科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9801
美國 AP 微積分課程與評量
單維彰 97 年 12 月 15 日
上個月，本欄介紹了美國高中生的大學預修課程（也就是 AP 課程）的哲學理念 與課程、評量的設計。這個月，我們深入檢視其中兩門微積分課程的內容及考詴 狀況。而下個月，我將提出（個人認為）美國的微積分預修課程對我國中等數學 教育的啟示。
AP 設計了兩門微積分課程：微積分 AB 和 BC，都是在高中執行一整個學年 的課程。它們是大學預修課程，基本上都應該被視為大一課程，而不是高中課程。
副標題 AB 和 BC 表示它們把預修微積分的內容分成 A, B 和 C 三個部分。粗略 地說，三部分的內容如下 [1]：
A 是基本函數的統整，包括有理函數、指數、對數、三角和反三角函數。
B 是單變數微分學與積分學的核心內容。
C 包含參數方程式和極坐標函數，但主要是無窮冪級數的相關課題。
可見微積分 AB 比較初級，而兩門課是有交集的，也就是所謂的 B 部分；它 也是課程的主要部分。因為 AP 測驗都在五月舉行，那時候學年尚未結束，所以 美國的高中教師也有「趕進度」的壓力。他們會在 AP 測驗以前趕課或加課，而 在測驗以後放假或自由出席。總之，這些課程通常以 150 節課講授，每節課從 50 到 75 分鐘不等（課堂的時間長度是地方自治的範圍）[2]。常見的安排是每天 都有一節課，相當於授課 30 週，每週 5 鐘點。
微積分 BC 假設選修的學生已經在其他課程中準備好了 A 部分，所以不教。
但是微積分 BC 的檢定考詴（AP 測驗之微積分 BC 考科）卻包含微積分 AB，不 像我們的指考「數甲」和「數乙」被定位為分流的測驗。在微積分 BC 的考題當 中，約有 60% 屬於微積分 AB 程度，所以在微積分 BC 的成績報表中，有一個 微積分 AB 的「子成績」，並建議各大學將此成績視為微積分 AB 的考詴成績。
所以，不論是課程內容還是評量內容，微積分 AB 都是包含於 BC 的，學生不必
「跨考」，只要挑選其中之一即可。
但是，即使 C 部分也不到台灣理工科系的一學年微積分內容；對於「傳統」
的理工微積分課程而言，C 部分大約在第一學期或者第二學期的第一個月完成。
這是因為，台灣經常選用的「磚頭」型微積分課本，在美國的大學經常被拆成三 個學期的課：微積分Ⅰ、Ⅱ 和 Ⅲ（包括筆者留學的賓州州立大學）。多變數函 數的偏微分、兩變數和三變數的重積分、曲線和曲面上的積分、以及向量微積分，
通常屬於微積分Ⅲ，只有某些主修（例如數學、物理、機械、電機、土木等）要 求第三學期的微積分。
所以，微積分 AB 可能可以在大學抵 3—4 學分的微積分課程，而微積分 BC 也許可以抵 4—6 學分。對於人文藝術的主修學生而言（例如歷史、哲學、音樂
等），AB 就已經滿足了大學的微積分需要。有一部份管理類科以及理科的學生
（例如企管、農業、生物、化學等），也是只要 AB 程度就夠了，頂多在 AB 以 外再補一學期的微積分或相關課程。至於其他的理、工、金融財務科系，可能要 求在 AB 以外再修兩個學期，或者在 BC 以外再修第三學期的微積分。
根據以上的解釋，可以看出來微積分 AB 的市場比 BC 大得多，這也反映在 報考微積分 AB 和 BC 的人數比例上。我們不知道微積分 AB 的選修人數，只知 道每年參加微積分 AB 之 AP 檢定考的人數：2005 年約 18 萬人，2006 年約 19 萬人，2007 年約 20 萬人，2008 年約 21 萬 5 千人；詳見表一之第二列。大多數 考生是高三學生 (也就是 12 年級，約 15 萬人)，但是高二考生也超過 3 萬人。
我們看到近年來微積分 AB 的考生人數穩定成長，但是 BC 的考生人數卻大約總 是維持在 AB 考生人數的三分之一；詳見表二。因為 BC 包含 AB，應該沒有或 很少人「跨考」，所以兩科的考生人數總和可以視為所有選考微積分的人數，而 這些學生起碼在高中選修了一年的微積分預修課程；見表一之第三列。
自 2005 年以來，美國每年大約有 310 萬名高中畢業生（近年美國的高中畢 業生人數在遞增中，預估 2018 年將有 330 萬名）[3]。對照表一第二列，每屆只 有略低於 9% 的高中生選考微積分 AP 檢定。
兩種微積分考詴都進行 3 小時 15 分鐘，分成兩節。第一節 105 分鐘考選擇 題（皆為五選一），前段 55 分鐘的 28 題禁止使用計算器，後段 50 分鐘的 17 題 可以使用計算器，某些題目非用計算器不可。第二節 90 分鐘考非選題，前段 45 分鐘考三道需要使用計算器的題目，後段 45 分鐘考另外三道禁止使用計算器的 題目。考生在後段時間可以繼續寫前面三題，但是不准使用計算器。雖然選擇題 有 45 題，非選只有 6 題，但這兩部分的成績各佔總分的一半。
AP 考詴可以使用具備畫圖功能和求數值解、做數值微分或積分的計算器，
甚至准許可記憶程序的功能，但禁止可用鍵盤或手寫版輸入程式的計算器。隨著 科技的進步，AP 微積分課程的內容和准許使用計算器的範圍，最近經常更新。
美國的這個 28 萬人的數學考詴，可以一次考半天，也可以將科技工具（繪 圖式計算器）融入考詴。我們的指考是個不到 10 萬人的考詴，卻始終堅持較短 的時間和不准使用工具。較短的時間等於較少的題目，較少的題目導致較大的壓 力。堅持這個傳統的理由，究竟是文化的？還是經濟的？還是社會的？我甚至不 知道到哪裡去討論這個問題，所以順便記在這裡。
表一‧美國 AP 檢定考試微積分考科之報考人數 年度 2005 2006 2007 2008 AB 180,661 190,954 204,546 215,086 總數 234,018 248,273 267,160 281,871
表二‧美國 AP 檢定考試微積分 AB：微積分 BC 之考生人數 年度 2005 2006 2007 2008
比例 3.4:1 3.3:1 3.3:1 3.2:1
參考文獻
[1] 美國大學委員會公布的 AP 微積分課程與評量指引，”AP Calculus Course Description,” College Board, 2009 學年版. 文件檔案可由網路下載，網址是 http://apcentral.collegeboard.com/apc/public/repository/
ap08_calculus_coursedesc.pdf
[2] 美國大學委員會公布的 AP 微積分教師手冊，”AP Calculus Course Teacher’s Guide,” College Board, 2007. 文件檔案可由網路下載，網址是
http://apcentral.collegeboard.com/apc/members/repository/
ap07_calculus_teachersguide_2.pdf
[3] 美國教育部的國家教育統計中心網站，本文資料來自 http://nces.ed.gov/programs/projections/projections2017/
