5.3 多 多 多變 變 變數 數 數函 函 函數 數 數 之 之 之連 連 連鎖 鎖 鎖法 法 法則 則 則
5.3. 多變數函數之連鎖法則 161
但
dz =dz dtdt 所以
dz dt = ∂z
∂x·∂x
∂u·du dt + ∂z
∂x·∂x
∂v·dv dt + ∂z
∂y·∂y
∂u·du dt +∂z
∂y·∂y
∂v ·dv dt
習題解答 5.3.2.
計算微分式:
dz = ∂z
∂xdx +∂z
∂ydy dx = ∂x
∂udu +∂x
∂vdv dy = ∂y
∂udu +∂y
∂vdv 合併整理得
dz =( ∂z
∂x
∂x
∂u+∂z
∂y
∂y
∂u )
du +( ∂z
∂x
∂x
∂v +∂z
∂y
∂y
∂v )
dv 但
dz = ∂z
∂udu +∂z
∂vdv 所以
∂z
∂u = ∂z
∂x
∂x
∂u+∂z
∂y
∂y
∂u
∂z
∂v = ∂z
∂x
∂x
∂v +∂z
∂y
∂y
∂v
習題解答 5.3.3. (1) ∂z
∂u = ∂z
∂x·∂x
∂u , ∂z
∂v = ∂z
∂x·∂x
∂v , ∂z
∂p= ∂z
∂y·∂y
∂p , ∂z
∂q = ∂z
∂y ·∂y
∂q (2) dz
dt = ∂z
∂x·∂x
∂u·du dt + ∂z
∂x·∂x
∂v·dv dt +∂z
∂y·∂y
∂p·dp dt + ∂z
∂y·∂y
∂q ·dq dt
習題解答 5.3.4. (1)
dz
dt = yexy· (− sin t) + xexy· cos t
= − sin2t· ecos t sin t+ cos2t· ecos t sin t= cos (2t)e12sin (2t)
5.3. 多變數函數之連鎖法則 161
但
dz = dz dtdt 所以
dz dt = ∂z
∂x·∂x
∂u·du dt + ∂z
∂x·∂x
∂v·dv dt +∂z
∂y· ∂y
∂u·du dt + ∂z
∂y ·∂y
∂v·dv dt
習題解答 5.3.2.
計算微分式:
dz = ∂z
∂xdx +∂z
∂ydy dx = ∂x
∂udu +∂x
∂vdv dy = ∂y
∂udu +∂y
∂vdv 合併整理得
dz =( ∂z
∂x
∂x
∂u+∂z
∂y
∂y
∂u )
du +( ∂z
∂x
∂x
∂v+ ∂z
∂y
∂y
∂v )
dv 但
dz = ∂z
∂udu +∂z
∂vdv 所以
∂z
∂u = ∂z
∂x
∂x
∂u+ ∂z
∂y
∂y
∂u
∂z
∂v = ∂z
∂x
∂x
∂v+ ∂z
∂y
∂y
∂v
習題解答 5.3.3. (1) ∂z
∂u= ∂z
∂x·∂x
∂u , ∂z
∂v = ∂z
∂x·∂x
∂v , ∂z
∂p = ∂z
∂y·∂y
∂p , ∂z
∂q = ∂z
∂y·∂y
∂q (2) dz
dt = ∂z
∂x·∂x
∂u·du dt +∂z
∂x·∂x
∂v ·dv dt +∂z
∂y ·∂y
∂p·dp dt +∂z
∂y·∂y
∂q ·dq dt
習題解答 5.3.4. (1)
dz
dt = yexy· (− sin t) + xexy· cos t
= − sin2t· ecos t sin t+ cos2t· ecos t sin t= cos (2t)e12sin (2t)
162 第 5 章 多變數函數的微分
(2)
dz
dt = −y x2 · 1
1 +xy22
· et+ 1 x
1 1 +yx22
· 2t
= 1
e2t+ t4(−t2· et+ et· 2t) = et
e2t+ t4(2t− t2) (3)
∂z
∂u = 2x· v − 2y · 1 = 2uv · v − 2(u − v) = 2uv2− 2u + 2v
∂z
∂v = 2x· u − 2y · (−1) = 2uv · u − 2(u − v) = 2u2v + 2u− 2v (4)
dz
dt = 2x· (1 · (− sin t) + 1 · cos t) + 2y · (1 · (− sin t) − 1 · cos t)
= 2(cos t + sin t)(cos t− sin t) − 2(cos t − sin t)(cos t + sin t) = 0
習題解答 5.3.5. (1)
∂w
∂u = ∂w
∂x ·∂x
∂u+ ∂w
∂y · ∂y
∂u+∂w
∂z ·∂z
∂u
∂w
∂v = ∂w
∂x ·∂x
∂v+ ∂w
∂y ·∂y
∂v+ ∂w
∂z ·∂z
∂v
(2) ∂z
∂u= dz dx·∂x
∂u, ∂z
∂v = dz dx·∂x
∂v , ∂z
∂w = dz dx· ∂x
∂w
習題解答 5.3.6.
將連鎖法則的變數寫清楚. 得
∂g
∂u(u, v) = ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))·∂x
∂u(u, v) +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))·∂y
∂u(u, v)
= ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))· 1 +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))· veuv
∂g
∂v(u, v) = ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))·∂x
∂v(u, v) +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))·∂y
∂v(u, v)
= ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))· 1 +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))· ueuv
162 第 5 章 多變數函數的微分
(2)
dz
dt = −y x2 · 1
1 +xy22
· et+ 1 x
1 1 +yx22
· 2t
= 1
e2t+ t4(−t2· et+ et· 2t) = et
e2t+ t4(2t− t2) (3)
∂z
∂u = 2x· v − 2y · 1 = 2uv · v − 2(u − v) = 2uv2− 2u + 2v
∂z
∂v = 2x· u − 2y · (−1) = 2uv · u − 2(u − v) = 2u2v + 2u− 2v (4)
dz
dt = 2x· (1 · (− sin t) + 1 · cos t) + 2y · (1 · (− sin t) − 1 · cos t)
= 2(cos t + sin t)(cos t− sin t) − 2(cos t − sin t)(cos t + sin t) = 0
習題解答 5.3.5. (1)
∂w
∂u = ∂w
∂x ·∂x
∂u+ ∂w
∂y · ∂y
∂u+∂w
∂z ·∂z
∂u
∂w
∂v = ∂w
∂x ·∂x
∂v+ ∂w
∂y ·∂y
∂v+ ∂w
∂z ·∂z
∂v
(2) ∂z
∂u= dz dx·∂x
∂u, ∂z
∂v = dz dx·∂x
∂v , ∂z
∂w = dz dx· ∂x
∂w
習題解答 5.3.6.
將連鎖法則的變數寫清楚. 得
∂g
∂u(u, v) = ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))·∂x
∂u(u, v) +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))·∂y
∂u(u, v)
= ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))· 1 +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))· veuv
∂g
∂v(u, v) = ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))·∂x
∂v(u, v) +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))·∂y
∂v(u, v)
= ∂f
∂x(x(u, v), y(u, v))· 1 +∂f
∂y(x(u, v), y(u, v))· ueuv
5.3. 多變數函數之連鎖法則 163
由題意知 x(1, 0) = 1 + 0 = 1, y(1, 0) = e0= 1
∂g
∂u(1, 0) = ∂f
∂x(x(1, 0), y(1, 0))· 1 + ∂f
∂y(x(1, 0), y(1, 0))· 0 · 1
= ∂f
∂x(1, 1) + 0 = e5
∂g
∂v(1, 0) = ∂f
∂x(x(1, 0), y(1, 0))· 1 + ∂f
∂y(x(1, 0), y(1, 0))· 1 · 1
= ∂f
∂x(1, 1) + ∂f
∂y(1, 1) = e5+√ 7
習題解答 5.3.7.
將 y 視為 x 的隱函數 y(x) 得
f (x, y(x)) = C, y(x0) = y0
等號兩邊同時對 x 微分得
∂f
∂x(x, y(x)) +∂f
∂y(x, y(x))·dy dx(x) = 0
⇒ ∂f
∂x(x0, y0) + ∂f
∂y(x0, y0)· dy
dx(x0) = 0
⇒ dy
dx(x0) =−
∂f
∂x(x0, y0)
∂f
∂y(x0, y0)
習題解答 5.3.8.
由上知切線方程式為
y− y0= y′(x0)(x− x0) =−
∂f
∂x(x0, y0)
∂f
∂y(x0, y0)(x− x0) 可化簡為
∂f
∂x(x0, y0) (x− x0) +∂f
∂y(x0, y0) (y− y0) = 0
習題解答 5.3.9.
(1) 令 f (x, y) = xa22 +yb22 − 1, 則 ∂f∂x(x0, y0) = 2xa20, ∂f∂y(x0, y0) = 2yb20, 由上知切線方程為 2x0
a2 (x− x0) +2y0
b2 (y− y0) = 0 ⇒ x0x a2 + y0y
b2 = x20 a2 +y02
b2 = 1
