數學傳播 30卷2期, pp. 77-80
表示 Euler 常數的一個級數的導出 和此常數存在性的證明
黃見利
Euler-Mascheroni常數, 有時只稱為 Euler 常數, 是由數學巨人 Leonhard Euler 在 1735 年所定義的一個純量 lim
N →∞(
N −1
X
k=1
1
k − ln N) 。 當時他是以字母 C 來表示。 而且他認為此 純量 “worthy of serious consideration”。 以字母 γ 來表示則是由 Mascheroni 在 1790 年 所使用。 Euler在1781年將它計算至16位小數, Mascheroni 則在1790年計算至32位小數。 但 Soldner 在 1809 年計算了 24 位後, 認為後者在 19 位小數以後出了錯誤。 終於在 1812 年, 經由 偉大的數學家 Gauss 的指導下, 計算天才 Nicolai 將它算至 40 位小數, 因而證實了 Soldner 的看法。 因此, 為了避免計算錯誤, 數學家通常用兩個不同的計算方法或公式來互相核對。 這個 情況在計算圓周率的數值時亦發生過。
至今為止, 我們尚無法證明 γ 為有理數或無理數, 超越數則更不用談了。 曾有一則軼聞 說, 著名的英國數學家 Hardy 宣稱, 只要有人證明它為無理數, 他願意把在 Oxford 大學的 講座職位讓出。 另一位著名的德國數學家 Hilbert 則提到, 擺在全世界這麼多無助的數學家眼 前, 這個未解的問題似乎沒有任何方法可行。 Brent 在 1977 年證明若 γ 為有理數, 則分母必 大於1010,000。 1997年 Papanikolaou 將此值擴大至 10242,080。
很多著名的數學家都計算過 γ 的數值。 除了前面提到的 Euler 和 Gauss 外, Legendre 在 1825 年也計算了 19 位; Shanks 在 1871 年計算了 110 位; 數學家兼天文學家, 海王星的 發現者之一, Adams 則在 1878年計算了 263位; Stieltjes 在 1887年計算了 32位; Knuth 在 1962 年計算了 1,271 位; Sweeney 亦在 1962 年計算了 3,566位; Brent 和 McMillan 在 1980 年計算了 30,100位; Borwein 在1993年計算了172,000位; Papanikolaou 在 1997年計算了 1,000,000位; 目前最高的紀錄是 Gourdon 和 Demichel 在1999年所計算的108,000,000位。
本文作者也在 1988年時利用一臺8088型個人電腦, 以 Sweeney 的公式為藍本, 計算至28,800 位小數。 現在回想起來, 都還感覺與有榮焉。
以上的數學史, 讀者可參考 Weisstein 的網站 [1]及 Gourdon 和 Sebah 的網站 [2], 會 有更詳盡的說明。
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78 數學傳播 30卷2期 民95年6月
已知有許多的公式能用來表示 γ。 在此我們將導出一條非常簡潔且容易理解, 又涉及 Rie- mann 的 zeta函數的級數公式, 並由此證明 γ 的存在。
首先, 我們定義 Riemann 的 zeta 函數為 ζ(s) =
∞
X
k=1
1
ks, s > 1。 其次, 我們知道 x
1 + x = x − x2+ x3 − · · · =
∞
X
s=2
(−1)sxs−1, |x| < 1 然而, 我們也知道
ln(1 + x) =
∞
X
s=1
(−1)s+1xs
s , −1 < x ≤ 1 現在, 讓 G(x) = ln(1 + x), 則
ln N = ln2 1+ 3
2+ 4
3+ · · · + lnN − 1
N − 2+ ln N N − 1 =
N −1
X
j=1
lnj + 1 j
=
N −1
X
j=1
ln(1 + 1 j) =
N −1
X
j=1
G(1 j) =
N −1
X
j=1
∞
X
s=1
(−1)s+1(1j)s
s =
∞
X
s=1
h(−1)s+1 s
N −1
X
j=1
1 js
i
= (1 +1
2 + · · · + 1
N − 1) − 1
2(1 + 1
22 + · · · + 1 (N − 1)2) +1
3(1 + 1
23 + · · · + 1
(N − 1)3) − · · ·
在第六個等號的地方, 我們利用到 uniform convergence 的概念。
緊接著, 經由移項, 我們有 (1+1
2+· · ·+ 1
N − 1)−ln N = 1 2(1+1
22+· · ·+ 1
(N − 1)2)−1 3(1+1
23+· · ·+ 1
(N − 1)3)+· · · 讓 N 趨近無限, 則我們得到下列公式:
N →∞lim
N −1X
k=1
1
k − ln N= γ =
∞
X
s=2
h(−1)s s
∞
X
j=1
1 js
i= 1
2ζ(2) − 1
3ζ(3) + 1
4ζ(4) − · · ·
=
∞
X
s=2
(−1)sζ(s) s . 然而, 我們還有另一種導法:
γ= lim
N →∞
N −1X
k=1
1
k − ln N= lim
N →∞
N −1
X
k=1
h1
k − ln(1 + 1 k)i=
∞
X
k=1
Z 1k
0
x 1 + xdx
=
∞
X
k=1
Z 1k
0
hX∞
s=2
(−1)sxs−1idx
=
∞
X
k=1
∞
X
s=2
Z k1
0 (−1)sxs−1dx=
∞
X
k=1
∞
X
s=2
(−1)s s · 1
ks =
∞
X
s=2
(−1)s s
∞
X
k=1
1 ks =
∞
X
s=2
(−1)sζ(s) s
表示Euler常數的一個級數的導出和此常數存在性的證明 79
在第五個等號的地方, 我們再次利用到 uniform convergence 的概念。
至此, 我們已完成了著名的 Euler 公式的導出: γ =
∞
X
s=2
(−1)sζ(s) s 。 接下來, 我們給出 γ 存在性的證明:
證明: 從 2 > ζ(s) > ζ(s + 1) > 1 和 ζ(s) 為有界 (s ≥ 2) 兩事實可知 lim
s→∞
ζ(s) s = 0 且 ζ(s)
s > ζ(s+1)s+1 。 因此, 利用 Leibniz 的交錯級數審斂定理, 可知
∞
X
s=2
(−1)sζ(s)
s 為收斂; 亦 即, γ 確實存在。
最後, 我們列出一些較常看見的 γ 的表示公式, 讓讀者品嚐此常數; 或者亦可在 Gourdon 和 Sebah 的網站 [3]找到更多的公式:
γ= −
Z ∞
0 e−tln(t)dt = −Γ′(1) = −
Z 1
0 ln(ln(1 t))dt
=
Z ∞
0 e−t 1
1 − e−t −1 t
dt=
Z 1 0
1
ln(1 − t) +1 t
dt=
Z ∞ 0
1
(1 + t)t− e−t t
dt
=
Z ∞ 0
1
(1 + t2)t − cos(t) t
dt= 1 −
Z 1
0
1 1 + t
X∞
k=1
t2kdt (Catalan)
=1 2 + 2
Z ∞ 0
t
(1 + t2)(e2πt− 1)dt (Hermite)
=
Z 1 0
1 − e−t− e1t
t dt (Barnes)
= lim
N →∞
N −1X
k=1
1
k − ln N (Euler)
= 1 +
∞
X
k=2
1
k + ln(1 − 1
k) (Euler)
= lim
N →∞
N − Γ(1
N) (Demys)
= 1 −
∞
X
s=2
(ζ(s) − 1)
s (Euler)
=
∞
X
s=2
(ζ(s) − 1)(s − 1)
s (Euler)
= ln 2 −
∞
X
s=1
ζ(2s + 1)
4s(2s + 1) (Euler)
= 1 − ln3 2 −
∞
X
s=1
ζ(2s + 1) − 1
4s(2s + 1) (Euler-Stieltjes)
= 1 −
∞
X
s=1
ζ(2s + 1)
(s + 1)(2s + 1) (Glaisher)
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=
∞
X
s=2
(−1)sζ(s)
s (Euler) γ2+π2
6 =
Z ∞ 0
e−tln2(t)dt = Γ′′(1) (Euler-Mascheroni) eγ= lim
N →∞
1 ln N
Y
p≤N
1 −1 p
−1
(Mertens) 6eγ
π2 = lim
N →∞
1 ln N
Y
p≤N
1 + 1 p
(Mertens)
參考文獻
1. Eric W. Weisstein, Euler-Mascheroni Constant,
http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html 2. X. Gourdon and P. Sebah, The Euler Constant: γ,
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html.
3. X. Gourdon and P. Sebah, Collection of formulae for Euler’s constant γ, http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
—本文作者現就讀於國立臺灣大學數學研究所碩士班—
