ++ 44即即

x

=

y

²− +

y

2。 。

25、設 為一常數。已知一拋物線通過點 ，且焦點為(1 ，準線為 ，求此

拋物線頂點的坐標。

k

(2, 0) , 2) kx+ + =y 1 0

答案答案：設：設動動點點為為P x y( , )，，已已知知焦焦點點F(1, 2)，準，準線線L kx: + + =y 1 0，由，由拋拋物物線線定定義義知知：：

2 2

2

| 1

( 1) ( 2)

1 kx y

x y

k

− + − = + +

+

|

將將(2, 0)代入代入上上式式，，得得

2

2 2

2 2

| 2 1| (2 1)

1 4 5 5( 1) 4 4 1

1 1

k k

k k k

k k

+ +

+ = ⇒ = ⇒ + = + +

+ +

∴∴

k

²−4

k

+ =4 0 ⇒ (

k

−2)² =0 ⇒

k

= 2 故準故準線線L: 2x+ + =y 1 0。。 對稱對稱軸軸過過焦焦點點F(1, 2)且且垂垂直直準準線線，，其其方方程程式式為為 1

2 ( 1) 2 3

y− =2 x− ⇒ x− y+ =0 解

解 2 1 ，得，得準準線線與與對對稱稱軸軸交交點點坐坐標標 2 3 0

x y

x y

+ + =

⎧⎨ − + =

⎩

0 D( 1,1)− 。 。

頂點頂點V為為DF中點中點且且焦焦點點F(1, 2)、、D( 1,1)− ，所，所以以V 坐標坐標為為(0, )³

2 ，即，即 (0, )³ V 2 。 。

26、試依 k 之值討論 x² − +4 2x=k的實根個數。

答 答案案： ：

y x

2

y

=

k

4 2

⎧ = − +

x

⎪⎨

⎪⎩

當當x²− ≥4 0時即時即x≥2,x≤ −2，，

y

=

x

²+2

x

−4 當當x²− <4 0時即時即− ≤ ≤2

x

2，，

y

= − +

x

² 2

x

+4 則

則y= x²− +4 2x的圖的圖形形如如右右，，且且y=k為一為一水水平平直直線線 故

故 x²− +4 2x=k的實根個數即

2 4 2

y x x

y k

⎧ = − +

⎪⎨

⎪⎩ = 二圖二圖形形交交點點數數 k

k值 值 k< −4 k= −4 − < <4 k 4 k =4 4< <k 5 k =5 k>5 實

實根根個個數數 00 1 1 2 2 33 4 4 33 2 2