大學入學考試中心九十二學年度學科能力測驗試題數學科第一次考試

大學入學考試中心九十二學年度學科能力測驗試題數學科第一次考試

壹、單選題(佔 25 分)

說明：第1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得5 分，

答錯不倒扣。

1.試問有多少個正整數 n，使得 n 1＋

n 2＋

n

3＋……＋

n

10為整數？

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個 解：n

1＋ n 2＋

n

3＋……＋

n 10＝

n 10 2

1+ +L+ ＝ n

55為整數

∴n55，且 n 為正整數，∴n＝1，5，11，55 等 4 個 答：(4)

2.若 f (x)＝x³－2x²－x＋5﹐則多項式 g(x)＝f ( f (x) )除以(x－2)所得的餘式為：

(1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11

解：g(x)＝f ( f (x) )除以(x－2)所得的餘式＝f ( f (2) )＝f (3)＝11 答：(5)

3.若( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )為小於 0 的實數，則θ是第幾象限角？

(1)第一象限角 (2)第二象限角 (3)第三象限角 (4)第四象限角 (5)條件不足，無法判斷

解1：( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )＝(4 cos θ－3 sin θ )＋i( 3cos θ＋4sin θ )為小於 0 的實數

∴實數部份4 cos θ－3 sin θ＜0，⇒ 4 cos θ＜3 sin θ

虛數部份3cos θ＋4sin θ＝0，⇒ 3cos θ＝－4sin θ，得 tan θ＝－

4

3，∴θ ∈II 解2：(1)∵( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )為小於 0 的實數

即令( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )＝k＜0

∴得知( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )的主幅角(Arg)為π (2)設 4＋3i 的主幅角為φ，∴0＜φ＜

2

π

則( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )的幅角為θ＋φ，且θ＋φ＝2nπ＋π，n 是整數

⇒ θ＝2nπ＋π－φ ⇒ 2nπ＋

2

π

解3：( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )表示「在複數平面上，將點(4，3)逆時針旋轉 θ」如圖，

且( 4＋3i )( cos θ＋i sin θ )＜0，∴θ為第二象限角 答：(2)

x y

(4，3)

θ φ

4.設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且 AP ＝ 5 1 AB ＋

5

2 AC，則

面積 面積 ABC ABP

∆

∆ 等於：

(1) 5

1 (2) 4

1 (3) 5

2 (4) 2

1 (5) 3 2

解1：利用若 P 為∆ABC 內部一點，且 k PA ＋m PB ＋n PC ＝0 則∆PAB：∆PBC：∆PCA＝n：k：m

∵AP ＝ 5 1 AB ＋

5

2 AC ，∴－ PA ＝ 5

1(PB － PA )＋

5

2(PC － PA ) 得2PA ＋ PB ＋2 PC ＝0，∴∆PAB：∆PBC：∆PCA＝2：2：1 如右圖，得知

面積 面積 ABC ABP

∆

∆ ＝

5 2

解2：(1)如右圖，令AQ＝k AP ＝k(

5 1 AB ＋

5

2 AC )＝

5

k AB ＋ 5 2k AC

∵B－Q－C(共線)，∴

5 k ＋

5

2k ＝1，得 k＝

3 5

即AQ ＝ 3

5 AP 且 AP ＝ 5 1 AB ＋

5 2 AC

(2)由AQ ＝ 3

5 AP ，則 AP ：PQ ＝3：2

由AQ ＝ 3 5 AP ＝

3 5(

5 1 AB ＋

5

2 AC )＝

3 1 AB ＋

3

2 AC ，則BQ ：QC＝2：1

∴∆ABP＝

5

3∆ABQ＝

5 3(

3

2∆ABC)＝

5

2∆ABC

⇒ 面積

面積 ABC ABP

∆

∆ ＝

5 2 答：(3)

5.根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1−2^−kt)%，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小時之內已經有 70%的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99%的人口已聽到該訊息，則 T 最接近下 列哪一個選項？(1) 5 小時 (2) 7

2

1小時 (3) 9 小時 (4) 11 2

1小時 (5) 13 小時

解：依題意，100(1−2^−3k)%＝70% ⇒2^−3k ＝0.3，取 log 2，得－3k＝log₂0.3 ⋅⋅⋅⋅(1) 100(1−2^−Tk)%＝99% ⇒2^−Tk＝0.01，取 log 2，得－Tk＝log₂0.01 ⋅⋅⋅⋅(2)

2 1 3 log 01 . 0 log

3 . 0 3 log . 0 01 log

. 0 log

3 . 0 log 3

) 2 (

) 1 (

01 . 0 2

2

−

= −

=

=

− =

= − k T

k

∴T＝ 0.4771 1 6 1

3 log

6

−

= −

−

− 11.5 (小時)

答：(4)

A

B C

○¹ P 1 2

○^{2 2}

○²

A

B Q C

P 3 2

2 1

貳、多選題(佔 30 分)

說明：第6 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少一個選項是正確的，選出正確選項劃 記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得5 分，只錯一個選項可 得2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。

6.如右圖，兩直線 L1、L2之方程式分別為L1：x＋ay＋b＝0，

L2：x＋cy＋d＝0；試問下列哪些選項是正確的？

(1) a＞0 (2) b＞0 (3) c＞0 (4) d＞0 (5) a＞c 解：(1)由 L1：x＋ay＋b＝0，斜率＝－

a

1＞0，∴a＜0

∵與x 軸交點 P(－b，0)，且－b＞0，∴b＜0 (2)由 L2：x＋cy＋d＝0，斜率＝－

c

1＞0，∴c＜0

∵與x 軸交點 Q(－d，0)，且－d＜0，∴d＞0 (3)∵L1的斜率＝－

a

1＞L2的斜率＝－

c

1，即－

a 1＞－

c

1，∴ a＞c 答：(4)(5)

7.如右圖，ABCD-EFGH 為一平行六面體，J 為四邊形 BCGF 的中心，

如果AJ ＝a AB ＋bAD ＋c AE ，試問下列哪些選項是正確的？

(1)1

3 ＜b＜

2

3 (2) a＋b＋c＝2 (3) a＝1 (4) a＝2c (5) a＝b

解：如圖，作JM ⊥BC於M

∵J 為四邊形 BCGF 的中心，∴BM BC AD 2 1 2

1 =

= ，MJ BF AE

21 21 =

= 則AJ ＝ AB ＋BM＋ MJ ＝ AB ＋

2

1 AD ＋ 2

1 AE ，得知 a＝1，b＝

2 1，c＝

2 1 答：(1)(2)(3)(4)

8.以下各數何者為正？

(1) 2−³2 (2)log₂3－1 (3)log₃2－1 (4)log 3

2

1 (5)

2 log 1

3 1

解1：(1) 2−³ 2＝⁶2³ −⁶ 2² ＝⁶8−⁶4＞0

(2)∵log₂3＞log₂2＝1，∴log₂3－log₂2＝log₂3－1＞0 (3)∵log₃2＜log₃3＝1，∴log₃2－log₃3＝log₃2－1＜0 (4)log 3

2

1 ＝log2⁻13＝－log₂3＜0 (5) 2

log 1

3

1 ＝log₃ 12 ¹

−

− ＝

1 1

−

− log₃2＝log₃2＞0

P

Q x

y

O

L1

L2

A E

H G

C B

D F J

M

解2：(1) 2−³ 2＝⁶2³ −⁶ 2² ＝⁶8−⁶4＞0

(2) (3)

(4) (5)

答：(1)(2)(5)

9.下列哪些函數的最小正週期為π？

(1) sin x＋cos x (2) sin x－cos x (3) | sin x＋cos x | (4) | sin x－cos x | (5) | sin x |＋| cos x |

解1：(1) sin x＋cos x＝ 2sin (x＋

4

π

(2) sin x－cos x＝ 2sin (x－

4

π

(3) | sin x＋cos x |＝| 2sin (x＋

4

π

2 2

π

(4) | sin x－cos x |＝| 2sin (x－

4

π

2 2

π

則f (x＋

2

π

2

π

2

π

得知f (x)＝| sin x |＋| cos x | 的週期＝

2

π

解2：(1)令 f1(x)＝sin x＋cos x

∵ f1(x＋π)＝sin(x＋π)＋cos(x＋π)＝－sin x−cos x

≠

∵ f2(x＋π)＝sin(x＋π)－cos(x＋π)＝－sin x＋cos x ≠ f2(x)，∴ f2(x)的週期不是π (3)令 f3(x)＝| sin x＋cos x |

∵ f3(x＋π)＝| sin(x＋π)＋cos(x＋π)|＝|－sin x－cos x|＝| sin x＋cos x |＝f3(x)，

∴ f3(x)的週期是π x y

2x log

3 log₂ 2

log₂

3 2

1 x

y

3x log

3 log₃ 2

log₃

3 2 1

x x

2

log1

3 log

2 1

y

3

1 x

x

3

log1

2 log 1

3 1

y

21

1

(4)令 f4(x)＝| sin x−cos x |

∵ f4(x＋π)＝| sin(x＋π)－cos(x＋π)|＝|－sin x＋cos x|＝ | sin x－cos x|＝f4(x)

∴ f4(x)的週期是π

(5)令 f5(x)＝| sin x |＋| cos x |

∵ f5(x＋

2

π

2

π

2

π

＝| cos x |＋|－sin x |＝| sin x |＋| cos x |＝f5(x)

∴ f5(x)的週期是 2

π

註：∵f5(x＋π)＝| sin(x＋π) |＋| cos(x＋π) |

＝|－sin x |＋|－cos x |＝| sin x |＋| cos x |＝f5(x)

∴會誤判週期為π，但是π＝2(

2

π

π

10.假設坐標平面上一非空集合 S 內的點( x，y )具有以下性質：

「若x＞0，則 y＞0」。試問下列哪些敘述對 S 內的點( x，y )必定成立？

(1)若 x ≤ 0，則 y ≤ 0 (2)若 y ≤ 0，則 x ≤ 0 (3)若 y＞0，則 x＞0 (4)若 x＞1，則 y＞0 (5)若 y＜0，則 x ≤ 0

解1：利用逆否命題同義性質「若 P 則 Q ≡ 若~ Q 則~ P」

∴依題意「若x＞0，則 y＞0」與「若 y ≤ 0，則 x ≤ 0」同義 (1)(3)錯誤，(2)完全正確

(4)∵x＞1＞0，則 y＞0，∴正確

(5)∵若( y＜0) ⊂ ( y ≤ 0)，則 x ≤ 0，∴正確 解2：依題意「若 x＞0，則 y＞0」，( x＞0) ⊂ ( y＞0)，

以右圖之文氏圖，分別討論之。

答：(2)(4)(5)

11.設 πa：x－4y＋az＝10 (a 為常數)、E1：x－2y＋z＝5 及 E2：2x－5y＋4z＝－3 為坐標空間中的 三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？

(1)存在實數 a 使得πa與E1平行。 (2)存在實數 a 使得πa與E1垂直。

(3)存在實數 a 使得πa，E1，E2交於一點。 (4)存在實數 a 使得πa，E1，E2交於一直線。

(5)存在實數 a 使得πa，E1，E2沒有共同交點。

解：(1)若πa與E1平行 ⇔ 法向量成比例，則1 1 ＝

－4 －2 ＝

a 1 ≠

10

5 ，∴ a 不存在。

(2)若πa與E1垂直 ⇔ 法向量內積為 0，則 1×1＋(－4)×(－2)＋a×1＝0，∴ a＝－9。

x＞0 y＞0

(3)(4)(5)

法1：由 E1：x－2y＋z＝5，E2：2x－5y＋4z＝－3，解得 x＝3z＋31，y＝2z＋13，

即E1與E2的交線：x＝3t＋31，y＝2t＋13，z＝t；t∈R 代入πa：(3t＋31)－4(2t＋13)＋at＝10，∴(a－5)t－31＝0 (i)當 a≠5 時，恰有一解，即 πa，E1，E2交於一點。

(ii)當 a＝5 時，無解，即 πa，E1，E2沒有共同交點。

(iii)方程式(a－5)t－31＝0 不可能有無限多解，即三平面不可能交成一直線。

法2：考慮方程組 ₁

2

4 10 (1)

2 5 (2)

2 5 4 3 (3)

a x y az

E x y z E x y z



π





L LL

L

： － ＋ ＝

： － ＋ ＝

： － ＋ ＝－

由(1)－(2)：－2y＋(a－1) z＝5 由(2) × 2－(3)：y－2 z＝13 (i)當 2

1

－ ≠ 1 2 a－

－ ，即a≠5 時，方程組恰有一組解，意即三平面恰交於一點。

(ii)當 2 1

－ ＝ 1 2 a－

－ ≠ 5

13，即a＝5 時，方程組無解，意即三平面沒有共同交點。

(iii)當 2 1

－ ＝ 1 2 a－

－ ＝ 5

13，無此實數a，

∴方程組不可能無限多組解，亦即三平面不可能交成一直線。

答：(2)(3)(5)

第二部份：選填題(佔 45 分)

說明：1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12－34)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.設 a1，a2，……，a50是從－1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1＋a2＋……＋a50＝9 且 (a1＋1)²＋(a2＋1)²＋……＋(a50＋1)²＝107，則 a1，a2，……，a50當中有幾項是0？答：　 項。

解：設－1，0，1 分別有 x，y，z 項，根據題意

(1)∵數列 a1，a2，……，a50有50 項，∴x＋y＋z＝50

(2)∵a1＋a2＋……＋a50＝9，∴(－1) x＋0×y＋1×z＝9，即－x＋z＝9

(3)若 ai＝－1，則(ai＋1)²＝0；若 ai＝0，則(ai＋1)²＝1；若 ai＝1，則(ai＋1)²＝4

∵(a1＋1)²＋(a2＋1)²＋……＋(a50＋1)²＝107，∴0×x＋1×y＋4×z＝107，即 y＋4 z＝107 由(1)(2)(3)，解得 x＝15，y＝11，z＝24，故有 11 項是 0

答：11

B.金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個 3，一個 8，一個 9，

於是他就用這四個數字排成一個四位數輸入提款機嘗試。請問他只試一次就成功的機率有多 少？答：_______。(化成最簡分數)

解：依據題意，將兩個3，一個 8，一個 9 排成一列，則共有 4!

2! 1! 1! ＝12 種方法

∴只試一次就成功的機率為 1 12 答： 1

12

C.設 A(1，0)與 B(b，0)為坐標平面上的兩點，其中 b＞1。若拋物線Γ：y²＝4x 上有一點 P 使得

∆ABP 為一正三角形，則 b＝____。

解1：(1)如右圖，作PQ⊥ x 軸於 Q 點

(2)令AP＝k，∵∆ABP 為正三角形，∴∠PAB＝60⁰ 在∆APQ 中，得知AQ＝1

2 AP＝1 2 k

由Γ：y²＝4x 知 A(1，0)為其焦點，∴Q(1＋1

2 k，0) (3)根據拋物線定義：d(P，A)＝d(P，L)＝QR

∴ k＝(1＋1

2 k )＋1 ⇒ k＝4，則AQ＝BQ＝2，得知 B(5，0) 解2：(1)利用參數式，∵P∈ Γ：y²＝4x 上，∴設P (k²，2k )

∴PA= (k²−1)²+(2k−0)² = (k²+1)² =k²+1

2 2 4

2 2

2 ) (2 0) (4 2 )

(k b k k b k b

PB= − + − = + − +

AB＝b－1 (其中 b＞1) (2)∵∆ABP 為正三角形

∴PA=k²＋1＝b－1＝AB，由k²＝b－2 代入PB= k⁴ +(4−2b)k²+b² ＝b－1 平方整理得b²－6b＋5＝0 ⇒ ( b－1 ) ( b－5 )＝0，b＝5 或 1 (不合，∵b＞1) 答：b＝5

D.設 P 為雙曲線 9 x2

－16 y2

＝1 上的一點且位在第一象限。若 F1、F2為此雙曲線的兩個焦點，

且PF ：₁ PF ＝1：3，則∆F₂ 1PF2的周長等於______。

解：(1)如圖，Γ：

9 x2

－16 y2

＝1，∴a²＝9，b²＝16，⇒ c²＝a²＋b²＝25，取 c＝5，

得知F₁F₂ ＝2 c＝10，令 F1＝(5，0)、F2＝(－5，0)

(2)∵PF₁：PF₂＝1：3，∴設PF₁＝k，PF₂＝3k，(其中 k＞0) 根據雙曲線定義：|PF₁－PF₂ |＝|－2k |＝2k＝6

得k＝3，∴PF₁＝k＝3，PF₂＝3k＝9

(3) ∆F1PF2的周長＝PF₁＋PF₂＋F₁F₂ ＝3＋9＋10＝22 答：22

P F1

F2

x

y _Γ

O

x

y y²＝4x

P

A Q B L

R x＝-1

k k

E.在坐標空間中，通過 O(0，0，0)，N(0，0，1)，P(1

4， 11

4 ，－1

2)三點的平面與 球面S：x²＋y²＋z²＝1 相交於一個圓 C，則圓 C 的劣弧NP︵

的弧長等於____π。(化成最簡分數) ( 所謂劣弧NP︵

是指圓C 上由 N，P 兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧 ) 解：(1)∵通過 O，N，P 三點之平面 E 包含球面 S 的球心 O(0，0，0)

∴平面E 與球面的交圓為大圓。

(2)又 N(0，0，1)，P(1

4， 11

4 ，－1

2)皆在球面 S 上，如圖，且設∠PON＝θ OP ＝(1

4， 11

4 ，－1

2)， ^{2 2} )² 2 ( 1 4 ) ( 11 4)

(1 + + −

=

OP ＝1

ON＝(0，0，1)，ON＝ON＝1 在∆PON 中，cos θ ＝ OP⋅ ON

| OP ||ON| ＝ 1 2 1 1×

－

＝－1 2

∴θ ＝2 3

π

(3)在扇形 OPN 中，半徑＝1，∴NP︵

的弧長＝1×2 3

π

3

π

3

π

F.設 k 為一整數，若方程式 kx²＋7x＋1＝0 有兩個相異實根，且兩根的乘積介於 71

5 與 71

6 之間，

則k＝？

解：(1)∵kx²＋7x＋1＝0 有兩個相異實根，∴判別式 D＝49－4k＞0，得 k＜

4 49

(2)方程式 kx²＋7x＋1＝0 的兩根的乘積＝

k 1，得

71 5 ＜

k 1＜

71

6 ，∴k＜

5

71且k＞

6 71

(3)由(1)(2)得 6

71＜k＜

4

49，即11.18⋅⋅＜k＜12.25

∵k 為一整數，∴k＝12。

答：12

G.在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。已知此拋物線以過最高點 的鉛直線為對稱軸。現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為6 公尺，且距底部

2

3公尺高處其

寬為5 公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為_____公尺。(化成最簡分數)

E ^O

P

N S

θ

解1：(1)如圖，建立一個坐標系，頂點為原點 O(0，0)，A(3，－k)，B(

2

5，－k＋

2 3) (2)設此拋物線的方程式 Γ：x²＝4cy

通過A(3，－k)，代入Γ，得 9＝－4ck 通過B(

2

5，－k＋

2

3)，代入Γ，得 )

2 ( 3 4 4

25= c −k+

解之得 c＝－

24 11，k＝

11 54

解2：(1)如圖，建立一個坐標系 A(3，0)，B(

2 5，

2

3)，C(－3，0) (2)設此拋物線的方程式 Γ：y＝k(x－3)(x＋3)

通過B(

2 5，

2

3)代入Γ，得 k＝－

11 6

即 Γ：y＝－

11

6 (x－3)(x＋3)

令x＝0 代入Γ，得 y＝

11

54＝拱門的高度

答：11 54

H.某次數學測驗共有 25 題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題得 4 分，答錯倒扣 1 分。

某生確定其中16 題可答對；有 6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這 6 題他就從 剩下的選項中分別猜選一個；另外3 題只好亂猜，則他這次測驗得分之期望值為____分。

(計算到整數為止，小數點以後四捨五入。) 解：(1)確定 16 題可答對，得分是 16 ×4＝64 (分)

(2)有 6 題中確定五個選項中有兩個選項不正確

∴剩下三個選項中只有1 個正確，2 個錯誤 亦即表示每題答對機率為

3

1，答錯機率為 3

2，如右表

∴每題得分是4 × 3

1＋(－1)×

3 2＝

3 2(分)

此6 題得分是 6×

3

2＝4 (分)

(3)亂猜的 3 題中，每題答對機率為 5

1，答錯機率為 5 4

∴每題得分是4 × 5

1＋(－1)×

5

4＝0 (分) 此3 題得分是 3×0＝0 (分)

故測驗得分之期望值＝64＋4＋0＝68 (分) 答：68

事件 答對 答錯 數值 4 分 －1 分

機率 3

1

3 2

事件 答對 答錯 數值 4 分 －1 分

機率 5

1

5 4 A(3,0)

B O

y

x C(-3,0)

A(3,-k) B O

y

x

2.5 2.5

3 3

I.根據統計資料，1 月份台北地區的平均氣溫是攝氏 16 度，標準差是攝氏 3.5 度。一般外國朋友 比較習慣用華氏溫度表示來表示冷熱，已知當攝氏溫度為x 時，華氏溫度為 y＝

5

9x＋32；若

用華氏溫度表示，則1 月份台北地區的平均氣溫是華氏____度，標準差是華氏____度。

(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。)

解：(1)利用X_ax+b =aX_x+b，X為平均數，即關係式為y＝ 5

9 x＋32

∴x＝16 代入y＝ 5

9 x＋32＝

5

9×16＋32＝60.8

(2)利用S_ax+b = a S_x，即關係式為S_y＝ 5 9

Sx

∴Sx＝3.5 代入 Sy＝ 5 9Sx＝

5

9×3.5＝6.3

答：平均氣溫是華氏60.8 度，標準差是華氏 6.3 度