一、概念的引入

(1)

(2)

一、概念的引入

三阶行列式

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

D   a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 33 21 12 32

23 11 31

22

13a a a a a a a a

a  



说明

（ 1 ）三阶行列式共有项，即项． 6 3!

（ 2 ）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．

(3)

（ 3 ）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．

例如 a₁₃a₂₁a₃₂ _{列标排列的逆序数为}

 ³¹² ^ ¹^ ¹ ^ ²^,

t

32 23 11a a

a _{列标排列的逆序数为}

132  1 0  1, t

偶排列

奇排列

 正号负号,



. )

1

( 1 1 2 2 3 3

33 32

31

23 22

21

13 12

11 ^  ^

 ^t a _p a _p a _p a

a a

a

a a

a

(4)

二、 n 阶行列式的定义

nn n

n

n n

np p

p t

a a

a

a a

a

a a

a D

a a

a

n n

n







2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

2

. )

1

( 1 2



  记作

的代数和

个元素的乘积取自不同行不同列的

阶行列式等于所有个数组成的

定义由

).

det(a_ij

简记作数 a_ij 称为行列式 det(a_ij )的元素．

(5)

为这个排列的逆序数．

的一个排列，

，

，为自然数

其中 t

n p

p

p₁ ₂ _n 1 2 

  ^ ^ _n

n

n p p np

p p p

p p p t

nn n

n

n n

a a

a a a

a

a a

a

a a

a D



2 1

2

1 1 2

2 1

2 22

21

1 12

11

 ^ 1



(6)

说明

1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的 ;

2 、阶行列式是项的代数和 ;n n!

3 、阶行列式的每项都是位于不同行、不 同列个元素的乘积 ;

n n

4 、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 ;a  a 5 、的符号为a1p₁a2p₂ anpn  ^ ¹ ^t ^.

(7)

例 1 　计算对角行列式

0 0

0 4

0 0

3 0

0 2

0 0

1 0

0 0

分析

展开式中项的一般形式是 a¹^p¹a²^p²a³^p³a⁴^p⁴

1  4

若 p 0,

1 1 

 a _p

从而这个项为零，

所以只能等于 , p¹ 4

同理可得 p₂  3, p₃  2, p₄  1 解

(8)

0 0

0 4

0 0

3 0

0 2

0 0

1 0

0 0

 ^ ¹ ^⁴³²¹^¹^ ²^ ³^ ⁴

 ^t ^ ²⁴^.

即行列式中不为零的项为a₁₄a₂₃a₃₂a₄₁ .

例 2 计算上三角行列式

nn n

n

a a a

a a

a



0 0

0 ₂₂ ₂

1 12

11

(9)

分析

展开式中项的一般形式是 .

2

1 2

1p a p anp_n

a 

, n

p_n  p_n_₁  n  1, p_n_₃  n  3, p₂  2, p₁  1, 所以不为零的项只有 a₁₁a₂₂a_nn.

nn n

n

a a a

a a

a



0 0

0 ₂₂ ₂

1 12

11

 ^  ^ ¹ ^t^¹²^ⁿ^ â₁₁â₂₂ _â_nn

22 .

11a ann

a 

 解

(10)

例 3 ? 8

0 0

0

6 5

0 0

1 2

4 0

4 3

2 1



 D

44 33 22 11

8 0

0 0

6 5

0 0

1 2

4 0

4 3

2 1

a a a a

D    1 4  5 8  160.

(11)

同理可得下三角行列式

nn n

n

n a a a

a

a a

a



3 2

1

22 21

11

0 0

0

22 .

11a ann

a 



(12)

n





2

1

  ¹ ⁿ^ⁿ²^¹^ ₁₂__n^.



2 ;

1 n

 _



n





2 1

例 4 证明对角行列式

(13)

n





2

1

 ^ ¹ ^t^ⁿ^ⁿ^¹^^²¹^ â₁_nâ₂_,_n_₁_â_n₁



 ^ ¹ ⁿ^ⁿ²^¹^ ^₁^₂_^_n^.



证明第一式是显然的 , 下面证第二式 . 若记 _i  a_i_,_n__i_₁, _{则依行列式定义}

1

1 , 2

1

n

a



 

证毕

(14)

例 5 设

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a D



2 1

2 22

21

1 12

11

1 

nn n

n n

n

n n

a b

a

b a a

b a

b a b

a a

D



2 2

1 1

2 2 22

21

1 1 1

12 11

2





证明 D₁  D₂.

证由行列式定义有

(15)

  ^ ^ _n

n

n p p np

p p p

p p p t

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

D 



2 1

2

1 1 2

2 1

2 22

21

1 12

11

1 ^ ^  ^ 1

nn n

n n

n

n n

a b

a

b a a

b a

b a b

a a

D



2 2

1 1

2 2 22

21

1 1 1

12 11

2





  ^ ^ _n ^ ^ ^ ⁿ^

n

n n p p p

np p

p p

p p p

t a a a b ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

 ^

 ^ ^



 ₁ ₂  ¹ ²

2 1

2

1 1 2

2

1 1

(16)

由于 p₁  p₂  p_n  1 2  n, 所以

 ¹ ^ ^ ₁ ₂ ₂^.

1 ₁ ₂

2 1

2

1 a a a D

D n

n

n p p np

p p p

t 



  ^



  ^ ^ _n ^ ^ ^ ⁿ^

n

n n p p p

np p

p p

p p p

t a a a b

D ^  ^ ^ ^^^ ^ ^ ^^^



 ₁ ₂  ¹ ²

2 1

2

1 1 2

2 1

  ^ ^ _n

n

n p p np

p p p

t a a a



2 1

2

1 1 2

 ^ 1



故

(17)

1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的 .

2 、阶行列式共有项，每项都是位于不 同行、不同列的个元素的乘积 , 正负号由下标 排列的逆序数决定 .

n n n!

三、小结

(18)

思考题思考题

已知  

1 2

1 1

1 2

3

1 1

1

2 1

1

x x x

x x

f 



3 的系数.

求 x

(19)

思考题解答

解 含的项有两项 , 即x³

 

1 2

1 1

1 2

3

1 1

1

2 1

1

x x x

x x

f 



对应于

 ^ ¹ ^t^¹²³⁴^ â₁₁â₂₂â₃₄â₄₃

 ^ ¹ ^t â₁₁â₂₂â₃₃â₄₄ 

(20)

 ^ ¹ ^t â₁₁â₂₂â₃₃â₄₄ ^ ^x³^,

 ^ ¹ ^t^¹²³⁴^ â₁₁â₂₂â₃₄â₄₃ ^ ^²^x³

.

3 的系数为  1

故 x