2012 海峽兩岸中學生力學競賽 力學知識題測驗題目

2012 海峽兩岸中學生力學競賽 力學知識題測驗題目

說明：

一、測驗時間： 120 分鐘

二、 本試卷全為填充題，題目卷共 4 頁、11 題、每題 10 分、總分 110 分。注意事項如下：

1、 填充題以填答的內容為主要計分標準，求解過程僅供閱卷委員給分參考，答錯不倒扣。

2、 可以使用小型工程用計算機，但不得具上網、通訊；資料查詢、上載、下載及照像等功能。

3、 所有數值答案若有單位請一併寫出，數值答案在合理的計算誤差範圍內都給分。

4、 請自行利用本試題卷空白部份或背面作為計算空間，請將答案填入另外發給的答案卷內。

1、電梯內夾書

如右圖所示，有一部電梯以固定的加速度升降。在電梯內有一個人站立著，

此人雙手分別握住 A、C 兩物塊，且在 A、C 兩物塊間夾住質量 3 kg 的 B 物塊，

使 B 相對 A、C 為靜止狀態。已知 A、B、C 三物塊的接觸面間的摩擦係數為 3

. 0

s 





1-1、當此人作用於 A、C 物塊的兩相向水平分力各為 B 重量的兩倍，求此時電 梯的向上最大加速度大小為

1.96 m/s

1-2、若電梯正以加速度 2 m/s²下降，求此人作用於 A、C 兩物塊的兩相向最小 水平分力大小為

39.0 N。

2、斜面上木塊

如右圖所示，斜面的斜角 25°，斜面上有質量 40 kg 的 A 物塊與質量 8 kg 的 B 物塊，其間有一細繩互相連接在一起。已知 A 物塊、B 物塊與斜 面間的摩擦係數為





求

2-1、B 物塊的加速度大小為 1.792 m/s²；

2-2、細繩的張力大小為

58.132 N。

3、半弧形上滑木

一重量W 的小木塊置於一光滑半圓柱之表面上（如圖，A、B、

C於同一橫截面上）。有一條彈性繩（其彈性係數為 k ），一端繫 於木塊，另一端則固定於底端 C 點處。若已知木塊沿著半圓表面被 拉至另一底端 A 點（亦即θ = 0°），釋放後會沿著表面滑動，且恰 於 θ = 45°處脫離表面。請問彈性繩之原始（未延伸）長度為多 少m? 0.92m （已知：W = 20 N，k = 60 N/m，a = 0.5 m，g = 9.8 m/s²）

當木塊脫離表面時(θ₂ = 45°)，無正向力作用於木塊

4、碰撞板車

一質量為 2 kg 的平板車，左端放有 3 kg 的重物，重物與平板車之間的動摩擦係數為 0.4。開始的 時候，平板車與重物一起以 2 m/s 的速度在光滑地面上向右運動，然後撞上右邊鉛直的牆壁，假設碰 撞時間極短，且碰撞後平板車立即以相同速率反向運動，若平板車的長度夠長，重物不致滑落地面

（g = 10 m/s²），試求

4-1、平板車第一次與牆壁碰撞後，向左運動的最大距離。（3 分）

3 1 m

4-2、平板車第二次與牆壁碰撞前的瞬時速率。（2 分）

5 2 m/s

4-3、為使重物不致滑落地面，平板車的長度至少需要多長。（5 分）

6 5 m

Sol :

(1) 台車加速度 6

2 10 3 4 .

0   



 m

a f^k

台車碰強後反彈作等加速度運動 d







2 2 6

0^{2 2}  3

1

d (m) (2) 由動量守恆

3222(23)v

5

 2

 v (m/s) (3) 重物在台車上第一次相對滑行距離 S ₁ (2 2)² 0.4 30 ₁

3 2

3 2 2

1    S





5 4

1 

 S (m)

同理，重物在台車上第一次相對滑行距離 S ₂ )² 0.4 30 ₂

5 2 5 (2 3 2

3 2 2

1    S





125 4 25

1

1

2  

S S (m)

同理，重物在台車上第一次相對滑行距離 S _{3 3 2} )² ₁

25 ( 1 25

1 S S

S  



假若，台車撞了無限多次

則重物在台車上前進了 SS₁S₂S₃...

...

5 ) 4 25 ( 1 5 )4 25 ( 1 5

4 ₂









S 6

5 25 1 1

5 4





 (m)

5、撞球高手

5-1、如圖 5-1 所示，一質量 M、半徑 R 的均質撞球靜置於粗糙的球台上，今以球桿沿水平方向向球心 處施予一衝量，使球心獲得速率v 向前運動。當球沿球台做純滾動時，其質心速度為何？（已知實心₀

球轉動慣量 ²

5 2mR

I  ）（4 分） ₀

7 5v

5-2、如圖 5-2 所示，承上題條件，倘若球桿沿水平方向但偏離球心 R 5

4 ，以球桿沿水平方向向球心處

施予一衝量，使球心獲得速率v 向前運動。當球沿球台做純滾動時，其質心速度為何？（6 分）_{0 0}

7 9v

Sol :

(1) 求離開球竿時 質心速度 v 且無轉動 ₀

則

I R f m f

v v

k k

0 0

 

 

其中 ²

5 2mR

I  且 f_k _kmg

達純滾動時 v  R ₀

7 5v v 



(2) 球離開球竿時，質心速度 v ，且角速度 ₀  ₀ 由衝動量關係可得

5R 4

圖 5-1

圖 5-2

v0

fk

v



₀

0^tF(t)dtmv



² ₀

0

0 5

2 5

) 4 ( )

( 

 t dt ^tF t R dt mR

t





₀

0 2

) 1

(t dt mR

tF





由(1)(2)可得R₀ 2v₀

當達純滾動時，質心速度 v，角速度 ，且 v R

2 0 0

0

5 2mR

R f I

R f m

f v v

k k

k







 

 

 

( )

5 ) 2 2 5( 2 5

2 5

2

0 0

0 R R v v

v

v    

  

₀ 7 9v v 



v0

fk

v



0

6、圓弧自由滑動

有一均勻桿 AB 重 W、長 L，連接如圖所示。A 為一套筒，

可在 AC 軸自由上下滑動。B 為一小輪，只能在半徑 R（R＞L）

的圓柱表面上沿圓弧自由滑動。A、B 接點處均無任何摩擦力 的作用。試求當系統處於靜力平衡狀態時，θ 的大小為何？

（請以 L、R 及三角反函數表示之）

Ans：θ＝

















 



 



  3 1 cos 1

2 1

L R

SOLUTION

1、作用於B點的正向力會通過圓心C，與通過AB重心G 之 重力W相交於D點，並與作

用於A點之力相交，此即靜力平衡時三力必共點之原 理。

2、由右圖可知，DG∥CE，G為中點，故D亦為中點。

同理，AD∥EB ，D為中點，故A為CE中點，

→ AC＝AE＝Lcosθ ，

在直角三角形CEB中， (CE)² ＋ (BE)² ＝ (BC)² (2 Lcosθ)² ＋( Lsinθ)² ＝ R²

^{2 2}

2

sin cos

4   

 



 



 L R

^{2 2}

2

cos 1 cos

4    

 



 



 L R

3cos ² 1

2



 



 



 

L R

∴















  



 



  1

3 cos 1

2

L

 R

7、升降機

升降梯上升時加速度與時間關係圖如右。已知升降梯的最大 速度將達到 24 m/s，試回答下列問題

7-1、根據加速度與時間關係圖，以答案紙上的方格紙描繪速度與 時間關係圖及位置與時間關係圖；（3 分）

7-2、計算右圖中t 、₂ a 與整體運動的平均加速度、平均速度及總₄ 位移之值；（3 分）

7-3、試以力學角度詳細說明當人坐上此升降梯時，在每段時間身 體的感受。（4 分）

8、棒球練習場

棒球投球機出口 A 距地高度 1.5 m，距離打者 B 為 12 m（如圖）其所投出球的水平初速為v 。已₀ 知打擊高度 h 介於 0.8 與 1 m 間，試計算

8-1、初速v 的範圍； ₀

8-2、在這個高度範圍內，球進壘時與水平面的夾角



9、人造衛星

人造衛星以橢圓形軌道繞地球運動。已知遠日點 A 及近 日點 P 的距離為 80,000 km，試求衛星從地表發射進入運行 軌道所需單位質量的能量（J/kg）。（地球半徑 6,370 km，地 表重力加速度 9.81 m/s²）

10、圓環運動

無摩擦的水平面上有可自由滑動的 A、B 與 C 三顆小球，以不 可伸長的無彈性繩連結在位於三球質心處的小圓環 D（質量可忽 略）。如圖，已知

l  ' 2 l cos 

30



10-1、小圓環 D 的速率；（3 分）

10-2、A 球與 B 球相對於 D 的速率；（3 分）

10-3、能量損失率。（4 分）

11、氣流噴嘴

一高速氣流由噴嘴 A 以速度v 且質量流率為 0.36 kg/s _A 噴出。氣流撞擊一葉板造成轉動如圖所示。已知葉板質量 為 6 kg 且 A 與 B 處氣流的速率相同，請問

11-1、A 處的速度量值；61.1m/s 11-2、O 點所受的作用力。59.2N

題目結束