第 3 章 Lyapunov 稳定性理论

第 3 章 Lyapunov 稳定性理论

•Lyapunov 意义下的稳定性

•Lyapunov 第二方法

• 线性系统的稳定性分析

• 离散时间系统稳定性分析

•Lyapunov 稳定性方法在控制系统分析中的应

用

实际工程中的（闭环 ? ）系统必须平稳 运行 , 比如希望系统状态能保持在一个确 定的工作点附近。

用状态空间的说法是（闭环 ? ）系统运 行渐进到一个状态 。

1892 年 , 俄国数学家 Lyapunov 在其博士论文《运动稳定性的一般问题》 , 给出了

– 奠定了现代稳定性理论的基础 .

0 0  x_e   t  t x0  x_e   t  t0

x

设系统初始状态位于以平衡状态 为球心

， 为半径的闭球域 内，即_{S( )}

e 

x

0 0

0, ) ,

;

(t x t  x_e   t  t x(t;x0,t0)  x_e  , t  t0

x

若能使系统方程的解在 的过程中，始终位于以 为球心，任意规定的半径为 的闭球域 内，即_





t

x

) ( S

则称系统的平衡状态 在李雅普诺夫意义下稳定。

x

李雅普诺夫意义下稳定

稳定 ?

(a) 渐近稳定（ asymptotically stable ）

(b) 不稳定（ unstable ）

例 0-1 ：机械位移系 统













1 2

2 1

m x x k

x x



 )

( ),

(t x t

x 

kx x

m   

) (x

W ₁² ₂² ₀

2 1 2

1 kx  mx  W





 



  0 0 xe

系统的总能量：

选 



 



 



 



 

x x x

x

2  x 1

状态方程

x2

x1

例 0-2 ：如图所示的电路中 , 设电感和电容都是线性 的 , 并且

.

从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹也是个椭圆











1 2

2

1 /

Cx x

L x

x







 



 



 



 

 q x

x

2

x 1

) (x

W ^{22 12} ₀ 2

2 Cx W L

x  



从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原

点附近 , 但也不能逐渐趋向于原点。













2 1

2

2 1

3 2x x x

x x







 



 



 



 

 q x

x

2

x 1



 







 







 



 





2 1 2

1

3 2

1 0

x x x

x





利用拉普拉斯反变换求解上述方程 , 先求状态转移矩阵

状态方程相图

状态方程相图

上图表明 , 从原点任意小的领域出发的轨迹不能 保持在原点附近。

3.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义

稳定性是系统性能研究的首要问题！

控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。

扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡 状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的 平衡状态，则不稳定。

系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性

。

经典控制理论对稳定性分析的局限性

（ 1 ）局限于描述线性定常系统

（ 2 ）局限于研究系统的外部稳定性

经典控制理论的稳定性判据

劳斯（ Routh ）判据

赫尔维茨（ Hurwitz ）判据

奈氏（ Nyquist ）判据

现代控制理论对稳定性分析的特点

（ 1 ）稳定判据可用于线性 /非线性，定常 /时变系统

；（ 2 ）研究系统的外部稳定性和内部稳定性

；

现代控制理论的稳定性判据

李雅普诺夫（ Lyapunov ）稳定性理 论

（ 3 ）能够反映系统稳定的本质特征。

一、系统状态的运动及平衡状态 一、系统状态的运动及平衡状态

设系统方程为

：

) , ( t x f

x  

n 维状态向量 ⁿ 维向量函数

展开式为：

n i

t x x

x f

x 



(

,

,  ,

, )  1 , 2 ,  ,

方程的解为

：

) ,

;

( t x

t

x

初始状态向量 初始时刻

0 0

0

0

; , )

( x x

x 

 t t

平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化

) , ( t x f

x  

所有状态的变化速度为零，即是静止状态 线性定常系统

：

0 )

,

( 



t

e

f x

x

 f ( x

, t )  0 x

Ax x  

平衡状态：

x

 Ax

 0 0

0  

 x

A

 0 A

一个平衡状态——状态空间原点 无穷多个平衡状态

例：机械位移系统

选 



 



 



 



 

x x x

x

2  x 1

平衡状态

状态方程 













2 1

2

2 1

m x m x

x k

x x

 





 



  0 0 xe

x1

x2

xe

) ( ),

(t x t

x 

x kx

x

m    



平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化

) , ( t x f

x  

所有状态的变化速度为零，即是静止状态 非线性系统：

0 )

,

( 



t

e

f x

x

 f ( x

, t )  0 x

平衡状态：

无穷多个平衡状态

) , ( t x f

x  

0 )

,

( 



t

e

f x

x













3 2 2

1 2

1 1

x x

x x

x x

 例 

：













 

0 0

3 2 2

1 1

x x

x x



 





 



 



 



 



 

1 0

1 , 0

0 , 0

3 2

1 e e

e x x

x



例：分析单摆的平衡状态

。 解

：

ML    Mg sin   0

L

M

选取：

x

  , x

  ^

状态方程： 











1 2

2 1

sin x L

x g

x x





平衡状态：

 0

x 











 sin 0

0

1 2

L x g x







 

0 sin

0

1 2

e e

x

x ( 0, 1, 2 )

0     



 



 

 n n

e

x





例：分析单摆的平衡状态

。 解

：

ML    Mg sin   0

L

M

选取：

x

  , x

  ^

状态方程： 











1 2

2 1

sin x L

x g

x x





平衡状态：

) 2

, 1 , 0

0 (    



 



 n n

e

x



x2

xe

xe

xe x_ex_e

平衡状态的稳定性：

系统在平衡状态邻域的局部的（小范围的）动态行为。

线性系统：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性 能够表征整个系统的稳定性。

非线性系统：有多个平衡状态，且可能稳定性不同，

需将每个平衡点分别讨论。

2 2

2 2

1

x x

x   

 x

欧式范数

二、稳定性的几个定义 二、稳定性的几个定义

表示向量 的长度

x

2 2

2 2

2 1

1

) ( ) ( )

(

e

 x  x  x  x   x  x

 x 

x

表示向量 到 距离^{x x}_e

 2

n _{x  x}

_{ ( x}

_{ x}

₎

_{ ( x}

_{ x}

₎

_{ c}

 3

n ^{x  x}

^{ ( x}

^{ x}

⁾

^{ ( x}

^{ x}

⁾

^{ ( x}

^{ x}

⁾

^{ c}

表示状态空间中，以 为圆心，半径为 c 的圆

x

表示状态空间中，以 为球心，半径为 c 的球

x

2 2

2 2

1

x x

x   

 x

欧式范数

表示向量 的长度

x

2 2

2 2

2 1

1

) ( ) ( )

(

e

 x  x  x  x   x  x

 x 

x

表示向量 到 距离

x ^x

当范数 限制在某一范围之内时，可以表示 为 。且具有明确的几何意义。用此概念来分 析系统的稳定性。

xe

x 





 x_e x

0 0  x_e   t  t x0  x_e   t  t0

x

设系统初始状态位于以平衡状态 为球心

， 为半径的闭球域 内，即_{S( )}

e 

x

0 0

0, ) ,

;

(t x t  x_e   t  t x(t;x0,t0)  x_e  , t  t0

x

若能使系统方程的解在 的过程中，始终位于以 为球心，任意规定的半径为 的闭球域 内，即_





t

x

) ( S

则称系统的平衡状态 在李雅普诺夫意义下稳定。

x

1 、李雅普诺夫意义下稳定

几何意义：

初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡点。

任给一个球域 ，若存在一个球域 ， 使得当 时，从 出发的轨迹不离开 ，则称 系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的^。

) (

S t  

) ( S

) ( S )

( S

x1

x2

xe

) ( S ) ( S

几何意义：

任给一个球域 ，若存在一个球域 ， 使得当 时，从 出发的轨迹不离开 ，则称 系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。

) (

S t  

) ( S

) ( S )

( S

x1

x2

xe

) ( S ) ( S

若 与初始时刻 无关

，则称系统的平衡状态 是一致稳定的。



x

t0

时变系统 与 有关_ t0

定常系统 与 无关_ t0

x1

x2

xe

) ( S ) ( S

与经典控制理论中稳定性的定义不同。

当系统做不衰减的震荡运动 时，将描绘出一条封闭曲线

，只要不超出 ，则认为 是稳定的。

) ( S

设系统初始状态位于以平衡状态 为球心

， 为半径的闭球域 内，即_{S( )}

e 

x

0 0  x_e   t  t x0  x_e   t  t0

x

0 )

,

; (

lim _{0 0}  



 e

t x( t; x , t ) x 0

lim _{0 0}  



 e

t x t x t x

则称系统的平衡状态 是^渐近稳定的^。

x

若系统方程的平衡状态 不仅具有李雅普诺夫意义下

的稳定性，且有 ^e

x

2 、渐近稳定

若 与初始时刻 无关，则称系统的平衡状态 是一致渐近稳定的。

 _t0

x

几何意义：

初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以无限接 近，直至到达平衡点后 停止运动。

x1

x2

xe

) ( S ) ( S

当 时，从 出发的轨迹不仅不超 出 ，而且最终收敛于 ，则称系统的平衡状态 是^渐近稳定的。

) (

S S()



 t

x

与经典控制理论中稳定性的定义相同。

初始状态在整个状态空间时，平 衡状态都渐近稳定。

当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状

态均具

有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。

3 、大范围渐近稳定

几何意义 ： 当 时，从状态空

间任意一点出发的轨迹都收敛于

。



 t

x

线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐 近稳定，则必然大范围渐近稳定。

非线性系统稳定性与初始条件密切相关，

如果渐近稳定，不一定大范围渐近稳定。

初始状态有界，随时间推 移，状态向量距平衡点越 来越远。

如果对于某个实数 和任一个实数

，不管这两个实数有多小，在 内总存在着一个状态 ，由这一状态出发的轨迹超出 ，则称次平衡状 态是不稳定的。

4 、不稳定

几何意义：

 0



) ( S ) ( S

 0



x

x1

x2

xe

) ( S )

( S

3.2 李雅普诺夫第一法（间接法）

外部稳定性

零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产 生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的。

外部稳定的充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极 点全部位于 s 的左半平面。

   

A I

B A

I B C

A I

C

W 

 



 ^

s s s

s

1 *

)

 (









)

( )

(

) ( )

( )

(

t t

t t

t

Cx y

Bu x Ax











)

( )

(

) ( )

( )

(

t t

t t

t

Cx y

Bu x Ax

线性定常系统

x  Ax , t  t

渐近稳定 A 的所有特征值：

Re( 

)  0

李雅普诺夫意义下

稳定 A 的所有特征值：

且 的特征值无重 根

0 )

Re( 

 0

) Re( 



不稳定 A 有一个特征值：

或 的特征值有重 根

0 )

Re( 

 0

) Re( 



内部稳定性

与经典控制理论中的稳定性一致 与经典控制理论中的稳定性一致

2 ) 1

( )

(

) 1

(

 





s s s

W c I A b

e

t s c

s C s

U t

t

u ( )

2 ) 1

( 1 )

( ) ( )

( 

 



 

渐近稳定

2 ) 1

( )

(

) 1

(

 





s s s

W c I A b

e

t s c

s C s

U t

t

u ( )

2 ) 1

( 1 )

( ) ( )

( 

 



 

不稳定

传函极点即 A 的特征值

 ^{1 2} 

) (

) (

) 3

(

 





s s s

s

W c I A b

 ^s  ^{s s c t e}

s s

C

2 1 2

) 1 ( 2

1/2 -

1/2 2

) 1

(  

 

 



与经典控制理论中的稳定性一致 与经典控制理论中的稳定性一致

李雅普诺夫意义下稳定

 ^{1 2} 

) (

) (

) 4

(

 





s s s

s

W c I A b

 ^s  ^{s - s / s / c t t e}

s s

C

4 1 4

1 2

) 1 ( 2

4 1 4

1 1/2

2 ) 1

(   

 



 



不稳定

例： 设系统方程为： 例：

试确定其外部稳定性、内部稳定性。

 

x

x , 0 1

1 2 1

1

6

0  



 



 



 





  u y



[[ 解解 ] ]

（ 1 ）系统的传递函数为：

 

1 )

3 )(

2 (

) 2 (

1 2 1

1 1 6

0

1

 





 



 



 



 









 



s s

s s s

s

极点位于 s 左半平面， s=2 的极点被对消掉了。系统是 有

界输入有界输出稳定的。





C

W(s)  s  ^1

（（ 22 ） 求系统的特征方程）

：

0 ) 3 )(

2 1 (

1 ) 6

det(     



 









 

  



I A 

3 2 ₂

1    

 ，

求得：

系统不是渐近稳定的。

3.3 李雅普诺夫第二法（直接法）

不必求解微分方程，直接判断系统稳定性

系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过。 程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早 会达到平衡状态，即系统渐近稳定。

反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减

，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。

例：机械位移系统

选 



 



 



 



 

x x x

x

2  x 1

状态方程 













2 1

2

2 1

m x m x

x k

x x

 



0

2

1  



 



  x x x

) ( ),

(t x t

x 

x kx

x

m    



系统能量

) (x

V ₁² ₂² 2

1 2

1 kx  mx

 0

2

1  



 



  x x x

0 )

(x  V

0 )

(x  V

例：机械位移系统

选 



 



  x x x 















2 1

2

2 1

m x m x

x k

x x

 

 )

( ),

(t x t

x 

x kx

x

m    



系统能量

V (x) ₁² ₂² 2

1 2

1 kx  mx





 



  0 0 xe

能量随时间变化率

0 )

( x  V

2 2 1

1x mx x

kx   



) ( _{1 2}

2 2

1 x

x m m mx k

x

kx 









2

x2





 x₂  0

) (x V

能量不断衰减

V ( x )  0



 







 

0 0

2 1

x

x x 

V ( x )  0

运动会停止吗？

V ( x )  0

例：机械位移系统



 



  x x x 















2 1

2

2 1

m x m x

x k

x x

 

 )

( ),

(t x t

x 

x kx

x

m    



系统能量

V (x) ₁² ₂² 2

1 2

1 kx  mx





 



  0 0 xe

能量随时间变化率

0 )

( x  V

2 2 1

1x mx x

kx   



) ( _{1 2}

2 2

1 x

x m m mx k

x

kx 









2

x2





 x₂  0

) (x V

能量不断衰减

V ( x )  0



 



 



 



 

0 0

2 1

x x x

xe _{渐近稳定！}

李雅普诺夫第二法的基本思想

) , ( t

求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）

V x

—— 标量函数。

求出能量随时间变化率 。

V x  ( t , )

依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程 中的变换规律。

利用 和 的符号特征，判断平 衡状态稳定性。

) , ( t V x  )

,

( t

V x

一、标量函数 定号 性

一、标量函数 定号 性

) , ( t V x

在零平衡状态 的邻域 内

 0 x

0 )

( , 0

0 )

( , 0

, 1









x x

x x

V

V  V (x )

0 )

( , 0

0 )

( , 0

, 2









x x

x x

V

V  V (x )

一、标量函数 定号 性

一、标量函数 定号 性

) , ( t V x

在零平衡状态 的邻域 内

 0 x

0 )

( , 0

0 )

( , 0

, 3









x x

x x

V

V  V (x )

0 )

( , 0

0 )

( , 0

, 4









x x

x x

V

V  V (x )

0 )

(

0 )

(

0 )

( , 0

, 5









x x x x

V V V

) (x

 V

例： 已知 ，确定标量函数的定号性。例：

^{x }  ^x

^x

^x



2 3 2

2 4

1

2

) (

(1) V x  x  x  x

3 2

2 4

1

2

) (

(1) V x  x  x  x

 ^x

^x

^x



 x

解解

：：

0 , ( ) 0 0 )

( , 0









x x

x x

V

V  V (x )

2 3 2

)

(

(2) V x  x  x

3 2

)

(

(2) V x  x  x

解解

：：

0 )

( ,

0 

 x

x V

) (x

 V

0 )

( , 0 ,

0 ,

0

1

 x  x  V x 

x

0 )

(

V x  其余

0 )

( , 0

0 )

( , 0











x x

x x

V

V

2 3 2

1 2

1

( 2 )

) (

(3) V x   x  x  x  x

3 2

1 2

1

( 2 )

) (

(3) V x   x  x  x  x

解解

：：

) (x

 V

2 3 2

2 2

1

2

) (

(4) V x  x  x  x

3 2

2 2

1

2

) (

(4) V x  x  x  x

解解

：：

0 )

( ,

0 

 x

x V

0 )

( , 0 2

,

0

1

 x   x  V x 

x

0 )

(

V x  其余

0 )

( , 0

0 )

( , 0











x x

x x

V V

负半定

0 )

( 2

0 )

( 2

2 3 2

2 2

1

2 3 2

2 2

1













x x V x

x x

V x

x

x  V (x )

二、二次型 定 号性

二、二次型 定 号性

Px x

x t

V ( , ) 

二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数

 





































n nn

n n

n n

n T

x x x

p p

p

p p

p

p p

p x

x x

V 















 ²

1

2 1

2 22

21

1 12

11

2

) 1

(x x Px

P 为实对称矩阵

ji

ij p

p  P  P^T 例例

：：

2 2 2

1 2

1 2

) 1

( kx mx

V x  

 



 







 



 

2 1 2

1 0.5

5 . 0

x x m

x k x

二次型定号性的判别方法

Px x

x t

V ( , ) 

二次型 正定





,

11

 0

p ^{0 ,}

22 21

12

11



p p

p

p , 0 ,

1

1 11



nn n

n

p p

p p













二次型定号性的判别方法

Px x

x t

V ( , ) 

二次型 负定





,

11

 0

p ^{0 ,}

22 21

12

11



p p

p

p , ( 1 ) 0

1

1 11



nn n

n n

p p

p p

-













二次型定号性的判别方法

Px x

x t

V ( , ) 

二次型 正半定





 0 Px

x x t

V ( , ) 

二次型 负半定





矩阵 P 定号性的判别方法二

矩阵 P 正



定

 

_{ 0}

 0



定

 

^{ 0}

矩阵 P 正半

定



 0



例： 确定下列二次型的定号性。例：

3 2 3

1 2

1 2

3 2

2 2

1 2 2 4 2

10 )

( x x x x x x x x x

V x      

解解

：：

 











































3 2 1 3

2 1

1 1

2

1 2

1

2 1

10 )

(

x x x x

x x

V x

判别方法一

0

1 10 

 _{19 0}

2 1

1 10

2   



)

(x

 V

0 5

1 1

2

1 2

1

2 1

10

3  











 P 的各阶顺序主子式 >0

例： 确定下列二次型的定号性。例：

2 3 2

2 2

1

2

)

( x x x

V x   

解解

：：

 





































3 2 1 3

2 1

1 0

0

0 2

0

0 0

1 )

(

x x x x

x x

V x 判别方法二

0 )

1 )(

2 )(

1 (

1 0

0

0 2

0

0 0

1 P

-

I     







   









1 ,

2 ,

1 _{2 3}

1 







矩阵 P 的特征值的符号

有正有负，即符号不定

 V (x )

例： 确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围例：

。

3 2 3

1 2

1 2

3 1 2

2 1 2

1

1 2 4 2

)

( a x b x c x x x x x x x

V x      

解解

：：

 











































3 2 1

1 1

1 3

2 1

1 2

1 1

2 1

) (

x x x c

b a

x x

x V x

1 0

1  

 a ⁰

1

1

1 1

2  

 b

a

 

 

















1 1

1 1

1 1

1 1 1

4 4

0 1

0

c a

b c

b a

b a a

0 1

2

1 1

2 1

1 1

1

3 













c b

a

(1)

V (x )

(2)

V (x )

(3)

x   , V x ( , t )  

则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。

（线性 / 非线性 ) 定常系统： ，其 中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数 ，在 时满足：

0 ),

( 

 f x t x

0 )

( 0  f

0 )

( ),

( x V 0 

V x  0

三、李雅普诺夫第二法主要定理 定理 1 三、李雅普诺夫第二法主要定理

(1)

V (x )

(2)

V (x )

则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。

（线性 / 非线性 ) 定常系统： ，其 中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数 ，在 时满足：

0 ),

( 

 f x t x

0 )

( 0  f

0 )

( ),

( x V 0 

V x  0

(4)

x   , V x ( , t )  

(3)

 x  X  , V ( x )  0

定理 2

(1)

V (x )

(2)

V (x )

(3)

 x  X  , V ( x )  0

则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。

（线性 / 非线性 ) 定常系统： ，其 中 ，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函 数 ，在 时满足：

0 ),

( 

 f x t x

0 )

( 0  f

0 )

( ),

( x V 0 

V x  0

(4)

x   , V x ( , t )  

系统保持稳定的等幅振 荡，非渐近稳定！

能量不变！

定理 3