2.4. The Matrix Connection

2.4. The Matrix Connection

一個 vector space V , 若給定一組 basis 後, 由於 V 中的元素用這組 basis 都只有唯一 的表法, 所以我們可以將 V 中的元素用熟悉的向量坐標來表示. 另一方面, 一個 linear transformation, 只要給定 vector space 的 basis, 也可以被唯一確定. 所以我們很自然的會 將 linear transformation 和 matrix 相連結. 雖然大家以前可能僅接觸過 overR 或 over C 的 matrix. 不過關於 matrix 的運算性質的證明, 其實和 over 哪一個 field 是無關的, 所以這 裡我們假設大家已熟悉這些性質, 不會再去證明它們.

若 V 是一個 finite dimensional vector space 且給定 V 的一組 basis{v1, . . . , v_n}, 我們要 先將這些 v_i 的順序排定, 用β = (v1, . . . , vn) 來表示這一組排好順序的 basis, 稱為 V 的一組 ordered basis. 所以要注意, 一組 basis 若將其元素重新排列, 那麼所排出的 ordered basis, 雖然看成集合的話元素皆相同, 但是因為順序不同, 我們將它們視為不同的 ordered basis.

也就是說若 β = (v1, . . . , v_n),β^′= (v^′₁, . . . , v^′_n) 為 V 的 ordered bases, 則 β = β^′ 表示 v_i= v^′_i,

∀i = 1,...,n.

假設 dim(V ) = n, 給定 V 的一個 ordered basisβ 以後, 我們很自然的定出一個 V 到 Fⁿ的 linear transformationτ_β: V → Fⁿ, 其中對所有 v∈ V, 利用β 將 v 寫成 v = c1v₁+··· + cnv_n, 定義

τ_β(v) =



 c₁

... c_n



.

這裡我們將 Fⁿ 裡的元素寫成 column vector, 因為版面的關係有時會寫成 (c₁, . . . , cn)^t (即將 row vector (c₁, . . . , c_n) 取轉置). 將 Fⁿ 裡的元素寫成 column vector 的原因是習慣性的問題, 主要是符合以後矩陣乘法的運算. 因為β 為 ordered basis, 很容易看出 τ_β 是 well-defined, 且是一個 isomorphism. 換言之, 對於 V 中的元素, 我們可以利用 τβ 將之置換成 Fⁿ 中的 一個 column vector. 同樣的對於 Fⁿ 中的 column vector, 我們可利用 τ_β^◦−1 將之還原成 V 中的元素. 這就是我們要選取 ordered basis 的主要目的, 可以利用一組 ordered basis 將 V 中的元素和 Fⁿ 中的 column vector 作一個一對一的置換且保持 vector space 中的運算.

這裡要強調的是, 在一般的情形要將 V 中的元素轉換成 Fⁿ 的元素 τ_β(v) 過程較麻煩 (可 能牽涉到解聯立方程組), 不過將 Fⁿ 中的 column vector (c₁, . . . , c_n)^t 轉換成 V 中的元素 τ_β^◦−1((c₁, . . . , c_n)^t) 就簡單多了, 它就是 c₁v₁+··· + cnv_n.

Example 2.4.1. 考慮 P₂(R) = {ax²+ bx + c| a,b,c ∈ R} 這一個 R-space, 以及它的一個 ordered basis β = (x², x + 1,−1). 因為 ax²+ bx + c = a(x²) + b(x + 1) + (b− c)(−1), 我們 可 得 τβ(ax²+ bx + c) = (a, b, b− c)^t. 例 如 τβ(x²+ x + 1) = (1, 1, 0)^t, 而 我 們 也 可 馬 上 知 τ_β^◦−1((1, 1, 0)^t) = 1(x²) + 1(x + 1) + 0(−1) = x²+ x + 1.

另 外 考 慮 P₁(R) = {ax + b | a,b ∈ R} 這一個 R-space, 以及它的一個 ordered basis β^′= (x− 1,x + 1). 解 ax + b = r(x − 1) + s(x + 1), 我們可得 r = (a − b)/2,s = (a + b)/2, 故 τβ^′(ax + b) = ((a− b)/2,(a + b)/2)^t.

β,β β = (−1,x + 1,x β − 1), 那麼τ_β(ax²+ bx + c),τ_β^′(ax + b) 會是什麼?

現 給 定 一 linear transformation T : V → W, 我們分別選定 V,W 上的 ordered basis β = (v1, . . . , vn),β^′= (w1, . . . , wm). 利用β,β^′, 我們可將 T 用一個 over F 的 m×n (m 個 row, n 個 column) 的矩陣來表示. 這矩陣的每個 column 是用以下的方法定的: 第 i 個 column 為 τ_β^′(T (v_i)). 也就是說若 T (v_i)利用β^′這個 ordered basis 可表示為 T (v_i) = c₁w₁+···+cmw_m, 則這個矩陣的 i-th column 為



 c₁

... c_m



. 這個矩陣和 T 有關也和 β,β^′ 有關, 我們就用_β′[T ]_β

來表示, 亦即

β^′[T ]_β=

(τβ^′(T (v₁)), . . . ,τβ^′(T (v_n)) )

,

注意每一個τ_β^′(T (vi))∈ F^m,∀i = 1,...,n 是一個 m×1 的 column vector, 所以 _β^′[T ]_β 是一個 m× n 的 over F 的 matrix.

Example 2.4.2. 同 Example 2.4.1, 考慮 P₂(R) 以及其 ordered basisβ = (x², x + 1,−1), 和 P1(R) 以及其 ordered basisβ^′= (x− 1,x + 1). 若 T : P2(R) → P1(R) 定義為

T (ax²+ bx + c) = 2ax + b,

很容易驗證 T 為 linear transformation. 因為 dim(P₁(R)) = 2, dim(P2(R)) = 3 我們可定 出 _β′[T ]_β 這一個 2× 3 的 matrix. 事實上由於 T(x²) = 2x, T (x + 1) = 1, T (−1) = 0, 利用 Example 2.4.1 的結果我們得

τ_β^′(T (x²)) = ( 1

1 )

,τ_β^′(T (x + 1)) = ( ₋₁

21 2

)

,τ_β^′(T (−1)) = ( 0

0 )

,

故知

β^′[T ]_β =

( 1 ⁻¹₂ 0 1 ¹₂ 0

) .

Question 2.18. 在 Example 2.4.2 中若將 β,β^′ 改為 β = (−1,x + 1,x²),β^′= (x + 1, x− 1), 那麼_β′[T ]_β 會是什麼?

β^′[T ]_β 這一個矩陣有什麼用呢? 它稱作 the representative matrix of T with respect to β,β^′. 意思是說矩陣 _β′[T ]_β 足以代表 T 這一個 linear transformation. 回顧一下, 給定一 個 m× n over F 的 matrix A, 我們可以定義一個從 Fⁿ 到 F^m 的函數 m_A: Fⁿ→ F^m, 其定 義為將任意 Fⁿ 的 column vector x 乘上 A 這一個 m× n matrix, 得到 A · x 這個 F^m 的 column vector, 即 m_A(x) = A· x. 利用矩陣運算的性質 A · (rx + x^′) = rA· x + A · x^′, 我們知 m_A: Fⁿ→ F^m 是一個 linear transformation. 所以有了_β′[T ]_β, 我們可以得到一個從 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformation m

β^′[T ]_β : Fⁿ→ F^m, 它和 T : V → W 有著密切的關係, 我們用以 下的圖示來說明:

V T _- W

v ^- T (v)

τ_β(v)

? - _β′[T ]_β·τ_β(v) 6

Fⁿ τβ

?

m_{β′[T ]β} ^- F^m τ_β^◦−1′

6

首先我們將任意 v∈ V 利用 τβ 將它轉換成 Fⁿ 中的 column vector τβ(v), 然後將τβ(v) 左邊乘上 m× n 的 matrix_β^′[T ]_β, 得到_β′[T ]_β·τ_β(v) 這一個 F^m中的 column vector. 最後我 們利用τβ^′: W → F^m 的反函數 τ_β^◦−1′ : F^m→ W 將_β^′[T ]_β·τβ(v) 轉換成 W 上的元素

τ_β^◦−1′ (_β′[T ]_β·τβ(v)).

我們希望這個元素就是 T (v). 也就是說, 我們要說明 T 和τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ 是相同的函數, 若真是如此, 將來我們求 T (v) 之值的問題, 就可轉換成簡單的矩陣乘法問題.

Example 2.4.3. 延續 Examples 2.4.1 和 2.4.2, 我們檢查上述矩陣乘法的方法所得的元素 是否就是 T (ax²+ bx + c) = 2ax + b. 首先將 P2(R) 中的任一元素 ax²+ bx + c 轉為 R³ 的元 素 τβ(ax²+ bx + c) = (a, b, b− c)^t, 再將之左邊乘上矩陣 _β′[T ]_β 得

( 1 ⁻¹₂ 0 1 ¹₂ 0

)

·



 a b b− c



 =(

a−¹₂b a +¹₂b

) .

最後將此R² 的元素轉回 P₁(R) 的元素得 (a − (b/2))(x − 1) + (a + (b/2))(x + 1) = 2ax + b 確 實和 T (ax²+ bx + c) 相等.

在回答為何 T =τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τ_β 之前, 我們先回顧一個矩陣乘法的重要看法. 當一個 m× n matrix A, 乘上 Fⁿ 的一個 column vector x, 我們知道 A· x 會是 F^m 的 column vector.

事實上, 若 A₁, . . . , An 為 A 的第 1 到第 n 個 column (別忘了 A 有 n 個 column 且每個 column 是 F^m 的一個 column vector), 而 x = (x₁, . . . , x_n)^t, 則

A· x = x1A₁+··· + xnA_n.

現已知 T 和τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ 皆為 V→ W 的 linear transformation, 由 Theorem 2.1.4, 我 們知道要說它們相等, 只要將β 這一個 basis 內的每個元素 vi, 分別代入檢查是否相同即可.

然而依定義 τβ(v_i) = (0, . . . , 1, . . . , 0)^t, 其中 (0, . . . , 1, . . . , 0) 只有在第 i 個位置是 1 其他位置 皆為 0. 所以依前面所提矩陣的乘法知_β′[T ]_β·τ_β(vi) =_β′[T ]_β· (0,...,1,...,0)^t 為矩陣 _β′[T ]_β 的第 i 個 column, 依前面定義知此 column 為 τβ^′(T (v_i)), 因此

τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ(v_i) =τ_β^◦−1′ (_β′[T ]_β·τβ(v_i)) =τ_β^◦−1′ (τβ^′(T (v_i))) = T (v_i),∀i = 1,...,n

T =τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ. (2.1) 當 V,W 為 vector spaces, 我們曾介紹所有 V 到 W 的 linear transformation 形成一個 vector space, 用L (V,W) 來表示. 現令 Mm×n(F) 表示所有 over F 的 m×n matrices. 依矩陣 的運算性質, 很容易檢查 M_m×n(F) 亦為一個 vector space. 今若固定 V 的一組 ordered basis β = (v1, . . . , vn) 和 W 的一組 ordered basis β^′= (w1, . . . , wm), 前面將 linear transformation 轉換成 matrix 的方法, 給了我們一個從 L (V,W) 到 Mm×n(F) 的函數 Φ, 其定義為將任意 linear transformation T : V→ W 送到_β^′[T ]_β 這一個 m×n matrix, 亦即 Φ(T) =_β^′[T ]_β,∀T ∈ L (V,W). 我們需要說明 Φ 是一個 linear transformation, 即說明對任意 T1, T2∈ L (V,W) 以 及 r∈ F, Φ(rT1+ T₂) =_β′[rT₁+ T₂]_β 會和 rΦ(T1) +Φ(T2) = r(_β′[T₁]_β) +_β′[T₂]_β 相等. 然而依 定義, 矩陣_β′[rT1+ T2]_β 的 i-th column 為τ_β^′((rT1+ T2)(vi)) =τ_β^′(rT1(vi) + T2(vi)), 但因 τ_β^′ 為 linear, 此即 rτβ^′(T₁(v_i)) +τβ^′(T₂(v_i)). 另一方面矩陣_β′[T₁]_β,_β′[T₂]_β 的 i-th column 分別為 τβ^′(T₁(v_i)),τβ^′(T₂(v_i)), 故依矩陣加法及係數積的定義矩陣 r(_β′[T₁]_β) +_β′[T₂]_β 的 i-th column 為 rτ_β^′(T1(vi)) +τ_β^′(T2(vi)). 得證 _β′[rT1+ T2]_β 和 r(_β′[T1]_β) +_β′[T2]_β 為相同的矩陣, 故知 Φ 為 linear transformation.

接著我們要說明Φ : L (V,W) → Mm×n(F) 為 isomorphism (即 one-to-one and onto). 給 定任意矩陣 A∈ Mm×n(F), 若 A 的 i-th column 為 A_i, 考慮 τ_β^◦−1′ (A_i)∈ W. 由 Theorem 2.1.4 知存在唯一的 linear transformation T : V → W 滿足 T(vi) =τ_β^◦−1′ (A_i),∀i = 1,...,n. 依定義, 此時_β′[T ]_β 的 i-th column 為

τ_β^′(T (vi)) =τ_β^′(τ_β^◦−1′ (Ai)) = Ai,

故知_β′[T ]_β= A. 亦即 T 為L (V,W) 中唯一滿足 Φ(T) =_β^′[T ]_β= A 的 linear transformation, 得證Φ 為 isomorphism. 我們將此結果整理如下.

Theorem 2.4.4. 假設 V,W 為 vector spaces 且 dim(V ) = n, dim(W ) = m. 給定 V,W 的 ordered basis β,β^′. 若令 Φ : L (V,W) → Mm×n(F) 滿足 Φ(T) =_β^′[T ]_β,∀T ∈ L (V,W), 則 Φ 為一個 isomorphism, 即

L (V,W) ≃ Mm×n(F).

Question 2.19. 若 dim(V ) = n, dim(W ) = m, Theorem 2.4.4 告訴我們 dim(L (V,W)) = dim(M_m×n(F)) = mn, 你能利用 M_m×n(F) 的標準基底, 找到 L (V,W) 的 basis?

Question 2.20. 給定 A∈ Mm×n(F). 令 m_A : Fⁿ→ F^m 為 m_A(x) = A· x,∀x ∈ Fⁿ. 回顧 Im(mA) ={A · x ∈ F^m| x ∈ Fⁿ} 稱為 A 的 column space, 用 C(A) 來表示, 且 dim(C(A)) 稱為 the rank of A. 而 Ker(m_A) ={x ∈ Fⁿ| A · x = O} 稱為 A 的 null space, 用 N(A) 來表示, 且 dim(N(A)) 稱為 the nullity of A. 若 T : V→ W 為 linear transformation 且 Φ(T) = A, 利用 τ_β,τ_β^′ 為 isomorphism, 可得 Ker(T )≃ N(A) 且 Im(T) ≃ C(A). 你能看出

rank of A + nullity of A = n?

在前面我們曾用以下圖示說明 linear transformation T 和 matrix _β′[T ]_β 之間關係.

V T _-

W

Fⁿ τβ

? τ_β^◦−1 6

mβ^′[T ]_β

- F^m τβ^′

? τ_β^◦−1′

6

因為我們證得了 T =τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τ_β, 這個圖示便可稱為是 commutative diagram. 在 Commutative diagram 中, 任兩個端點若有不同路徑可連結, 則這兩個路徑所對應的函數 會相同. 例如 V 到 W 有兩個路徑: 一個是直接利用 T ; 另一個是由 V 先利用τβ 到達 Fⁿ, 再利用 m

β^′[T ]_β 到 F^m, 最後經 τ_β^◦−1′ 到達 W . 所以說這個圖示為 commutative diagram 就 是表達 T =τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ. 不過這裡要注意路徑的方向性, 例如從 F^m 到 W 的 τ_β^◦−1′ 是 isomorphism 所以也有一個反向的 W 到 F^m 路徑可行, 即其反函數 τ_β^′. 所以從 V 到 F^m我 們也有兩個路徑: 一個先利用 T 從 V 到 W , 再接τβ^′ 到達 F^m; 另一個是利用τβ 由 V 到 Fⁿ, 再經 mβ^′[T ]_β 到達 F^m. 所以我們有 τβ^′◦ T = m_β′[T ]_β◦τβ. 事實上

τ_β^′◦ T =τ_β^′◦ (τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τ_β) = (τ_β^′◦τ_β^◦−1′ )◦ m_β′[T ]_β◦τ_β= m_{β′[T ]β}◦τ_β, 所以 commutative diagram 是一個很方便判斷兩函數是否相同的工具.

另一方面 V 到 Fⁿ 就不能說有兩個路徑了, 主要是可利用 T 從 V 到 W 然後經 τβ^′ 到 F^m 但無法保證能由 F^m 到 Fⁿ 了 (除非知矩陣_β′[T ]_β 為 invertible).

Question 2.21. 上圖示中 Fⁿ 到 F^m 是否有兩個路徑? 它們代表哪些函數間的關係?

接著我們便是要用 commutative diagram 來看合成函數與矩陣乘法的關係. 設 V,W,U 為 vector spaces, 其中 dim(V ) = n, dim(W ) = m, dim(U) = q 且 β,β^′β^′′ 分別為它們的 ordered bases. 若 T₁: V → W, T2: V → W 為 linear transformations 我們有以下的 commutative diagram:

V T1 -W T2 -U

Fⁿ τβ

? m

β^′[T1]_β - F^m τ_β^◦−1′

6 τβ^′

? m

β^′′[T2]_β′ - F^q τ_β^◦−1′′

6

事實上

T₂◦ T1= (τ_β^◦−1′′ ◦ m_β′′[T₂]_β′◦τβ^′)◦ (τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T₁]_β◦τβ) =τ_β^◦−1′′ ◦ m_β′′[T₂]_β′◦ m_β′[T₁]_β◦τβ. 回顧一下, 當 A 是一個 m× n matrix, B 是一個 q × m matrix, 則 mA : Fⁿ→ F^m 和 m_B: F^m→ F^q 的合成 m_B◦ mA: Fⁿ→ F^q 就是 m_B·A: Fⁿ→ F^q. 這是因為對任意 x∈ Fⁿ, 由矩 陣乘法的結合率可得

m_B◦ mA(x) = m_B(m_A(x)) = m_B(A· x) = B · (A · x) = (B · A) · x = mB·A(x).

β^′′[T2]_β′◦ m_β′[T1]_{β β′′}[T2]_β′·_β′[T1]_β

T₂◦ T1=τ_β^◦−1′′ ◦ m_β′′[T2]_β′·_β′[T1]_β◦τβ. (2.2) 我們有以下之結果.

Proposition 2.4.5. 假設 V,W,U 為 finite dimensional vector spaces, 且 β,β^′β^′′ 分別為它 們的 ordered bases. 若 T₁: V → W, T2: V → W 為 linear transformations, 則

β^′′[T₂◦ T1]_β =_β′′[T₂]_β′·_β^′[T₁]_β.

Proof. 首先回顧, 若 A, A^′ 皆為 q× n matrices, 且 mA: Fⁿ→ F^q 和 m_A′ : Fⁿ→ F^q 相同, 則考慮 x_i = (0, . . . , 1, . . . , 0)^t, 其中 (0, . . . , 1, . . . , 0) 表示第 i 位置為 1 其他位置為 0, 可由 mA(xi) = m_A′(xi),∀i = 1,...,n 得 A 和 A^′ 每一個 column 皆相同. 故得 A = A^′. 現由等式 (2.1) 和等式 (2.2) 我們知

τ_β^◦−1′′ ◦ m_β′′[T2◦T1]_β◦τβ = T₁◦ T2=τ_β^◦−1′′ ◦ m_β′′[T2]_β′·_β′[T1]_β◦τβ, 故由τβ,τ_β^◦−1′′ 皆為 isomorphism 知

m_{β′′[T2◦T1]β} = m_{β′′[T2]β′·β′[T1]β},

得證_β′′[T₂◦ T1]_β =_β′′[T₂]_β′·_β^′[T₁]_β.  最後我們要談換了一組 ordered basis 對 representative matrix 的影響. 假設 dim(V ) = n, dim(W ) = m 且 β1,β2 為 V 的 ordered bases,β1^′,β2^′ 為 W 的 ordered bases. T : V → W 為 linear transformation, 依定義 T 分別利用 V,W 的 ordered basesβ1,β1^′ 所得的 representative matrix 為_β′

1[T ]_β1, 而 T 用 ordered basesβ2,β₂^′ 所得的 representative matrix 為 _β′

2[T ]_β2. 我 們要探討這兩個矩陣的關係為何, 首先我們有以下的 commutative diagram.

Fⁿ

mβ₂^′[T ]_β

2 - F^m

V τ_β2

6

T _-

W τ_β^◦−1′

2

?

Fⁿ τ_β1

? m

β₁^′[T ]_β

1 - F^m

τ_β^◦−1′ 1

6

最上層的 m

β₂^′[T ]_β

2 : Fⁿ→ F^m, 可用下面的路徑 (別忘了 τ_β2,τ_β2^′ 為 isomorphism), 所以我 們有

mβ₂^′[T ]_β

2 = (τβ2^′◦τ_β^◦−1′ 1 )◦ m_β′

1[T ]_β

1◦ (τβ1◦τ_β^◦−1₂ ). (2.3) 這裡 τ_β1◦τ_β^◦−1₂ 和 τ_β2^′◦τ_β^◦−1′

1

皆為 linear transformations, 所以我們也可以探討它們的矩陣 表示法. 考慮 V 到 V 的 identity map, id : V → V, 滿足 id(v) = v, ∀v ∈ V. 很自然的這是

一個 linear transformation, 所以對定義域的 V 使用 ordered basis β2, 而對映域的 V 使用 ordered basisβ1, 我們有以下的 commutative diagram.

V id _-

V

Fⁿ τβ2

? m_β

1[id]_β

2 - Fⁿ

τ_β^◦−1₁ 6

考慮下層的 m_β

1[id]_β

2 : Fⁿ→ Fⁿ, 可用往上的路徑τ_β^◦−1₂ 從 Fⁿ 到 V 接 identity map id, 再 接 τβ1 到 Fⁿ. 利用 identity map 和函數合成不變我們有以下的等式

m_β

1[id]_β

2 =τ_β1◦ id ◦τ_β^◦−1₂ =τ_β1◦τ_β^◦−1₂ . (2.4) 同理我們有

mβ₂^′[id]_β′

1

=τ_β2^′◦τ_β^◦−1′

1 . (2.5)

結合等式 (2.3, 2.4, 2.5), 得 m_β′

2[T ]_β

2 = m

β₂^′[id]_β′ 1◦ m_β′

1[T ]_β

1◦ m_β

1[id]_β

2, 因此我們有以下之結果.

Proposition 2.4.6. 設β1,β2為 V 的 ordered bases,β1^′,β2^′ 為 W 的 ordered bases. T : V →W 為 linear transformation, 則

β₂^′[T ]_β2=_β′ 2[id]_β′

1·_β1^′[T ]_β1·_β1[id]_β2.

要注意, 這裡第一個 _β1[id]_β2 的 identity map 是 V 到 V 的 linear transformation, 所以 若 dim(V ) = n, 則 _β1[id]_β2 是一個 n× n 的 matrix. 而第二個 _β2^′[id]_β′

1 的 identity map 是 W 到 W 的 linear transformation, 所以若 dim(W ) = m, 則_β′

2[id]_β′

1 是一個 m× m 的 matrix.

Question 2.22. 你可以利用 Proposition 2.4.5 證明 Proposition 2.4.6 嗎?

當 β1= (v1, . . . , vn), β2= (v^′₁, . . . , v^′_n) 為 V 的 ordered bases, 利用 representative matrix 的造法, 我們知道矩陣_β1[id]_β2 的第 i 個 column, 就是將 v^′_i 用β1 所得的坐標, 即 τβ1(v^′_i). 因 此可得

β1[id]_β2 =(

τβ1(v^′₁), . . . ,τβ1(v^′_n)) .

特別的, 當 β1=β2 時, 我們有_β1[id]_β1 就是 n× n 的 identity matrix In.

Question 2.23. 考慮 P₂(R) 以及其 ordered bases β1= (x², x + 1,−1), β2= (x + 1,−1,x²).

試求_β1[id]_β2 和 _β2[id]_β1. 什麼是 _β1[id]_β2·_β2[id]_β1 和 _β2[id]_β1·_β1[id]_β2 呢?

β1[id]_β2 稱為 the change of basis matrix from β2 to β1. 它指的是 V 中的元素 v 用 β2 所 得 的 坐 標 τ_β2(v) 轉 換 成 用 β1 所 得 的 坐 標 τ_β1(v) 所 需 乘 上 的 矩 陣. 也 就 是 說 若 v = c₁v^′₁+··· + cnv^′_n (即 τβ2(v) = (c₁, . . . , c_n)^t), 且 _β1[id]_β2· (c1, . . . , c_n)^t= (d₁, . . . , d_n)^t, 則可得

1 1 ··· + dn n

Proposition 2.4.5, 我們知

β1[id]_β2·_β2[id]_β1= _β1[id]_β1= I_n 且 _β2[id]_β1·_β1[id]_β2 =_β2[id]_β2 = I_n. (2.6) 所以_β1[id]_β2 和 _β2[id]_β1 皆為 invertible matrices, 且它們互為 inverse.

我們已知 change of basis matrix 必為 invertible matrix, 那給定一個 invertible matrix, 是否也會是一個 change of basis matrix 呢? 我們有以下之結果.

Proposition 2.4.7. 假設 V 為 finite dimensional vector space 且 dim(V ) = n. 若β1 為 V 的一個 ordered basis 且 P 為一個 n× n 的 invertible matrix, 則可找到 V 的一個 ordered basis β2 使得_β1[id]_β2 = P, 也可找到 V 的一個 ordered basis β3 使得_β3[id]_β1 = P.

Proof. 令 β1= (v₁, . . . , v_n), 對於 i = 1, . . . , n 若 Pi 為 P 的 i-th column, 考慮 v^′_i=τ_β^◦−1₁ (P_i) (即若 Pi= (r1, . . . , rn)^t, 則令 v^′_i= r1v₁+··· + rnv_n). 因 P 為 invertible, {P1, . . . , Pn} 為 Fⁿ 中 的 linearly independent column vectors, 故由 τβ1 為 isomorphism 知{v^′₁, . . . , v^′_n} 亦在 V 中 為 linearly independent, 得知{v^′₁, . . . , v^′_n} 為 V 中的一組 basis. 令β2= (v^′₁, . . . , v^′_n), 則依定 義 _β1[id]_β2 的 i-th column 為 τβ1(v^′_i) =τβ1(τ_β^◦−1₁ (P_i)) = P_i, 得證 P =_β1 [id]_β2. 同理, 可得 V 的 一個 ordered basisβ3 使得_β1[id]_β3= P⁻¹, 則此時 P =_β1 [id]⁻¹_β

3 =_β3 [id]_β1. 

Question 2.24. 假設 V,W 為 vector spaces, dim(V ) = n, dim(W ) = m 且β1,β₁^′ 分別為 V,W 的 ordered basis. 設 T : V→ W 為 linear transformation, 若 P ∈ Mn×n(F) 且 Q∈ Mm×m(F) 皆為 invertible matrices, 是否可找到 β2,β2^′ 分別為 V,W 的 ordered basis 使得

β2^′[T ]_β2 = Q·_β1^′[T ]_β1· P?

Exercise 2.5. Let V,W be finite dimensional vector space such that dim(V ) = n, dim(W ) = m and let β,β^′ be an order basis of V,W , respectively. Suppose that T : V → W is a linear transformation and let_β′[T ]_β be the representative matrix of T with respect to β,β^′.

(1) Show that C(_β′[T ]_β) (the column space of_β′[T ]_β) is isomorphic to Im(T ) and prove the following are equivalent:

(a) T is onto

(b) There exists a linear transformation T^′: W→ V such that T ◦T^′ is the identity map of W .

(c) There exists an n×m matrix A such that_β^′[T ]_β·A = Im (where Im is the m×m identity matrix).

(d) The rank of_β′[T ]_β is m.

(2) Show that N(_β′[T ]_β) (the null space of _β′[T ]_β) is isomorphic to Ker(T ) and prove the following are equivalent:

(a) T is one-to-one

(b) There exists a linear transformation T^′′: W → V such that T^′′◦T is the identity map of V .

(c) There exists an n× m matrix B such that B ·_β^′[T ]_β = I_n. (d) The rank of_β′[T ]_β is n.

Exercise 2.6. For a vector space V over F, let V^∗=L (V,F) be the set of linear transforma- tions from V to F (called the dual space of V ). Letβ = (v1, . . . , v_n) be an ordered basis of V andε = (1) be the standard basis of F. For every vi, i = 1, . . . , n, consider v^∗_i ∈ V^∗, the unique linear transformation satisfying v^∗_i(v_j) =

{ 1, if i = j;

0, if i̸= j. For v∈V, write v = c1v₁+···+cnv_n, with c_i∈ F. Let v^∗= c₁v^∗₁+··· + cnv^∗_n.

(1) For v = c1v₁+··· + cnv_n, find the representative matrix of v^∗∈ V^∗ with respect to β,ε.

(2) Prove that ∗ : V → V^∗, defined by ∗(v) = v^∗,∀v ∈ V is a linear transformation.

Furthermore, prove that∗ : V → V^∗ is an isomorphism.

(3) Show that {v^∗₁, . . . , v^∗_n} is a basis of V^∗ (this is called a dual basis). Consider β^∗= (v^∗₁, . . . , v^∗_n) as an ordered basis of V^∗. Find the representative matrix of∗ : V → V^∗ with respect to β,β^∗

Exercise 2.7. Continuing Exercise 2.6, let W be a vector space over F with an ordered basis γ = (w1, . . . , w_m) and let γ^∗ be the ordered dual basis (w^∗₁, . . . , w^∗_m) of W^∗. For w = c1w₁+··· + cmw_m, with ci∈ F, let w^∗= c₁w^∗₁+··· + cmw^∗_m. Consider a linear transformation T : V → W and letγ[T ]_β be the representative matrix of T with respective toβ,γ.

(1) Consider the map T^′: V^∗→ W^∗ defined by T^′(v^∗) = T (v)^∗,∀v^∗∈ V^∗. Prove that T^′ is a linear transformation.

(2) Find _γ∗[T^′]_β∗ (the representative matrix of T^′ with respective to β^∗,γ^∗) by using

γ[T ]_β.

(3) Consider the map T^∗: W^∗→ V^∗ defined by T^∗( f ) = f◦ T,∀ f ∈ W^∗. Prove that T^∗ is a linear transformation.

(4) Let _ε[w^∗]_γ be the representative matrix of w^∗∈ W^∗ with respect toγ,ε. Find the representative matrix of T^∗(w^∗)∈ V^∗ with respective to β,ε by using γ[T ]_β and

ε[w^∗]_γ.

(5) Find_β∗[T^∗]_γ∗ (the representative matrix of T^∗ with respective to γ^∗,β^∗), by using

γ[T ]_β.

Exercise 2.8. (This exercise is more challenging) Continuing Exercise 2.7, consider the lin- ear transformation T : V→ W and its dual T^∗: W^∗→ V^∗, defined by T^∗( f ) = f◦T,∀ f ∈ W^∗. Let S ={w1, . . . , wr} be a basis of Im(T). Extending S to an order basisγ = (w1, . . . , wr, . . . , wm) and letγ^∗= (w^∗₁, . . . , w^∗_r, . . . , w^∗_m) the ordered dual basis of W^∗. Letβ be an ordered basis of V andβ^∗ the ordered dual basis of V^∗.

(1) Show that Ker(T^∗) ={ f ∈ W^∗| Im(T) ⊆ Ker( f )}.

{w_r+1 m} is a basis of Ker(T

m = dim(Im(T )) + dim(Ker(T^∗)).

(3) Prove that dim(Im(T )) = dim(Im(T^∗)) and show that the rank of _γ[T ]_β is equal to the rank of _β∗[T^∗]_γ∗.

(4) Using the result of Exercise 2.7(5), show that for any matrix A, the rank of A is equal to the rank of its transpose A^T (this is equivalent to the dimension of the column space of A is equal to the dimension of the row space of A).

(5) Use results in Exercise 2.5 to show that T is onto if and only if T^∗ is one-to-one and show that T is one-to-one if and only if T^∗ is onto.

———————————– 27 October, 2017