國立台南二中 1 0 5 學年度高二適性班考試數學科試題

(1)

國立台南二中 1 0 5 學年度高二適性班考試數學科試題

一、單選題：每題5 分，共 15 分

1. 正數 a, b, c, d 滿足 a d b c   ， a d   ，則 b c

(A) ad bc (B) ad bc (C) ad bc (D) ad 與 bc 的大小關係不能確定 2. 設2^a 3，2^b 6，2^c 12，則數列 a, b, c

(A)是等差數列，但不是等比數列 (B)是等比數列，但不是等差數列 (C)是等差數列，

又是等比數列 (D)不是等差數列，又不是等比數列 3. 設事件 A 發生的機率為 1

2 ，事件 B 發生的機率為 1

3 ，若以 p 表事件 A 或 B 發生的 機率，則 p 值的範圍為何？

(A) p  1 6 (B)

1 6 ＜p 

1 3 (C)

1 3 ＜p＜

1

2 (D) 1 2  p 

5

6 (E) p＞

5 6 二、多選題：每題6 分，共 12 分

1. 下列哪些選項符合組合數 C₄⁶ 代表的意義？

(A)從 6 個人中任選 4 個人的方法數 (B) 6 個不同的座位，4 個人各選 1 座位入坐的選法數 (C) 4 件相同的禮物全部分給 6 個人，每人至多得 1 件的分法數 (D)丟擲一硬幣6 次，恰有 4 次出現正面的方法數 (E) ( a＋b )⁶展開式中 a⁴b²的係數

2. 經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的數據，得到這樣的結論：『員工就學年數每增加一年，其年薪平均增加8 萬 5 千元』。試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到？

(A)「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數 (B)「年薪」之全距與「就學年數」之全距 (C)「年薪」之平均數與「就學年數」之平均數 (D)「年薪」與「就學年數」之相關係數 (E)「年薪」對「就學年數」之迴歸直線斜率

三、填充題：每題5 分，共 85 分

1. 已知 a，b 為正實數，且 2a＋3b＝4，求 ( a＋3 ) ( b＋2 ) 的最大值為_____

2. 設 7＋ 48 ＝a＋b，其中 a 是正整數，0＜b＜1，則 1 1

(2)

4. 已知 f x( )ax²bx c ，a ，0 a b c, , R，當x 時，1 f x( )有最小值為－2，且 ( )

y f x 圖形截 x 軸所得到的線段長為 2 ，則 a b c   _____

5. f (x) 為一多項式，其係數和為 3，常數項為 5，則 f (x) 除以 x ( x－1 ) 的餘式為_____

6. 若 α，β，γ 為 x³－2x²＋3x－4＝0 的三個根，試求( 2－α) ( 2－β) ( 2－γ)＝_____

7. 不等式



^x^¹



^x^²



^x^³



^x^⁴



^¹²⁰的解為_____（提示：令tx²5x）

8. 若log log log2



3



4x

 

log log log3



4

^

2 y

^ 

log log log4



2

^

3z

^ 

 ，則 x y z0    _____

9. 某種細菌原有數目為 N0，經過 x 天後，細菌數目變成 f (x)＝N0‧a^x。依據實驗數據知，

2 天、5 天後細菌數目依序為 3 × 10⁶，2.4 × 10⁷，試求：細菌數目由原有 N0增加到 3.84 × 10⁸，需經過_____天

10. 已知數列 a 的前 n 項和_n S_n n²16n16，求數列 a_n 的前10 項和為_____

11. 來自全國各高中代表的 25 支籃球隊參加籃球單淘汰賽，每一場由其中兩隊配對比賽，

輸的球隊即遭淘汰，並且每一場比賽都一定有一隊得勝，不允許有和局。請問總共要比賽_____場，才能產生冠軍隊

12. 某工廠生產四種顏色不同的乒乓球，但其形狀大小皆相同。如果將 10 顆乒乓球裝成一盒，而且所有包裝涵蓋各種組合，請問：該工廠至少需包裝_____盒

13. 在



^x^³ ^x



¹⁰的展開式中，有理項共有_____項

14. 從 52 張撲克牌中任取 5 張，則 5 張牌的點數為連續的機率是 ₅₂

5

a

C ，求 a＝_____

（說明：10, J, Q, K, 1、Q, K, 1, 2, 3…等類型不是連續的點數）

15. 袋中有號碼球 1，2，3，4，5 各有 5 個，隨機取兩次，每次取 1 球，取出後不放回，

已知第一次取到4 號，請問第二次取到 1 號的機率為_____

16. 某班共有 40 位學生，第二次段考數學科全班平均成績為 51 分，標準差是 2 5 分；

但後來發現有人作弊，將該生成績由40 分改為 0 分，求此時全班學生成績的標準差為_____分

(3)

17. 下圖(一)(二)是某校高三學生參加臺灣區模擬考，甲、乙兩班數學級分的長條圖，若甲班、乙班以及兩班合併之學生成績 ( 級分 ) 的標準差分別為 σ1、σ2、σ3 ( 級分 )，

試比較σ1、σ2、σ3的大小為_____。

圖(一) 圖(二)

四、證明題：8 分

1. 已知 a, b, c 為等比數列，且 x 是 a, b 的等差中項，y 是 b, c 的等差中項，證明a c 2

 

(4)

國立台南二中 1 0 5 學年度高二適性班考試數學科答案卷

1. 2. 3.

C A D

二、多選題：每題6 分，共 12 分

1. 2.

ACDE E

1. 2. 3. 4. 5.

32

3

4 4 －2 －2x＋5

6. 7. 8. 9.

2    1 x 6 89 9

10. 11. 12. 13. 14.

84 24 286 2 9216

15. 16. 17.

5

24

9 

1

 

2

 

3

四、證明題：8 分 1.

2

2 2 b ac a b x

y b c

 

 

 

 

 



2 2 2 ( ) 2 ( )

( )( )

2 2

a c a c a c a b c c a b

a b b c

x y a b b c a b b c

  

            

2

2 2

2 2 2 2 2 4 2

2 2

ab ac ca bc ab b bc ab ac b bc ab b bc

    

  