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家齊高中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科
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一、多選題( )1. 設 , ,a b c 為實數，下列有關線性方程組
2 1
3 4 1
2 10 7 x y az
x y bz
x y z c
+ + =
+ + = −
+ + =
的敘述哪些是正確的？
(A)若此線性方程組有無限多解，則解集合為一直線 (B)若c=14，則此線性方程式必有解
(C)若11a−3b≠7，則此線性方程式必有解 (D)若此線性方程組無解，則11a−3b=7 (E)若此線性方程組無解，則c≠14
( )2. 所謂「轉移矩陣」須滿足下列兩個條件：
(甲)該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數 (乙)該矩陣的每一行的數字相加都等於 1 以 2 2× 矩陣為例， 0.2 0.3
0.8 0.7
和 0.9 0.6 0.1 0.4
滿足(甲)(乙)這兩個條件，因此都是轉移矩陣。
今設 A ， B 是兩個n n× 的轉移矩陣，請問下列哪些敘述是正確的？
(A)AB 是轉移矩陣 (B) A 必為可逆方陣 (C)1
( )
2 A+B 是轉移矩陣 (D)1 2 3 2
4A +4B 是轉移矩陣 (E)7 2
5A−5B是轉移矩陣 二、填充題
1. 請填入下列各聯立方程式所表示的圖形分別為(A)～(H)圖形中的哪一個，以代號填入，並判斷 其聯立方程式的解為(甲)恰有一解(乙)無解(丙)無限多組解，如
1 1 1 x y z x y z x y z
+ + =
+ + =
+ + =
，答案為(丙)、(H)
(A) (B) (C) (D)
(E) (F) (G) (H)
(1)
2 3 5
4 2 6 15
2 3 5
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
+ + = −
(2)
2 3 5
2 15
3 3 4 10
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
− + =
(3)
2 1
3 4
1 3
4 5
2 3
3 5
x y
y z
x z
+ −
=
− +
=
+ +
=
_______________ ________________ _______________
E1 E2 E3 E1
E3
E2
E3
E2
E1
E1
E2
E3
1 2
E =E E3
E1
E2
E3
E3
1 2
E =E E1=E2=E3
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2. 櫻木定點投籃，總有下列情形：當他投進一球後，則下一球投進的機率為 0.8；當他有一球投不 進後，下一球投進的機率為 0.5。
(1)若S 表投進，1 S 表投不進，2 a 表由ij S 轉變成j S 的機率，則轉移矩陣i 11 12
21 22
a a
A a a
= =
________
(2)若第 1 球不進，則第 3 球投進的機率= __________
(3)長期而言，櫻木命中的機率= __________
3. 設二階方陣A 滿足 6 1 5 3 A =
， 7 4 6 1 A =
，若 4 1 1 3 a b
A c d
=
，求 , , ,a b c d 之值= __________
4. 求兩平行直線 1 3 2 1
: 2 2 1
x y z
L − = + = − 與 2 3 1 2
: 2 2 1
x y z
L + = + = − ，設 (3, 2,1)P − 為直線L 上一點，求 1 (1) P 點在直線 L 上的投影點P′ 的坐標= __________ (2) P 點到直線 L 的距離 = __________
(3)包含直線L 與1 L 的平面方程式2 = __________
5. 設聯立方程式
2 3 2 2
2
x y z ax
x y z ay
x y z az
+ + =
+ + =
+ + =
除了x=0，y= ，0 z=0之解外，尚有其他解，求實數a之值
= __________
6. 設聯立方程式
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
恰有一組解 ( , , )
α β γ
，試求聯立方程式1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
2 3 4
2 3 4
2 3 4
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
− + =
− + =
− + =
之解= __________
7. 設A= 為 10 階方陣，其各元素為 1，2，…，100，排列如下： aij 1 4 9 16 100
2 3 8 15 99 5 6 7 14
10 11 12 13
92
82 83 91
A
=
試問： A 中第 2 列第 7 行的元素__________
8. 設
1 3
2 2
3 1
2 2
A
−
=
，求A21= __________
9. 設 1 2 A 3 4
=
，試求：(1)A2−5A= __________ (2)A4−4A3−8A2+3A+7I2 = __________
10.設直線 1 4 8
: 2 1 4
x y z
L − −
= =
− 與 2 1 3 8
: 2 2 1
x y z
L − + −
= =
− ，求
(1)包含L 平行1 L 的平面方程式2 =__________ (2)兩歪斜線的距離=__________
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家齊高中 105 學年度 第二學期 第二次段考 高二數學科簡答
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一、多選題1. 2.
(A)(B)(C)(D)(E) (A)(C)(D)
二、填充題
1.
(1) (乙)(D) (2) (乙)(C) (3) (丙)(B)
2.
(1) 0.8 0.5 0.2 0.5
(2) 0.65 (3) 5 7
3. 4.
7, 6 a= b=
6, 5
c= d = (1) ( 1,1, 3)− (2) 29 (3) x−8y+14z=33
5. 6. 7. 8.
5 4
(2 , 4 , )
α
−β γ
3 48 1 00 1
−
−
9. 10.
(1) 2 0 0 2
(2) 5 0 0 5
(1) 3x−2y+2z= 8 (2) 17
