§ 4-1 : 矩陣代數(Matrix Algebra)

九十八學年度工程數學(二)會考題庫

99.3.12

◆ 提供題庫老師：張育斌、魏榮輝、徐榮昌、徐孟輝

◆ 題庫如下：(參考教科書：工程數學精華版第九版，Erwin Kreyszig，歐亞書局)

§ 4-1 : 矩陣代數(Matrix Algebra)

1. 若

1 1 3

2 4 6

1 1 2

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

A ,

4 0 0 2 1 6 8 15 4

⎡− ⎤

⎢ ⎥

= −⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

B ，試求：(1) A B (2) + 2A−3B。

2. 求下列各矩陣A 之轉置矩陣(Transpose Matrix)A 。 ^T

(1)

2 1 4 3 7 5 0 1 9

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

A (2)

1 0 1 8 2 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

3. 設^A=

[

^{2 4 5}

]

^{， 48}

10

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

B ，試求：(1) A+B (2) ^T 3A−4B。

4. 若 7 8 1 6

⎡ − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A ， 1 4 3

4 7 0

⎡ − ⎤

= ⎢⎣− ⎥⎦

B ，試求：(1) AB (2) BA 。

5. 若 1 1 2 3

⎡ − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A ， 1 3

4 2

⎡− ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

B ，試求：

(1) (A+B)^T (2) A^T +B (3) (^T AB)^T (4) B A 。 ^{T T}

6. 若^A=

[

^{2 4 5}

]

^{, 84}

10

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦ B ,

1 2 4 0 1 1 3 2 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

C ，試求：(1) AA (2) (^T AB C (3) () BA C )

7. 若

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= 2 0 1

A ，

2 0 0 3

1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

B ，

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

1 0 4

3 2 0

0 1 1

C ，D=

[

^{4 3 0}

]

，試求：

(1) AD 及 DA (2) BC 及 CB (3) BD 及 DB (4) DCB (5) ADC。

8. A 與 B 為n n× 矩陣，則此敘述：(A B+ )² =A²+2AB B 是否正確呢？ + ² 9. A 與 B 為n n× 對稱矩陣，

(1) 舉例說明 AB 不一定為對稱。

(2) 證明若且唯若AB=BA ，則 AB 為對稱。

§ 4-2 : 線性代數方程式系統(Systems of Linear Algebraic Equations)

10. 求解下列聯立方程組：

(1) ^{1 2}

1 2

2 0

3 0

x x x x

− =

⎧⎨ + =

⎩ (2) ^{1 2}

1 2

3 0

2 6 0

x x

x x

− =

⎧⎨− + =

⎩ (3) ^{1 2 3}

2 3

2 0

0

x x x

x x

+ − =

⎧⎨ − =

⎩

(4)

1 2 3

1 3

1 2

2 2 0

0 0

x x x

x x

x x

− + + =

⎧⎪ − =

⎨⎪ + =

⎩

(5)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 0

3 4 0

2 5 3 0

x x x

x x x

x x x

− + + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

(6)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 0

5 0

7 2 0

x x x

x x x

x x x

− + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪− + + =

⎩

(7) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= +

= + + +

0 2

0

0

3 2 1

4 1

4 3 2 1

x x x

x x

x x x x

(8) ^{1 2 3 4}

1 3

3 0

0

x x x x

x x

+ − + =

⎧⎨ − =

⎩

11. 求解下列聯立方程組：

(1)

⎩⎨

⎧

=

−

= +

1 2 5

4 2

2 1

2 1

x x

x

x (2) ^{1 2 3}

1 2 3

2 3 4 1

5

x x x

x x x

− + =

⎧⎨ − − =

⎩ (3)

1 2

1 2

1 2

2 3 1

3 0

4 3

x x

x x

x x

− =

⎧⎪− + =

⎨⎪ − =

⎩

(4)

1 2 3

2 3

2 3

1

2 3 3

1

x x x

x x

x x

+ + = −

⎧⎪ + =

⎨⎪ + =

⎩

(5)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= +

−

=

−

15 4 4

9

1 4 3

3 2 1

3 2 1

3 2

x x x

x x x

x x

(6)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2 2

3 3

x x x

x x x

x x x

− + =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ − + =

⎩

(7)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4

3 2 2

2 4

x x x

x x x

x x x

− + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

(8)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

4 7 5

2 11 14

x x x

x x x

x x x

− + =

⎧⎪− + + = −

⎨⎪− − + =

⎩

(9)

1 2 3 4

1 2

1 3 4

1 1

2 0

x x x x

x x

x x x

− − + =

⎧⎪ − =

⎨⎪ − + =

⎩

(10) ^{1 2 3 4}

1 4

3 2

1

x x x x

x x

+ − + = −

⎧⎨ − =

⎩

§ 4-3 : 矩陣之秩(Rank of a Matrix)

12. 求下列各矩陣之秩(Rank)。

(1) 1 2 2 4

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎣ ⎦ (2) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 1 5

5

1 (3) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

5 4 1

5 4

0 (4)

1 1

4 1

2 3

⎡ ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

(5)

1 1 2 2 4 4 1 3 2

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

(6)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

8 4 4

5 4 1

0 3 3

(7)

3 2 2 2 3 2 2 2 3

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(8)

2 1 1 3 1 2 1 4 1 1 2 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(9)

1 2 1 3

3 4 0 1

1 0 2 7

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢− − ⎥

⎣ ⎦

(10)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−1 8 3 4

2 0 3 2

3 8 1 6

(11)

4 1 3 5

2 0 0 2

13 2 0 1

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

13. 令 2 8

1 λ

λ

⎡ + ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A ，若λ∈ R，求 Rank( A )。

14. 令

1 1 1

1 1

1 1 λ

λ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A ，若λ∈ R，求 Rank( A )。

15. 若 A 為m n× 矩陣， x 為n×1解向量，則齊次線性方程式系統：Ax=0 (1) 恰有一組解之條件為何？ (2) 有無限多組解之條件為何？

16. 若λ∈ R，請討論線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 0 0

x x x

x x x

x x x

λ λ

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

的解。

17. 若 A 為m n× 矩陣， x 為n×1解向量，且 b 為m×1行向量，則非齊次線性系統：Ax=b (1) 恰有一組解之條件為何？ (2) 有無限多組解之條件為何？

(3) 無解之條件為何？

18.

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

5

2 2

2

x x x b

x x x b

x x x b

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

有解，求b ，₁ b 及₂ b 之關係。 ₃

19.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 4

2 3

x x x

x x x

x x λx

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

有解，求λ 之值。

§ 4-4 : 行列式(Determinants)

20. 求下列各矩陣之行列式值。

(1) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 7 5

3

0 (2)

1 1 2 3 1 4 0 2 5

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

(3)

5 3 3 3 5 3 3 3 5

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(4)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−1 4 16

8 3 1

4 2 17

(5)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

4 0 2

1 6 0

2 5 3

(6)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

4 1 4

4 2 6

4 1 13

(7)

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

9 6 3 7

3 9 1 0

3 0 1 1

12 1 4 2

(8)

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

1 0 1 0

1 1 1 3

1 0 1 2

1 1 0 1

(9)

1 2 3 1 3 2 1 4 2 6 10 3 1 1 1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(10)

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

6 3 5 2

1 0 1 1

4 2 0 2

2 1 3 1

(11)

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

11 2 7 4

5 8 3 0

2 3 8 2

2 3 5 2

(12)

3 0 0 0 0

2 6 0 0 0

17 14 2 0 0 22 2 15 8 0 43 121 23 1 5

⎡ ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

§ 4-5 : 反矩陣(Inverse of a Matrix)

21. 求下列各矩陣 A 之反矩陣A 。 ⁻¹

(1) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 4 2

3

A 1 (2) 2 1 4 2

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (3)

1 1 2 1 2 1 2 1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (4)

2 1 5 1 1 4 0 3 3

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

(5)

4 0 0 0 1 0

2 0 0 5

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

A (6)

5 1 6

0 2 8

0 0 10

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (7)

1 0 0 1 1 0 2

1 5 2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

(8)

2 0 1 5 1 0 0 1 3

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (9)

1 2 3 1 3 2 1 4 2 6 10 3 1 1 1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (10)

1 1 1 0 1 0 2 0 1 1 1 1 3 0 0 1

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

(11) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 3 5

1

2 (12) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

θ θ

θ θ

cos sin

sin

cos (13)

1 1 2 1 2 1 2 1 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(14)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− 5 0 0

2 0 0 1

0 0 4

(15)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

10 0 0

8 2 0

6 1 5

(16)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

2 5 1

0 2 1

1

0 0 1

(17)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

3 1 0

0 1 5

1 0 2

(18)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

15 3

5

0 2 0

5 1 5

(19)

2 1 5 1 1 4 0 3 3

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(20)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−1 4 16

8 3 1

4 2 17

22. 設

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− =

1 1 3

0 1 0

0 2 1

A 1 ，且

2 1 3

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

B ，若AX=B ，試求X=？

23. 設 4 3 4 x

⎡ − ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦

A ，若A=A ，試求⁻¹ x=？

§ 4-6 : 克萊姆法則(Cramer’s Rule)

24. 以克萊姆法則求解下列線性系統

(1) ^{1 2}

1 2

3 6 3

4 7

x x

x x

+ =

⎧⎨ − =

⎩ (2)

⎩⎨

⎧

= +

−

=

−

−

1 4 5

5 2

2 1

2 1

x x

x

x (3)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

2 2

3 3

x x x

x x x

x x x

− + =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ − + =

⎩

(4)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 7

4 3 5

2 5 7 19

x x x

x x x

x x x

+ − = −

⎧⎪ + + =

⎨⎪ − + =

⎩

(5)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

−

−

= +

−

= + +

7 2 3

1

1 2

2

3 2 1

3 1

3 2 1

x x x

x x

x x x

(6)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + +

= + +

2 2

1 3 5 2

0

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

25. 若k∈ R，請討論線性系統： ^{1 2}

1 2

(2 ) 4

(3 ) 3

k x kx

kx k x

− + =

⎧⎨ + − =

⎩ 的解。

26. 若λ∈ R，請討論線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 2

x x x

x x x

x x x

λ λ

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

的解。

27. 若λ∈ R，請討論線性系統：

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 0 0

x x x

x x x

x x x

λ λ

λ

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

的解。

§ 4-7 : 特徵值問題(The Eigenvalue Problem)

28. 求下列各矩陣 A 的特徵值及特徵向量：

(1) 1 1 2 4

⎡ − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (2) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

= 2 2 4

A 8 (3) 8 1

16 0

− −

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (4)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 0 0

0 4 0

0 0 2 A

(5)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 1 2

3 3 0

1 1 1

A (6)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

0 0 0

0 1 1

0 1 1

A (7)

3 2 5

4 1 5

2 1 3

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − − ⎥

⎢− − − ⎥

⎣ ⎦

A

(8)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A (9)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

5 0 0

6 2 0

4 1 3

A (10)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

0 2 1

6 1 2

3 2 2 A

29. 若矩陣

3 0 3 2 1 1 4 2 5

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= −⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A 之特徵值分別為λ₁，λ₂，λ₃，試求：(1) λ λ λ₁+ ₂+ (2) ₃ λ λ λ_{1 2 3}

§ 4-8 : 矩陣之對角化(Diagonalization of Matrices)

30. 判斷下列矩陣A 可否對角線化？若可以，請求出矩陣 P，使得P AP 為對角化(Diagonalization)。 ⁻¹

(1) 1 1 2 4

⎡ − ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (2) 8 1

16 0

− −

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A (3)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A (4)

3 2 5

4 1 5

2 1 3

− −

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=⎢ − − ⎥

⎢− − − ⎥

⎣ ⎦

A

(5)

5 0 0 1 0 3 0 0 2

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

A

31. 已知 1 0 1 2

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

A ，試求：

(1) 非奇異矩陣P ，使得P AP 為對角化 (2) ⁻¹ A¹⁰⁰ (3) e^A (4) cos A

32. 已知

1 2 2 2 1 2 2 2 1

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A ，試求：(1) A³−3A²−9A (2) A²−3A−5A 。 ⁻¹

33. 將下列各二次式 Q (quadratic form) Q 轉換至其主軸(principal axes)上。

(1) Q=3x₁²+2x x_{1 2}+3x₂² (2) Q=5x₁²+4x x_{1 2}+2x₂² 34. 寫出以給予矩陣所定義之二次式 Q 。

(1) 2 1 1 6

⎡− ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2)

6 1 7

1 2 0 7 0 1

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

§ 5-1 向量(Vectors)

35. 下列各題中，求a+b ，a b ，− a ， b ，2a，與 3b 。 (1) a = +i j ，b = −i 2j+k (2) a = −i 3k ，b=4j (3) a = + +i j k ，b =2i −2j+2k

36. 令a=(1, 2, 3)− ，b =(2,1, 4)，c=(0, 5, 0)− ，試求：

(1) a+b ，b+a (2) (a+b)+c ，a+(b+c (3) ) a+b ， a + b (4) a−c ， a − c

37. 求過給予點的直線之參數方程式(parametric equation)，並求此線之法式(normal form)。

(1) (1, 0, 4) ， (2,1,1) (2) (2,1,1) ， (2,1, 2)− (3) (0,1,3) ， (0,0,1)

38. 在x、 y 平面上，已知向量v之長度，向量v與正x軸之夾角，求此向量v。 (1) 6，π (2) 3 25，3π (3) 2 15，7π 4

§ 5-2 : 點積(Dot Product)

39. 求下列兩向量a與 b 之點積及兩向量a與 b 夾角之餘弦。

(1) a = +i j ，b = −i 2j+k (2) a = −i 3k ，b=4j

(3) a = + +i j k ，b =2i −2j+2k (4) a= + +i j 2k ，b = − +i j 2k 40. 設a=(3,1, 4)，b=(1, 1, 0)− ，c =(1, 0, 5)，試求下列向量間夾角的餘弦：

(1) a，c (2) a，−c (3) a，b+c (4) a+b ，a−b

41. 求一平面方程式，此平面包含一已知點且以已知向量為法向量(normal vector)。

(1) ( 1,1, 2)− ， 3i − +j 4k (2) ( 1, 0, 0)− ，i −2j 42. (1) 求直線x+ y =1及2x− y3 =0之間的夾角？

(2) 求平面x+ y+z=1及x− y =0之間的夾角？

43. 求三頂點為 (1,1, 0)A ， (3,1, 0)B ， (1,3, 0)C 的三角形之三內角？

44. 求下列向量a在向量 b 方向上之分量(components)。

(1)a =(1,1, 0)，b=(1, 2, 2)− (2)a=(3, 4, 7)− ，b =(2, 5, 2)

45. 兩平面 E₁: 3x+2y−2z= 與0 E₂:cx− −(c 5)y+ +(c 4)z= ，若7 E 與₁ E 正交 ₂ (orthogonal)，求 c 之值為何？並求 E 之單位法向量(unit normal vector)。 ₂

§ 5-3 : 叉積(Cross Product)

46. 對右手直角座標系統，令a=(1, 2, 3)− ，b =(1, 2, 0)，c= −( 1,1, 0)，試求：

(1) a b ，× b a (2) × a c× ，|a c (3) × | b c ，|× b c × | (4) a× +(b c ，) a b× + ×a c

47. 求下列各題中，三點是否共線？若是，求直線方程式；若否，求通過三點的平面方程式。

(1) (4,1,1) ， ( 2, 2, 3)− − ， (6, 0,1) (2) (3,1,1) ， (1,3,1) ， (1,1,3) (3) (0,1,1) ， (2, 2,3) ， ( 2, 0, 1)− −

48. 求鄰邊為由第一點至另外兩點的平行四邊形之面積。

(1) (6,1,1) ， (7, 2, 4)− ， (8, 4,3)− (2) ( 2,1, 6)− ， (2,1, 7)− ， (4,1,1) 49. 三角形之頂點分別為(3, 2, 0), (1, −1, 0), (2, 3, 0)，求其面積。

50. 求鄰邊為由第一點至另外三點的平行六面體之體積。

(1) (0,1, 6)− ， ( 3,1, 4)− ， (1, 7, 2) ， ( 3, 0, 4)− (2) (1,1,1) ， (2, 2, 2) ， (6,1, 3) ， ( 2, 4, 6)−

51. 四面體之頂點為(2, 1, 8), (3, 2, 9), (2, 1, 4), (3, 3, 10)，求其體積。

52. 求垂直於向量 a= +i j 與 b = −i 2j+k 之單位向量(unit vector)。

53. 求通過點 (1, 7, 1)− 且垂直兩平面 − + −x y 8z= 與 34 x− +y 2z= 交線之平面方程式。 0 54. 對右手直角座標系統，令a=(1,1, 0)、b =(1, 2, 0)− 、c =(2, 2, 1)− 、d =(3, 0, 4)，

試求：

(1) a× ×(b c (2) () a b× ) (i c d (3) [(× ) a b× × i) c d (4) (] a b× × ×) (c d ) (5) (a+b) (i b+ × +c) (c a (6) () a b× ) (i b c× × ×) (c a )

§ 5-4 : 向量函數(Vector Functions)

55. 求下列向量函數之一階及二階導數。並求其長度。

(1) (1+t)i + +(3 4 )t j (2) (5−t)i + − +( 5 2 )t j−3k (3) (cos )t i +(sin )t j 56. 已知 f( )t = + +ti j 4k ， ( )g t = −i (cos )t j+tk ；求

(1) d [ ( ) ( )]

t t

dt f ig (2) d [ ( ) ( )]

t t

dt f ×g 57. 求以下參數式所代表之曲線為何？

(1) ( )r t =(2 cos )t i + −( 2sin )t j+k (2) ( )r t =(cos )t j+(4 sin )t k 58. 將下列曲線以參數式表示：

(1) 1

9 1 4

1x2 + y2 = , z=0 (2) 4(x+2)² +(y−4)² =4, z=0

59. 已知曲線之參數方程式：x= = =y z t³; ( 1− ≤ ≤ ，求： t 1)

(1) 曲線之位置向量 (2) 曲線之切線向量 (3) 曲線之長度函數s t 。 ( )

§ 5-5 : 曲線運動、曲率、加速度分量 (Motion of a Curve, Curvature and Components of Acceleration)

60. 位置向量函數r( )t 為已知，請求出速度向量 ( )v t 、速率 ( )v t 、加速度向量 ( )a t 、加速度

向量 ( )a t 之切線及法線分量、單位切線向量 ( )u t 、單位法線向量 ( )n t 及曲率 ( )κ t 。 (1) r( )t =3ti −2j+t²k (2) r( )t =3costi −3sintj+4tk

(3) ( )r t =2ti −2tj+tk (4) r( )t =tsinti +tcostj k +

§ 5-6 : 方向導數(Directional Derivatives)

61. 求函數 f 之梯度 f∇ 及在給定點 P 之梯度值，並求函數 f 在此點之最大與最小變化率。

(1) f =xyz， (1,1,1)P (2) f = yz+zx+xy， (1, 1,1)P −

(3) f = x²+y²+z² ， (2, 2, 2)P (4) f =cosh(2xy) sinh− z， (0,1,1)P (5) f =e^xcos cosy z，P(0,π 4 ,π 4) (6) f =2x y³ +ze^y， (1,1, 2)P 62. 求一純量函數 f ，使其梯度 f∇ 為：

(1) i + +j k (2) 2xi −6yj+k (3) yzi +xzj+xyk

63. 求在給定點 (1,1, 0)P ，以給定向量為方向，求函數 f 之方向導數。

(1) f = yz+zx+xy ; i + +j k (2) cos(f = x−y)+e^z ; i − +j 2k (3) f =x yz^{2 3} ; 2j+k (4) f = −1 x²−y²−xyz ; i +3k

64. 求曲面上一點之切平面與法線方程式。

(1) x² +y²+z² =4 ; (1,1, 2) (2) z² =x²−y² ; (1,1, 0) (3) z=x²+y ; ( 1,1, 2)− (4) cosx−siny+ =z 1 ; (0, , 0)π 65. 若空間中任一點之溫度為T =xy+ yz+zx，求：

(1) 溫度 T 在點 (2, 1, 1) 、4i +3k之方向上的方向導數。

(2) 溫度 T 在點 (2, 1, 1) 變化最快之方向。

(3) 溫度 T 在點 (2, 1, 1) 變化最快之值。

§ 5-7 : 散度與旋度(Divergence and Curl)

66. 求向量場v 之散度∇iv及旋度∇ × v：

(1) v= yi −xj (2) v = yi + +zj xk (3) v =(x²+y²+z²)(i + +j k) (4) v=2xyi +xe^yj+2zk (5) v=sinyi +cosx j (6) v =xyz x( i +yj+zk) 67. 下列各函數f，求∇ ∇i( f)及∇× ∇ 。 ( f)

(1) sin coshf = x y (2) f = x² + y² +z² (2) f =e^{x y z+ +} 68. 求下列各向量場v 之 (∇ ∇iv 。 )

(1) v=x²i +y²j+z²k (2) v =(x²−y²)i +3k (3) v =xyz(i − +j k) 69. 在右手卡式座標系統中，令u= yi + +zj xk 且v =xyi +yzj+zxk ，求：

(1) u× ∇×( v ，) v× ∇×( u) (2) ∇× ×(u v ，) ∇× × u (v ) (3) ∇ i(u v ，) ∇ ∇i[ (u vi )] (4) ∇i u v ，( × ) ∇i v u ( × )

70. 令r =xi +yj+zk 且 r= r = x²+y²+z² ，證明：

(1) divr = ∇ =ir 3 (2) curlr = ∇× =r 0 (3) grad r r

= ∇ = rr (4) curl( ₃) ( ₃)

rr = ∇× rr = 0

§ 5-8 : 線積分(Line Integrals)

71. 計算下列線積分；其中曲線C定義為：

0 2 , sin 4 , cos

4 _{= ≤ ≤}π

= t y t t

x 。

(1)

∫

Cxy²dx (2)

∫

Cxy²dy (3)

∫

Cxy²ds

72. 求下列線積分。

(1)

Cxdx−dy+zdz

∫

^{；曲線C：x=t y, =t z, =t3 ; 0≤ ≤ 。 t 1}

(2) 4 ²

C− xdx+y dy−yzdz

∫

^{；曲線C：x= −t2 ,y=0 ,z= −3t ; 0≤ ≤ 。 t 1}

(3) ( )

C x+y ds

∫

^{；曲線C：x= =y t z, =t2 ; 0≤ ≤ 。 t 2}

(4) ( ² )

C x −yz dy

∫

^{；曲線C：x=t y, = =z t ; 1≤ ≤ 。 t 4}

(5)

∫

Cxdy−ydx^{；曲線C：x= =y 2 ,t z=e−t ; 0≤ ≤ 。 t 3}

73. 求下列線積分

C d

∫

^{Fi r。}

(1) F =3yi −x j ；C：連接(0, 0)到 ) 2 ,1 2

( 之直線。

(2) cos(F = xy)k ；C：x=1 , y=t z, = −2t 1 ; 0≤ ≤ 。 t π (3) F = −i x j+k ；C：r =costi −sint j+tk ; 0≤ ≤t π 。 (4) cos xF = i −y j+xzk ；C：r =ti −t²j+k ; 0≤ ≤t 3。

74. 求一力向量F =xi −z j+2yk 沿著拋物線y=2x², z = 2 由(0, 0, 2)至(1, 2, 2)所作之功。

§ 5-9 : 無關路徑(Independence of Path)

75. 證明下列線積分

C d

∫

^{Fi r}與路徑無關，並求位勢函數φ(x,y,z)，其中 F = ∇ 。 φ (1) F = y³i +(3xy²−4)j (2) F =(6y+ye^xy)i +(6x+xe^xy)j

(3) F =(3x²−2 )y i +(12y−2 )x j (4) F =2xycos(x²)i +sin(x²)j (5) F =(2xy z² +cos )y i +(2x yz² −xsiny+sin )z j+(x y^{2 2}+ycos )z k

76. 求下列線積分

C d

∫

^{Fi r，曲線C}為由給予第一點至給予第二點之任意路徑。

(1) F =e^xcosyi −e^xsinyj ; (0, 0) , (2,π 4)。

(2) F =(3x y^{2 2}−6y³)i +(2x y³ −18xy²)j ; (0, 0) , (1,1)。 (3) F =(e^x−8e^y)i −8xe^yj ; ( 1, 1) , (3,1)− − 。

§ 5-10 : Green’s 定理(Green’s Theorem)

77. 利用格林定理(Green’s Theorem)，求線積分

C d

∫

^{Fi r} (沿著 C 逆時針方向一周)。

(1) F = ycosxi −y³j ；C：正方形 1− ≤ ≤x 0 , 0≤ ≤ 之周邊。 y 1 (2) F =(x+y)i + −(x y)j ；C：橢圓x²+4y² = 。 1

(3) F =x²i −2xyj ；C：以(1, 1), (4, 1), (2, 6)為頂點所形成之三角形邊界。

(4) F =x y² i −xy²j ；C：區域x²+y² ≤4 ,x≥0 , y≥ 之邊界。 0

78. 一質點受力F =xyi +x j 之作用，以逆時針方向沿著頂點為(0, 0), (4, 0), (1, 6)之三角形邊界繞 一周，求所作之功。

§ 5-11 : 曲面積分(Surface Integrals)

79. 計算積分區域。

(1)

∫ ∫

0^{1 +} 1 0

2

2 )

(x y dydx (2)

∫ ∫

− − π

π ¹ xydxdy

1 (3)

∫ ∫

0² 0 π sin

y dxdy y

y

80. 試計算面積分 ( , , )

S f x y z dA

∫∫

^。

(1) ( , , )f x y z = ；x S：平面x+4y+ =z 10位於第一卦限之部分。

(2) ( , , ) 1f x y z = ；S：拋物面z=x²+ 介於平面y² z=0與z= 之間的部分。 2 (3) ( , , )f x y z = ；z S：平面 z= − 在 0x y ≤ ≤x 1 , 0≤ ≤ 的部分。 y 5

81. 試求出下列空間區域的體積。

(1) 於平面z=6x− y+10之下，而於x、 y 平面上由(0, 0), (2, 0), (2, 6), (0, 6)所連成的四方形之 上。

(2) 於平面z= x² +y²之下，而於x、 y 平面上由(0, 0), (1, 0), (1, 1)所形成的三角形之上。

82. 試找出重心x , y 之座標位置，其為密度 f(x,y)=1在區域四方形 R ： 0≤ ≤x 6 , 0≤ ≤y 10之重 心位置。

83. 試找出均勻球x²+y²+z² = 在平面9 z= 上方部分之質心位置。 1

84. 求出下列曲面之單位法線向量：

(1) 2

3 1 5

4x− y+ z = (2) 25y² + z² = (3) x²+y²+z² =a²

§ 5-12 : 司托克士定理(Stokes’ Theorem)

85. 求 ( )

S ∇× dA

∫∫

^{F ni 。}

(1) F =yx²i −xy²j+z²k ；S：半球面x²+y²+z² =4 ,z≥ 。 0 (2) F =xyi +yzj+zxk ；S：拋物面z=x²+ ，其中y² x²+y² ≤ 。 9 (3) F =xyi +yzj+xyk ；S：平面 2x+4y+ = 位於第一卦限之部分。 z 8 (4) F =z²i +4xj ；S：正方形 0≤ ≤x 1 , 0≤ ≤y 1 , z= 。 1

(5) cosF = yi +coshzj+xk ；S：正方形 0≤ ≤x 1 , 0≤ ≤y 1 , z= 。 1 (6) F = −y³i +x³j ；S：圓盤x²+y² ≤1 ,z= 。0

§ 5-13 : 散度定理 (Divergence Theorem)

86. 利用散度定理，計算通量(流量)積分

S dA

∫∫

^{F ni 。}

(1) F =xi +yj+zk ；S：球面x²+y²+z² = 。 9

(2) F =(x−y)i +(y−4xz)j+xzk ；S： 0≤ ≤x 4 , 0≤ ≤y 2 , 0≤ ≤ 之表面。 z 3 (3) cosF = yi +sinxj+coszk ；S：x²+y² ≤ ，4 z ≤2之表面。

(4) F =x²i +y²j+z²k ；S： 0≤ ≤x 6 , 0≤ ≤y 2 , 0≤ ≤ 之表面。 z 7