高二上第一次學藝競試數學3A題庫(40)

Ch1

一、多

選題

1.

（　　）下列選項哪些是正確的？　(A)

cos( ) cos 2

   

_(B)

cos( ) sin 2 

  



(C)sin(π + θ ) = − sinθ

　(D)sin(π − θ ) = − sinθ　(E)

tan(3 ) tan 2  _{  }

　

解答 　BC　

解析 　(A)因為

90 2  _{ }

，所以

cos( ) sin 2     

(B)

因為

90 2  _{ }

，且

( ) 2 2      

_，所以

cos( ) sin 2    

(C)

_{因為 π = 180°，所以 sin(π + θ ) = − sinθ　(D)因為 π = 180°，所以 sin(π − θ ) = sinθ}

(E)

因為

3 270 2  _{ }

，所以

3 sin( ) 3 ₂ cos tan( ) tan 3 2 _{cos( )} sin 2    _  _  _{ }  _      

2.

（　　）下列有關角度的大小，哪些是正確的？　(A)1 > 1°　(B)π > π°　(C)

1 4  

_(D)

72 3   



(E)

30 5   



解答 　ABCD　

解析 　(A)1 弳 ≈ 57° ⇒ 1 > 1°　(B)π 弳 = 180° ⇒ π > π°　(C)

₄

弳 ≈ 0.785 弳 ⇒

1 4  

(D)

60 3  _{ }

⇒

72 ₃

(E)

180 36 5 5     

⇒

30 ₅

二、填充題

1.

換算下列角度：

(1)

_{450 }

____________

弳。 (2)

7₉

弳

_

____________

度。

解答 　(1)

5₂

(2)

₁₄₀

解析 　(1)

_1

弳

_180

，所以

450 450 180    

_（弳）

5 2  

_（弳）。

(2)

7₉

弳

7 180 140 9       

_。

2.

半徑為

3

_{的圓輪轉動一圈，則轉動的圓心角為①____________弳；若轉動}

2

_{圈，則轉動的圓心角}

為②____________弳。

解答 　①

2

_②

4 1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

解析

①

2 3 2 3      

_{（弳）。　②}

2 3 2 4 3       

_（弳）。

3.

如圖，扇形

_OAB

的圓心角為

₃

弳，半徑

₉

，

有一圓內切於扇形

OAB

_，

P

，

Q

分別為與

OA

_，

OB

_{的切點，則}

(1)

劣弧長

PQ 

____________

。

(2)

鋪色區域面積為____________。

解答 　(1)

2

(2)

9 3 3 

解析 　　

(1)

連接

RP

，

RQ

，

因為

P

，

Q

為切點，所以

RP OA

_，

RQOB

_，

又

AOB  ₃ PRQ 2₃

_，

設內切圓半徑為

r

_，則

3r9

_⇒

r3

_，

所以劣弧

 3 2 2 3 PQ    

_。

(2)

鋪色區域面積

△OPR

面積

△OQR

面積



扇形

RPQ

面積

　　　　　　

3 3 3 1 3 3 3 1 1 32 2 2 2 2 3           9 3 3  

。　

4.

_{設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如圖所示：}

圖中，圓弧

QRT

_是一個以

_O

_{點為圓心、}

QT

_{為直徑的半圓，}

2 3 QT 

_。圓弧

QST

_的圓心在

_P

_點，

PQ PT 2

_。

圓弧

QRT

與圓弧

QST

所圍出的灰色區域

QRTSQ

即為某一天所見的月亮形狀。

設此灰色區域的面積為

a b

_，

其中



為圓周率，

a

_{為有理數，}

b

_為整數，

則

a

_{①____________（化為最簡分數），}

b

_{②____________。}

解答 　①

1₆

_{② 3}

解析 　△

PQT

_{為等腰三角形，}

OQ OT  3

_，

因此△

OPQ

與△

OPT

_{為全等的直角三角形。}

直角三角形

OPQ

_中，

PQ2

_，

OQ 3

_，

因此

OP1

_，且△

OPQ

_為

30 -60 -90  

_{的直角三角形，}

QPT 120

_。

扇形

PQST

的面積為

1₃22 4₃

，

半圓

QRT

的面積為

2 1 3 3 2 2    

_，

△

_PQT

的面積為

1 2 3 1 3 2  

，

因此斜線區域面積為

3 3 4 1 3 2 3 6  _{ }  _{ }

，

故

a1₆

_，

3 b

。　

5.

問：

(1)

18 

____________

弳。 (2)

120 

_{____________}

_弳。

解答 　(1)

₁₀

(2)

2₃

解析 　(1)

18 18 180    

_弳

10  

_弳。

(2)

120  120₁₈₀

弳

 2₃

弳。　

6.

試求下列三角比的值：

(1)

sin_2₃ _

____________

。 (2)

cos3 2  _

____________

。(3)

tan4 3  _

____________

。

解答 　(1)

 ₂3

₍₂₎

0

(3)

3

解析 　(1)

sin2₃  sin2₃  sin ₃

    3 sin 3 2     

_。

(2)cos3 0 2  _

。　

(3)tan4₃ tan_ ₃_tan₃  3

。（亦可作單位圓，利用廣義角三角比的定義解之。）

7.

試求下列三角比的值：

(1)

sin7 6  _

____________

。(2)

cos5 3  _

____________

。(3)

tan 3  _ _    

____________

。

解答 　(1)

1₂

(2)

1₂

(3)

_{ 3}

解析 　(1)

sin7₆ sin_₆_ sin₆  ₂1

_。

(2)cos5₃ cos 2  ₃cos₃ ₂1

 

。　

(3)tan__3 tan₃   3

。　

8.

將度

轉換

成以弳為單位：

(1)22.5° = ____________

弳。 (2) − 105° = ____________弳。

解答 　(1)

₈

(2)

7₁₂

解析 　(1)

22.5 22.5 180 8      

_（弳）。

(2)

105  105₁₈₀  7₁₂

（弳）。　

9.

求下列各三角函數值：

(1)

cos2 3  _

____________

_{。 (2)}

cos( 11 ) 6   

_{____________}

_{。 (3)}

tan5 3  _

____________

_。

解答 　(1)

1₂

(2)

₂3

(3)

_{ 3}

解析 　(1)

cos2 cos( ) cos 1

3 3 3 2

 

       

_。

(2)cos( 11 ) cos11 cos(2 )

6 6 6   _      cos 3 6 2   

。　

(3)tan5 tan(2 ) tan 3

3 3 3  _{ } _{ }  _{ }

。　

10.

試求下列三角比的值：

(1)

sin₃ 

____________

。 (2)

cos2 3  _

____________

。(3)

tan5 6  _

____________

。

解答 　(1)

₂3

(2)

1₂

(3)

 1₃

解析 　作單位圓（半徑為

1

_）如圖。

　

(1) 3 POA   

，所以

sin sin 60 3 3 2  _{  }

。　

(2) 2 3 QOA 

 

，所以

cos2 cos120 cos60 1

3 2  _{      }

。　

(3) 5 6 ROA 

 

，所以

tan5₆ tan150 tan30 1

3  _{      }

Ch2

一、單

選題

1.

（　　）要得到函數

cos(2 ) 4 y x

_{的圖形，只需將 y = sin2x 的圖形　(A)向右平移}

8 

　(B)向左平

移

₈

　(C)向右平移

₄

　(D)向左平移

₄

　(E)向上平移

₄

　

解答 　B　

解析 　y = sin2x 向左平移

₈

個單位得函數

sin[2( )]

8

y x

_，

又

sin[2( )] sin(2 ) cos[(2 ) ] cos(2 )

8 4 4 2 4 y x  x  x   x

_，

所以只需將 y = sin2x 的圖形向左平移

₈

個單位就可得到函數

cos(2 ) 4 y x

_的圖形

2.

（　　）設

_{asin 2}

，選出正確的選項。　(A)

 ₂3   a ₂2

_(B)

2 1 2 a 2    

_(C)

2 3 2  a 2

(D)

3 1 2  a

　

解答 　D　

解析 　因為

_{ 3.14}

，所以

2 2 2 3  _{ } 

。

觀察

_ysinx

的圖形，發現當

₂  x 2₃

_時，

sin y x

為遞減函數，因此可得

₂3sin 2 1

3.

（　　）化簡

sin cos2 tan5 cos

3 3 3    _    

_？　(A)

3 4 

_(B)

3 3 4 

_(C)

3 3 4

　(D)

5 3 4

　(E)

5 3 4 

解答 　E　

解析 　原式

3 1

 

3

 

1 2 2     _{ }      3 ₃ 5 3 4 4     

4.

（　　）若 n 為正整數，且函數

( ) 2sin( ) 5 nx f x  

_{的週期不大於 1，則 n 的最小值為　(A)29}

(B)30

　(C)31　(D)32　(E)33　

解答 　D　

解析

週期

2 10 1 5 n _n     

⇒ n ≥ 10π，

又 n∈ℕ ⇒ n ≥ 32　

5.

（　　）設

_acos3

，選出正確的選項。　(A)

_{a 1}

　(B)

1 1 2 a    

_(C)

1 0 2 a   

_(D)

0 1 2 a  

解答 　B　

解析 　因為

_{ 3.14}

，所以

2 3 3  _{ }

。

觀察

ycosx

的圖形，發現當

2₃  x 

時，

cos y x

為遞減函數，因此可得

 1 cos3 1₂

6.

（　　）設

_acos1

，選出正確的選項。　(A)

_{  1 a 0}

　(B)

0 1 2 a  

_(C)

1 2 2 a 2

　(D)

2 3 2  a 2

　(E)

3 1 2  a

　

解答 　C　

解析 　利用

1 4 3  _{ }

，及

ycosx

的部分圖形（如圖），

得

cos cos1 cos

4 3  _{ } 

，即

₂2  a 1₂

二、多選題

1.

（　　）關於函數

f x

 

2 1 sin 3_  _ x_6_

，試問下列哪些選項正確？　(A)

_{0 f x}

_{ }

_4

　(B)

_{f x}

_{ }

在

x₆

_{時有最大值　(C)}

_{f x}

_{ }

_的週期為

3 2 

　(D)

f x

_{ }

的振幅為

₂

　

解答 　AD　

解析 　(A)○：

f x

 

_{的最大值為}

2 1 1



 



4

_{，最小值為}

2 1



 

 

1



0

(B)╳

：當

6 x

時，

f _{ } ₆ 2 1 sin  _ ₂ ₆_2 1 cos_  ₆_2 1_  ₂3_ 2 3    

（不為最大

值）　(C)╳：因為

 

2 2sin 3 6 f x   _ x _  

，所以

f x

 

的週期為

2 3  1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

(D)○

：因為

 

2 2sin 3 6 f x   _ x _

 

，所以

f x

 

的振幅為

2

2.

（　　）選出所有正確的選項。　(A)函數

ysinx

的圖形對稱於原點　(B)函數

ysinx

與

sin

y  x

_{的圖形，對稱於 y 軸　(C)函數}

y sinx

_的週期是

_2

_(D)

_{ 1 sinx1}



解答 　ABD　

解析 　(A)○　(B)○：

ysinx

_與

y sinx

_{的圖形，同時對稱於 x 軸及 y 軸　(C)╳：函數}

y sinx

_的

週期是 π　(D)○　

三、填充題

1.

函數 y = 1 − 2cos2x 的部分圖形如附圖所示，

試求△ABC 的面積為____________平方單位。

解答 　π　

解析 　(I)y = 1 − 2cos2x = 0 ⇒

cos 2 1

2 x

_，

　若 x > 0 ⇒

2 3 x

_，

5 3 

，… ⇒

x₆

_，

5 6 

，…，

　所以

( ,0) 6 A 

_，

(5 ,0) 6 B 

_⇒

5 4 6 6 6 AB    

_，

(II) − 1 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ − 1 ≤ 1 − 2cos2x ≤ 3 ⇒

CD3

_，

由(I)(II)知△ABC 面積

1 1 4 3 2 AB CD 2 6  _       

_{（平方單位）。}

2.

函數 y = 3sin2x，

₄  x 5₄

_{與直線 y = 3}

圍成一個封閉圖形，則此圖形的面積為____________。

解答 　3π　

解析 　

如圖，所求面積 = 矩形 ABCD 面積

3 (5 ) 3 4 4   _    

_。

3.

方程式

sin 3 x x  

_{解的個數有____________個。}

解答 　7　

解析

討論

sin 3 y x x y      _ 

函數圖形的交點個數，

作圖：

故方程式

sin 3 x x  

_共有

7

個解。　

Ch3

一、單選題

1.

（　　）求

sin 3_sin cos3_cos 

(A)0

　(B)1　(C) − 1　(D)2　(E) − 2　

解答 　D　

解析 　

3 3

2 2

sin 3 cos3 3sin 4sin 4cos 3cos

(3 4sin ) (4cos 3)

sin cos sin cos

      _{ }             

　　　　　　 = 6 − 4(sin

2

_{θ + cos}

2

_{θ) = 6 − 4 = 2}



2.

（　　）設

tan 1 9

 

_{，tan( α + β ) = 1，則 tan β 的值為　(A)}

2 3

　(B)

3 4

　(C)

4 5

　(D)

5 6

　(E)

6 7

　

解答 　C　

解析 　

tan tan tan( ) 1 1 tan tan           

⇒

1 tan 9 ₁ 1 1 tan 9     

⇒

tan 4 5  

3.

（　　）

_{sin 39 1 cos 21} 2 _{ cos 21 1 sin 39} 2 _

等於　(A)0　(B)

1 2

　(C)

1 2 

_(D)

3 2

　(E)

3 2 

解答 　C　

解析 　求值式

_{sin 39 sin 21}2 _{ cos 21 cos 39}2 _{ sin 39 sin 21  cos 21 cos39 }

　　　

(cos 21 cos39 sin 21 sin 39 ) cos(21 39 ) cos60 1 2                 

4.

（　　）設

_{90   180}

，且

_{4sin3cos0}

，則

tan 2 

的值為何？　(A)

1₃

　(B)

₃

　(C)

_1

　(D)

₁

(E)

3



解答 　B　

解析 　因為

4sin3cos 0

_⇒

4sin 3cos

_，

所以

tan 3

4   

_，

令

tan 2 t  _

（

_t0

，因為

45 90 2     

_），

則

2 2 3 tan 1 4 t t    

⇒

_{ 3 3t}2_8t

，

所以

_3t2_{  8t 3 0}

_，



t3 3 1

 

t 



0

_，

所以

_t3

或

1₃

（不合），即

tan 3 2  _

5.

（　　）設 x + y = 120°，則 sinx − siny 的最大值為　(A)2　(B)

3₂

　(C)

5₄

　(D)1　(E)

1₂

　

解答 　D　

解析 　x + y = 120° ⇒ y = 120° − x，

所以 sinx − siny = sinx − sin(120° − x) = sinx − (sin120°cosx − cos120°sinx)

　　　　　　

sin ( 3cos 1sin ) 1sin 3cos

2 2 2 2

x x x x x

    

　　　　　　 = cos60°sinx − sin60°cosx = sin(x − 60°)，

又因為 x 為任意實數，所以 sin(x − 60°)的最大值為 1，

即 sinx − siny 的最大值為 1　

二、多選題

1.

（　　）試問下列何者正確？　(A)tan20° + tan40° +

3

tan20°tan40° =

3

_{(B)tan80° + tan55° −}

tan80°tan55° = 1

　(C)

3

tan74° −

3

tan44° − tan74°tan44° = − 1

　(D)

3

tan70°tan50° −

tan70° − tan50° =

3



解答 　AD　

解析 　(A)因為 20° + 40° = 60°，tan(20° + 40°) = tan60° ⇒

tan 20 tan 40 3

1 tan 20 tan 40    _

  

，所以 tan20° +

tan40° +

3

tan20°tan40° =

3

(B)

_{因為 80° + 55° = 135°，所以 tan(80° + 55°) = tan135° = tan(180° − 45°) = − tan45° ⇒}

tan 80 tan 55 1 1 tan80 tan 55

   _{ }

  

，所以 tan80° + tan55° − tan80°tan55° = − 1　(C)因為 74° − 44° =

30°

，所以 tan(74° − 44°) = tan30° ⇒

_{1 tan 74 tan 44}tan 74_  _tan 44_ 1₃

，所以

₃

tan74° −

₃

tan44° −

tan74°tan44° = 1

　(D)因為 70° + 50° = 120°，所以 tan(70° + 50°) = tan120° ⇒

tan 70 tan 50

3 1 tan 70 tan 50

   _{ }

2.

（　

）試求下列何者正確？　(A)cos63°cos18° + sin63°sin18° =

₂2

　(B)cos179°cos61° −

sin179°sin61° =

1 2 

_{(C)sin20°cos40° + cos20°sin40° =}

3 2

　(D)sin23°cos68° − sin68°cos23°

=

2 2 

_{(E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = 1}

解答 　ABCDE　

解析 　(A)cos63°cos18° + sin63°sin18° = cos(63° − 18°) = cos45° =

₂2

(B)cos179°cos61° − sin179°sin61° = cos(179° + 61°) = cos240° = cos(180° + 60°) = − cos60°

=

1₂

(C)sin20°cos40° + cos20°sin40° = sin(20° + 40°) = sin60° =

3

2

(D)sin23°cos68° − sin68°cos23° = sin23°cos68° − cos23°sin68° = sin(23° − 68°) = sin( − 45°)

= − sin45° =

2

2 

(E)sin12°cos78° + cos12°sin78° = sin(12° + 78°) = sin90° = 1



三、填充題

1.

如圖，直角三角形

ABC

_中，若

CD2BC2AD

_，且

ABD

_，則

tan 

____________

。

解答 　

1₇

解析 　令

BC1

_，則

AD1

_，

CD2

_，

所以

tan



 



3

_且

_{tan 2}

⇒

_{1 tan tan}tan_ _tan_ 3

，

tan 2 3 1 2 tan     

，

所以

_{tan  2 3 6 tan}

，故

tan 1 7  

_。

2.

如圖，圖形由 5 個正方形所構成，求 tan θ = ____________。

1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

解答

7 6

解析 　如圖，θ = 90° − 1 − 2

∠

∠

，

tan θ = tan[90° − ( 1 + 2)]

∠

∠

1 1 1 7 tan 1 tan 2 1 1 tan( 1 2) 6 1 tan 1tan 2 2 4 1 1 1 2 4   _{  }      _     

。

3.

如圖，△ABC 中，

ADBC

且

BD CD AD: : 2 : 3 : 6

_{，則∠BAC = ____________。}

解答 　45°　

解析 　設∠BAD = α，∠DAC = β

⇒

tan 2 6 BD AD   

_，

tan 3 6 CD AD   

_，

所以

2 3 tan tan _{6 6} tan( ) 1 2 3 1 tan tan ₁ 6 6              _{ }

，

又 0° < α + β < 180° ⇒ α + β = 45°，即∠BAC = 45°。　

4.

　

(1)

試求 sin75° = ____________。

(2)

試求 cos105° = ____________。

解答 　(1)

6₄ 2

(2)

2 6 4 

解析 　(1) sin75° = sin(30° + 45°) = sin30°cos45° + cos30°sin45°

　　　

 1_{2 2}2  ₂3 ₂2  6₄ 2

_。

(2)cos105° = cos(45° + 60°) = cos45°cos60° − sin45°sin60°

　　　

 ₂2 1 _{2 2}2 ₂3  2₄ 6

_（

6 2 4   

_）。

1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

Ch4

一、單

選題

1.

（　　）下列各數何者最大？　(A)sin5° + cos5°　(B)sin6° + cos6°　(C)sin7° + cos7°　(D)sin8° +

cos8°

　(E)sin9° + cos9°　

解答 　E　

解析 　

sincos 2( 1₂sin 1₂cos )  2(cos 45 sin sin 45 cos )  _{ 2 sin( 45 )}

，　(A)

sin 5 cos5  2 sin 50

(B)

sin 6 cos6  2 sin 51

(C)

sin 7 cos7  2 sin 52

(D)

sin8 cos8  2 sin 53

(E)

sin 9 cos9  2 sin 54

2.

_{（　　）下列各式何者的週期為 π？　(A)y = sinx + cosx　(B)y = sinx − cosx　(C)y = sinxcosx}

(D)y = 3sinx − 4sin

3

_x

_{(E)y = 4cos}

3

_{x − 3cosx}



解答 　C　

解析 　(A)╳：週期為 2π　(B)╳：週期為 2π　(C)○：

sin cos 1sin 2

2

y x x x

_{，週期為 π　(D)╳：y =}

3sinx − 4sin

3

_{x = sin3x}

_，週期為

2 3



(E)╳

：y = 4cos

3

_{x − 3cosx = cos3x}

_，週期為

2

3 

3.

（　　）關於 y = sinx − cosx 的圖形，何者正確？　(A)週期為 π　(B)振幅為 4　(C)最大值為 2　

(D)

與 y 軸交於(0,2)　(E)最大值為

2



解答 　E　

解析 　

ysinxcosx 2(sinx 1₂ cosx 1₂) 2 sin(x₄)

，　(A)╳：週期為 2π　(B)╳：振幅

為

2

(C)╳

：最大值為

2

(D)╳

：令 x = 0，y = − 1，交於(0, − 1)　(E)○　

4.

（　　）若

f x( ) 3 sinxcosx

_{，則何者的函數值最大？　(A)f (30°)　(B)f (60°)　(C)f (90°)　(D)f}

(120°)

　(E)f (150°)　

解答 　B　

解析 　

( ) 2( 3sin 1cos ) 2sin( 30 )

2 2

f x  x x  x 

_，

5.

（　

）關於函數

y f x( ) sin x 3 cosx

_{的圖形，何者正確？　(A)y = f (x)的振幅為}

2 3

_(B)y

= f (x)

的週期為 π　(C)y = f (x)的圖形對稱於原點　(D)y = f (x)的圖形與 y 軸恰一交點　

(E)y = f (x)

的圖形與 x 軸恰一交點　

解答 　D　

解析 　由題目知：

1 3

2(sin cos ) 2sin( 60 )

2 2        y x x x

⇒

振幅為 2，週期為 2π，當 x = 0，

y 3

_{恰交一點，}

用描點作圖：

0 30 60 90 120 150 180 3 2 3 1 0 1 3          x y

6.

（　　）f (x) = 5cosθ − 4sinθ 有最大值時，θ 為　(A)第一象限角　(B)第二象限角　(C)第三象限角

(D)

第四象限角　

解答 　D　

解析 　cosθ > 0，sinθ < 0 有最大值，所以 θ 為第四象限角　

7.

（　　）下列各數何者最小？　(A)

sin10 cos10

_(B)

sin 20 cos20

_(C)

sin30 cos30

_(D)

sin 40 cos40

_(E)

sin50 cos50



解答 　A　

解析 　將各選項表成正弦函數的形式，得　(A)





1 1

sin10 cos10 2 sin10 cos10 2 sin 10 45 2 sin 55

2 2

 

    _    _     

 

(B)

sin 20 cos 20  2 sin 65

(C)

sin 30 cos30  2 sin 75

(D)

sin 40 cos 40  2 sin85

(E)

sin 50 cos50  2 sin 95  2 sin85

_{。又因為當角度為銳角時，愈接近}

90

_，其正弦

值愈大，所以

2 sin 55

_值最小

8.

（　　）若 y = 5sinx − 12cosx − 3，則下列何者正確？　(A) − 20 ≤ y ≤ 8　(B) − 16 ≤ y ≤ 10　(C)

17 3 y 17 3     

_{(D) − 10 ≤ y ≤ 10　(E)}

 20 y 20



解答 　B　

解析 　因為

_{ 5}2_{ ( 12)}2 _{5sinx12cosx 5}2_{ ( 12)}2

，

所以

− 13 − 3 ≤ 5sinx − 12cosx − 3 ≤ 13 − 3，

即

− 16 ≤ y ≤ 10

　

1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

二、多

選題

1.

（　　）關於函數

( ) sin cos 2 x x y f x  

_{的圖形，下列敘述哪些正確？　(A)週期為 π　(B)振幅為}

2

　(C)與 y 軸之交點

1 0, 2      

　(D)與 x 軸有無限多個交點　(E)其圖形對稱於原點　

解答 　CD　

解析 　

1(sin cos ) 2 y x x ₂2 1 sin 1 cos 2 x 2 x    _  _  

　

2(cos45 sin sin 45 cos )

2 x x     2sin( 45 ) 2 x   

(A)╳

：週期為

2

(B)╳

：振幅為

₂2

(C)○

：令

0 1 2 x  y

(D)○

：其圖形與 x 軸有無限多個交點　(E)╳：

( ) 1



sin( ) cos( )



2 f  x  x x 1 ( sin cos ) ( ) 2 x x f x     

2.

（　　）關於函數

ysinxcosx

的圖形，選出正確的選項。　(A)週期為



　(B)振幅為 2　(C)與

y

軸的交點為



0, 1



　(D)與

_x

軸有無限多個交點　(E)對稱於直線

x₄

　

解答 　CD　

解析 　將函數表成正弦函數的形式，得

1 1

sin cos 2 sin cos

2 2

y x x _ x x_

 

　

2 sin cos cos sin

4 4 x  x     _  _   2 sin x 4     _  _  

。

因此，其圖形可由

ysinx

的圖形向右平移

₄

單位，

再將振幅拉大為

2

_{得到，如圖所示。}

(A)

週期為

2

(B)

振幅為

2

(C)

將

0 x

代入函數，得

2 2 sin 2 1 4 2 y __  _ _    _{ }

，因此，圖形與 y 軸的交點為



0, 1



(D)

_{由圖知，圖形與 x 軸有無限多個交點　(E)因為直線}

x₄

_{不是通過最高點或最低點的}

鉛直線，所以圖形沒有對稱此直線　

三、填充題

1.

設 0 ≤ x < 2π，若

ycosx 3 sinx2

_，

(1)

當 x = ①____________時，y 有最大值為②____________。

(2)

_{當 x = ①____________時，y 有最小值為②____________。}

解答 　(1)①

₃

②4

　(2)①

4₃

②0

　

解析 　

cos 3 sin 2 2( cos1 3sin ) 2 2(sin cos cos sin ) 2

2 2 6 6 y x x  x x    x  x 

　= 2sin(x +

₆

) + 2

，　

(1)

當 sin(x +

₆

) = 1

時，y 的最大值為 4，此時 x +

₆

=

₂

⇒ x =

₃

；① x =

₃

。　② y 的最

大值為 4。　

(2)

當

sin(x + 6  ) = −1

時，

y

的最小值為

0

，此時

x + 6  =3 2  ⇒ x =4 3 

；①

x =4 3 

。　②

y

的

最小值為

0

。　

2.

f (θ ) = 12sinθ − 5cosθ

_，

(1)f (θ )的

最大值為____________。

(2)承上題，

此時 θ 為第____________象限角。

解答 　(1)13　(2)二　

解析 　(1) 最大值為 13。

(2)

此時 sinθ > 0，cosθ < 0，

所以 θ 為第二象限角。　

1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

Ch5

一、單

選題

1.

（　　）下列哪一個數最小？　(A)

 

0.5 2

_(B)

 

0.5  5

_(C)

 

0.5  3

_(D)

 

0.5 1.5

_(E)

 

0.5 0.5



解答 　E　

解析 　因為

0 0.5 1 

_，

所以函數為遞減函數，

故當指數愈大時，函數值愈小，

因為

 5   2 3 1.5 0.5

_，

所以

 

0.5 0.5

_最小

2.

（　　）問：下列四個數何者最小？　(A)

1 3 2

　(B)

2 1 8       

　(C)

₂ 14

　(D)

1 3 8

　

解答 　D　

解析 　將五個數皆化成以 2 為底數：

 

2 2 3 6 1 2 2 8           

，

 

1 1 3 1 3 3 8 _ 2  _2

。

因為底數

2 1

，所以

₂1₂14₂31₂6

。

故最小值為

₈13

3.

（　　）下列哪一個數值最大？　(A)2

3.1

_(B)

3₄

　(C)

1 8

　(D)(

1 2

)

− 2.5

　(E)1　

解答 　A　

解析 　

3_{4 2} 23

，

3 1 2 8  

_，(

1 2

)

− 2.5

= (2

− 1

)

− 2.5

= 2

2.5

，1 = 2

0

，

3.1

，

2₃

，

− 3，2.5，0 中，3.1 最大，即 2

3.1

_最大

4.

（　　）對任意實數 x 而言，

₍ 2 2₎ 3 27x

的最小值為何？　(A)3　(B)

3 3

　(C)9　(D)27　(E)

81 3

　

解答 　C　

解析 　因為底數 27 > 1，又

x2 2₃ 2₃

_，所以

₍ 2 2₎ 2 2 3 2 3 3 3 27 x 27 (3 ) 3 9

5.

（　　）下列哪一個數最小？　(A)0.9

− 3.6

_(B)0.9

− 2.6

_(C)0.9

− 1.6

_(D)0.9

 3

_(E)0.9

 5



解答 　C　

解析 　指數中以

− 1.6

為最大，所以 0.9

− 1.6

_為最小

6.

（　

）關於兩函數

_y2x

與

1 2 x y  _{  }  

圖形的敘述，下列哪一個選項正確？　(A)兩圖形不相交

(B)

兩圖形對稱於 x 軸　(C)兩圖形均在 x 軸上方　(D)

_y2x

的圖形恆在

1 2 x y  _{  }  

的圖形上

方　

解答 　C　

解析 　兩圖形如下圖所示，觀察可得僅有「兩圖形均在 x 軸上方」正確。

二、多選題

1.

（　　）設

a0

_，

a1

_{，下列圖形中，哪些可能是指數函數}

_{y a} x

的圖形？　(A)

　(B)

　(C)

　(D)

解答 　AC　

解析 　指數函數

y a x

_（

a0

_，

a1

_{）的圖形應}

(I)

過點

 

0,1

；(II)恆在 x 軸上方；(III)以 x 軸為漸近線　

2.

（　　）設

0 a 1

，關於函數

f x

 

ax

，選出所有正確的選項。　(A)

f

 

2 1

　(B)

f x

 

的圖形

在

x

_{軸的上方　(C)若}

f x

 

 f

 

2

_，則

x2

　(D)

f x

 

_{的圖形凹口向上　(E)若}

 

_，則

 

 

f   f 



解答 　BCD　

解析 　函數

f x

 

ax

的圖形如圖所示。

(A)

由圖可知：

f

 

2  f

 

0 1

(B)

f x

 

的圖形在

x

_軸的上方

(C)

_因為

f x

 

_的圖形和

x

_{軸上方的水平線都恰有一個交點，所以當}

f x

 

 f

 

2

_時，

x2

(D)

f x

 

的圖形凹口向上　(E)因為

f x

 

為嚴格遞減函數，所以當

 

時，

f

 

  f

 

 1091 高二數學 3A 第一次學藝競試題庫

三、填充 題

1.

已知

₆ 2 _{7 6} 5x  x

_{< 625}

_{，求 x 的範圍為____________。}

解答 　

1₂ x 2₃

解析 　因為 5

_6x2_{ 7x 6} 

5

4

_，

所以 6x

2

_{− 7x + 6 < 4 ⇒ 6x}

2

_{− 7x + 2 < 0 ⇒ (2x − 1)(3x − 2) < 0 ⇒}

1 2

x <

2 3

。　

2.

已知

1₉

(

1₃

)

2x + 1

_{< 9}

_{，求 x 的範圍為____________。}

解答 　

  ₂3 x 1₂

解析 　因為

1 ( )1 2 1 9 3 x  

₉

_，

所以 3

− 2

_{< 3}

− 2x − 1

_{< 3}

2

_{⇒ − 2 < − 2x − 1 < 2 ⇒ − 1 < − 2x < 3 ⇒}

3 2 

_{< x <}

1 2

。　

3.

已知(

1₄

)

2 5 2 x  x 

0.125

，求 x 的範圍為____________。

解答 　

1₂

< x < 3

　

解析 　因為(

1₄

)

2 5 2 x  x  1 8

⇒ (

1 2

)

2 2 5 1 3 ( ) 2 x x_

，

所以 2x

2

_{− 5x < 3 ⇒ 2x}

2

_{− 5x − 3 < 0 ⇒ (x − 3)(2x + 1) < 0 ⇒}

1 2  

_{x < 3}

_。

4.

將函數

_{y f x}( )_{ }2x

的圖形向右移

1

單位，向下移

2

單位，可得函數

y g x ( )

____________

。

解答 　

_2 x 1_2

解析 　移動後的函數為

_{y  }2 2 ( 1)x _{  y} 2 x 1_2

。