高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期:105.10.05 範
圍 1‐2 數線 班級 一年____班 姓 名
座號
一、單選題(每題 5 分)
1. ( B ) 若a a24a ,則實數 a 的範圍為何? 4 2 (A)a (B)0 a (C)2 a (D)2 a 2
解析: a
a2
2 a a 2 2;即 a ,∴2
a 2
a 故選(B) 22. ( A ) 對任意實數 a,試問下列敘述何者正確?
(A)a2
a 2 (B)a3
a 3 (C)a2 a2 (D) a3 a3 (E) a2 a解析: (A):
a 2 1 2a2 a2(B):(a)3 ( 1)3a3 a3,a0才成立 (C):a 不成立 0
(D):a 不成立 0 (E): 2 , 0
, 0 a a a
a a
故選(A)
3. ( B ) 若 a, b 為實數,且ab ,則下列何者正確? 0
(A) a b (B) a ba b (C)a b a b a b (D) a b a b 解析: (A)(B): ab2 a b2 (a22ab b 2) ( a22ab b 2) 4ab 0
∴ a b a b
(C): a b 2 a b 2 (a22ab b 2) ( a2 2ab b2) 2ab 2ab
2ab 2ab
4ab 0
∴ a b a b
(D):a b 2(a b)2 a22ab b 2(a22a b b2) 2ab 2 ab
2ab 2ab
0
∴ a b a b 故選(B)
4. ( D ) 若 x 為實數,不等式 x 恆成立,則實數 a 的範圍為何? 4 x 3 a (A)a (B)1 a (C)1 a (D)1 a 1
解析: 設 f x
, 所求為x 4 x 3 f x 的最大值
∵ x 4 x 3
x4
x3
1∴ x 的最大值為 1 4 x 3
∴a ,故選(D) 1
5. ( B ) 已知實數 a, b 在數線上的對應點為 A, B,如下圖所示,則下列敘述何者正確?
(A) a b (B) a ba b (C) a bb a (D) a ba b b a 解析: ∵a , 0 b ∴ a b0 a bb a 故選(B) a b
6. ( A ) 若b , 0 a0 b ,且c ab2 b ac
c c ,則下列何者正確?
(A) a (B) a c bb c (C)b c a (D) c a b (E) c b a 解析: ∵
2 2
2
ab ab c b
c c c ac b b b b
ac ac
c c c c
,即 c c
∴b , 0 c 又0 ac 0 a 0 但已知 0 a b 0 a b cc 故選(A)
7. ( A ) 已知 a, b 為實數,則下列各式中何者必為正值?
(A)a22a3 (B)
a b
2 (C)a2b2 (D) a 1
b2
2解析: (A):a22a 3
a22a 1
2
a1
2 2 2(B):若 a ,則b
a b
2 0(C):若a ,則b 0 a2b2 0 (D):a ,1 b 2 a 1
b2
2 0故選(A)
8. ( A ) 若 a, b 為實數,且 a b 5
ab6
2 0,則a2b2 ?(A)13 (B)26 (C)28 (D)37 解析: ∵ a b 5 0, (ab6)2 0
又a b 5
ab6
2 0∴ 5 0 5 2
6 0 6 3
a b a b a
ab ab b
或 3
2 a b
故a2b2 9 4 13 故選(A)
9. ( A ) 設 a, b 為實數,且a ,令甲b 0 5 2 11 3
2 7 14
ab a b a b
,乙 ,丙 ,則甲、乙、丙之大
小順序為
(A)甲 > 乙 > 丙 (B)乙 > 甲 > 丙 (C)乙 > 丙 > 甲 (D)丙 > 甲 > 乙 (E)丙 > 乙 > 甲
解析: 0 b a, 7 7 10 4 11 3
14 14 14
a b a b a b
甲 ,乙 ,丙
甲為 ,a b 間 14 等分的第 7 個等分點;
乙為 ,a b 間 14 等分的第 4 個等分點;
丙為 ,a b 間 14 等分的第 3 個等分點;
∴甲 乙 丙 故選(A) 二、填充題(每題 10 分)
1. (1) 若ax 1 b 之解為 5 x 3,則 a______, b =______.
(2) 設 a, b 為實數,若 ax 的解為 48 b ,則數對x 1 ( , )a b ______.
答案: (1)1, 4 ;(2)( 16 40, ) 3 3
解析: (1) 5 x 3 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 a 1,b 4
(2) 4 1 4 1 1 ( 4) 3 5
2 2 2 2
x x x
3 5 16 8 8
2 3 5 ( ) 3 ( ) 5
2 2 3 3 3
x x x
16 40
( ) 8
3 x 3
與 ax 同義8 b 16, 40
3 3
a b
2. 若 ( )f x ,則當 xx 1 x 2 x 3 ________時, f x( )有最小值為________.
答案: 1, 5
解析: 若x 時 2 f x( )(x 1) (x 2) (x 3) 3x2
若 1 時 x 2 f x( )(x 1) (x 2) (x 3) x 6
若 3 時 x 1 f x( ) (x 1) (x 2) (x 3) x 4
若x 時 3 f x( ) (x 1) (x 2) (x 3) 3x 2 由①②③④如圖所示,當x 時,1 f x( )有最小值為 5 3. 若 x, y 為實數,且 x 3
x y 1
2 0,則 2 2 34
x yxy y _____.
答案: 10
解析: ∵ x , 3 0
x y 1
2 0又 x 3
x y 1
2 0∴x , 3 0 x y 1 0 , x 3 y4
所求 9 4 3 16 16 36 48 16 10010 4. 若 1 ,則x 0 1 2 1 2
(x ) (x )
x x
________.
答案: 2x
解析: ∵ 1 x 0 1 1 x 0 x 原式 x 1 x 1
x x
1 1
(x ) (x )
x x
2x
5. 若 x 1 a與2x 1 b的解完全相同時,則 a______, b ______.
答案: 0,1
解析: x 僅有一解 1 a ∴a0,x 1,2 ( 1) 1 b b 1
6. 若 x, y 為實數,且 x , 3 2 y ,則使5 3 xy15 成立之最小 k 值為________. k 答案: 25
解析: ∵ x , 3 2 y 5 3 , 1 x 5 2 y 8
∴2xy40 13 xy152525xy1525 xy15 25 故滿足 xy15 成立之最小 k 值為 25 k
7. 滿足不等式 4 3x 的 x 值之範圍為 __________. 2 11 答案: 2 13,
x 3
2
3 x 3
解析: 4 3x 2 11
43x 2 11 4 (3x 2) 11
∴ 或
63x13 4 3x 2 11
∴ 或
63x13 2 3x 9
∴ 或
13 2
2 3
3 3
x x
∴ 或
8. 不等式 x 1 2 x 之解為________. 3 4 答案: 1 11
x 3
解析: x 時 3 (x 1) 2(x 3) 43x11 11 x 3
∴3 11 x 3
1 時 x 3 (x 1) 2(x 3) 4 x 5 4 ∴1x 1 x 3
x 時 1 (x 1) 2(x 3) 4 3x 7 43x3 ∴無解 x 1 由①②③故1 11
x 3
9. 設 a, b, c 為整數,且 3a 1 2b ,則序對3 c 4 2 ( , , )a b c ______.
答案: ( 1, 2, 4), ( 1, 4, 4), ( 1, 3, 2), ( 1, 3, 6)
解析: a 1 0,b 3 1,c 4 0 ,a 1 b 或 4,2 c 4
a 1 0,b 3 0,c 4 2 ,a 1 b ,3 c 或 62
∴( , , )a b c ( 1, 2, 4), ( 1, 4, 4), ( 1, 3, 2), ( 1, 3, 6)
10. 數線上三點 A, B, P 的坐標依次為 5 , 3, x 且PA3AB, 則x __________.
答案: 29 , 19
解析: (1)分點P A B
1 3 3
5 4
x
20 x 9 x 29 (2)分點A B P
1 2 5
3 3
x
9 x 10 x 19
11. (1)解方程式 x ,則其解為______. 5 x 2 9 (2)解不等式 x ,則其解為______. 5 x 2 9 (3)設 f x( ) x ,則 f (x)之最小值為______. 5 x 2 答案: (1)3 或 6 (2) 6 (3) 7 x 3
解析: (1)①x2 5時 x x 2 9 (x 5) (x2) 9 2x 3 9 x 3
② 5 x 2 時 x 5 x 2 9 (x 5) (2 x) 9 0 2無解
③x 5 5時 x x 2 9 (x 5) (2 x) 9 2x12 x 6 由①②③ x 3, 6
(2)①x2 時 (x 5) (x2) 9 2x 3 9 x 3,故2 x 3
② 5 x 2 時 (x 5) (2 x) 9 7 9 恒成立 ;故 5 x 2
③x 5 (時 x 5) (2x) 9 2x12 x 6,故 6 x 5 由①②③ 6 x 3
(3) f x( ) x 5 x 2 x 5 2 x (x 5) (2 x) 7 ( ) 7 7
f x
∴ 最小值為