a  1 a  1 a  1 a  1 a  1  0  22 abab  40 ab  22 abab  40 ab ab  0 a  0 a  0 a  2 a  0 a  2 a  2 a  2 aaa  442

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：105.10.05 範

圍 1‐2 數線班級一年____班姓名

座號

一、單選題(每題 5 分)

1. ( B ) 若a a²4a  ，則實數 a 的範圍為何？ 4 2 (A)a (B)0 a (C)2 a (D)2 a  2

解析： ^a^



^a^²



² ^{  }â â ² ^²^;即 â^{    ，∴}²



^a ²



^a^{ 故選(B)}²

2. ( A ) 對任意實數 a，試問下列敘述何者正確？

(A)^a² ^{ }

 

^a ²^(B)^a³ ^{ }

 

â ³^(C)^â² ^ â² ^(D) â³ ^â³^(E) â² ^â

解析： (A)：

   

^â ² ^{ }¹ ²^â² ^â²

(B)：(a)³  ( 1)³a³ a³，a0才成立 (C)：a 不成立 0

(D)：a 不成立 0 (E)： ² , 0

, 0 a a a

a a

 

   故選(A)

3. ( B ) 若 a, b 為實數，且ab ，則下列何者正確？ 0

(A) a b   (B) a ba b    (C)a b a b  a  b (D) a b   a b 解析： (A)(B)： ab² a b² (a²2ab b ²) ( a²2ab b ²) 4ab 0

∴ a b   a b

(C)： a b ² a b ² (a²2ab b ²) ( a² 2ab b²) 2ab 2ab

   2ab 2ab

   4ab 0

  

∴ a b  a b

(D)：a b ²(a b)² a²2ab b ²(a²2a b b²) 2ab 2 ab

   2ab 2ab

  

 0

∴ a b   a b 故選(B)

4. ( D ) 若 x 為實數，不等式 x    恆成立，則實數 a 的範圍為何？ 4 x 3 a (A)a (B)1 a (C)1 a (D)1 a 1

解析：設 ^{f x}

 

    , 所求為^x ⁴ ^x ³ ^{f x 的最大值}

 

∵ ^x^{   }⁴ ^x ³



^x^⁴

 

^ ^x^³



^¹

∴ x   的最大值為 1 4 x 3

∴a ，故選(D) 1

5. ( B ) 已知實數 a, b 在數線上的對應點為 A, B，如下圖所示，則下列敘述何者正確？

(2)

(A) a b   (B) a ba b    (C) a bb a    (D) a ba b    b a 解析： ∵a , 0 b ∴ a b0    a bb a    故選(B) a b

6. ( A ) 若b , 0 a0   b  ，且c ^ab² ^b ac

c  c ，則下列何者正確？

(A) a  (B) a c bb c   (C)b c a  (D) c a b  (E) c b a  解析： ∵

2 2

2

ab ab c b

c  c  c ac b b b b

ac ac

c c c c

 

    ,即 c   c

∴b , 0 c 又0 ac   0 a 0 但已知 0 a  b   0 a b cc    故選(A)

7. ( A ) 已知 a, b 為實數，則下列各式中何者必為正值？

(A)a²2a3 (B)



^{a b}^



² ^(C)^a²^^b²^(D) ^a^{ }¹



^b^²



²

解析： (A)：^a²^²^a^{ }³



^a²^²^a^{  }¹



²

^

^a^¹

^

²^{ }² ²

(B)：若 a  ，則b



^{a b}^



² ^⁰

(C)：若a  ，則b 0 a²b² 0 (D)：a ,1 ^b^{   }² ^a ¹



^b^²



² ^⁰

故選(A)

8. ( A ) 若 a, b 為實數，且 ^a^{  }^b ⁵



^ab^⁶



² ^⁰^，則^a²^^b² ^^？

(A)13 (B)26 (C)28 (D)37 解析： ∵ a b  5 0, (ab6)²  0

又^a^{  }^b ⁵



^ab^⁶



² ^⁰

∴ 5 0 5 2

6 0 6 3

a b a b a

ab ab b

     

  

 

      

   或 3

2 a b

 

  故a²b²   9 4 13 故選(A)

9. ( A ) 設 a, b 為實數，且a  ，令甲b 0 ⁵ ² ¹¹ ³

2 7 14

ab a b a b

 ，乙 ，丙 ，則甲、乙、丙之大

小順序為

(A)甲 > 乙 > 丙 (B)乙 > 甲 > 丙 (C)乙 > 丙 > 甲 (D)丙 > 甲 > 乙 (E)丙 > 乙 > 甲

解析： 0 b a， ⁷ ⁷ ¹⁰ ⁴ ¹¹ ³

14 14 14

a b a b a b

  

甲，乙，丙

甲為 ,a b 間 14 等分的第 7 個等分點；

乙為 ,a b 間 14 等分的第 4 個等分點；

丙為 ,a b 間 14 等分的第 3 個等分點；

 

∴甲乙丙故選(A) 二、填充題(每題 10 分)

1. (1) 若ax 1 b 之解為   5 x 3，則 a______, b =______.

(2) 設 a, b 為實數，若 ax  的解為 48 b    ，則數對x 1 ( , )a b ______.

答案： (1)1, 4 ；(2)( ^{16 40}, ) 3 3



(3)

解析： (1)        5 x 3 4 x 1 4   x 1 4       x 1 4 a 1,b 4

(2) 4 1 ^{4 1} ^{1 ( 4)} ³ ⁵

2 2 2 2

x x     x

        

3 5 16 8 8

2 3 5 ( ) 3 ( ) 5

2 2 3 3 3

x x x

            

16 40

( ) 8

3 x 3

    與 ax  同義8 b ¹⁶, ⁴⁰

3 3

a  b

  

2. 若 ( )f x       ，則當 xx 1 x 2 x 3 ________時， f x( )有最小值為________.

答案： 1, 5

解析： 若x 時 2 f x( )(x 1) (x 2) (x 3) 3x2

若 1   時 x 2 f x( )(x   1) (x 2) (x  3) x 6

若 3    時 x 1 f x( )     (x 1) (x 2) (x   3) x 4

若x  時 3 f x( )         (x 1) (x 2) (x 3) 3x 2 由①②③④如圖所示，當x  時，1 f x( )有最小值為 5 3. 若 x, y 為實數，且 ^x^{ }³



^x^{ }^y ¹



² ^⁰^，則 ² ² ³

4

x yxy  y  _____.

答案： 10

解析： ∵ x  , 3 0



^x^{ }^y ¹



² ^⁰

又 ^x^{ }³



^x^{ }^y ¹



² ^⁰

∴x  , 3 0 x  y 1 0   , x 3 y4

所求 9 4 3 16 16     36 48 16   10010 4. 若 1   ，則x 0 1 ² 1 ²

(x ) (x )

x x

    ________.

答案： 2x

解析： ∵ 1   x 0 ¹ 1 x 0 x     原式 x ¹ x ¹

x x

    1 1

(x ) (x )

x x

    2x

5. 若 x 1 a與2x 1 b的解完全相同時，則 a______, b ______.

答案： 0,1

解析： x  僅有一解 1 a ∴a0,x 1，2 ( 1) 1   b  b  1

6. 若 x, y 為實數，且 x  , 3 2 y  ，則使5 3 xy15  成立之最小 k 值為________. k 答案： 25

解析： ∵ x  , 3 2 y 5 3   , 1 x 5 2 y 8

∴2xy40  13 xy152525xy1525 xy15 25 故滿足 xy15  成立之最小 k 值為 25 k

7. 滿足不等式 4 3x  的 x 值之範圍為 __________. 2 11 答案： 2 ¹³,

x 3

  2

3 x 3

   解析： 4 3x  2 11

(4)

43x 2 11 4 (3x 2) 11

∴ 或

63x13  4 3x  2 11

∴ 或

63x13  2 3x 9

∴ 或

13 2

2 3

3 3

x x 

    

∴ 或

8. 不等式 x 1 2 x  之解為________. 3 4 答案： 1 ¹¹

x 3

 

解析： x 時 3 (x 1) 2(x 3) 43x11 ¹¹ x 3

  ∴3 ¹¹ x 3

 

1  時 x 3 (x 1) 2(x 3) 4   x 5 4  ∴1x 1   x 3

x 時 1   (x 1) 2(x 3) 4   3x 7 43x3  ∴無解 x 1 由①②③故1 ¹¹

x 3

 

9. 設 a, b, c 為整數，且 3a 1 2b    ，則序對3 c 4 2 ( , , )a b c ______.

答案： ( 1, 2, 4), ( 1, 4, 4), ( 1, 3, 2), ( 1, 3, 6)       

解析：  a 1 0,b 3 1,c 4 0    ,a 1 b 或 4,2 c  4

a 1 0,b 3 0,c 4 2   ,a 1 b ,3 c  或 62 

∴( , , )a b c  ( 1, 2, 4), ( 1, 4, 4), ( 1, 3, 2), ( 1, 3, 6)      

10. 數線上三點 A, B, P 的坐標依次為 5 , 3, x 且PA3AB, 則x __________.

答案： 29 , 19

解析： (1)分點P A B

1 3 3

5 4

  x

     20 x 9   x 29 (2)分點A B P

 

1 2 5

3 3

  x

   9 x 10 x 19

11. (1)解方程式 x    ，則其解為______. 5 x 2 9 (2)解不等式 x    ，則其解為______. 5 x 2 9 (3)設 f x( ) x   ，則 f (x)之最小值為______. 5 x 2 答案： (1)3 或 6 (2) 6   (3) 7 x 3

解析： (1)①x2 5時 x    x 2 9 (x 5) (x2) 9 2x   3 9 x 3

②　  5 x 2 時 x    5 x 2 9 (x  5) (2 x)  9 0 2無解

③x 5 5時 x        x 2 9 (x 5) (2 x)  9 2x12  x 6 由①②③   x 3, 6

(2)①x2 時  (x 5) (x2) 9 2x   3 9 x 3，故2 x 3

(5)

②　  5 x 2 時 (x  5) (2 x)  9 7 9 恒成立；故 5   x 2

③_x_{ }_{5 (}_時_{   }_x ₅₎ ₍₂__x₎_{  }₉ ₂_x_₁₂_ _x_{ }₆，故   6 x 5 由①②③    6 x 3

(3) f x( ) x       5 x 2 x 5 2 x (x  5) (2 x)  7 ( ) 7 7

f x 

∴ 最小值為