行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
行動通信電波傳播之研究(3/3)
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC91-2219-E-011-003-
執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學電機工程系
計畫主持人： 楊成發
計畫參與人員： 王德順、張文曜、黃維彬、吳正雄、許進富、方智逸
報告類型： 完整報告
處理方式： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，1 年後可公開查詢
中 華 民 國 92 年 10 月 28 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
行動通信電波傳播之研究 (3/3)
A Study on Wave Propagation for Mobile Communications
計畫類別：個別型計畫
計畫編號：NSC 91-2219-E-011-003
執行期限：91 年 08 月 01 日 至 92 年 07 月 31 日 執行單位：國立台灣科技大學電機工程系
計畫主持人：楊成發
計畫參與人：王德順、張文曜、黃維彬、吳正雄、許進富、方智逸
報告類型：完整報告
處理方式：本計畫涉及專利或其他智慧財產權，1年後可公開查詢
中華民國 92 年 10 月 27 日
摘 要
本計畫探討都市地區之行動通信電波傳播特性，其中主要乃 發展高效率之圖資介面三維廣射線柱追蹤模擬程式，來分析行動 通信基地台發射訊號在建築物間或隧道內的傳播特性，並進行現 場實測，以供市區通訊場強涵蓋區預測及發射基地台規劃之用，
來提高都市地區無線通訊系統的效率與功能。
本研究提出廣射線柱追蹤法，以應用均勻幾何繞射理論追蹤 整體射線柱而非無數單一射線柱，此對於市區行動通信基地台發 射訊號傳播特性之模擬可大為提升程式效率與實用性，來計算建 築物體對無線通訊電波的反射、穿透及繞射效應，以分析行動通 訊在特定環境下之訊號分佈。
另外，本計畫使用地理資訊系統應用程式取得市區建築物主 體輪廓、行動通信基地台位置及電波場強量測路徑資料，同時應 用時域有限差分套裝模擬軟體XFDTD探討了行動通信基地台天 線之3D輻射場型、反射損失與周遭電磁場強分佈特性並且實測 之，其中所獲得基地台天線3D輻射場型可以提供射線追蹤程式 進行模擬之用。此外，亦測量了都市地區行動通信基地台發射訊 號於所涵蓋區域街道上之分佈特性，而所得實測結果與模擬相當 吻合。
目 錄
第一章 緒論 ... 1
1.1 研究背景... 1
1.2 研究內容... 1
1.3 章節概述... 2
第二章 射線追蹤法 ... 4
2.1 前言... 4
2.2 啟發式均勻幾何繞射理論 ... 4
2.3 斜率繞射... 8
2.4 三維曲面射線追蹤法... 12
2.4.1 射線追蹤流程 ... 12
2.4.2 直線與面的交點 ... 13
2.4.3 射線柱通過接收區內的判斷方法... 14
2.5 廣射線柱追蹤法... 15
第三章 基地台天線之模擬與測量... 24
3.1 前言... 24
3.2 XFDTD套裝模擬軟體之使用 ... 24
3.3 第二代行動通訊基地台天線模擬 ... 26
3.4 第三代行動通訊基地台天線模擬 ... 27
3.5 第三行動通訊基地台天線輻射場型之測量 ... 28
第四章 基地台電波場強之模擬與測量... 47
4.1 前言... 47
4.2 2G基地台天線之3D輻射場型... 47
4.3 2G基地台天線於不同架設方式之電場分佈模擬 ... 47
4.3.1 天線架設於2m寬牆 ... 48
4.3.2 天線架設於牆邊 ... 48
4.3.3 天線半露於牆頂 ... 49
4.3.4 天線架設屋頂 ... 49
4.3.5 2G基地台天線於不同架設方式之電場分佈比較 49 4.4 3G基地台天線於不同架設位置之電磁場測量 ... 50
4.4.1 基地台周遭場強測量 ... 50
4.4.2 校區內電磁場分佈測量 ... 51
第五章 隧道內電波場強之分析... 70
5.1 前言... 70
5.2 洩波電纜與八木天線... 70
5.3 隧道內場強分佈之分析 ... 72
第六章 基地台四周電波場強分佈之模擬與測量... 82
6.1 前言... 82
6.2 電子地圖載入方法與數位資料檔說明 ... 82
6.3 廣射線柱追蹤法與一般射線追蹤法模擬效率之比較 .... 83
6.4 市區街道之電波場強分佈 ... 84
6.5 建築物內之電波場強分佈 ... 85
第七章 結論 ... 97
7.1 總結... 97
7.2 具體成果... 97
7.3 未來研究方向... 98
參考文獻 ... 99
圖表索引
圖2-1 斜向入射三維楔形角之繞射效應 ... 16
圖2-2 射線入射於邊緣之電波極化方式 ... 16
圖2-3 兩個連續楔形角的繞射... 17
圖2-4 天線輻射場示意圖... 17
圖2-5 三維曲面射線追蹤法程式流程圖 ... 18
圖2-6 直線與面之交點計算... 19
圖2-7 發射天線輻射場射向物體之示意圖 ... 19
圖2-8 廣射線柱追蹤法往前追蹤所射到建築物之示意圖 ... 20
圖2-9 廣射線柱追蹤法之流程圖... 21
圖2-10 廣射線柱追蹤法之示意圖... 22
圖2-11 廣射線柱追蹤法之反向追蹤示意圖 ... 23
圖3-1 GSM雙頻基地台天線單一元素、陣列型式及尺寸... 30
圖3-2 XFDTD套裝模擬軟體參數設定說明 ... 31
圖3-3 雙頻基地台天線範例之XFDTD模型3-D圖... 32
圖3-4 雙頻基地台天線範例之XFDTD模型側視平面圖 ... 32
圖3-5 雙頻基地台天線範例之遠場輻射場型結果比較，其中波源 為900MHz單頻訊號... 33
圖3-6 第二代行動通訊基地台天線(Kathrein 739494)... 34
圖3-7 第二代行動通訊基地台天線(Kathrein 739494)之XFDTD模 型正視圖 ... 34
圖3-8 第二代行動通訊基地台天線(Kathrein 739494)之XFDTD模 型3-D圖 ... 35
圖3-9 第二代行動通訊基地台天線(Kathrein 739494)陣列中單一 元素之反射損失頻率響應模擬結果... 35
圖3-10 第二代行動通訊基地台天線(Kathrein 739494)之水平切 面遠場輻射場型，其中波源為1767.5MHz單頻訊號 ... 36
圖3-11 第二代行動通訊基地台天線(Kathrein 739494)之鉛垂切
面遠場輻射場型，其中波源為1767.5MHz單頻訊號 ... 36
圖3-12 第三代行動通訊基地台天線(Kathrein 741794)... 37
圖3-13 第三代行動通訊基地台天線(Kathrein 741794)之XFDTD 模型正視圖 ... 37
圖3-14 第三代行動通訊基地台天線(Kathrein 741794)之XFDTD 模型3-D圖... 38
圖3-15 第三代行動通訊基地台天線(Kathrein 741794)陣列中單 一元素之反射損失頻率響應模擬結果... 38
圖3-16 第三代行動通訊基地台天線(Kathrein 741794)之水平切 面遠場輻射場型，其中波源為1950MHz單頻訊號 ... 39
圖3-17 第三代行動通訊基地台天線(Kathrein 741794)之鉛垂切 面遠場輻射場型，其中波源為1950MHz單頻訊號 ... 39
圖3-18 時域閘取量測方法... 40
圖3-19 天線輻射場型實測環境... 41
圖3-20 水平切面輻射場型量測架構 ... 42
圖3-21 3G基地台天線之反射損失頻率響應量測結果 ... 42
圖3-22 3G基地台天線之水平切面遠場輻射場型量測與模擬之 比較，其中波源為1950MHz單頻訊號... 43
圖3-23 鉛垂切面輻射場型量測架構 ... 43
圖3-24 3G基地台天線之鉛垂切面遠場輻射場型量測與模擬之 比較，其中波源為1950MHz單頻訊號... 44
圖4-1 2G基地台天線+ 45
°
線性極化之3D輻射場型模擬結果 .. 52圖4-2 2G基地台天線− 45
°
線性極化之3D輻射場型模擬結果 .. 53圖4-3 2G基地台天線架設於寬2m、高1.6m、厚20cm寬牆之 XFDTD模型3-D圖 ... 53 圖4-4 天線架設於2m寬牆，其牆後(x=18cell)之y-z平面電場分佈
圖4-5 天線架設於2m寬牆，其天線正面(x=94cell)之y-z平面電場 分佈 ... 54 圖4-6 天線架設於2m寬牆，距天線
0 . 5
λ1800
處之y-z平面電場分佈 ... 55 圖4-7 天線架設於2m寬牆，其天線中心(y=203cell)之x-z平面電場 分佈 ... 55 圖4-8 天線架設於2m寬牆，其牆邊(y=1cell)之x-z平面電場分佈 ... 56 圖4-9 天線架設於2m寬牆，其屋頂(z=320cell)之x-y平面電場分佈 ... 56 圖4-10 2G基地台天線架設於牆邊並離牆15cm之XFDTD模型 3-D圖 ... 57 圖4-11 天線架設於牆邊，其天線正面(x=94cell)之y-z平面電場分 佈 ... 57 圖4-12 天線架設於牆邊，其天線橫切面(z=172cell)之x-y平面電 場分佈 ... 58 圖4-13 天線架設於牆邊，其屋頂(z=320cell)之x-y平面電場分佈 ... 58 圖4-14 2G基地台天線半露式架設於牆頂並離牆15cm之XFDTD 模型3-D圖... 59 圖4-15 天線半露式架設於牆頂，其牆後(x=18cell)之y-z平面電場 分佈 ... 59 圖4-16 天線半露式架設於牆頂，其天線正面(x=94cell)之y-z平面 電場分佈 ... 60 圖4-17 天線半露式架設於牆頂，其屋頂(z=170cell)之x-y平面電 場分佈 ... 60 圖4-18 2G基地台天線架設於寬1m、高1m、厚20cm牆頂之 XFDTD模型3-D圖 ... 61 圖4-19 天線架設於牆頂，其天線後方(x=55cell)之y-z平面電場分佈 ... 61
圖4-20 天線架設於牆頂，其天線正面(x=61cell)之y-z平面電場分 佈 ... 62
圖4-21 天線架設於牆頂，其屋頂(z=200cell)之x-y平面電場分佈 ... 62
圖4-22 第二男生宿舍15樓樓頂之天線架設位置示意圖 ... 63
圖4-23 天線位置(1)之量測架構示意圖... 63
圖4-24 量測區域測量點之座標位置 ... 64
圖4-25 台灣科技大學量測路徑圖(摘自台科大網站)... 64
圖4-26 接收天線量測架構圖... 65
圖4-27 路徑Y1~Y6之量測結果... 65
圖4-28 路徑Y1、Y7、Y5及Y6之量測結果... 66
圖4-29 路徑Y2、Y3及Y4之量測結果... 66
圖4-30 路徑Y3、Y6及Y7之量測結果... 67
圖5-1 八木天線電流分佈計算架構簡圖 ... 74
圖5-2 典型八木天線之場型... 75
圖5-3 辛亥隧道... 75
圖5-4 林森地下道... 76
圖5-5 量測系統圖... 77
圖 5-6 辛 亥 隧 道 模 擬 與 測 量 結 果 之 比 較 ， 其 中 測 量 頻 率 為 943.4MHz，接收天線平行於地面... 77
圖 5-7 辛 亥 隧 道 模 擬 與 測 量 結 果 之 比 較 ， 其 中 測 量 頻 率 為 943.4MHz，接收天線垂直於地面... 78
圖 5-8 辛 亥 隧 道 模 擬 與 測 量 結 果 之 比 較 ， 其 中 測 量 頻 率 為 1819.6MHz，接收天線平行於地面... 78
圖 5-9 辛 亥 隧 道 模 擬 與 測 量 結 果 之 比 較 ， 其 中 測 量 頻 率 為 1819.6MHz，接收天線垂直於地面... 79
942MHz，接收天線垂直於地面... 79
圖5-11 林森地下道模擬與測量結果之比較，其中測量頻率為 1839.6MHz，接收天線垂直於地面... 80
圖5-12 發射天線高度對於隧道內電波場強分佈的影響 ... 80
圖6-1 以MicroStation繪圖軟體開啟地圖時所顯示畫面 ... 86
圖6-2 以MicroStation繪圖軟體設定欲顯示之圖層時所顯示畫面 ... 86
圖6-3 廣射線柱追蹤法與一般射線追蹤法比較之模擬位置圖 .. 87
圖6-4 廣射線柱追蹤法與一般射線追蹤法模擬之比較 ... 88
圖6-5 測量地點、路線與基地台發射天線二維示意圖 ... 88
圖6-6 沿路徑R1之模擬與量測結果，其中天線為偶極天線... 89
圖6-7 沿路徑R1之模擬與量測結果，其中天線為+ 45
°
線性極化之 2G基地台天線 ... 89圖6-8 沿路徑R2之模擬與量測結果，其中天線為偶極天線... 90
圖6-9 沿路徑R2之模擬與量測結果，其中天線為+ 45
°
線性極化之 2G基地台天線 ... 90圖6-10 沿路徑R3之模擬與量測結果，其中天線為偶極天線 ... 91
圖6-11 沿路徑R3之模擬與量測結果，其中天線為+ 45
°
線性極化 之2G基地台天線 ... 91圖6-12 沿路徑R4之模擬與量測結果，其中天線為偶極天線 ... 92
圖6-13 沿路徑R4之模擬與量測結果，其中天線為+ 45
°
線性極化 之2G基地台天線 ... 92圖6-14 沿路徑R5之模擬與量測結果，其中天線為偶極天線 ... 93
圖6-15 沿路徑R5之模擬與量測結果，其中天線為+ 45
°
線性極化 之2G基地台天線 ... 93圖6-16 在不同樓層之室內電場分佈 ... 94
圖6-17 換成導電玻璃窗戶後之電波場強分佈 ... 94
表3-1 第二代行動通訊基地台天線之規格 ... 45
表3-2 第二代行動通訊基地台天線（Kathrein 739494）遠場輻射
場型模擬值與規格值之比較... 45
表3-3 第三代行動通訊基地台天線之規格 ... 46
表3-4 第三代行動通訊基地台天線（Kathrein 741794）遠場輻射 場型模擬值與規格值之比較... 46
表4-1 量測區域(1)之各位置點所測得之接收功率(dBm) ... 68
表4-2 表量測區域(2)之各位置點所測得之接收功率(dBm) ... 68
表4-3 量測區域(3)之各位置點所測得之接收功率(dBm) ... 68
表4-4 量測區域(1)之各位置點電磁場功率密度值(mW/cm
2
)... 69表4-5 量測區域(2)之各位置點電磁場功率密度值(mW/cm
2
)... 69表4-6 量測區域(3)之各位置點電磁場功率密度值(mW/cm
2
)... 69表5-1 模擬與測量之誤差... 81
表6-1 電子地圖中建築物數位資料檔 ... 95
表6-2 廣射線柱追蹤法與一般射線追蹤法模擬時間比較 ... 96
第一章 緒論
1.1 研究背景
無線通訊通道特性研究對電信事業的發展非常重要，舉凡巨 細胞、微細胞及建築物內之通訊均有必要探討其通道特性，方能 有效率且正確地建立無線網路。國外在這一方面之研究在七十年 代即已展開，並開發了一些商用軟體套件，而國內則是在十年前 才大力投入研究。本研究小組在國科會計畫支持下，這幾年發展 了室內和市區射線追蹤模擬程式，同時測量了一些典型建築物內 部及外牆主體對電波的反射、穿透、及繞射效應，其中一些研究 成果已發表於國際期刊及會議之中[1]-[12]。
由於國內電信自由化以及國際電信市場需求日漸增大，電信 事業已是國內重要之發展方向，其中針對無線通訊電波傳播模擬 與測量，國外已有許多文獻發表[13]-[35]，並建立了經驗公式及 特定環境位置(Site-Specific)之軟體，然而這些軟體難以取得，或 雖有商用套件，但價格太高且無法加以發展，因此國內學術界實 有自行開發無線通訊電波傳播模擬程式的必要性，使國內無線通 訊通道特性研究可以向下紮根向上結果，建立完備之無線通訊電 波傳播模擬程式與量測方法，以協助產業界提昇無線通訊系統的 效能。
1.2 研究內容
本期三年計畫乃針對市區行動通信電波傳播，進一步發展出 射線追蹤模擬程式與基地台天線場型之模擬與測量方法，並能應 用於分析和改善行動通信電波場強分佈，其中包括基地台天線場 型之模擬與測量、基地台天線於不同架設方式下之電波場強分佈 模擬，以及使用都市地區電子地圖及圖資系統產生建築物主體架
構資料，發展出可讀取並分析建築物架構資料之射線追蹤模擬程 式，並進行實地測量，以驗證模擬結果。
此外，為了能夠進行廣泛模擬，亦發展了新的廣射線柱追蹤 技巧，來提高射線追蹤模擬效率，並與一般射線追蹤法相互比 較，由實際模擬結果得知：廣射線柱追蹤法之程式模擬效率比一 般射線追蹤法至少快上百倍，且所執行之繞射次數愈多，兩者效 率差別愈大。
由於隧道容易成為通訊死角，因此隧道中之無線通信電波傳 播特性亦是一個值得探討的問題，而針對此問題，本研究發展了 曲面物體之三維射線追蹤模擬程式，以實際探討隧道對行動通信 電波傳播之影響，模擬結果並與實際量測所得相互比較驗證之，
且探討隧道內電波場強分佈之改善方法。
最後，本研究應用廣射線柱追蹤法模擬程式分析了基地台四 周道路與建築物內之電波場強分佈特性，其中是由千分之一電子 地圖取得基地台所在位置及周遭建築物主體架構相關資料，以進 行相關程式模擬並分析其結果，並與電波場強分佈測量結果比 較，兩者相當吻合。此外，也探討發射天線所在位置、角度及高 度及增設相關電波遮蔽物體，對於降低基地台四周建築物內電波 場強的效果，以減少基地台輻射電波對附近居民健康的可能影 響。
1.3 章節概述
有關上述之啟發式均勻幾何繞射理論分析與公式推導以及 三維射線追蹤法之技巧，將在第二章介紹。第三章是說明基地台 天線場型之模擬與測量。第四章則介紹基地台天線於不同架設方 式下之電波場強分佈模擬。第五章是使用曲面射線追蹤程式來模
台四周建築物內外之電波場強分佈特性，以及探討降低基地台四 周建築物內電波場強之方法。第七章是結論並附上參考文獻。
第二章 射線追蹤法
2.1 前言
本計畫中所使用之電波傳播模擬程式是以射線追蹤法結合 啟發式均勻幾何繞射理論為基礎，並且配合電子地圖中建築物主 體架構數位資料，來模擬分析市區電波傳播特性，本章將介紹均 勻幾何繞射理論及射線追蹤法。
2.2 啟發式均勻幾何繞射理論
當一射線柱斜向入射至圖2-1所示之楔形角邊緣而造成繞射 時，會在楔形角邊緣產生一錐狀(Cone)之繞射射線柱，此錐狀繞 射射線柱之軸心定義為繞射邊緣(Diffracting Edge)，而由
eˆ
和s′ ˆ
所 定義之平面稱為邊緣入射平面(Edge-fixed Plane of Incidence)，另 外，eˆ
和sˆ
所定義之平面稱為邊緣繞射平面(Edge-fixed Plane of Diffraction)。當入射場入射至完全導體楔形角邊緣產生繞射時，其繞射場
E d
為[36]：[ ] i d jks d ( s ) ~ A D ( φ − φ ′ ) + B D ( φ + φ ′ ) ⋅ E ( Q ) ⋅ A ( ρ , s ) ⋅ e −
E
(2.1)其中
E i
(Q d
)為在邊緣繞射點場強，A
(ρ,s
)是擴展因數(Spreading Factor)，k為相位常數(Phase Constant)，而A
、B
和D
(φ±φ′)為繞射 相關係數。將(2.1)式以矩陣型式表示，即[ ] i i jks
d d
e s s A
E s D E
s D E
s
E o o ⋅ ⋅ −
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⋅ ⎡ + ′
′ +
−
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ( , )
) (
) ) (
( )
) ( (
) (
'
' ρ
φ φ φ
φ
φ β φ
β A B
(2.2)上式中 ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
= −
1 0
0
A
1 , ⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
= −
1 0
0
B
1 （dyadic矩陣）而[ ]
⎩⎨
⎧ ± ′
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + ± ′
−
′ =
±
− +
( ) 2) cot (
sin 2 ) 2
(
4
/
π φ φ β φ φβ φ πβ
φ
π F Lk n n
D e
j
其中
n
=2−(W A
/π)，W A
為楔形角 (Wedge Angle)，且( )
[ + ]
+
= + ′ −n N
k
1 cos φ mφ 2 π (2.4)( )
[ − ]
−
= + ′ −n N
k
1 cos φ mφ 2 π (2.5)對
k +
而言，2n
πN +
−(φ mφ′)=π ，而對k −
而言，2n
πN −
−(φ mφ′)=−π 。 另外，N ±
為滿足上式之整數值。至於F
( )x
則為轉變函數（Transition Function），定義如下( ) = ∫ ∞ −
x jt
jx e dt
e x j x
F 2 2
(2.6)上式之近似計算式為
( ) , 0 . 3
3
2 / 4 2 2 / 4 ⎥⎦ ⎤ ( / 4 ) <
⎢⎣ ⎡ − −
≅ x xe x e − e + x
x
F π j π j π j π x
(2.7)( ) , 5 . 5
16 75 8
15 4
3 2
1 1 2 3 4 ≥
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡ + − − +
≅ x
x j x
x j x
x
F
(2.8)而當
0 . 3 ≤ x < 5 . 5
，則以內差法求解。楔形角邊緣是由兩個面所構成，為了區分這兩面，對於該面 之法向量與入射射線夾角較小者稱為O面入射平面(Ordinary Plane of Incidence)，另一面則稱為N面入射平面(Normal Plane of Incidence) ， 於 圖 2-2 中 所 示 為 O 面 入 射 平 面 、 邊 緣 入 射 平 面 (Edge_fixed Plane of Incidence)及邊緣反射平面(Edge_fixed Plane of Reflection)，其中α定義為O面入射平面及邊緣入射平面之夾 角。
若圖2-1之楔形角為一介質物體，則可應用啟發式均勻幾何 繞射理論來計算，其中由電磁場之連續性，可以反射場在反射陰 影邊界(Reflection Shadow Boundary, RSB)的不連續性來定義
B
。計算繞射時，入射場分成在ˆβ ' o
及ˆφ '
方向之分量，而繞射場分 成在ˆβ o
及φˆ方向之分量。為了考慮介質反射係數極化與繞射係數 極化定義之不同，(ˆβ o
,ˆφ
)及(ˆβ o '
,ˆφ '
)間有如下轉換：首先將入射場ˆβ o '
及
ˆφ '
分量轉換成在uˆ ⊥
及u
ˆ|| r
的分量，再將uˆ ⊥
及u
ˆ|| r
分量轉換成在ˆβ o
及φˆ 的分量，如此可得反射場如下[36]：
jks R
i R i
||
||
||
||
r r
) e Q ( E
) Q ( E R
R in
) R R (
in ) R R ( in
R R
) s ( E
) s (
E o o −
⊥
⊥
⊥
⊥
⋅⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⋅⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+
− +
−
+
= −
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
φ β φ
β
α α
α α
α α α
α
2 2
2 2
cos sin
cos s
cos s s
cos (2.9)
其中
E i
(Q R
)為反射點Q R
的入射場強，而s為從反射點Q R
沿著反射 線至觀察點的距離，另外，R ⊥ , ||
及T ⊥ , ||
分別表示介質物體在垂直與 水平極化下之反射及穿透係數，這對從任何方向入射至邊緣的射 線均可適用。由(2.9)式可得反射場在RSB亮區之值，而反射場在暗區的電 場值則為零，因此為滿足電場在RSB的連續特性，反射繞射係數
) (
φ
+φ
′D
之B
可改成n , 2 2
||
||
||
2 2
||
cos sin
cos s ) (
cos s ) (
s cos
R o
R in
R R
in R R in
R
R
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+
− +
−
+
= −
⊥
⊥
⊥
⊥
α α
α α
α α α
B
α (2.10)其中根據射線柱入射至O面或N面而有不同的法向量、入射平 面、α角等。
同樣地，在入射陰影邊界(Incident Shadow Boundary, ISB)之 不連續的電場可表示成在亮區(直接場)及暗區(穿透場)之差，其 計算方式如下
jks d
i d i Shadow
t t
Light i
i
Q e E
Q E cos
T sin T cos
in s T T
cos in s T T in
s T cos T
s E
s E s
E s E
o o
o
−
⊥
⊥
⊥
⊥ ⋅
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⋅ ⎡
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡
+ +
−
−
− +
+
−
⎥ =
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
− ⎡
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡
) (
) ( 1
) (
) (
1
) (
) ( )
( ) (
2 2
||
||
||
2 2
||
φ β φ
β φ
β
α α
α α
α α α
α (2.11)
其中
E i
(Q d
) ˆo E i
(Q d
)o
⋅ r
=β
β
為入射場在繞射點Q d
平行邊緣入射平面之電場分量，而
E φ i
(Q d
)=φˆ⋅E
ri
(Q d
)是入射場在繞射點Q d
垂直邊緣入射 平面之電場分量，另外，s為從繞射點Q d
至觀察點的距離。因此 入射繞射係數D
(φ −φ )的A
可表示成n
T o,
T in
T T
in T T in
T T
2 2
||
||
||
2 2
||
cos sin
1 cos
s ) (
cos s
) (
s cos
1 ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
+ +
−
−
− +
+
= −
⊥
⊥
⊥
⊥
α α
α α
α α α
A
α (2.12)將(2.10)式與(2.12)式代入(2.2)式可得
其中繞射係數矩陣Ｄ各元素為[36]
) ( ) sin cos
1 (
) ( ) sin cos
1 (
) ( ) sin cos
(
) ( ) sin cos
(
2 2
||
2 2
||
2 2
||
2 2
||
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
− ′ +
+
− +
− ′ +
+
− +
+ ′
−
− +
+ ′
−
−
=
⊥
⊥
⊥
⊥
o o
n n
o o
n n a
D T
T
D T
T
D R
R
D R
R D
(2.14)
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
||
||
||
||
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
− ′
− +
− ′
− +
+ ′ +
− +
′ + +
−
=
⊥
⊥
⊥
⊥
o o
n n
o o
n n b
D T
T
D T
T
D R
R
D R
R D
(2.15)
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
||
||
||
||
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
− ′
− +
− ′
− +
+ ′ +
−
−
+ ′ +
−
−
=
⊥
⊥
⊥
⊥
o o
n n
o o
n n c
D T
T
D T
T
D R
R
D R
R D
(2.16)
) ( ) cos sin
1 (
) ( ) cos sin
1 (
) ( ) sin cos
(
) ( ) sin cos
(
2 2
||
2 2
||
2
||
2
2
||
2
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
φ φ α
α
− ′ +
+
− +
− ′ +
+
− +
+ ′ +
+
+ ′ +
=
⊥
⊥
⊥
⊥
o o
n n o o
n n d
D T
T
D T
T
D R
R
D R
R D
(2.17)
[ ( ) ]
cot 2 sin 2 2 ) (
4 /
x kLa n F
x k
n x e D
o o j
n m m
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= − − π
β π
π
(2.18)在(2.18)式中距離參數 (Distance Parameter) L為
) )(
( ) (
2 1
2 1
s s
sin s
L s i i i
e
o 2 i i i
e
+ +
= +
ρ ρ
ρ
β ρ
ρ
ρ
(2.19)其 中 ρ
1 i
和 ρ2 i
為 入 射 波 前 在 繞 射 點 的 曲 率 半 徑 (Radius of Curvature)，而ρe i
是入射波前在邊緣繞射平面(Edge-Fixed Plane) 的曲率半徑。以圖2-1為例，當入射波為平面波(Plane Wave)、柱狀波 (Cylindrical Wave)或球波(Spherical Wave)時，其距離參數L可簡化 成
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+ ′
′
′
′ + ′
′
′
′
=
, ) /(
sin
, ) sin sin
/(
sin sin
, sin
2 2
球波入射
柱狀波入射 平面波入射
s s s
s
s s
s s
s L
o
o o
o o
β
β β
β β
β
(2.20) 而擴展因數
A
(ρ,s
)可表示為⎪⎩
⎪⎨
⎧
′+
′
=
, )]
( /[
, sin /
1
, / 1 ) , (
球波入射 柱狀波入射 平面波入射
s s s s
s s s
A ρ β o
(2.21) 對於九十度牆角，因其相對介電常數只需大於(1+sin
2 θ i
)，電波由ㄧ側進入牆內再入射至另ㄧ側便會造成全反射而無穿透 場，所以穿透係數可設為0，因此(2.14)式～(2.17)式可簡化成
)) (
) ( (
) ( ) sin cos
(
) (
) sin cos
(
2 2
||
2 2
||
φ φ φ
φ
φ φ α
α
φ φ α
α
′
−
−
′
−
− +
+ ′
−
− +
+ ′
−
−
=
⊥
⊥
o n
o o
n n a
D D
D R
R
D R
R D
(2.22)
) ( )]
cos sin ) [(
) ( )]
cos sin ) [(
||
||
φ φ α
α
φ φ α
α
+ ′ +
− +
+ ′ +
−
=
⊥
⊥
o o
n n b
D R
R
D R
R
D
(2.23)) ( )]
cos sin ) [(
) (
)]
cos sin ) [(
||
||
φ φ α
α
φ φ α
α
′ + +
−
−
+ ′ +
−
−
=
⊥
⊥
o o
n n c
D R
R
D R
R
D
(2.24))) (
) ( (
) ( ) sin cos
(
) ( ) sin cos
(
2
||
2
2
||
2
φ φ φ
φ
φ φ α
α
φ φ α
α
− ′
′ −
−
− +
+ ′ +
+
+ ′ +
=
⊥
⊥
o n
o o
n n d
D D
D R
R
D R
R D
(2.25)
2.3 斜率繞射
(2.2)式所示為第一階繞射場，由此式可知第一階繞射場與在 楔形物邊緣的入射場成正比，且當入射場為零時，第一階繞射場 也為零。不過，楔形物邊緣的總繞射場亦包含高階之斜率繞射場 (Slope Diffraction)，此斜率繞射場與在點
Q d
之入射場橫向空間斜 率成正比。d jks i d
s A s e
n Q jk
⎟⎟
−
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ ′
⋅ ∂
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂
= 1 ∂ ( ) (ρ, ) φ
D
E E
(2.26)而總繞射場
E d
為( ) ( )
D jks
i D
i
d A s e
n Q
Q jk
⎥−
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂ ′
⋅∂
∂ + ∂
⋅
= ( , ) 2
1 ρ φ
D D E
E
E
(2.27)其中
Q d
i d
i
s n
Q
φ′
∂
∂
= ′
∂
∂
E
( ) 1E
(2.28)
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
∂ ′
∂
∂ ′
∂ ∂ ′
∂
∂ ′
∂
′ =
∂
∂
φ φ
φ φ
φ
c d b a
D D
D D
D
(2.29)若忽略穿透效應（T=0），則(2.29)式中各矩陣元素為
( )
( )
o
||
o
n
||
n
o n
|| o o
|| n n
a
R α R α
D
R α R α
D
D D
α R
α D R
α R
α D R
D
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ ′
−∂
∂ ′
−∂ + ′ +
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ ′
−∂
∂ ′
−∂ + ′ +
′
∂
− ′
−∂
′
∂
− ′
−∂
−
′ −
∂ + ′ +∂
−
′ −
∂ + ′
= ∂
′
∂
∂
⊥
⊥
⊥
⊥
2 2
2 2
2 2
sin cos
) (
sin cos
) (
) ( )
(
sin ) cos
(
sin ) cos
(
φ φ φ
φ
φ φ φ
φ
φ φ φ φ
φ φ
φ φ φ φ
φ φ φ
(2.30)
( )
[ ]
( )
[ ]
o
||
o
n
||
n
|| o o
|| n n
b
α R α
D R
α R α
D R
α α R D R
α α R D R
D
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ ′ +∂
∂ ′
−∂ + ′ +
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ ′ +∂
∂ ′
−∂ + ′ +
+
′ −
∂ + ′ + ∂
+
′ −
∂ + ′
=∂
∂ ′
∂
⊥
⊥
⊥
⊥
cos sin )
(
cos sin )
(
cos ) sin
(
cos ) sin
(
φ φ φ
φ
φ φ φ
φ φ
φ φ φ
φ φ φ
(2.31)
