高中基礎數學統整講義

第二回 數與形(2)

二元一次不等式與線性規劃

高中基礎數學統整講義

回別 日期 主 題 涵蓋冊別‧章節‧內容

1 4/14 從線性函數到直線方程式 ^BI.§2-1線性函數，斜率概念，BII.§1-1 等差數列，

BII.§4-2迴歸直線，BIII.§2-1 直線方程式

2 4/21 二元一次不等式與線性規劃 ^BIII.§2-2二元一次不等式，用斜率求線性規劃最佳解

3 4/28 數與形：數系與複數，幾何意義 ^BI.C1數系，數線幾何，BI.§2-3 複數+高斯平面，

正五邊形與黃金數，高中常用的數與乘法公式

4 5/12 多項式(1)：基本性質與運算 ^BI.§2-1簡單多項式函數(二次函數)，§2-2 多項式的性質

5 5/19 多項式(2)：多項方程式與不等式 ^BI.§2-3多項方程式，§2-4 多項不等式

6 5/26 指數與對數(1)：基本性質與運算 ^{BI.C3指數與對數} 7 6/2 指數與對數(2)：首數與尾數 ^BI.C3指數與對數

8 7/28 數列與級數(1)：基本性質與運算 ^BII.§1-1 數列：概念與運算，遞迴觀念

9 8/4 數列與級數(2)： Σ 運算子與公式 BII.§1-2 級數：概念與運算

10 8/11 排列組合(1)：集合論與計數原理 ^BII.C2排列、組合：集合概念，加法、乘法、排容原理

11 8/18 排列組合(2)：「未全」法則一以貫之 ^BII.C2排列、組合：四種排列組合的觀念統整

12 8/25 排列組合(3)：二項式定理 ^BII.C2排列、組合：巴斯卡定理，二項式定理

13 9/1 機率(1)：定義與基本性質 ^BII.§3-1樣本空間與事件

14 9/8 機率(2)：機率的運算 ^BII.§3-2機率的定義與性質

15 9/15 機率(3)：條件機率，事前/事後機率 ^{BII.§3-3條件機率與貝氏定理} 統計(1)：集中量數/離散量數，

回別 日期 主 題 涵蓋冊別‧章節‧內容

21 10/27 圓與圓錐曲線 ^BIII.§2-3圓與直線的關係，BIV.C4 二次曲線

22 11/3 圖形的平移與伸縮 ^BI~BIV.圖形的改變與方程式變數間的連動關係

23 11/10 向量(1)：穿梭 2D 到 nD 的幾何神器 ^BIII.C3平面向量，BIV.C1 空間向量，基本性質與運算，

三角不等式(實數版 vs 向量版)，柯西不等式

24 11/17 向量(2)：重新審視平面幾何問題 ^BIII.C3平面向量：直線的參數式與向量式

25 11/24 向量(3)：一魚三吃──從 2D 吃到 3D ^BIII.C3平面向量，BIV.C1 空間向量，從點線到點面

26 12/1 平行與垂直；投影、對稱與鏡射 ^BI~BIV.幾何問題的幾個核心概念統整

27 12/8 空間(1)：空間基本概念 ^BIV.C1空間向量

28 12/15 空間(2)：平面與直線方程式 ^BIV.C2空間中的平面與直線

29 12/22 空間(3)：解空間幾何問題 ^{BIV.C2空間中的平面與直線}

30 12/29 矩陣(1)：列/行向量的組合 ^BIV.§3-2矩陣的運算，§3-3 矩陣的應用(轉移矩陣)

31 1/5 矩陣(2)：反矩陣與解線性方程組 ^BIV.§3-1線性方程組，§3-3 矩陣的應用(反矩陣)

32 1/12 概念總統整(1) 33 1/19 概念總統整(2) 1/25, 26 108 年大學學測

一、從直線到半平面：二元一次方程式/不等式

1. 二元一次不等式及其圖形

【例題 1】設 a 為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式





x－3y ≤ a

x＋2y ≤ 14

5 平方單位，則 a＝ 。[6] 【105.學測】

解：

【類題 1】設 a , b 為實數。已知坐標平面上滿足聯立不等式



  ^{x＋y ≥ 0} _{x＋y ≤ 6}

2x－y ≥ 0

y ≥ ax－b

的區域為一菱形。

(1)試求此菱形之邊長。[2 5] (2)試求 a, b。[a＝2，b＝3 10] 【100.指考乙】

【例題 2】試作下列不等式的圖形，並求此圖形所圍成區域的面積。

(1) 1

4 3

x

y

[24] (2)

4 x + + 1 3 y − 2 ≤ 12

解：

【類題 2】試作下列不等式的圖形，並求此圖形所圍成區域的面積。

(1)

2 x − 2 + 3 y − 1 ≤ 6

( x + y − 3 ) ( 3 x + y − 6 ) ≤ 0

(3)聯立不等式

x + y ≤ 2 , x + y − 1 ≤ 2 [9/2] 【

【例題 3】設 A(4，5)，B(－2，2)，C(2，－2)為坐標平面上的三點，

(1)試以聯立不等式表示△ABC 區域。

(2)若 P(k，2k－3)為△ABC 的內部一點，求實數 k 的範圍。[1<k<4]

解：

【類題 3】設 A(－2，3)，B(4，0)，C(－2，－3)，為坐標平面上的三點，試以聯立不等式表示

△ABC 區域，並求△ABC 的面積。[

 

 



≤

−

−

≥ +

≤

− +

0 4 2

0 2

0 4 2

y x

x y x

，18]

解：

2. 格子點

【例題 4】某品牌的鉛筆一支 5 元，原子筆一支 12 元。預算最多花 600 元來購買這兩種筆，若 鉛筆的數量不得超過原子筆數量的 3 倍，則如何購買才能使買到的鉛筆與原子筆的總數量為最 多？[鉛筆 66 枝，原子筆 22 枝]

解：

【類題 4】若已知一年甲乙班數學科第二次段考至多有 20 位同學不及格，甲班不及格同學的數 目不超過乙班不及格數目的 3 倍，且甲班最少有 10 個不及格，乙班最少有 5 位不及格，則可 能有幾種情形﹖[21]

解：

二、線性規劃

【例題 1】在

 

 



≤ +

−

≤

−

≥ +

31 5

4 2

9 3

y x

y x

y x

的條件下，使 P＝kx＋y 在點(1，6)有最小值，求 k 的範圍。[k≧3]

解：

【類題 1】在 0 0 2 4

1

x

y x y x y

 ≥

 ≥



+ ≤

 − ≤



的條件下，目標函數 ( , )

f x y

x ky

x y =

試求實數 k 的範圍。[ 1− < < ]

k

【例題 2】在一個牽涉到兩個未知量 x，y 的線性規劃作業中，有三個限制條件。坐標平面上符 合這三個限制條件的區域是一個三角形區域。假設目標函數 ax＋by ( a，b 是常數 ) 在此三角 形的一個頂點(19，12)上取得最大值 31，而在另一個頂點(13，10)取得最小值 23。現因業務需 要，加入第四個限制條件，結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域，頂點少了(19，

12)，新增了(17，13)和(16，11)。在這四個限制條件下，請選出正確的選項。[(1)(3)]

(1) ax＋by 的最大值發生在(17，13) (2) ax＋by 的最小值發生在(16，11)

(3) ax＋by 的最大值是 30 (4) ax＋by 的最小值是 27 【92.指考甲】

解：

【類題 2】一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上由點 A ( 0 , 30 )、B ( 18 , 27 )、C ( 20 , 0 )、

D ( 2 , 3 ) 所圍成的平行四邊形及其內部。已知目標函數 ax＋by ( 其中 a , b 為常數 ) 在 D 點有

解：

【例題 3】為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A，

至少 72 單位的營養素 B 和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群。這三種營養素可由兩種飼料 中獲得，且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位的營養素 A，3 單位的營養素 B 與 3 單 位的營養素 C；第二種飼料每公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A，6 單位的營養素 B 與 2 單位的營養素 C。

(1)若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料就能符合營養師吩咐，則除 了 x 0，y 0 兩個條件外，寫下 x，y 必須滿足的不等式組。

(2)若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求，則 x，y 的值為何？最少的飼料成 本是多少？[x＝18，y＝3，最少成本 102 元] 【95.指考乙】

解：

【類題 3】坐標平面上兩點 ( 4 , 1 ) 和 ( 5 , 9 ) 在直線 3x－y－k＝0 的兩側，其中 k 為整數。請選 出正確的選項。

(1)滿足上式的 k 最少有 5 個 (2)所有滿足上式的 k 的總和是 35 (3)所有滿足上式的 k 中最小的是 7 (4)所有滿足上式的 k 的平均是 9

【例題 4】一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部，如下 圖。已知目標函數 ax＋by＋3(其中 a，b 為實數)的最大值只發生在 B 點。請問當目標函數改為 3－bx－ay 時，最大值會發生在下列哪一點？(1)A (2)B (3)C (4)D (5)E [(1)] 【104.學測】

解：

【類題 4】南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤，該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草 藥，每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品。中草藥每公斤可獲利 5000 元，健康食品每公斤可獲 利 100 元；根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤，健康食品最大需求量是 1800 公斤。

如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤，並製成健康食品 y 公斤，設 P 為其可獲利潤。

(1)試以 x，y 表示 P。[P＝5000x＋100y]

(2)如果想獲得最大利潤，則 x，y 的值為何？說明理由。[x＝30，y＝80] 【93.指考乙】

解：

【例題 5】某公司生產兩種商品，均以同型的箱子裝運，其中甲商品每箱重 20 公斤，乙商品每 箱重 10 公斤。公司出貨時，每趟貨車最多能運送 100 箱，最大載重為 1600 公斤。設甲商品每 箱的利潤為 1200 元，乙商品每箱的利潤為 1000 元。

(1)設公司調配運送時，每趟貨車裡的甲商品為 x 箱，乙商品為 y 箱。試列出 x，y 必須滿足的 聯立不等式。

(2)當 x，y 的值各為多少時，可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大？此時利潤為多少元？

[x＝60，y＝40，112,000 元] 【101.指考乙】

解：

【類題 5】某公司召聘新員工，共有 1600 人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室，該校 可租借的大教室有 50 間，每間可容納 40 人，每間租金 500 元；小教室有 60 間，每間可容納 20 人，每間租金 150 元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過 60 間。試問租借大、小教 室各幾間來進行筆試，才能最省租借場地費用？[20，40] 【98.指考乙】

解：

【例題 6】一五金商有二工廠，第一廠有產品 40 單位，第二廠有產品 50 單位，該商人自甲、乙 二鎮獲貨單，甲鎮申購產品 30 單位，乙鎮申購產品 40 單位，如果自第一、二廠運產品至甲、

乙兩鎮，每單位運費如下表所示，應如何分配二廠產品數量至甲、乙，以使運費最低？

[一廠運甲 30, 乙 10 單位；二廠運甲 0, 乙 30 單位；最低運費 890 元]

解：

【類題 6】某公司所生產的產品，存放在甲、乙兩倉庫分別有 50 單位、40 單位，現在市場 A、

市場 B 分別的需求量是 20 單位、30 單位，下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本，在 滿足市場 A、B 的需求下，最節省的運輸成本為多少？[18,000 元] 【92.指考乙】

解：

甲鎮 乙鎮 第一廠 10 元 14 元 第二廠 12 元 15 元

市場 A 市場 B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 300 元

【類題 7】建築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。企劃部門的規劃如下：甲型屋每 棟地價成本為 500 萬元，建築費用為 900 萬元，乙型屋每棟地價成本為 200 萬元，建築費用為 1500 萬元，公司在資金部分限制地價總成本上限為 3500 萬元，所有建築費用的上限為 1 億 2000 萬元；無論甲型或乙型售出，每棟獲利皆為 500 萬元，假設推出的預售屋皆可售出，請問推出 甲、乙兩型預售屋各幾棟，公司才可得到最大利潤。[甲型 5，乙型 5] 【97.指考乙】

解：

【類題 8】某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金，其中每單位的甲合金是由 5 公克的 A 金 屬、3 公克的 B 金屬以及 3 公克的 C 金屬組成，而每單位的乙合金是由 3 公克的 A 金屬、6 公 克的 B 金屬與 3 公克的 C 金屬所組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為 600、700 元。若 工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬、1020 公克的 B 金屬與 660 公克的 C 金屬投入生產這兩種合 金，試問甲、乙兩種合金各應生產多少單位，才能獲得最大利潤？又此時利潤為多少？

[甲生產 100 單位，乙生產 120 單位，有最大利潤 144,000 元] 【102.指考乙】

解：

【類題 9】坐標平面上，有兩點 A(4﹐－1)與 B(－2﹐2)。已知點 C( x﹐y)滿足聯立不等式 x＋2y ≥ 2、x－y ≥－4、y ≤ 8 以及 3x＋y ≤ 23，則當 C 點坐標為 時，

_△ ABC 有最大的面積。

[(5, 8)] 【106.指考乙】

解：

【類題 10】坐標平面上，直線 y＝2x 與直線 y＝－3x＋5 將坐標平面分割成四個區域。試問下列 哪一個選項中的點會和點(1, 1)在同一個區域？

(1)(20,－56) (2)(13,－33) (3)(－1, 1) (4)(－15,－29) (5)(－20,－29) [(1)] 【108.指考乙】

解：

【類題 11】某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本 100 萬元，此次進口上限 20 台，

售出一台淨利潤 11 萬元；乙廠牌汽車每台成本 120 萬元，此次進口上限 30 台，售出一台淨利 潤 12 萬元。今車商準備 4400 萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完，

試回答下列問題。

(1)寫出此問題的線性規畫不等式及目標函數。

(2)在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。

(3)試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？

[當甲 20 台，乙 20 台，可有最大利潤 460 萬元] 【107.指考乙】

解：

【類題 12】某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車(簡稱重機)和汽車。其訂購費用 為重機一部 25 萬元及汽車一部 60 萬元，訂購經費上限是 5400 萬元。另此運輸公司共有 100 格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售 1 部重機 可得淨利潤 2.3 萬元(即 2 萬 3 千元)，銷售 1 部汽車則可得淨利潤 5 萬元，並假設此運輸公司 可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限 制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。

(1)試寫出此問題之線性規劃不等式及目標函數。

(2)在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。

(3)此運輸公司應訂購重機、汽車各多少部才能獲得最大的淨利潤？此最大淨利潤為何？

[重機 120 部、汽車 40 部，可得最大利潤 476 萬元] 【108.指考乙】

解：

【類題 13】設

S

2 x + = y 10

x − 2 y + 15 = 0

x − 2 y = 0

3x − = y c

S

c

解：

【類題 14】坐 標 平 面 上 有 一 個 多 邊 形 區 域

_Γ

k > ， 直 線

7 x + 2 y = k

_Γ

（ 含 邊 界 ）內，則 最 小 正 實 數 k = ？ [46] 【109.指考乙】

解：

O ( 4,0)

( 6,2) ( 1,6)

( 4,5)

x ( 0,5)

y

Γ