我們稱 T 為 X 的一個 topology 如果T 符合以下條件

1.2. Open Sets and Closed Sets 7

1.2. Open Sets and Closed Sets

雖然我們簡單的說只要知道哪些是 open sets 就可以定義出連續函數, 但是隨便在 一個集合中隨便指定那些 subsets 是 open sets 是沒有意義的. 由 Proposition 1.1.5 和 Proposition 1.1.6, 我們知道在實數上的 open set 符合任意聯集以及有限多個交集仍為 open 的性質, 而且R 本身以及 ∅ 亦為 open set. 所以我們很自然要求 open sets 符合以下的規範.

Definition 1.2.1. 考慮一集合 X, 以及 T 為 X 的一些子集合所成的集合. 我們稱 T 為 X 的一個 topology 如果T 符合以下條件.

(1) X, ∅ 皆在 T 中.

(2) 假設∪ {Si, i ∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family 其中每個 Si 皆在 T 中, 則

i∈I

Si 亦在T 中.

(3) 假設 S1, . . . , Sn 皆在T 中, 則

∩n i∈1

Si 亦在T 中.

當我們在 X 中給定了一個 topology, 則稱 X 為一個 topological space 而且稱 T 中的元素 為 X 的 open set. 又若 x ∈ X 且 S ⊆ X 在 T 中滿足 x ∈ S , 則稱 S 為 x 的一個 open neighborhood.

Question 1.10. 試利用數學歸納法說明 Definition 1.2.1 中 topology 的條件 (3) 等價於 (亦即可改成): 假設 S1, S2 皆在T 中, 則 S1∩ S2 亦在 T 中.

要注意同樣的 X, 可以在上面定義不同的 topology, 此時我們認定為不同的 topological space. 所以當我們要討論特定的情況時必須說明是用哪一種 topology. 例如我們要探 討如上一章實數系習慣用的利用開區間所訂的 open set, 便要強調使用 R 上的 standard topology. 不過以後當我們談論的是一般的狀況時, 為了方便起見我們會直接說 X 為一個 topological space, 而不去提及 T , 這也表示我們推得的結論是適用於任何的 topology 的.

對於任意的集合 X 我們都可以在其上定義出 topology 使其成為一個 topological space.

例如給定集合 X 我們可定其上的 topology 為 T = {X, ∅} 這樣的 trivial topology 或稱 indiscrete topology. 也可定 T = P(X) (X 的 power set, 即所有 X 的子集合所成的集合) 這樣的 discrete topology. 很容易檢查, 這兩種都符合 Definition 1.2.1 中 topology 的定義.

我們可以藉這兩個極端的例子順便說明一下為什麼同樣的集合給了不同的 topology, 會 讓我們 “ 感覺” 不一樣. 其實我們將一個 open set S 稱為在它裡面的一個點 x 的 open neighborhood, 意味著我們將 S 上的點視為在 x 附近 (就像實數上包含某一點的開區間 一樣). 又若 x₁ ∈ S1, x2 ∈ S2 且 S₁, S2 皆為 open sets 滿足 S₁ ∩ S2 = ∅, 此時我們可視 為 x₁, x2 兩點可以被兩個開區間所區隔開來. 從這個觀點來看, 對於 X 若使用 indiscrete topology, 表示 X 上的所有點只有一個 open neighborhood X 而且所有點都在裡面. 這意味 這大家都擠成一團, 無法被區分開來, 這也是把它稱為 indiscrete (無法區分的) 的原因. 另 一方面, 同樣的集合 X 若用 discrete topology, 表示對任意 x∈ X, {x} 是本身 x 的一個 open

8 1. Topological Spaces

neighborhood, 這不就意味著每一個 X 上的點都被分得很開啊 (想像實數上的整數點)? 這 也是把它稱為 discrete (離開分散的) 的原因.

Question 1.11. 如果 X = {1, 2} 除了 discrete topology 和 indiscrete topology 外, 還有其 他的 topology 嗎?

我們介紹一種重要的 topological space. 在 R 上, 我們常用的 standard topology, 是用

“距離” 定義出來的, 一般來說有了距離就可以利用它定出 topology. 這樣的 topological space 我們特別稱之為 metric space. 首先我們還是定義一下何謂 “距離”.

Definition 1.2.2. 給定一集合 X, 若函數 d : X× X → [0, ∞) 對於任意 a, b, c ∈ X 滿足以下 性質, 則稱 d 為 X 上的一個 metric.

(1) d(a, b) = d(b, a).

(2) d(a, b) = 0 if and only if a = b.

(3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

性質 (1) 指的是 a 到 b 的距離等於 b 到 a 的距離. 而性質 (2) 指的是每一點到自己的距 離為 0, 而不同的點距離必大於 0. 性質 (3) 便是大家熟悉的三角不等式. 所以符合這三項性 質的函數稱為距離函數. 在 R 中我們定的絕對值 |a − b| = d(a, b) 就符合以上三個性質. 另 外在R² 中定 d((x₁, y2), (x2, y2)) = √

(x₁− x2)²+ (y₁− y2)² 也會是 R² 上的一個 metric. 甚 至我們在Rⁿ 中常用的 d((x₁, . . . , xn)− (y1, . . . , yn)) = √

(x₁− y1)²+· · · + (xn− yn)² 也是Rⁿ 上的 metric.

對於 X, 給定其上的 metric d 後, 我們便可以定義 X 上的 open ball. 亦即對於 a ∈ X, r > 0 我們定義 B(a; r) = {x ∈ X :| d(x, a) < r}. 然後我們便可如 Definition 1.1.4 定義 X 上 的 open set. 也就是說, 若 S ⊆ X 滿足對所有 a ∈ S 皆存在 r > 0 使得 B(a; r) ⊆ S , 則稱 S 為一個 open set. 當然了我們必須說明這樣定出的 open set 符合 Definition 1.2.1 的三項要 求. 事實上模仿 Proposition 1.1.5 和 Proposition 1.1.6 的證明, 我們確實知道這樣定義出的 open sets 確實賦予 X 一個 topology. 也就是說只要一個集合上有一個 metric, 我們便能利 用此 metric 定義出其上的一個 topology.

Question 1.12. 假設集合 X 上有一 metric d, 試證明

T = {S ⊆ X | ∀ a ∈ S, ∃ r > 0, B(a; r) ⊆ S } 為 X 上的 topology.

其實我們要定義出一個集合 X 上的 topology, 一開始可能無法一下子就能符合 Defini- tion 1.2.1 的三項條件, 一般我們會先注意我們要求的 open set 所需的特性是甚麼, 先收集 這些集合然後再擴大之使其符合 topology 的要求. 例如在 R 上的 standard topology, 我 們基本上所要的是開區間的概念, 最後才擴充到 open sets. 事實上我們可以看出, 在 R 的 standard topology 上的 open set 就是一些 (可以是無窮多個) open interval 的聯集所組成.

同樣的道理, 在 metric space 中的 topology 其中的 open sets, 事實上也都是由一些 open

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ball 所聯集而得. 而這些建構 topology 最基本的集合, 我們便稱之為該 topology 的一個 basis. 我們有以下正式的定義.

Definition 1.2.3. 假設 X 是由T 定義出的一個 topological space. 若 B 是由 T 中的一些 open sets 所組成的集合, 滿足任意T 中非空的 open set 皆可寫成一些 B 中的 open sets 的 聯集, 則稱 B 為 T 的 basis (或 base).

其實 basis 的意義在於對於任何非空的 open set S , 當 x∈ S 時, 我們都可找到 Sx ∈ B 滿足 x∈ Sx 且 S_x ⊆ S , 此時便可將 S 寫成這些 Sx 的聯集, 即 S =∪

x∈S

Sx. 例如在R 中, 當 我們考慮 standard topology T , 由於對於任意非空的 open set S ∈ T 上的一點 x ∈ S , 我 們皆可找到γx > 0 使得 (x − γx, x + γx) ⊆ S , 所以可得 S =∪

x∈S

(x− γx, x + γx). 因而得知所 有的 open intervals 所成的集合是 R 的 standard topology 的一組 basis. 同理, 對於 metric space, 所有 open ball 所成的集合就是此 metric space 的 topology 上的一組 basis.

Question 1.13. 假設 S 是非空集合且對於任意 x∈ S 時, 我們都可找到 Sx 滿足 x∈ Sx 且 Sx ⊆ S . 試證明 S = ∪

x∈S

Sx, 並依此說明在 metric space 中所有半徑為有理數的 open ball 所成的集合就是此 metric space 的 topology 上的一組 basis.

由 Question 1.13 可知一個 topology 的 basis 並不唯一. 不過反過來一組 basis 僅能定 出一個 topology. 這是因為依 basis 的定義, basis 中的元素都應是 open set, 再加上 open sets 的聯集仍為 open set, 因此若兩個 topology 有相同的 basis, 會造成這兩個 topology 有 相同的 open sets, 亦即得到相同的 topology. 詳細的證明就留作習題囉.

Question 1.14. 假設 X 為非空的集合且T1, T2 皆為 X 上的 topology. 現若 B 皆為 T1, T2

的一組 basis. 試證明T1=T2.

Excecise 1.1. 假設 X 為非空集合, 定義 d : X× X → [0, ∞) 為 d(x, y) =

{ 0, x = y;

1, x , y. 試證 明 d 為 X 上的一個 metric 並說明利用此 metric 所定出的 topology 就是 discrete topology.

Excecise 1.2. 假設 T 是 X 的 topology 且 B 為 T 的一組 basis. 試證明若 T^′ 亦為 X 的 topology 且B ⊆ T^′, 則T ⊆ T^′, 並依此證明 X 上所有包含B 的 topology 的交集就是 T . Excecise 1.3. 考慮R² 中的 standard topology, 即以

d((x1, y2), (x2, y2)) =

√

(x1− x2)²+ (y1− y2)² 所定義的 metric space. 對任意一點 p = (x₀, y0)∈ R² 以及 r> 0, 我們定義

Sq(p, r) = {(x, y) ∈ R²:|x − x0| < r, |y − y0| < r}.

證明{Sq(p, r) : p ∈ R², r > 0} 是 R² 的 standard topology 的一組 basis

———————————– 22 September, 2017