習題 4.1

(1)

4-1

習題 4.1-1：

△ABC 中，若∠A＝30°，∠B＝60°，則△ABC 為三角形。

（填銳角、直角、鈍角）

想法：(1) 三角形三內角和 180°

(2) 銳角、直角、鈍角三角形的判別解：

敘述理由

(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180°

(2) ∠C＝180°－(∠A＋∠B) (3) ∠C＝180°－(30°＋60°)＝90°

(4) △ABC 為直角三角形

三角形內角和 180°

由(1) 等量減法公理

由(2) ＆已知∠A＝30°，∠B＝60°

由(3) ∠C＝90° 已證

習題 4.1-2：

△ABC 中，若∠A＝（3x－14）°，∠B＝95°，∠C＝（2x＋9）°，求∠A、

∠C。

想法：三角形三內角和 180°

解：

敘述理由

(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180°

(2) （3x－14）°＋95°＋（2x＋9）°＝180°

(3) x＝18

(4) ∠A＝（3x－14）°＝40°

(5) ∠C＝（2x＋9）°＝45°

由(1)＆已知∠A＝（3x－14）°，

∠B＝95°，∠C＝（2x＋9）°

由(2)解一元一次方程式由(3)＆已知∠A＝（3x－14）°

由(3)＆已知∠C＝（2x＋9）°

(2)

4-2

△ABC 中，∠C＝80°，若∠A 的度數是∠B 的 3 倍，求∠A、∠B。

想法：三角形內角和 180°

解：

敘述理由

(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180°

(2) ∠A＋∠B＝180°－∠C＝100°

(3) ∠A＝3∠B

(4) 3∠B＋∠B＝100°

(5) ∠B＝25°

(6) ∠A＝3∠B＝75°

由(1) 等量減法公理＆∠C＝80°

已知∠A 的度數是∠B 的 3 倍將(3)代入(2)

由(4) 解一元一次方程式將(5)代入(3)

習題 4.1-4：

△ABC 中，若∠A＝110°，2∠B＝3∠C，求∠B、∠C。

想法：三角形三內角和 180°

解：

敘述理由

(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180°

(2) ∠B＋∠C＝180°－∠A＝70°

(3) ∠B＝

2 3∠C

(4) 2

3∠C＋∠C＝70°

(5) ∠C＝28°

(6) ∠B＝42°

由(1) 等量減法公理＆∠A＝110°

已知 2∠B＝3∠C

將(3)代入(2)

由(4) 解一元一次方程式將(5)代入(3)

(3)

4-3

已知一等腰三角形的頂角為 110 度，則底角為度。

(2) 等腰三角形兩底角相等解：

敘述理由

(1) 假設等腰三角形兩底角皆為 x°

(2) 110°＋x°＋x°＝180°

(3) x＝35 (4) 底角為 35°

等腰三角形的兩底角相等三角形內角和 180°

由(2)＆解一元一次方程式由(1)＆(3)

習題 4.1-6：

已知一等腰三角形的底角為 70 度，則頂角為度。

敘述理由

(1) 假設頂角為 x°

(2) 等腰三角形兩底角皆為 70°

(3) x°＋70°＋70°＝180°

(4) x＝40 (5) 頂角為 40°

假設

等腰三角形的兩底角相等三角形內角和 180°

由(3) ＆解一元一次方程式由(1) ＆ (4)

(4)

4-4

已知一等腰三角形的頂角為 50 度，底角為（3x＋5）度，則 x＝，底角為度。

想法：(1) 三角形內角和 180°

敘述理由

(1) 三角形兩底角皆為（3x＋5）°

(2) 50°＋（3x＋5）°＋（3x＋5）°＝180°

(3) x＝20

(4) 底角為（3x＋5）°＝65°

等腰三角形的兩底角相等

三角形內角和 180°＆頂角為 50°，

底角為（3x＋5）°

由(2)＆解一元一次方程式由(3)＆底角為（3x＋5）°

習題 4.1-8：

一等腰三角形，已知其中一個內角為 50 度，則此三角形中大於 50 度的內角為度。

想法：(1) 等腰三角形中，頂角＝180°－2 倍底角 (2) 等腰三角形中，底角＝(180°－頂角)÷2 解：

敘述理由

(1) 假設 50°為頂角

(2) 兩底角皆為(180°－50°)÷2＝65°

(3) 假設 50°為底角

(4) 頂角＝180°－2×50°＝80°

(5) 所以內角大於 50 度的角度為 65°

或 80°

假設

等腰三角形的兩底角相等＆

等腰三角形中，底角＝(180°－頂角)÷2 假設

等腰三角形中，頂角＝180°－2 倍底角由(2) ＆ (4)

(5)

4-5

如圖 4.1-34，△ABC 中，∠ABC 與∠ACB 的角平分線交於 P 點，若 ∠ABC＝38°，∠ACB＝72°，求：

(1)∠1、∠2。 (2)∠BPC。

圖 4.1-34 想法：三角形三內角和 180°

解：

敘述理由

(1) ∠1＝38°÷2＝19°

(2) ∠2＝72°÷2＝36°

(3) ∠BPC＋∠1＋∠2＝180°

(4) ∠BPC＝180°－(∠1＋∠2)＝125°

已知為∠ABC 的角平分線已知為∠ACB 的角平分線三角形內角和 180°

將(1)＆(2)代入(3)

(6)

4-6

如圖 4.1-35，△ABC △PQR，且 A 和 P、B 和 Q、C 和 R 是三組對應頂點。

若∠B＝55°，∠C＝100°，＝20 公分，求：

(1)∠A 及∠R。 (2) 。

圖 4.1-35 想法：(1) 三角形三內角和 180°

(2) 兩三角形全等，則對應邊、對應角相等解：

敘述理由

(1) ∠A＝180°－(55°＋100°)＝25°

(2) ∠R＝∠C＝100°

(3) ＝＝20 公分

三角形之內角和 180° ＆已知∠B＝55°，∠C＝100°

已知△ABC △PQR，對應角相等已知△ABC △PQR，對應邊相等

(7)

4-7

如圖 4.1-36，直線 L⊥L1於 P 點，且交 L2於 Q 點，截線 M 分別交 L、L1、 L2於 A、B、C 三點，已知同位角∠1、∠2 均為 35°，

(1) 利用「三角形的內角和為 180°」，求∠3。

(2) 直線 L1與 L2是否平行？

圖 4.1-36 想法：(1) 三角形三內角和 180°

(2) 若兩直線同時垂直另一直線，則此兩直線互相平行解：

敘述理由

(1) ∠APB＝90°

(2) △APB 中，∠A＋∠1＋∠APB＝180°

(3) ∠A＝180°－(∠1＋∠APB)＝55°

(4) △AQC 中，∠3＋∠A＋∠2＝180°

(5) ∠3＝180°－(∠A＋∠2)＝90°

(6) L⊥L2

(7) L1∥L2

已知 L⊥L1

由(2) ＆∠APB＝90° ＆∠1＝35°

由(5) ＆∠A＝55° ＆ ∠2＝35°

由(5) ∠3＝90° 已證 L⊥L1 ＆ L⊥L2

(8)

4-8

圖 4.1-37

已知：如圖 4.1-37，△ABC 中，∠B＝∠C，平分∠BAC。

試證： ⊥ 。

想法一：(1) 若證得∠ADB＝∠ADC＝90°，則可知 ⊥ ； (2) 若證得△ADB △ADC，則可知∠ADB＝∠ADC；

(3) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理 證明一：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ＝

(3) △ADB 與△ADC 中，

∠B＝∠C ＝

∠BAD＝∠CAD (4) △ADB △ADC (5) ∠ADB＝∠ADC

(6) ∠ADB＋∠ADC＝180°

(7) ∠ADC＋∠ADC＝180°

∠ADC＝90°

(8) 所以∠ADB＝∠ADC＝90°

(9) 所以 ⊥

已知∠B＝∠C ＆兩底角相等為等腰三角形由(1) ＆等腰三角形兩腰等長

如圖 4.1-37 所示已知∠B＝∠C 由(2) ＝已證已知平分∠BAC

由(3) A.S.A.三角形全等定理由(4) ＆對應角相等

如圖 4.1-37，∠BDC 為一平角將(5) 代入(6) 得

解一元一次方程式由(5) ＆ (7) 由(8)

(9)

4-9

證明二：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形

(∠BAC 為頂角，為底邊) (2) 所以 ⊥

已知∠B＝∠C ＆兩底角相等為等腰三角形

由(1) ＆已知平分∠BAC

等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

習題 4.1-13：

E D

F

B C

A

圖 4.1-38

已知：如圖 4.1-38，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，平分∠ABC，平分∠ACB。

試證：＝。

想法：(1) 若證得△BCF 為等腰三角形，則可知＝； (2) 兩底角相等為等腰三角形。

證明：

敘述理由

(1) ∠DBC＝1

2∠ABC (2) ∠ECB＝1

2∠ACB (3) 所以∠DBC＝1

2∠ABC＝1

2∠ACB＝∠ECB (4) 所以△BCF 為等腰三角形

(5) ＝

已知平分∠ABC 已知平分∠ACB

由(1) ＆ (2) ＆已知∠ABC＝∠ACB 由(3) ∠DBC＝∠ECB ＆兩底角相等為等腰三角形由(4) ＆

等腰三角形兩腰等長

(10)

4-10

H D

B C F G

圖 4.1-39

已知：如圖 4.1-39，△ABC △EFG，∠ABC＝∠EFG，∠C＝∠G，平分 ∠ABC，平分∠EFG。

試證：＝。

想法：(1) 若證得△CDB △GHF，則可知＝； (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) △CDB 與△GHF 中

∠C＝∠G

＝

∠DBC＝∠HFG

(2) 所以△CDB △GHF (3) ＝

如圖 4.1-39 所示已知∠C＝∠G

已知△ABC △EFG ＆對應邊相等已知∠ABC＝∠EFG ＆

平分∠ABC、平分∠EFG，

由(1) ＆ A.S.A.三角形全等定理對應邊相等

(11)

4-11

B C

A

E

D

圖 4.1-40 已知：如圖 4.1-40，＝，平分∠EAC。

試證： ∥ 。

想法：判斷兩直線平行的方法有：

1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行解：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠B＝∠C

(3) △ABC 中，∠EAC＝∠B＋∠C (4) 所以∠EAC＝∠C＋∠C＝2∠C (5) ∠DAC＝1

2∠EAC＝∠C (6) 所以 ∥

已知＝＆兩腰等長為等腰三角形由(1) ＆等腰三角形兩底角相等

三角形外角等於內對角的和將(2) 代入 (3)

已知平分∠EAC ＆ (4)∠EAC＝2∠C 由(5) ∠DAC＝∠C ＆

內錯角相等，兩直線平行定理

(12)

4-12

D B C

A

E F

圖 4.1-41

已知：如圖 4.1-41，＝，平分∠CBE，平分∠BCF。

試證：＝。

想法：若證得△BCD 為等腰三角形，則可得知＝ 證明：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠ABC＝∠ACB (3) ∠CBE＝∠BCF (4) ∠CBD＝1

2∠CBE (5) ∠BCD＝1

2∠BCF (6) 所以∠CBD＝∠BCD (7) △BCD 為等腰三角形 (8) 所以＝

已知＝＆兩腰等長為等腰三角形由(1) ＆等腰三角形兩底角相等

由(2) ＆等角的補角相等已知平分∠CBE

已知平分∠BCF

由(3) ＆ (4) ＆ (5) 遞移律

由(6) ＆兩底角相等為等腰三角形由(7) ＆等腰三角形兩腰等長

(13)

4-13

如圖 4.1-42，△ABC 與△PQR 中，∠A＝∠P＝40°，∠B＝∠Q＝45°，

＝＝8 公分，若＝9 公分。求＝？

圖 4.1-42 想法：已知判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理解：

敘述理由

(1) △ABC 與△PQR 中 ∠A＝∠P＝40°

∠B＝∠Q＝45°

＝

(2) △ABC △PQR (3) ＝＝9 公分

如圖 4.1-42 已知已知已知

由(1) A.A.S.三角形全等定理對應邊相等＆＝9 公分

(14)

4-14

F G

E D

B C

A

圖 4.1-43

已知：如圖 4.1-43，△ABC 中，∠B＝∠C，D 為之中點，E 為之中點，

⊥ ， ⊥ 。試證：＝。

想法：(1) 若證得△BDF △CEG，則可知＝； (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ＝

(3) 所以＝

(4) 在△BDF 與△CEG 中

∠DFB＝∠EGC＝90°

∠B＝∠C

＝

(5) 所以△BDF △CEG (6) ＝

已知∠B＝∠C ＆兩底角相等為等腰三角形由(1) ＆等腰三角形兩腰等長

已知 D 為之中點，E 為之中點＆ (2) ＝如圖 4.1-43 所示

已知 ⊥ ， ⊥ 已知∠B＝∠C

由(3) ＝已證

由(4) ＆ A.A.S.三角形全等定理對應邊相等

(15)

4-15

F E

D C

B

A

圖 4.1-44

已知：如圖 4.1-44，△ABC 中，＝，∠B＝∠C， ⊥ ， ⊥ 。試證：＝。

想法：(1) 若證得△BDE △CDF，則可知＝； (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△BDE 與△CDF 中

∠BED＝∠CFD＝90°

∠B＝∠C

＝

(2) 所以△BDE △CDF (3) ＝

如圖 4.1-44 所示

已知 ⊥ ， ⊥

已知∠B＝∠C 已知＝

(16)

4-16 2 1

D A

B C

圖 4.1-45

如圖 4.1-45，已知△ABC 為等腰三角形，∠B＝∠C，平分∠A，若＝ 18，則：(1)∠BDA＝？ (2) ＝？

想法：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊解：

敘述理由

(1) ⊥ ，＝

(2) ∠BDA＝90°

(3) ＝＋ (4) 18＝＋ (5) ＝18÷2＝9

已知△ABC 為等腰三角形，∠B＝∠C，

平分∠A ＆等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

由(1) ⊥

全量等於分量之和

由(3) ＆已知＝18 ＆ (1) ＝由(4) 解一元一次方程式

(17)

4-17

如圖 4.1-46，△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝60°，若 為∠BAC 的角平分線，求∠1。

圖 4.1-46 想法：(1) 三角形三內角和等於 180

(2) 三角形的任一外角等於兩個內對角和解：

敘述理由

(6) △ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°

(7) ∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝70°

(8) ∠DAC＝70°÷2＝35°

(9) △ABC 中，∠1＝∠C＋∠DAC (10) ∠1＝60°＋35°＝95°

三角形內角和定理

由(2) ＆∠B＝50° ＆∠C＝60°

已知為∠BAC 的角平分線三角形的外角等於兩個內對角和由(4) ＆∠C＝60° ＆∠DAC＝35°

(18)

4-18

如圖 4.1-47，已知∠B＝36°，∠ACD＝100°，∠D＝27°，則∠1＝度，

∠2＝度。

圖 4.1-47 想法：三角形的任一外角等於兩個內對角和解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠ACD＝∠1＋∠B (2) ∠1＝∠ACD－∠B＝64°

(3) △CDE 中，∠2＝∠ACD＋∠D (4) ∠2＝100°＋27°＝127°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠ACD＝100° ＆∠B＝36°

三角形的外角等於兩個內對角和由(3) ＆∠ACD＝100° ＆∠D＝27°

(19)

4-19

如圖 4.1-48，已知∠A＝55°，∠ABD＝42°，∠DCE＝38°，則∠1＝度，

∠2＝度。

敘述理由

(1) △ABD 中，∠1＝∠A＋∠ABD (2) ∠1＝55°＋42°＝97°

(3) △CDE 中，∠2＝∠1＋∠DCE (4) ∠2＝97°＋38°＝135°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠A＝55° ＆∠ABD＝42°

三角形的外角等於兩個內對角和由(3) ＆∠1＝97° ＆∠DCE＝38°

(20)

4-20

如圖 4.1-49，已知、交於 E 點，∠A＝40°，∠B＝45°，∠D＝55°，則

∠C＝度。

敘述理由

(1) △ABE 中，∠AEC＝∠A＋∠B (2) △CDE 中，∠AEC＝∠C＋∠D (3) ∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(4) ∠C＝∠A＋∠B－∠D＝30°

三角形的外角等於兩個內對角和三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆ (2)遞移律

由(3) ＆∠A＝40°，∠B＝45°，∠D＝55°

(21)

4-21

如圖 4.1-50，已知與相交於 E 點，若∠A＝70°，∠B＝4x°，∠C＝（x

＋10）°，∠D＝2x°，求 x。

敘述理由

(1) △ACE 中，∠AED＝∠A＋∠C (2) △BDE 中，∠AED＝∠B＋∠D (3) ∠A＋∠C＝∠B＋∠D

(4) 70°＋(x＋10) °＝4x°＋2x°

(5) x＝16

三角形的外角等於兩個內對角和三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆ (2)遞移律

由(3) ＆已知∠B＝4x°，∠C＝（x＋10）°，

∠D＝2x°，

由(4) 解一元一次方程式

(22)

4-22

如圖 4.1-51，已知∠B＝24°，∠C＝32°，∠D＝36°，∠E＝38°，則∠A＝

度。

圖 4.1-51 想法：(1) 三角形三內角和等於 180

(2) 三角形的任一外角等於兩個內對角和

圖 4.1-51(a) 解：

敘述理由

(1) 連接 C 點與 D 點，如圖 4.1-51(a)所示 (2) △BEF 中，∠BFC＝∠B＋∠E

(3) △CDF 中，∠BFC＝∠FCD＋∠FDC (4) ∠B＋∠E＝∠FCD＋∠FDC

(5) △ACD 中，

∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°

(6) ∠A＋(∠ACE＋∠FCD)＋

(∠ADB＋∠FDC)＝180°

兩點可決定一直線

三角形的外角等於兩個內對角和三角形的外角等於兩個內對角和由(2) ＆ (3) 遞移律

如圖 4.1-51(a)所示三角形內角和定理由(5)

(23)

4-23

(∠FCD＋∠FDC)＝180°

(8) ∠A＋∠ACE＋∠ADB＋(∠B＋∠E)

＝180°

(9) ∠A

＝180°－(∠ACE＋∠ADB＋∠B＋∠E)

＝50°

由(7) ＆ (4)

由(8) ＆已知

習題 4.1-27：

如圖 4.1-52，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB 的外角，若∠1＝68°，∠2＝134°，求∠3。

圖 4.1-52 想法：三角形三個角的外角和等於 360°

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠1＋∠2＋∠3＝360°

(2) ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝158°

三角形的外角和定理

由(1) ＆已知∠1＝68°，∠2＝134°

(24)

4-24

如圖 4.1-53，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB 的一組外角，若∠ACB＝160°，求∠1＋∠2。

圖 4.1-53 想法：三角形三個角的外角和等於 360°

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠3＝180°－∠ACB＝20°

(2) △ABC 中，∠1＋∠2＋∠3＝360°

(3) ∠1＋∠2＝360°－∠3 ＝360°－20°

＝340°

三角形外角定義＆∠ACB＝160°

三角形的外角和定理由(2) 等量減法公理＆ (1) ∠3＝20°

(25)

4-25

1

90

E

D C

B

A

習題 4.2-1

圖 4.2-14

已知：如圖 4.2-14，△ABC 中，＝， ⊥ ， ⊥ 。試證：∠1＝

2

1∠BAC。

想法：判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理

5. 直角三角形斜邊及一股全等定理，又稱 R. H. S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) 令交於 G 點，如圖 4.2-14(a)所示

(2) △AGE 中，∠AGB＝∠DAC＋∠AEB ＝∠DAC＋90°

(3) △BGD 中，∠AGB＝∠1＋∠ADB ＝∠1＋90°

不互相平行的兩直線必有一交點

圖 4.2-14(a) 三角形外角等於內對角的和已知 ⊥ ，∠AEB＝90°

三角形外角等於內對角的和已知 ⊥ ，∠ADB＝90°

(26)

4-26

所以∠1＝∠DAC

(5) 在△BDA 與△CDA 中

∠BDA＝∠CDA＝90°

＝

(6) 所以△BDA △CDA (7) ∠DAB＝∠DAC (8) 所以∠DAC＝

2

1∠BAC

(9) ∠1＝

2

1∠BAC

等式兩邊同減 90°

如圖 4.2-14(a)所示已知 ⊥

共同邊已知＝

由(5) ＆ R. H. S.三角形全等定理對應角相等

由(7) ∠DAB＝∠DAC ＆

∠DAB＋∠DAC＝∠BAC 由(4) ∠1＝∠DAC ＆ (8) ∠DAC＝

2

1∠BAC 遞移律

(27)

4-27

90 90

E F

D C

B

A

圖 4.2-15

已知：如圖 4.2-15，△ABC 中，＝， ⊥ ， ⊥ ，＝。試證：＝。

想法：(1) 若證得△ABC 為等腰三角形，則可得知＝； (2) 若證得∠B＝∠C，則可得知△ABC 為等腰三角形；

(3) 若證得△BDE △CDF，則可得知∠B＝∠C；

(4) 判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 在△BDE 與△CDF 中

∠BED＝∠CFD＝90°

＝

(2) 所以△BDE △CDF (3) ∠B＝∠C

(4) △ABC 為等腰三角形 (5) 所以＝

如圖 4.2-15 所示

已知 ⊥ ， ⊥

已知＝已知＝

由(1) ＆ R. H. S.三角形全等定理對應角相等

由(3) ∠B＝∠C ＆兩底角相等為等腰三角形由(4) △ABC 為等腰三角形＆

等腰三角形兩腰等長

(28)

4-28

30

C B

圖 4.2-16 已知：如圖 4.2-16， ⊥ ，＝

2

1 。試證：∠CAB＝30°。

證明：

敘述理由

(1) 延長至 D 點，使＝，

，如圖 4.2-16(a)所示，

所以為一線段

(2) ＝＋＝2 (3) ＝2

(4) 所以＝

(6) 在△ACB 與△ADB 中

∠ABC＝∠ABD＝90°

＝

(7) 所以△ACB △ADB

(8) ＝＆ ∠CAB＝∠DAB (9) △ACD 中，＝＝

(10) △ACD 為正三角形 (11) ∠CAD＝60°

作圖

圖 4.2-16(a) 由(1)作圖＆全量等於分量和已知＝

2 1

由(2) ＆ (3) 遞移律如圖 4.2-16(a)所示

已知 ⊥ ＆ (1) 為一線段由(1)作圖

共同邊

由(6) ＆ S.A.S.三角形全等定理對應邊相等＆對應角相等

由(4) ＝＆ (8) ＝遞移律由(9) ＆等邊三角形為正三角形

由(10) ＆正三角形三內角皆為 60°

(29)

4-29

2 (11) ∠CAD＝60°

習題 4.2-4

如圖 4.2-17，直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BAC＝30°，若＝20，

則＝？

圖 4.2-17

想法：利用定理：4.2-2 若直角三角形的某一內角為 30°，則其對邊為斜邊的一半。

解：

敘述理由

(1) ＝ 2 1 ＝

2

1×20＝10 已知直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BAC＝

30° ＆定理：4.2-2 若直角三角形的某一內角為 30°，則其對邊為斜邊的一半＆已知＝20

(30)

4-30

F

D E

B C

A

圖 4.2-18

已知：如圖 4.2-18，△ABC 中，＝，＝，＝。試證：＝。

想法：(1) 若證得△BCF 為等腰三角形，則可得知＝；

(2) 若證得∠EBC＝∠DCB，則可得知△BCF 為等腰三角形；

(3) 若證得△EBC △DCB，則可得知∠EBC＝∠DCB (4) 判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) ＝＝ 2 1

(2) ＝＝ 2 1

(3) 所以＝

(4) △ABC 為等腰三角形 (5) ∠DBC＝∠ECB (6) 在△EBC 與△DCB 中

＝

∠ECB＝∠DBC

＝

(7) 所以△EBC △DCB

已知＝＆＝＋

已知＝＆＝＋由(1)＆(2)＆已知＝遞移律已知＝＆兩腰等長為等腰三角形由(4) ＆等腰三角形兩底角相等

如圖 4.2-18 所示由(3) ＝已證

由(5) ∠DBC＝∠ECB 已證共同邊

由(6) ＆ S. A. S.三角形全等定理

(31)

4-31

(9) △BCF 為等腰三角形 (10) 所以＝

由(8) ∠EBC＝∠DCB ＆兩底角相等為等腰三角形由(9) △BCF 為等腰三角形＆等腰三角形兩腰等長

習題 4.2-6

如圖 4.2-19，△ABC 中，已知 ⊥ ， ⊥ 且＝，若

∠ABC＝55°，＝15，則：

(1) ∠ACB＝？ (2) ＝？

圖 4.2-19

想法：(1) 定理：4.2-3 若三角形兩頂點至其對邊的距離相等，則此三角形為等腰三角形。

(2) 等腰三角形的性質：兩腰等長且兩底角相等解：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形

(2) ∠ACB＝∠ABC＝55°

(3) ＝＝15

已知 ⊥ ， ⊥ 且＝＆

定理：4.2-3 若三角形兩頂點至其對邊的距離相等，

則此三角形為等腰三角形

由(1) 等腰三角形兩底角相等＆已知∠ABC＝55°

由(1) 等腰三角形兩腰等長＆已知＝15

(32)

4-32

如圖 4.2-20，已知△ABC 為等腰三角形，＝，若 ⊥ ，

⊥ ，且∠FBC＝35°，＝12，則：

(1) ∠FCB＝？ (2) ＝？

圖 4.2-20

想法：(1) 定理：4.2-4 等腰三角形兩腰上的高與底邊所造成的三角形亦為等腰三角形。

(2) 等腰三角形的性質：兩腰等長且兩底角相等解：

敘述理由

(1) △FBC 為等腰三角形

(2) ∠FCB＝∠FBC＝35°

(3) ＝＝12

已知△ABC 為等腰三角形，＝，若 ⊥ ，

⊥ ＆定理：4.2-4 等腰三角形兩腰上的高與底邊所造成的三角形亦為等腰三角形

由(1) 等腰三角形兩底角相等＆已知∠FBC＝35°

由(1) 等腰三角形兩腰等長＆已知＝12

(33)

4-33

習題 4.3-1

如圖 4.3-18，I 點為△ABC 的內心，若 I 點到的距離為 5，則：

(1) I 點到的距離為何？

(2) I 點到的距離為何？

圖 4.3-18 想法：三角形的內心到此三角形的三邊等距離解：

敘述理由

(1) I 點到的距離＝I 點到的距離

＝I 點到的距離＝5

已知 I 點為△ABC 的內心＆三角形的內心到此三角形的三邊等距離＆已知 I 點到的距離為 5

(34)

4-34

如圖 4.3-19，已知 I 點為△ABC 的內心、BIC＝120，則BAC＝？

圖 4.3-19

想法：利用例題 4.3-2 結論：若 I 點為△ABC 的內心，則BIC＝90＋1

2BAC 解：

敘述理由

(1) BIC＝90＋1

2BAC

(2) 120＝90＋1

2BAC

(3) BAC＝(120－90)×2＝60

已知 I 點為△ABC 的內心＆

例題 4.3-2 結論：若 I 點為△ABC 的內心，

則BIC＝90＋1

2BAC 由(1) ＆已知BIC＝120

由(2) 求BAC 之值

(35)

4-35

如圖 4.3-20，O 點為△ABC 的外心，若＝10，則：

(1) ＝？ (2) ＝？

圖 4.3-20 想法：三角形的外心到此三角形的三頂點等距離解：

敘述理由

(1) ＝＝＝10 已知 O 點為△ABC 的外心＆

三角形的外心到此三角形的三頂點等距離

＆已知＝10

(36)

4-36

如圖 4.3-21，△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，若 O 點為的中點且

＝20，則＝？

圖 4.3-21 想法：(1) 直角三角形斜邊中點為此三角形的外心

(2) 三角形的外心到此三角形的三頂點等距離 解：

敘述理由

(1) ＝ (2) ＝＋ (3) 20＝＋ (4) ＝20÷2＝10

(5) O 點為△ABC 的外心

(6) ＝＝

(7) 所以＝10

已知 O 點為的中點全量等於分量之和

由(2) ＆ (1) ＆已知＝20 由(3) 解一元一次方程式

已知△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，

若 O 點為的中點＆直角三角形斜邊中點為此三角形的外心

由(5) ＆三角形的外心到此三角形的三頂點等距離

由(6) ＆ (4) 遞移律

(37)

4-37

試證正三角形的內心與外心為同一點。

圖 4.3-23 已知：△ABC 為正三角形，I 點為△ABC 內心，

求證：I 點也是△ABC 外心。

想法：(1) 三角形內心為三內角平分線的交點；

(2) 三角形外心為三邊中垂線的交點；

(3) 若證得正三角形三邊中垂線就是三內角平分線，即可證得正三角形的外心與內心為同一點

證明：

敘述理由

(1) △ABC 中，為∠BAC 的角平分線，為∠ABC 的角平分線，為∠ACB 的角平分線 (2) △ABC 為等腰三角形

( ＝為其兩腰，∠BAC 為頂角) (3) 所以為的中垂線

(4) 同理可證，為的中垂線；

為的中垂線 (5) 所以 I 點也是△ABC 外心

如圖 4.3-23 所示＆

已知 I 點為△ABC 內心＆

三角形內心為三內角平分線的交點已知△ABC 為正三角形＆正三角形為等邊三角形

由(2) △ABC 為等腰三角形，∠BAC 為頂角＆ (1) 為∠BAC 的角平分線＆等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

由(2) ＆ (3)同理可證

由(3)＆(4)＆三角形三邊中垂線的交點為三角形的外心

(38)

4-38

設△ABC 的三中線相交於 G 點，若＝6，＝4，＝8，求各中線的長。

圖 4.3-24

已知：△ABC 的三中線、、相交於 G 點，若＝6，＝4，＝8，

求：、、各為多少？

想法：(1) 三角形三中線的交點為三角形的重心

(2) 三角形重心與頂點的距離為中線的三分之二解：

敘述理由

(1) G 點△ABC 的重心

(2) ＝2 3 6＝2

3

＝6÷ 2 3＝9 (3) ＝2

3 4＝2

3

＝4÷2 3＝6 (4) ＝2

3 8＝2

3

＝8÷2 3＝12

已知△ABC 的三中線、、相交於 G 點＆三角形三中線的交點為三角形的重心

由(1)＆重心與頂點的距離( )為中線( )的三分之二將已知＝6 代入

等式兩邊同除以3 2

(39)

4-39

試證明三角形若兩中線相等，則為等腰三角形。

圖 4.3-25

已知：、為△ABC 的中線，、交於 G 點，且＝；求證：△ABC 為等腰三角形。

想法：(1) 若證得∠ABC＝∠ACB (即∠1＋∠2＝∠3＋∠4)，則可得知△ABC 為等腰三角形；

(2) 若證得∠1＝∠3 且∠2＝∠4，則可得知∠1＋∠2＝∠3＋∠4；

(3) 若證得△BCG 為等腰三角形，則可得知∠2＝∠4；

(4) 若證得＝，則可得知△BCG 為等腰三角形；

(5) 若證得△BDG △CEG，則可得知∠1＝∠3 (6) 判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) G 點為△ABC 的重心

(2) ＝2

3 ＆＝1 3

已知、為△ABC 的中線，、交於 G 點＆三角形兩中線的交點為重心由(1) ＆重心與頂點的距離為中線的三分之二

(40)

4-40

3 3

(4) 所以＝＆＝ (5) △BCG 為等腰三角形 (6) 所以∠2＝∠4

(7) △BDG 與△CEG 中

＝

∠BGD＝∠CGE

＝

(8) 所以△BDG △CEG (9) 所以∠1＝∠3

(10) ∠1＋∠2＝∠3＋∠4 (11) 所以∠ABC＝∠ACB

(12) 所以△ABC 為等腰三角形

由(2) ＆ (3) ＆已知＝遞移律由(4) ＝＆兩腰等長為等腰三角形由(5) ＆等腰三角形兩底角相等

如圖 4.3-25 所示由(4) ＝已證對頂角相等

由(4) ＝已證

由(7) ＆ S.A.S.三角形全等定理對應角相等

由(9)式＋(6)式

∠ABC＝∠1＋∠2、∠ACB＝∠3＋∠4

＆ (10) ∠1＋∠2＝∠3＋∠4

由(10) ∠ABC＝∠ACB ＆兩底角相等為等腰三角形

(41)

4-41

如圖 4.3-22 的△ABC 中，D、E、F 三點將四等分，＝3 ，H 為的中點。圖中的哪一點為△ABC 的重心？

Y X

W G

Z H

F

D E

A

B C

圖 4.3-22 想法：三角形三中線的交點為三角形的重心解：

敘述理由

(1) Z 點為△ABC 的重心已知 D、E、F 三點將四等分，E 點為中點＆已知 H 為的中點＆三角形兩中線的交點為三角形重心

(42)

4-42

1：若△ABC 的三內角的角度成等差數列，其公差為 15 度，則三內角中最大角 是度，最小角是度。

想法：三角形內角和 180°

解：

敘述理由

(1) 假設三角形三內角分別為 (x－15)°、x°、(x＋15)°

(2) (x－15)°＋x°＋(x＋15)°＝180°

(3) 3x＝180 x＝60

(4) 所以三內角分別為

(x－15)°＝(60－15) °＝45°

x°＝60°

(x＋15)°＝(60＋15) °＝75°

(5) 所以三內角中最大角是 75°

最小角是 45°

已知△ABC 的三內角的角度成等差數列，其公差為 15 度

由(1) ＆三角形內角和 180°

由(2)化簡

等式兩邊同除以 3

將(3) x＝60 已證代入(1)

由(4)

(43)

4-43

圖 4.1

已知：如圖 4.1， ∥ ， ⊥ ，分別與、交於 G、H 兩點。

證明：∠B＋∠E＝90°。

想法：(1) 三角形內角和 180°

(2) 一截線與兩平行線相交，則：

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補 證明：

敘述理由

(1) ∠EHG＝∠B (2) ∠EGH＝90°

(3) △EGH 中，

∠EGH＋∠EHG＋∠E＝180°

(4) 90°＋∠B＋∠E＝180°

(5) 所以∠B＋∠E＝90°

已知 ∥ ＆內錯角相等已知 ⊥

如圖 4.1 所示

三角形三內角和為 180°

將(2) ∠EGH＝90° ＆ (1) ∠EHG＝∠B 代入(3) ∠EGH＋∠EHG＋∠E＝180°

(44)

4-44

圖 4.2 想法：(1) 三角形內角和 180°

1. 內錯角相等 2. 同位角相等 3. 同側內角互補解：

敘述理由

(1) 令交於 G 點，

交於 H 點，

如圖 4.2(a)所示

(2) ∠EGH＝∠B＝40°

(3) ∠EHG＝90°

(4) △EGH 中，

∠EGH＋∠EHG＋∠E＝180°

(5) 40°＋90°＋∠E＝180°

(6) 所以∠E＝180°－40°－90°

∠E＝50°

不平行的兩直線必交於一點

圖 4.2(a) 已知 ∥ ＆同位角相等已知 ⊥

如圖 4.2(a)所示

將(2) ∠EGH＝40° ＆ (3) ∠EHG＝90°

代入(4) ∠EGH＋∠EHG＋∠E＝180°

(45)

4-45

圖 4.3 想法：(1) 三角形內角和 180°

敘述理由

(1) 令交於 H 點，

交於 G 點，

如圖 4.3(a)所示

(2) ∠BHG＝90°

(3) △BGH 中，

∠1＋∠BHG＋∠B＝180°

(4) ∠1＋90°＋40°＝180°

(5) 所以∠1＝180°－40°－90°

∠1＝50°

(6) ∠E＋∠1＝180°

(7) 所以∠E＝180°－∠1

＝180°－50°＝130°

不平行的兩直線必交於一點

圖 4.3(a) 已知 ⊥

如圖 4.3(a)所示

將(2) ∠BHG＝90° ＆已知∠B＝40°

代入(3) ∠1＋∠BHG＋∠B＝180°

已知 ∥ ＆同側內角互補

由(6)等量減法公理＆將(5)∠1＝50°代入

(46)

4-46

圖 4.4 想法：(1) 三角形內角和 180°

敘述理由

(1) 令交於 H 點；

延長交於 G 點，

如圖 4.4(a)所示

(2) ∠HGC＝∠DE F＝130°

(3) ∠HGB＝180°－130°＝50°

(4) ∠BHG＝90°

(5) △BGH 中，

∠HGB＋∠BHG＋∠B＝180°

(6) 50°＋90°＋∠B＝180°

(7) ∠B＝180°－50°－90°＝40°

作圖，不平行的兩直線必交於一點

圖 4.4(a)

已知 ∠3＋∠6 ＆同位角相等＆已知∠E＝130°

由(2) ∠HGC＝130° ＆補角定義已知 ⊥

如圖 4.4(a)所示

將(3)∠HGB＝50°＆(4)∠BHG＝90°代入(5) 由(6) 等量減法公理

(47)

4-47

(1) 求∠1＋∠5。

(2) 求∠3＋∠6。

(3) 與 是否平行？

圖 4.5

想法：(1) 利用三角形三內角和 180° ＆平角為 180° ，求得∠1、∠2、∠3、∠4、

∠5、∠6 的關係，再判斷與是否平行？

(2) 判斷兩直線平行的方法有：

1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行解：

敘述理由

(1) 令 L1交 L2於 O 點，如圖 4.5(a)所示

(2) ∠BOC＝90°

(3) △BOC 中，

∠BOC＋∠2＋∠4＝180°

(4) 90°＋∠2＋∠4＝180°

已知 L1⊥L2，不平行的兩直線必交於一點

圖 4.5(a) 已知 L1⊥L2

如圖 4.5(a)所示

將(2) ∠BOC＝90°

代入(3) ∠BOC＋∠2＋∠4＝180°

(48)

4-48

(6) 所以∠1＋∠5＝90°

(7) ∠1＋∠2＋∠3＝180°

(8) ∠4＋∠5＋∠6＝180°

(9) ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6

＝180°＋180°

(10) (∠1＋∠5)＋(∠2＋∠4)＋∠3＋∠6＝

360°

(11) 90°＋90°＋∠3＋∠6＝360°

(12) 所以∠3＋∠6＝360°－90°－90°

＝180°

(13) 為與的截線＆ ∠3 與∠6 為同側內角

(14) 所以 ∥

將已知∠1＝∠2，∠4＝∠5 代入(4) 如圖 4.5(a)所示， L1為一直線如圖 4.5(a)所示， L2為一直線由(7)式＋(8)式

由(9)加法交換律

將(6) ∠1＋∠5＝90° ＆ (5) ∠2＋∠4＝90° 代入(10) 由(11) 等量減法公理

如圖 4.5(a)所示

由(12) ＆ (13) 同側內角互補，則兩直線互相平行

(49)

4-49

圖 4.6

想法：(1) 利用 L1∥L2 ＆三角形三內角和 180°的性質，求∠3 的度數。

敘述理由

(1) 令 M 交 L2於 A 點；

N 交 L2於 B 點；

M 交 N 於 C 點，如圖 4.6(a)所示

(2) ∠BAC＝∠1＝85°

(3) △ABC 中，

∠BAC＋∠2＋∠4＝180°

(4) 85°＋65°＋∠4＝180°

∠4＝180°－85°－65°＝30°

(5) 所以∠3＝∠4＝30°

已知 M 及 N 都是 L1、L2的截線＆不平行的兩直線必交於一點

圖 4.6(a)

已知 L1∥L2 ＆同位角相等＆已知∠1＝85°

如圖 4.6(a)所示

將(2) ＆已知∠2＝65° 代入 (3) 等量減法公理

如圖 4.6(a)，對頂角相等＆ (4) ∠4＝30°

(50)

4-50

證明：∠CBD＝

2

1∠BAC。

圖 4.7 想法：(1) 利用三角形三內角和 180°

(2) 等腰三角形頂角與底角的關係 證明：

敘述理由

(1) ∠CDB＝90°

(2) △BCD 中，

∠CBD＋∠C＋∠CDB＝180°

(3) ∠CBD＋∠C＋90°＝180°

∠CBD＝180°－∠C－90°

＝90°－∠C (4) △ABC 為等腰三角形 (5) ∠BAC＝180°－2∠C

(6) 所以∠BAC＝2(90°－∠C) (7) ∠BAC＝2∠CBD

(8) 所以∠CBD＝

2

1∠BAC

已知 ⊥ 如圖 4.7 所示

將(1) ∠CDB＝90°代入(2) 等量減法公理

化簡

已知＝＆兩腰等長為等腰三角形由(4) ＆等腰三角形頂角與底角的關係由(5) 提出公因數 2

將(3) 90°－∠C＝∠CBD 代入 (6) 由(7) 等式兩邊同除以 2

(51)

4-51

已知：∠1＋∠2＋∠3＝360° 圖 4.8 證明：L1 ∥ L2

1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 2. 同側內角互補的兩線平行

證明：

敘述理由

(1) 延長與 L2交於 D 點，

如圖 4.8(a)

(2) ∠5＝180°－∠3 (3) ∠6＝180°－∠2 (4) △BCD 中，

∠4＋∠5＋∠6＝180°

(5) ∠4＋(180°－∠3)＋(180°－∠2)

＝180°

(6) ∠4＝∠2＋∠3－180°

(7) ∠1＋∠2＋∠3＝360°

(8) ∠1＝360°－∠2－∠3

(9) ∠1＋∠4＝(360°－∠2－∠3)＋

(∠2＋∠3－180°)＝180°

(10) 所以∠1＋∠4＝180°

(11) L1 ∥ L2

作圖，不互相平行的兩直線必有一交點

圖 4.8(a) 如圖 4.8(a) ＆補角定義如圖 4.8(a) ＆補角定義如圖 4.8(a)所示

將(2) ∠5＝180°－∠3 ＆ (3) ∠6＝180°－∠2

代入(4) ∠4＋∠5＋∠6＝180°

由(5) 移項

已知∠1＋∠2＋∠3＝360°

由(7) 等量減法公理由(8)式＋(6)式化簡

由(9)

由(10) ＆同側內角互補的兩線平行定理

(52)

4-52

圖 4.9 已知：如圖 4.9，∠ABC＝∠1＋∠2。

證明： ∥ 。

1. 內錯角相等的兩線平行 2. 同位角相等的兩線平行 3. 同側內角互補的兩線平行 證明：

敘述理由

(1) 延長與交於 F 點，

如圖 4.9(a)

(2) △BCF 中，∠ABC＝∠3＋∠2 (3) 所以∠3＝∠ABC－∠2

(4) ∠ABC＝∠1＋∠2 (5) 所以∠1＝∠ABC－∠2 (6) ∠1＝∠ABC－∠2＝∠3 (7) 所以 ∥

作圖，不互相平行的兩直線必有一交點

圖 4.9(a) 三角形外角等於內對角的和由(2) 等量減法公理

已知∠ABC＝∠1＋∠2 由(4) 等量減法公理由(5) ＆ (3) 遞移律由(6) ∠1＝∠3 ＆

內錯角相等的兩線平行定理

(53)

4-53

圖 4.10

已知：如圖 4.10，四邊形 ABCD 中，∠DAB＝∠CBA，＝。證明：＝。

想法：(1) 若證得△BAC △ABD，則可得知＝ (2) 判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) △BAC 與△ABD 中

＝

∠CBA＝∠DAB

＝

(2) 所以△BAC △ABD (3) ＝

如圖 4.10 所示已知＝

已知∠DAB＝∠CBA 共同邊

由(1) ＆ S.A.S.三角形全等定理對應邊相等

(54)

4-54

圖 4.11

已知：如圖 4.11，∠D＝∠E＝90°，△ABC 為等腰直角三角形，＝。

證明：＝＋。

想法：(1) 如圖所示，因為＝＋；

(2) 若證得＝＆＝，則可得知＝＋； (3) 若證得△ADB △BEC，則可得知＝＆＝ (4) 判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) △ADB 中，

∠D＋∠DAB＋∠ABD＝180°

(2) 90°＋∠DAB＋∠ABD＝180°

∠DAB＝180°－90°－∠ABD ＝90°－∠ABD (3) ∠ABC＝90°

(4) ∠ABD＋∠ABC＋∠EBC＝180°

(5) ∠ABD＋90°＋∠EBC＝180°

∠EBC＝180°－∠ABD－90°

＝90°－∠ABD

如圖 4.11

將已知∠D＝90° 代入 (1) 等量減法公理

化簡

已知△ABC 為等腰直角三角形＆

＝

如圖 4.11，D、B、E 三點共線將(3) ∠ABC＝90°代入(4) 等量減法公理

化簡

(55)

4-55

(7) △ADB 與△BEC 中

∠D＝∠E

∠DAB＝∠EBC

＝

(8) 所以△ADB △BEC (9) ＝＆＝ (10) ＝＋

(11) 所以＝＋

(5) ∠EBC＝90°－∠ABD 遞移律如圖 4.11

已知∠D＝∠E＝90°

由(6) ∠DAB＝∠EBC 已證已知＝

如圖 4.11，全量等於分量之和將(9) ＝＆＝代入(10) ＝＋

(56)

4-56

求ADC 之角度

25

?

E

A

B C

D

圖 4.12

想法：(1) 利用三角形內角和 180定理，計算△DEC 之各角

(2) 在△ABD 內作一正三角形△FBD，利用 S.A.S.全等三角形定理證明 △AFD △CDE

(3) 利用全等三角形對應角相等，求得ADF。

(4) 利用平角性質，求ADC

25

120

85

35

25

F

E A

B D C

圖 4.12(a) 解：

敘述理由

(1) CDE＝180－BDE＝180－60

＝120

(2) CED＝180－CDE－DCE ＝180－60－25＝35

正三角形之各內角等於 60

三角形內角和 180及已知 & (1)

(57)

4-57

25

?

E A

C

B D

△FBD 為正三角形。如圖 4.12(a)

(4) AFD＝180－BFD ＝180－60＝120

(5) ＝＝

(6) ＝( － )＝( － )＝

(7) △AFD △CDE (8) ADF＝CED＝35

(9) ADC＋FDB＋ADF ＝180

(10) ADC＝180－60－25＝85

∴BFD＝FDB，又已知△ABC 為正三角形，故ABD＝60，

∴BFD＝FDB ＝60，

三角相等之三角形為正三角形。

同(1)

正三角形的三邊相等

∵△ABC 和△FBD 都是正三角形

∴ ＝且＝

由(4)(5)(6)，SAS 全等三角形定理全等三角形對應角相等

平角等於 180

13 題：另解：

圖 4.12(b)

想法：(1) 若△ABD △CBE，則BAD＝BCE＝25°，再利用外角求得ADC (2) 判斷兩個三角形全等的方法有：

5. 直角三角形斜邊及一股全等定理，又稱 R. H. S.三角形全等定理 (3) 三角形的任一外角等於兩個內對角和

(58)

4-58

敘述理由

(1) 連接與，如圖 4.12(b)所示 (2) 在△ABD 與△CBE 中，

＝

ABD＝CBE＝60°

＝

(3) △ABD △CBE (SAS) (4) BAD＝BCE＝25°

(5) 在△ABD 中，

ADC＝ABD＋ BAD ＝60°＋25°＝85°

作圖

如圖 4.12(b)所示

已知△ABC 和△BDE 都是正三角

形，所以＝、＝、

ABD＝CBE＝60°

由(2) S.A.S.三角形全等定理對應角相等＆已知BCE＝25°

如圖 4.12(b)所示，ADC 為ADB 的外角，外角等於內對角的和

(59)

4-59

＝16，求＝？

120

12 16

C

B

A

P

圖 4.13

想法：(1) 在線上取一點 D，使，證明△APC △APC，

則，

(2) 再證明△BDP 為正三角形，則

(3) ∴

120

16

12

D

A C

B

P

圖 4.13(a) 解：

敘述理由

(1) 在線上取一點 D，使，如圖 4.13(a)。

(2) 在△APC 與△APC 中

PAD＝PAC

(3) △APD △APC (4) ，

等線段作圖

如圖 4.13(a) 由(1)

已知為∠BAC 的平分線同線段相等

由(2) S.A.S.三角形全等定理由(3) 全等三角形之對應邊相等

(60)

4-60

(6) BDP＝180－PDA＝60

(7) ，

∴ △BDP 為等腰三角形 (8) DBP＝BDP＝60

(9) BPD＋DBP＋BDP＝180

∴ BPD ＝180－60－60＝60

(10) △BDP 為正三角形 (11)

(12) ＝＝

＝16－12 ＝4

已知∠PCA＝120

補角定義

由(4) & 已知等腰三角形定義

等腰三角形兩等角相等三角形三內角和 180

由（8）

由(8) ＆ (9)，正三角形的各角相等正三角形的各邊相等

由(11) & 全量等於分量之和由(4) &

已知＝12，＝16