高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.03.30 範
圍
1-2,4
指數、對數不等式(2)
班級 姓
座號 名 一、單選題( 每題 5 分)
1. 下列何者為 y = 1 + ( 5
3)x的部分圖形？
(A) (B) (C) (D) (E)
【解答】(D)
【詳解】y = 1 + ( 5
3)x 1 ( )3 5 y x
⇒ − = 先作出 y = (
5
3)x的圖形平移( 0,1 )，即將此圖形向上平移一單位，即為 y = 1 + ( 5
3)x的圖形
2. 設 0 < a < 1，則下列哪一個選項，表示函數 y = loga x 與 y = (1 − a)x 的圖形？
(A) (B) (C) (D) (E)
【解答】(C)
【詳解】
(1) 0 < a < 1 時，y = log a x 圖形如圖(一)
(2)∵ 0 < a < 1 ⇒ 0 > − a > − 1 ⇒ 1 > 1 − a > 0 ∴ y = (1 − a)x 表過原點且斜率為 1 − a 之直線 L，如圖(二)
圖(一) 圖(二)
3. 右圖為函數 y = a + logb x 之部分圖形，其中 a，b 為常數，則下列何者為真？
(A) a < 0，b < 1 (B) a > 0，b > 1 (C) a = 0，b > 1 (D) a > 0，0 < b < 1 (E) a < 0，0 < b < 1
【解答】(E)
【詳解】
圖形由左而右下降 ∴底 0 < b < 1
x = 1 時，y = a + log10 1 = a，(1，a) 在 x 軸下方 ∴ a < 0
4. 設 a > 1，則下列哪一個選項，表示函數 y = loga x 與 y = a −x的圖形？
(A) (B) (C) (D) (E)
【解答】(A)
【詳解】
(1) a > 1 時，y = loga x 圖形如右上圖 (2) a > 1 時，y = a −x = (
a
1)x圖形如右下
二、多重選擇題( 每題 10 分) 5. 下列敘述何者正確？
(A) y = 2x與 y = ( 2
1)x的圖形對稱於 y 軸 (B) y = 2x與 y = − 2x的圖形對稱於 x 軸 (C) y = 2x與 y = − (
2
1)x的圖形對稱於原點
(D)∀a R，a > 0，a ≠ 1，則 y = a∈ x的圖形都是凹口向上 (E)∀a R，a > 0，a ≠ 1，則 y = a∈ x的圖形恆過一個定點
【解答】(A)(B)(C)(D)(E)
【詳解】
(A)點(x，y)在 y = 2x上 ⇔點(−x，y)在 y = ( 2
1)x = 2−x上 ∴兩圖形對稱於 y 軸
(B)點(x，y)在 y = 2x上 ⇔ 點(x，−y)在 y = − 2x上 ∴ 兩圖形對稱於 x 軸 (C)點(x，y)在 y = 2x上 ⇔ 點(−x，−y)在 y = − (
2
1)x上 ∴兩圖形對稱於原點 (D)指數函數圖形都是凹口向上
(E)指數函數圖形恆過定點(0，1)
6. 設 y = 2x的圖形為 F，y = 0.5x的圖形為 G，下列何者正確？
(A) F 為由左往右逐漸升高 (B) G 為由左往右逐漸升高 (C) F 與 G 均以 x 軸為漸近線 (D) G 與 y = 2−x之圖形一致 (E) G 與 y = π 恰交於一點
【解答】(A)(C)(D)(E)
【詳解】
F：y = 2x G：y = 0.5x = ( 2
1)x = 2−x
7.設 0 < a < 1，則下列何者對於指數函數 y = f (x) = ax為正確的敘述？ 。 (A)為一嚴格遞減函數
(B)函數圖形不通過三、四象限 (C)函數圖形的漸近線方程式是 y = 0 (D)與任一水平線必有一交點
(E)與對數函數 y = g(x) = loga x 對於直線 y = x 成對稱，其中 0 < a < 1
【解答】(A)(B)(C)(E)
【詳解】
右圖，y = f (x) = ax（0 < a < 1）為一嚴格遞減函數，圖形在 x 軸上方，故不通過三、四象限且以 x 軸（即 y = 0）為漸近線在 x 軸或其下方不與水平線相交其圖形與 y = g(x) = loga x
（0 < a < 1）對於直線 y = x 成對稱 8.直線 y = k與y = log
2
1x 圖形交於點 P，與 y = log
3
1x 圖形交於點 Q，
則
(A) P，Q 重合時，k = 0 (B) P 在 Q 右方時，k > 0 (C) P 在 Q 左方時，k < 0 (D) P 在 Q 右方時，k < 0 (E) P 在 Q 左方時，k > 0
【解答】(A)(B)(C)
【詳解】作 ( ) ,1 ( )1
2 3
x x
y= y= 及水平線y=k於同一坐標平面，由圖形即可知
三、填充題( 每題 10 分)
1. 不等式 22+x
1
+ 22−x
1
> 3 的解為 。
【解答】x >
2
1或 x < − 2 1
【詳解】
2 1
2 ．2x +2 ．221 −x > 3 ⇒ 2 ．2x + 2 ． x 2
1 > 3 ⇒ 2 ．(2x)2 − 3(2x) + 2 > 0
設t=2x ⇒ 2t2 − +3t 2> ⇒ ( 2 ． t0 − 1)( t − 2 ) > 0 1
2, 2
t > t<
⇒ 2x > 2 或 2x <
2
1 ∴ x >
2
1或 x < − 2 1
2. 不等式 21+2x + 21 − 2x − 7(2x + 2−x) + 9 < 0，則 2x + 2−x的範圍為 。
【解答】2≤ 2x + 2−x <
2 5
【詳解】
令 t = 2x + 2−x ∵ 2x + 2−x ≥2 2．x 2−x (算幾不等式) ⇒ t ≥2……
又 t 2 = 22x + 2．2x．2−x + 2−2x ⇒ 22x + 2−2x = t 2 − 2
原式 21 +2x + 21 −2x − 7(2x + 2−x) + 9 < 0 可化為 2(22x + 2− 2x) − 7(2x + 2−x) + 9 < 0
⇒ 2(t2 − 2) − 7t + 9 < 0
⇒ 2t2 − 7t + 5 < 0 ⇒ (2t − 5)(t − 1) < 0 ∴ 1< t <
2
5……
由知，2 ≤ t ≤ 2
5，即 2 ≤ 2x + 2−x <
2 5
3. 若 x，y，z 均為正數，且 2x = 3y = 5z，則 2x，3y，5z 的大小關係為 ______ 。
【解答】5z > 2x > 3y
【詳解】
∵ 2x = 3y ⇒ (2x)6 = (3y)6 ⇒ (23)2x = (32)3y ⇒ 82x = 93y ∵ 8 < 9 ⇒2x > 3y 同理，2x = 5z ⇒(2x)10 = (5z)10 ⇒(25)2x = (52)5z ⇒322x = 255z ∵32 > 25 ⇒2x < 5z
∴ 5z > 2x > 3y
4. 若 −1 ≤ x ≤ 0，f (x) = 2x + 2 − 3．4x −1，當 x = x0時，f (x)有最小值 y0，則(x0，y0) = 。
【解答】(0，0)
【詳解】
令 t = 2x ，f (x) = 4t − 3t2 − 1 = − 3(t − 3 2)2 +
3
4−1 = −3(t − 3 2)2 +
3 1
∵ − 1 ≤ x ≤ 0 ⇒ 2− 1 ≤ 2x ≤ 20 ⇒ 2
1≤ t ≤ 1
∴ 當 t = 1，即 x = 0 時，f (x)有最小值= f (0) = 0 5. 設 P(x1，y1)，Q(x2，y2)都是 y = (
2
3)x圖形上之點，
(1)若 x2 = x1 + 2，則 y2為 y1的 倍。
(2)若 y2為 y1的 2
3倍時，則 x2比 x1大 。
【解答】(1) 4
9 (2) 1
【詳解】
(1)∵ P(x1，y1)，Q(x2，y2)都在 y = ( 2
3)x上 ∴ y1 = ( 2
3)x1，y2 = ( 2 3)x2
故 y2 = ( 2 3)x2= (
2 3)x1+2=
4 9× (
2 3)x1=
4 9y1
(2)∵ y2 = 2
3y1 ⇒ ( 2 3)x2=
2 3× (
2 3)x1= (
2
3)x1+1 ∴ x2 = x1 + 1
6. 不等式(0.1)x2− x5 +2 > 100 的解為 。
【解答】1 < x < 4
【詳解】(0.1)x2− x5 +2 > (0.1)−2， 0.1 1< ⇒ x2 − 5x + 2 < − 2 ⇒(x − 4)(x − 1) < 0 ⇒1 < x < 4 7. 比較大小：
(1) 260，330，620由小而大排列為 。 (2)4 27 ， 6 9 ， 33 3由小而大排列為 。
【解答】(1) 330 < 620 < 260 (2)6 9 < 33 3 <4 27
【詳解】
(1) 260 = (26)10 = 6410， 330 = (33)10 = 2710， 620 = (62)10 = 3610
∵27 < 36 < 64 ∴330 < 620 < 260 (2)4 27 = 34
3
， 6 9 = 36
2
= 32
1
，
3 3 3 = (33
4
)2
1
= 33
2
∵
2 1<
3 2<
4
3 ∴6 9 < 33 3<4 27
8. 函數 y = 4x與 y = 23x + 2的圖形之交點坐標為 。
【解答】(− 2，
16 1 )
【詳解】
解聯立
=
=
+2
23
4
x x
y
y
⇒ 4x = 23x+2 ⇒ (2x)2 = 4．(2x)3 ⇒ (2x)2(4．2x − 1) = 0
⇒ 2x = 4
1 ⇒ x = − 2 ⇒ y = 16
1 ⇒ (x，y) = (− 2，
16 1 ) 9.指數函數 f1(x) = ax，f2(x) = bx，f3(x) = cx，f4(x) = dx之圖形如右
【解答】b > a > d > c
【詳解】
(1) 底大於 1 時，底越大，圖形越靠近兩軸
(2) 底小於 1 大於 0 時，分母越大，圖形越靠近兩軸 10.不等式(2x − 8)(7 −x − 75) > 0 的解為 。
【解答】−5 < x < 3
【詳解】
∵ (2x − 8)(7−x − 75) > 0
2x − 8 > 0 且 7−x − 75 > 0 時，2x > 23且 7−x > 75⇒ x > 3 且−x > 5 ⇒ x > 3 且 x < −5（不合）
或 2x − 8 < 0 且 7−x − 75 < 0 時，2x < 23且 7−x < 75 ⇒ x < 3 且−x < 5 ⇒ −5 < x < 3 11.若 x 為大於 0 的實數，則不等式 x2x3−3x2 > x3x−2的解為 。
【解答】2
1< x < 1 或 2 < x
【詳解】
(1)當 x >1 時，x2x3−3x2> x3x−2 ⇒ 2x3 − 3x2 > 3x − 2 ⇒ (x + 1)(x − 2)(2x − 1) > 0 ⇒ −1 < x <
2
1或 x > 2……，但 x > 1……，由、知 x > 2 (2)當 0 < x < 1 時，2x3 − 3x2 < 3x − 2 ⇒ (x + 1)(x − 2)(2x − 1) < 0 ⇒ x < −1 或
2
1< x < 2……，但 0 < x < 1……，由、知 2
1< x < 1 (3) x = 1 時，顯然不合
由(1)(2)(3)知此不等式之解為 2
1< x < 1 或 2 < x
12.方程式 2 x − 2 = x 有 個實根。
【解答】2
【詳解】
2 x − 2 = x 實根個數 ⇒即求 2 x = x + 2 2 2 y x
y x
=
⇒
= + 二圖形交點個數 13.方程式的實根個數：
(1)方程式(
2
1)x = x + 1 的實根共有 個。
(2)方程式 x2 = 2x的實根共有 個。
【解答】(1) 1 (2) 3
【詳解】
(1)
( )1 2
1 y x
y x
=
= +
二圖形交點 1 個；
(2)
2
2x y x y
=
=
二圖形交點 3 個
14.由大而小寫出 a = log7 4，b = log 26，c = log 2 1
3
1 ，d = log47 的大小順序： 。
【解答】b > d > a > c
【詳解】
(1) 0 < a = log74 < log77 = 1⇒log 47 = 0.
(2) b = log 26 = log236 > log232 = 5⇒log 362 = 5.
(3) c = log
3 1 2
1= log32 = log94 < log74 = a，
(4) 1 < d = log47 < log416 = 2⇒log 74 = 1.
(5)∴ b > 5 > 2 > d > 1 > a > c > 0
15.若(
2
1)x > 4，log3(x + 4) < 1，則實數 x 的範圍為 。
【解答】− 4 < x < − 2
【詳解】
(1) ( 2
1)x > 4 = 22 = ( 2
1) − 2 ⇒ x < − 2
(2) log3(x + 4) < 1 = log33 ⇒ 真數 x + 4 > 0 且 x + 4 < 3 ⇒ x > − 4 且 x < − 1 由(1)(2)重疊得 − 4 < x < − 2
16.設 f (x) =
3
log1x，
(1)若函數 y = g (x)與 y = f (x)圖形對稱於 x 軸，則 g (x) = 。 (2)若函數 y = h (x)與 y = f (x)圖形對稱於 y 軸，則 h (x) = 。 (3)若函數 y = k (x)與 y = f (x)圖形對稱於直線 y = x，則 k (x) = 。
【解答】(1) log3 x (2) log
3
1( − x) (3)(
3 1)x
【詳解】
(1) 點(x，y) ⇔ 點(x，− y)兩圖形對稱於 x 軸 − y = log
3
1x ⇒ = logy 3 x，即 f x( )=log3x (2) 點(x，y) ⇔ 點(−x，y)兩圖形對稱於 y 軸 y = log
3
1(− x)，，即 1
3
( ) log ( ) h x = − x
(3) 點(x，y) ⇔ 點( y，x )兩圖形對稱於 y = x⇒ 1
3
log ( )1 3
x= y⇒ =y x 即 k (x) = ( 3 1)x 17.滿足 0 >
2
log log1 2 x > − 2 的整數 x 共有 個。
【解答】13
【詳解】
0 >
2
log (log1 2 x) > − 2 ⇒
2
log 1 >1 2
log (log1 2 x) >
2
log (1
2 1) −2
1 1
2< ⇒ 1 < log2 x < 4 ⇒ log22 < log2 x < log224 2>1⇒ 2 < x < 16
∴ x = 3，4，5，6，…，15 共有 13 個整數值
18.不等式 log0.2 (x − 3) ≤ log0.2 (5 + 4x − x2)之解為 。
【解答】 5
2 41 3+ ≤ <
x
【詳解】
(1)真數 3 0 2 3 0
5 4 0 ( 5)( 1) 0
x x
x x x x
− > − >
+ − > ⇒ − + <
⇒ 3 < x < 5……
(2) log0.2 (x − 3) ≤ log0.2 (5 + 4x − x2)，x − 3 ≥ 5 + 4x − x2（∵ 0 < 底數 = 0.2 < 1）
x2 − 3x − 8 ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
41 3− 或 x ≥
2 41 3+
……
(3) ∩ (重疊圖) ⇒ 2
41
3+ ≤ x < 5 19.函數 y = loga x(x + 1)圖形通過(
4 5，
3
2)及(b，1)兩點，則數對(a，b) = 。
【解答】(
8 27，
8 19)
【詳解】
將(4 5，
3
2)代入 y = loga(x + 1)⇒
3
2= loga( 4
5+ 1) ⇒ a3
2
=4
9 ⇒ a = ( 4 9)2
3
= (2 3)3 =
8 27
將(b，1)代入 y = log
8
27(x + 1) ⇒ 1 = log
8
27(b + 1) ⇒ b + 1 =(27)1
8 ⇒ b = 8 19
∴ (a，b) = ( 8 27，
8 19)
20.對任意實數 x，log0.9 ( 2x2 − 3x + k )之值恆為負，則實數 k 的範圍是 。
【解答】 8
>17 k
【詳解】
log0.9 ( 2x2 − 3x + k )之值恆為負⇒log (20.9 x2−3x+k)<0恆成立 即log (20.9 x2 −3x+k)<log0.91恆成立
0.9 1< ⇒2x2−3x+ >k 1
恆成立⇒2x2−3x+ − > 恆成立 (k 1) 0 δ < 即0 ( 3)− 2− ⋅ ⋅ − <4 2 (k 1) 0
17 8 0 17
k k 8
− > ⇒ >
21.設方程式 x − 1 = log2 x 之實數解有 a 個，x2 = 2x之實數解有 b 個，則 a + b 之值為 。
【解答】5
【詳解】即求交點數
由上圖可知 a = 2，b = 3 ∴ a + b = 5
22.解不等式 log0.1(x2 − 4) − log0.1(x + 2) < 0，得 。
【解答】x > 3
【詳解】
真數
>
+
>
− 0 2
0
2 4 x
x ⇒ x > 2……..①
log0.1(x2 − 4) − log0.1(x + 2) < 0 ⇒ log0.1
2
2 4 +
− x
x < log0.11
∵ 0 < 0.1 < 1 ⇒
2
2 4 +
− x
x > 1 ⇒
2 ) 2 )(
2 (
+
− +
x x
x > 1⇒ x − 2 > 1 ⇒ x > 3………②
∴由①② x > 3
23.設 a = log
3
12，b = log
3 1 2
1，c = log
2
13，d = log
2 1 3
1，則 a，b，c，d 的大小順序為 。
【解答】d > b > a > c
【詳解】
a = log
3
12 = − log32 < 0 ∴ − 1 < a < 0⇒ = − ， a 0.
b = log
3 1 2
1= log32 > 0 ∴ 0 < b < 1⇒ = a 0.
c = log
2
13 = − log23< −log 22 < 0 ∴ c < − 1⇒ = − c 1.
d = log
2 1 3
1= log23 > 1⇒ = d 1.
∴ d > b > a > c 24.設 x > 1，f (x) = log4(
8 x2
) + logx( x
8 )，則 f (x)之最小值為 。
【解答】2 3 − 2
【詳解】
x > 1 ⇒ log x > 0
f (x)=log4x2−log 8 log 8 log4 + x − x x
2log2 3log 2 3log 22 1log
2 x 2 x 2 xx
= − + −
= log2 x − 2
3+ 3logx 2 − 2 1
= log2 x + 3logx 2 − 2
≥2 log2x．3logx2 − 2（算幾不等式） 2
2
log 1 1
x log
⇐ ⋅ x=
= 2 3 − 2
∴ 最小值 = 2 3 − 2
