物理学中的孤子：

(1)

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理

物理学中的孤子：

• 孤波是物理世界中混沌的对立面，驱动与耗散竞争产生混沌，也可以产生孤波。

• 已经有相当数量的非线性微分方程存在孤子解。与此同时，也在若干物理现象中发现了孤波行为。

• F. Calogero和A. Degasperis在“Spectral Transform and Solitons”

(1982)一书中给出了四十多个具有孤波严格解的微分方程。

• 此处列出几个物理中的孤波效应。

(2)

非线性物理：

(3)

非线性物理：

• (1) KdV方程：描述弱非线性与弱色散现象，如浅水波、固体中 热脉冲、纵向弹性色散波的传播、等离子体的离子-声波等等：

• (2) 非线性薛定谔NLS方程：描述弱非线性与强色散现象，如单模 光纤中的光孤子、一维海森堡磁体、电介质中强激光的自聚焦、

流体力学中的涡旋：

(4)

非线性物理：

• (3) sine-Gordon (SG)方程：描述如电荷密度波、自旋密度波、约 瑟夫逊结中的磁通量子、超离子导体、位错传播、铁磁体Bloch 畴壁、自旋传播等现象：

• (4)



⁴方程：描述一维晶体的位移相变，是场论模型方程，因为 哈密顿 K 含有



⁴ ^而得名。

(5)

非线性物理：

• (5) Double sine-Gordon (DSG)方程：描述³He中的B相，原子共振 跃迁等等现象：

• 上述(3)~(5)同属于Klein-Gordon方程的特例，它可以表示为下述 一般形式：

• F(u)=



sin(u)时为SG方程，F(u)=



^-



³^时为



⁴^方程，

F(u)=



[sin(u)+



sin(u/2)]时为DSG方程。

(6)

非线性物理：

孤子的基本性质：

• 大致分析一下形成孤子的物理条件。先看微分方程：

• 这是通常的弦振动方程，线性无色散，u为任意函数，通解为：

• g(x-at)表示t=0时波形g(x)的波 在t时刻向右平移at距离，即右 行波；而f(x+at)表示左行波。

(7)

非线性物理：

• 这一方程没有什么实际物理，相比较看微分方程：

• 也是线性方程，但是包含色散项u_xxx，其通解为：

•



为圆频率，k=2



^/



^为波数，



^为波长，



^=k³^，相速为



^/k=k²与k 有关，即所谓色散。所以通解应该是求和表达式。

(8)

非线性物理：

• 再考虑一个非线性但是无色散的微分方程：

• uu_x为非线性项，行波解是u=u(x-vt)且波速v=u，意即波形上不同高度点的速度不同，波速与高度成正比，因此波形在传播过程中一定发生变化：

(9)

非线性物理：

• 最后考虑KdV方程：

• u_xxx为色散项，6uu_x为非线性项，两者相互抵消，得到孤波解：

• 可见波幅与波速关联，导致波幅高者波速大，典型孤波特征。

• 产生孤子的物理条件：色散与非线性共存并微妙竞争。

(10)

非线性物理：

• 孤子代表的物理过程有一些共同的性质：

• (1) 能量有限，且分布在有限的空间范围内。

• (2) 弹性碰撞。

• 孤波在传播过程中不会弥散，而波包会弥散。冲击波波形前段是奇异的，也不是孤波。

(11)

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理 KdV

方程：水中的孤波

• 1894年G. de Vries在D. J. Korteweg指导下提交的博士论文中，

KdV方程的原始形式是：

• 上式 h 为水面的平衡高度，



是平衡高度以上水波表面高度，



是与流体匀速运动有关的小常数，g 是引力常数，T 是流体表面 张力，



^{是流体密度。}

(12)

非线性物理：

• 借助下面的变换可以将上述方程简化成无量纲形式：

• 对于 KdV 方程的求解不仅是描述孤波的需要，也促进了数学的 发展，例如促使诸如逆散射的方法出现。

• 我们根据黄景宁一书来说明推导过程，显得比较枯燥无味！大家 凑合着听听。^_^

(13)

非线性物理：

方程推导

• 推导过程先建立流体运动方程和边界条件，然后应用于浅水波运动。这一推导具有一般性，但不是非常严格。

• 假定流体不可压缩，无粘性，无旋，则有连续性和动量方程：

• 其中 u 速度，p 压强，g 指向 z 轴。无旋使得rot u=0，则存在：

(14)

非线性物理：

• 将上式代入动量方程，并对空间积分得到：

• 引入变换：

• 动量方程变成：

• 连续性方程变成Laplace方程：

(15)

非线性物理：

• 现在来建立边界条件。对于流体表面：

• 作微分变换得到：

• 如果再假定表面方程为：

• 设 p₀ 为大气压强，动量方程就变成：

(16)

非线性物理：

• 现在来建立边界条件。对于水槽底部或水槽四壁：

• 建立如图所示二维坐标系，则边界条件变成：

• 如果流体流动过程按照行波处理，则假设波长为 l，c₀=(gh₀)^1/2为近似波速，重新进行变量变换：

(17)

非线性物理：

• 经过这个变化后所有变量都是无量纲的，将它们代入Laplace方程 和边界条件，然后再去掉撇号，得到新的方程和边界条件：

(18)

非线性物理：

• 下面推导在长波长(



=h₀²/l²<<1)和小振幅(d/h₀<<1)近似下上述约 化方程的解。前人证明，对于一个 x 的解析函数 f(t,x)，方程：

的通解总是可以表示成：

• 代入到下面边界条件：

(19)

非线性物理：

• 分别得到：

• 和：

• 因为



<<1，



<<1，略去



²^和



等高阶项，令 F=f_x，然后将上 式对 x 求导，化简后得到：

(20)

非线性物理：

• 取函数 F 为下列形式：

• 代入上述方程并只取

、

的一次项，则两个方程化成一个方程：

(21)

非线性物理：

• 再进行下列变量代换，得到最后的KdV方程形式：

• 上述方程的推导具有弱非线性的一般意义，显得非常数学化。下面我们介绍一种物理上更简单的推导方法，虽然数学上不是很严格。

(22)

非线性物理：

KdV

方程：非线性会聚效应

1. 当一个行波的不同部分有不同的行进速度时，将会出现会聚。

2. 边界对行波的粘滞力导致会聚，其它机制导致会聚。

3. 海滩边的浪花和风吹起的浪花就是会聚的写照：

(23)

非线性物理：

• 考虑一一维行波，随时间 t 沿 x 轴方向传播。设介质中x 处的粒 子密度为 n(x, t)，考虑守恒律有dn/dt=0，写成全微分：

• 这里dx/dt是行波速度，一般为时空函数，从而会聚不可避免。

• 波传播存在色散是基本常识：一束平面单色波与一列正弦波相对应。一个频率为



沿x方向传播的平面波u(x, t)可以表示为：

t  0



 d

dx x

n t

n



    0

x v n

t n



)]

( exp[

) ,

( x t A i kx t

u   

• 这里 k=2



/



^{为波数。等相位面为：}

 = kx   t = const

(24)

非线性物理：

• 由d



=0给出等相位面的速度，即相速v：

• 一个如下的线性微分方程具有平面波解：

• 运算可得：

0 = t t =

= x dx dt kdx d

d 







   

^v ^dx_dt ^_k





0 d



2

2 0

2 2

2

2 0

u

t v u

x m u

  

u ( x , t )  A exp[ i ( kx   t )]

2

0

2 2 0

2

  

  v k m

2 2

2 0

2

 v k  m

  ( k ) =  v

0²

k

²

 m

²

• 可见



/k不是常数，所以波速v不是常数，有色散。

(25)

非线性物理：

• 既然不同波数的平面波具有不同波速，而上述所有波数的波的叠加仍然是波动方程的解，一个波动（或称波包）的移动速度是由群速度决定的，波的群速度：

• 具有不同k值的波(群)，将具有不同的群速度。不同波数的各个 子平面波以不同的群速度传播，所以所描述的波动在运动时将改变形状并弥散开来。于是，初始时刻出现的波包，会随时间的推移而发生变化，波包发生弥散，以至在某个时刻波包完全消失。

• 注意如下微分方程和色散关系之间的对应关系：

v k

v k v k m

g

  







⁰

2

0

2 2 2



2

2 0

2 2

2

2 0

u

t v u

x m u

  

 

²

 v

₀²

k

²

 m

²

 0

(26)

非线性物理：

• 如上所述，一个线性波动由于在介质中传播时既存在色散，所以该波动是不稳定的。只有当在波动中存在非线性的会聚时，如果色散与会聚两种作用出现某种平衡，才会出现波形稳定的孤立波

。在KdV方程中正是同时存在了这两种效应。

• 对于不可压缩介质，粒子质量不随时间与坐标变化可以等价于粒 子速度v的守恒：



  



t i

x ik

  



²

 

²

k

⁴

 0

₄

⁰

4 2

2

 u 

u x

t 

 



 0



 x

v v t

v



(27)

非线性物理：

• 考虑水面波动的色散关系，可以证明，忽略表面张力，在重力作用下水波的色散关系为：

kh gk

k ) tanh

(  



• 式中g为重力加速度，h为水的深度。进行级数展开，并略去高次 项后有：

)

3

( k  k  k

   ^ ^ ^gh ^ ^ ¹ ₆ ^h

²

^gh

• 由前面的对应关系，我们知道对应的微分方程应该是KdV：

3

0

3









 x

v x

v t

v



 



 



 _ _ _ ₀

x v v

t v



0 )

(

₃

3









 x

v x

v v t

v



 



 



(28)

非线性物理：

方程的性质

• 推导条件：1-长波，即



<<1；2-小振幅，即



<<1；3-弱非线性与 弱色散；4-空间一维和时间一维；5-流体无内粘滞，不可压缩。

• KdV方程可以写成下述任意形式：

• 其中 u 是动力学变量，方程满足如下标度变换，形式不变：

(29)

非线性物理：

• 文献中常见的KdV方程有下列形式：

• KdV方程的标度不变性还表现如下几个特点：

• 时间平移不变性：t



t+c₁。空间平移不变性：x



x+c₂。

• 伽利略不变性：x



^{x+ct, t}



^{t, u(x,t)}



u(x+ct, t)+c/6。

• 标度不变性：x



^{cx, t}



^c³^{t, u(x,t)}



^c^-2^{u(cx, c}³^t)。

(30)

非线性物理：

方程的行波解

• KdV方程本身并不是只有行波解，1967年提出逆散射方法后还得 到了一些其它解，如双孤子解。这里先讨论行波解。

• 对于一个微分方程：

• 如动力学变量 u 具有如下实数解，且



时w(



)0或常数：

• 我们说这个行波解是孤波解。

(31)

非线性物理：

• 对KdV方程：

• 代入行波解得到：

• 考虑下述等式，就可以进行如下积分运算：

(32)

非线性物理：

• 因为行波解要求



时，w(



)0， w



(



)0，w



(



)0，所以 A=B=0。由此得到：

• 假定：

• 上式中 x₀ 是积分常数，表示 t=0时的波峰位置。

(33)

非线性物理：

• 孤波解的性质：1- x 趋向无穷时 u 趋于0；2- 波是单向传播的；3- 波幅与波速成正比；4- KdV方程的色散与非线性刚好抵消，导致 定常解；5- 给定初始条件，KdV方程解是唯一的。

(34)

非线性物理：

孤波解的另一种阐释

1. KdV方程解的形式如下：

) ( )

( x v

₀

t u 

u

u   

积分一次得到：

2 0

2

0  



 

 







 



 u u

u v

u u (u  )  u  u 

  



3

3 0

  v

₀

 

C const

2 1

₂

2

u  u   v  



 

用简约符号表示：u



=



u/

，

u



=



²u/



²^{，化简上式得到：}





 u 

²

/ 2  u

³

/ 6  u

²

/ 2  Cu  const 

(35)

非线性物理：

1. 积分常数



可以看成为体系的哈密顿量：

其中第一项为动能，第二项为势能。

2. V(u)是一三次曲线，一般有三个零点，即b₁>b₂>b₃，根据三次代数 方程的解与系数的关系，有：b₁+b₂+b₃=3



^，



₀^{为积分常数。}

1

2 u'² V(u)  0 ( 3 6C 6 )

6 ) 1

(

V u  u³ 



u²  u  H



) )(

)(

( )

( V

6   u   u  b

₁

u  b

₂

u  b

₃

3   u '

²

 ( u  b

₁

)( u  b

₂

)( u  b

₃

)

0 u

b

3 2

3 ( 1)( )( )

3



d 











_u  _b _u ^u_b _u _b

(36)

非线性物理：

1. 上述方程的实数解有很高的要求：积分号中的根号内为正值！ 2. 在区间[b₁, b₂]内V(u)<0，在(b₁,



)和(-



, b₃)范围内V(u)随u单调变

化，即无界，所以du/d



^无界。

3. 只需考虑[b₂, b₃]范围内求解上述积分方程。引入：

积分方程变成(



为椭圆函数模数)：

u  b

₃

 ( b

₂

 b

₃

) sin

²





_

 



 ^







 

 0 2 2

3 1

3 1 sin

d ) 12

( b b



² ² ³

1 3

 

 b b b b

注意到：

u  b

₃

 ( b

₂

 b

₃

) sin

²

 ^ ^b

₂

^ ⁽ ^b

₂

^ ^b

₃

⁾ ^cos

²

^

(37)

非线性物理：

非线性物理：孤波物理孤波物理所以有：

这是KdV方程的椭圆余弦波解，cn(



)波的周期为：

所以u(



)是一个余弦周期函数，周期为：

u b b b b b

( ) ( ) ( )

( ),

       

 

 



2 2 3

1 3

12 0

cn²









 

0^^/²

^d

2 2

sin 1

4 )

( K 4

L = 2K( )



b12



b

1  3

所以u(



)是空间周期为L的 一列行波。它不具有局域性质，所以它不是孤立波

(38)

非线性物理：

1. 需要考虑一些特殊情况，特别是椭圆模数



²^{处于极端时的情况！}

2. 先看



²0即b₃=b₂时，椭圆余弦函数cn(x)演变为三角余弦函数 cos(x)。于是有：

u b b b b b

( ) ( ) ( )

( )

      

 

 



2 2 3

1 3

12 0

cos²

     

 

 



b b b b b

2 2 3

1 3

0

1 2 1

( ) ( 12 )

( )

cos2   

 

  

b₂ b₃ b₂ b₃ b₁ b₃ 

2 2 cos ( 3 ) 0

( )

  

(39)

非线性物理：

1. 这是振幅十分小的余弦波解，它是由于幅度很小的非线性项可以 忽略的结果。同样不是孤波解。

2. 再看



²1即b₃=b₂时，椭圆余弦函数cn(x)演变为双曲正割函数 sech(x)。于是有：

u b b b b b

( ) ( ) ( )

( )



   

  

 

 



1 1 3

1 3

12 0

sech²

令 V(u) 中的常数 C=H=0，

b₁=b₂=0，b₃=3



=(v₀-



)。上面 解变成(就是孤波解)：

u( )   ( )

  

   

 



3 sech² 4 ⁰

(40)

非线性物理：

KdV方程：孤波解的相图

• KdV方程的形式如下，注意到V(u)是u的三次多项式：

雅可比矩阵为：

1

2 u'² V(u)  0

u  u    V  ( u ) u 

^u ^v

v u

' '



 



 V' ( )

M   u

 

 0 1 -V"( ) 0 特征值：



²

 V"( ) u

• 在V(u)的极小值处，V



(u)>0，特征值是共扼虚数，代表V(u)的极 小值处是中心点。极大值处是鞍点！

• 该方程只有一个鞍点，如果沿着一条流形出发，在绕了一圈之后又回到鞍点。这种从鞍点出发又回到鞍点的流形称为同宿线。由 此可见KdV方程的孤立波解是与相平面上的同宿线相联系的。

(41)

非线性物理：

KdV方程：孤波解的相图 1. 孤波解的相图如下：

(42)

非线性物理：

作业：数值求解KdV方程：

• 利用差分方法求解KdV方程的演化动力学。

• KdV方程的形式如上，初始波形取如下两类双曲函数形式：

• u_t-6uu_x+u_xxx=0, u(x, 0)=-2sech²x；u(x, 0)=-6sech²x

• u_t-6uu_x+u_xxx=0, u(x, 0)=-sech²x；u(x, 0)=-3sech²x； u(x, 0)=- 4sech²x； u(x, 0)=-5sech²x。

• 分析以上KdV方程解的动力学演化特征。

(43)

非线性物理：

KdV

方程一般求解：逆散射法

• 一般情况下不知道KdV方程一定有行波解，这时就不能使用前面 的行波解求法。而KdV方程从形式上看是一个难啃的骨头！

• 这里介绍1967年提出的逆散射法，对于孤波问题求解非常重要。

此方法立足于量子力学对薛定谔方程求解的大量技巧。

• 所谓逆散射问题来自于物理学中的薛定谔方程的散射问题。对于给定的势函数，一维定态薛定谔方程为：

(44)

非线性物理：

• 薛定谔方程左边是关于



的算符，如果其作用于函数



^得到一个常数



乘以该函数，则是该算符的本征值方程，



^和



^{分别是本征} 值和本征函数，u(x)是势函数。

• 如果哈密顿不依赖时间，状态为定态，描述状态的波函数可以分离成含时和空间部分。如不考虑含时部分，为定态薛定谔方程。

• 要使薛定谔方程有解，需要满足Faddeev条件：

• 所以必须有 x 时 u(x) 0。因此x 时方程退化为：

(45)

非线性物理：

• 下面讨论本征值



^<0和



>0两种情况。如果



<0，它一定是有限分 立的



_n^{，称为分立谱。设定：}

• 则本征函数



_n(x)在 x 时渐近形式为：

• 其中 c_n 为实常数，可以由归一化条件确定：

(46)

非线性物理：

• 显然，



<0的情况



_n(x)呈现束缚形态，本征函数是分离的。

•



^>0时，k²⁼



^{。本征函数}



(x)呈连续分布态，无穷远渐近性质是：

• 上述性质在物理上对应于势函数 u(x) 对于本征函数的散射，包 括在x处的入射波exp(-ikx)和反射波b(k)



exp(ikx)，以及在x-

处的透射波a(k)



exp(ikx)。

• a(k)和b(k)称为透射和反射系数，由于本征函数已经归一化，所 以有a²+b²=1，反映了能量守恒。

(47)

非线性物理：

• 势函数对本征函数的散射可以示意地表示如图。

• 上述过程表述为：给定u(x)，求解一维定态薛定谔方程得到



^(x)

。它必须满足渐近性质。如果本征值



_n<0，由渐近性质得到 k_n 和 c_n；如果本征值



>0，由连续的本征函数渐近行为得到 b(k) 和 a(k)，注意到归一化条件。

• 这就是所谓的正散射问题。

(48)

非线性物理：

• 所谓逆散射问题就是给定 k_n 和 c_n，或者 b(k)和 a(k)，来求势函数 u(x)，这个势函数刚好就是我们要求的KdV方程的解。

• 逆散射问题很大程度上决定于Gelfand-Levitan-Marchenko(GLM) 积分方程和求解：

• 其被积函数B(x+y, t)为：

(49)

非线性物理：

• 因此，如果给定 k_n 和 c_n (



_n<0)，或者 b(k)和 a(k) (



>0) ，就可以 求得 B(x+y, t)，代入GLM方程，得到 K(x, y, t)，势函数 u(x)为：

• 可以看到，绕了一个很大的弯弯，终于似乎可以求得 u(x)了。

• 事实上，除非 b(k)=0，否则GLM方程很难解析，只有数值解。

b(k)=0就是所谓的无反射势问题。

• 可是，KdV方程中 u 是time dependent的，即 u(x, t)而非 u(x)。

(50)

非线性物理：

• 解决这一问题必须看KdV方程的初值问题，牵涉更广的数学。其 思路是寻找KdV与薛定谔方程的关系和含时项的处理。

• 定义Miura变换：

• 其中 v 和 u 假定分别是下列KdV方程的解：

• 我们总可以设v=



_x/



，代入到Miura变换中得到方程：

(51)

非线性物理：

• 这一方程与一维定态薛定谔方程很类似，通过如下伽利略变换就可以得到完全一样的数学形式。

• 这里的意义在于：如果



是薛定谔方程的解，u是KdV方程的解

，那么这两个解就有 u=



_xx/



^的关系。

(52)

非线性物理：

• 另外，数学还证明：如果u(x,t)是KdV方程的解，而且满足

x时u0很快，则一维定态薛定谔方程分离本征值



_n^为常数

，与时间无关。

• 这就是说，从u(x,0)和u(x,t)出发求得的一维定态薛定谔方程分离 本征值



_n是一样的。因此，只要给定u(x,0)，无需通过求解KdV 方程而得到u(x,t) (事实上，我们在这里折腾就是为了要求KdV方 程)，就可以求得



_n和全部初始散射系数c_n(0), b(k,0), a(k, 0)。

• 其次，GGKM (C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M.

Miura) 证明了如下重要的含时关系：

(53)

非线性物理：

• 这样，只要给定KdV方程的 u(x,0)，通过逆散射方法求 u(x, t)已经 水到渠成了，哈哈。

• (1) 给定如下KdV方程及初值：

• 我们求解下列薛定谔方程以求得 k_n, c_n(0)和 b(k, 0)：

(54)

非线性物理：

• (2) 根据GGKM关系求解含时的散射因子：

• (3) 求解GLM方程的被积函数：

(55)

非线性物理：

• (4) 将B(x+y,t)代入GLM方程，求出K(x,y,t)，最后由：

• 求得u(x, t)，大功告成！

(56)

非线性物理：

举例说明：

• 先看看无放射势情况，原因在于如果 b(k,t)非零，GLM方程中的 积分项依然难以解析积出！

• 求解如下KdV初值问题：

• t=0时对应的薛定谔方程为：

• 此方程只有束缚态解，分立本征值唯一。

(57)

非线性物理：

• 代入GLM方程得到：

(58)

非线性物理：

• 对 K(x,y,t)分离变量：

(59)

非线性物理：

• 可以看到，这是一个单孤子解，波幅为-2，速率为4。

• 对于另一个初值问题：

(60)

非线性物理：

• 步骤类似，但是有两个分立本征值：

(61)

非线性物理：

(62)

非线性物理：

• 这是一个双孤子解。

(63)