中學生通訊解題第八十一期題目參考解答及評註

中學生通訊解題第八十一期題目參考解答及評註

臺北市立建國高級中學

數學科

於是

MD·RM=ML·AM

問題編號

8101

己知平行四邊形 ABCD' C 在 AD 、 AB 上 的射影分別是 M 、 N' MN 延長後與 BD 的 延長線交於 p ， 求證 PC

1.

AC

\﹒平行四邊形 ABCD ，

CM

1.

AD '

CN

1.

AB

'.

CD 1. 夜，得高5. 頁頁 =CAf

故五頁頁 =CM2 ，得證。

解題評註: 卜此題利用直角三角形母子相似性質得

B

參考解答:

C

P

2.

到所要證明的一個充要條件

AM-Z=CM2 ，以及由題意得出

CD 1. CN 性質，因此適當作出如解法 中的補助線。 這一題作出補助線，方能順利清楚的 證明出此題。同學應學習如何從題意 中抽絲剝繭作出適當的補助線。作出 延長 AD ' 交 PC 於 L' 則 PC

1.

AC

∞6ACM~6CLM∞立12.正在 =CAr

適當的補助線，往往是幾何題的關鍵。 3. 使用數學軟體的確可以幫助了解題 意，檢驗兩幾何物件的關餘，例如兩

Q

R

.

B

C

P

_{幾何物件的交點有幾個;但是在數學} 的證明上應將來龍去脈嚴謹說明。 4. 此題亦可用解析幾何的方法證明。

證明 AM

-AfL=CAd2

延長 A訓，交 CB 延長線於 Q' 又延長

CN

' 交 DA 延長線於尺，則

ML

QC

RM

MD

QB

AM

63

-問題編號

8102

以 A 、 8 為直徑兩端點的半圓(如圖)

,

0 為

中華民國 102 年 8 月 第 361 期 科學教育月刊 C， D， E， F， 。五點共圓的直徑兩端點 A 、 B 的中點 'C 為半團弧的中點 ， p 為直 因此 OE

..l

OF

徑 AB 延長線上一點，過 P 作半圓的切線， D 為切點。 LDPB 的平分線分別交 AC 、 BC 於 E 、 F 兩點。證明 :

OE

..l

OF

。 解題評註: 本題可以使用的幾何性質，常見的有【圍 內接四邊形】。 問題編號

C

8103

B

O

A

P

設 n 為正整數，如果存在一個完全平方 數，使得在十進制表示下此完全平方數的 各位數字之和為 n' 則稱 n 為好數(例如 13 是一個好數，因為 72_{= 峙的各位數字之和} 等於 13 )。問:在 1 ， 2 ，...， 2010 中有多少個

C

參考解答: 好數?

A

連接 DO， DA， DB， DE， DF

P

對 x:=O ，訓，士2 ，

±3

,

±4 (mod

9)分別

計算，可得 x

2_至

_{0 ， 1 ，4，0， 7}

(mod 9)

參考解答; 893 。

@

LDPB

=

90° -

LDOP

=

LCOD

、 EY

l

i' 、 利用十進制下，一個數與它的數字和

LDPF= 土 LDPB

=

~

LCOD

=

LCAD

2

2

(2)

因此 A， P， D， E 四點共圓 的同餘，可知滿足條件的

(mod

n 三 0 ， 1 ， 4 ， 0 ， 7(mod

9)

,

~P n 三°

(mod 9)

或 n 三 1

(mod 3)

由 1

2

_{= 1}

_,

₂

2 =

4

'可知 n= 1 ， 4 是好

@

LDPF

=

LCAD

=

LCBD

因此 B， P， D， F 四點共圓 LCED=LDPA( 因為 A， P， D， E 四點共圓) =LCFD( 因為 B， P， D， F 四點共圓)

(3 )

數。當 n=3m+7'm 為非負整數時， 因此 C， D， E， F 四點共圓

由 33.. .3 5

2 =

1

1...

122...225

'可知 n=3m

~'-v--' m個3 m個1 m個2

LCOD

=

LDPA

=

LDPA

(4)

10

2m-

2

X

1Om

+

1

+7 是好數。

(lO

ffi

_{_l)2}

由

@

-

64-因此 C， D， O， F 四點共圓 由 (3)， (4)可知仁D， E， F， O 五點共圓 因為 CE ..l

CF

' 所以 E， F 是

(5)

但二2

8

_也

_;Jl

可知 _n三_o

(mod

9)是好 m一 II閩 9 m-II間。 數。

@

由

_CD@

(3)可知 n 是好數∞n三_o

(mod

9) 或 _n三1

(mod

3)所以在 1

_，

2

，...，

2010 中好數的個數為223

+ 670 =

893 個 解題評註: I.此題利用正整數的性質『設 n 為正整 數

'n

除以 9 的餘數等於 n 的各位數 字之和除以 9 的餘數 o

_JJ'

_{因此滿足條} 件的好數n必須 n三_o

(mod

9) 或 _n三l

(mod 3)

2. 但是 n三_o

(mod

9) 或 _n三₁

(mod

3)是 否為充要條件呢?是的。也就是說， 要再說明n三_o

(mod

9) 或 _n三1

(mod

3) 都能滿足條件，都是好數。參與徵 答的同學中有一位在這部份有說明清 楚，非常好! 問題編號

8104

已知數列<

an>

滿足。

_l

斗

_，

_la

₂

_k

₁₌

_la2k

_一

₁₊

₁

_{1 ，}

他

k+11

=

Iα

2k

+21

(k 是自然數)

，試求

a l

+2

到+向

+2α4

+ ... +

a

₂₀₀₉

+

2a

2010

之

最小值及最大值 O 中學生通訊解題第八十一期題目參考解答及評泣 參考解答:

(叫

=1

aL=aL l+2G2kl+l

aLl=ajk+

的

_2k

₊₄

將 _k=1

_立，...，

_{1005 代人，以上各式相加得} 2 α2011

= 1+

2(al

+

2a2

+

_{a 3}

+

2α'4

+ . . . +

a2009

+

2α'2010)

+ 5025

al

+2a2 +a3 +2α4

+... +

a2009

+

2a 201O

=j(ajoll

一切

26)

由各項的奇偶性可推得到

₀₁₁

為偶數

al

+2α

₂

+a3

+

2α4

+... +

a2009

+

2a 201O

=j

的

_II

-5026)

寸(山州三

-25

事實上若取

al =

I

，

α2 =-2

，

α3

=

0

_，

α

_4k

₌

_α4k+1

-一 I

_，

。

4k+2 =

0

_，

α

_{4k+3 =}

-2(k

= 1

_,

2

,...,

501)

。

2008

=-I

_,

_a2009

=1

_,

a20

1O =-2

,

a2011

=0

'貝。

al +

2a2

+

a3

+

2α4

+... +

a

_{2009 +}

2α2010

= -2513

為最小值。另一方面a

_l

=

1

'取

到，俏，

，則。

10

皆為最大值，即 a2k

=

3k-I

，

α

2k+l =

3k

+ I(k =

1

_{立，···，}

1005)

_，

a2011 =3016

。

I

+ 2a 2 +a3 +2a4 +···+a2009 +2a 20

=抖的

l

叫什伽

2

_-5

_酬=叫

₁₅

為最大值 G