98 學科能力測驗試題

(1)

大

學

入

學

考

試

中

心

九

十

八

學

年

度

學

科

能

力

測

驗

試

題

數

學

考

科

第壹部分：選擇題（佔 55 分）

一、單選題（佔 30 分）

說明：第 1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。 1. 數列 a1＋2，……，ak＋2k，……a10＋20 共有十項，且其和為 240，則 a1＋……＋ak＋……＋a10之值為 (A) 31，(B) 120，(C) 130，(D) 185，(E) 218。 Ans：(C) 【詳解】 a1＋2，……，ak＋2k，……a10＋20

＝(a1＋……＋ak＋……＋a10)＋(2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20)

＝(a1＋……＋ak＋……＋a10)＋110＝240

故得 a1＋……＋ak＋……＋a10＝130。

2. 令 a＝cos(2

)，詴問下列哪一個選項是對的？ (A) a＝1，(B) 1＜a≦1

2 ，(C)  1 2 ＜a≦0，(D) 0＜a≦ 1 2 ，(E) 1 2 ＜a≦1。 Ans：(B) 【詳解】 3＜＜3.33  3＜・＜3.33＜10 3 ，  cos3＜cos(2 )＜cos(10 3 ) 1＜cos(2)＜1 2 。 3. 已知 f(x)，g(x)是兩個實係數多項式，且知 f(x)除以 g(x)的餘式為 x4_{－1。詴問下列哪一} 個選項不可能是 f(x)與 g(x)的公因式？ (A) 5，(B) x－1，(C) x2－1，(D) x3_{－1，(E) x}4_－1。

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Ans：(D) 【詳解】 f(x)＝g(x)・Q(x)＋(x4－1)，由輾轉相除法知 f(x)與 g(x)的公因式必為 x4_{－1 的因式，} 而 x4_{－1＝(x＋1)(x－1)(x}2_＋1)，又 x3_{－1＝(x－1)(x}2_{＋x＋1)不是 x}4_{－1 的因式，} 故選(D)。 4. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3、4、5 個班級。從這 12 個班級中隨機選取一班參 加國文抽考，再從未被抽中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩 個班級在同一所學校的機率最接近以下哪一個選項？ (A) 21％，(B) 23％，(C) 25％，(D) 27％，(E) 29％。 Ans：(E) 【詳解】 p＝p(甲)＋p(乙)＋p(丙) ＝ 3 2 4 3 5 4 38 121112111211132≒0.288。 5. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一 通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45， 則丙、丁兩鎮間的距離約為 (A) 24.5 公里，(B) 25 公里，(C) 25.5 公里，(D) 26 公里，(E) 26.5 公里。 Ans：(A) 【詳解】如右圖， ∠BDC＝45，∠DBC＝120，在△BCD 中，由正弦定理知 20 sin 45 sin120 CD    CD＝ 3 20 20 sin120 ₂ 20 3 sin 45 2 2 2    _ _  ＝10 6＝10×2.449＝24.49。

(3)

6. 詴問座標平面上共有幾條直線，會使得點 O(0，0)到此直線的距離為 1，且點 A(3，0)到 此直線的距離為 2？ (A) 1 條，(B) 2 條，(C) 3 條，(D) 4 條，(E) 無窮多條。 Ans：(C) 【詳解】如下圖，共三條切線。

二、多選題（佔 25 分）

說明：第 7 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。 7. 詴問下列哪些選項中的數是有理數？

(A) 3.1416，(B) 3，(C) log10 5＋log10 2，(D)

sin15 cos15 cos15 sin15     ， (E) 方程式 x3－2x2_{＋x＋1＝0 的唯一實根。} Ans：(A)(C)(D) 【詳解】

(C) log10 5＋log10 2＝log10 10＝

1 2為有理數。 (D) sin15 cos15 cos15 sin15     ＝ 2 2 sin 15 cos 15 1 2 4 1 1 sin15 cos15 sin 30 2 2         _ 為有理數。 (E) f(x)＝x3－2x2＋x＋1， f(0)＝1，f(1)＝1－2－1＋1＝3，故實根在區間(1，0)中。但根據牛頓定理，f(x)＝0 的有理根只可能為 1，1，

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而 1，1 均不為其根，故此根為無理根。 8. 座標平面上四條直線 L1，L2，L3，L4與 x 軸、y 軸及直線 y＝x 的相關位置如圖所示， 其中 L1與 L3垂直，而 L3與 L4平行。設 L1，L2，L3，L4的方程式分別為 y＝m1x，y＝ m2x，y＝m3x 以及 y＝m4x＋c。詴問下列哪些選項是正確的？ (A) m3＞m2＞m1，(B) m1・m4＝1，(C) m1＜1，(D) m2・m3＜1，(E) c＞0。 Ans：(B)(C)(D) 【詳解】 (A) m3＞0＞m1＞m2。 (B) L1⊥L4，故 m1・m4＝1。 (C) m3＜1，L3⊥L1，故 m1＜1。 (D) m2・m3＜1。

(E) y＝m4x＋c，y 截距 c＜0。

9. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡 稱為「知名度」)。結果如下：在 95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信 賴區間分別為 [0.50，0.58]、[0.08，0.16]。詴問下列哪些選項是正確的？ (A) 甲地本次的參訪者中，54% 的人聽過該產品。 (B) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數。 (C) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95%。 (D) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95%的機會落在區間 [0.08，0.16]。 (E) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在 95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即 0.04)。 Ans：(A)(B)

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【詳解】 (A) p(甲)＝ 2 0.50+0.58 ＝0.54。2e(甲)＝0.58 0.50 2  ＝0.04。 p(乙)＝ 2 0.16+0.08 ＝0.12。2e(乙)＝0.16 0.08 2  ＝0.04。 (B) 標準誤 e＝ pˆ(1 pˆ) n  ＝0.04  0.54×0.36＝(0.04)2×n(甲)  n(甲)＝122，標準誤 e＝ pˆ(1 pˆ) n  ＝0.04  0.12×0.88＝(0.04)2×n(乙)  n(乙)＝66。 (E) 標準誤 e＝ 0.12 0.88 0.03 0.04 0.0004 0.02 66 4 3  _  _ _  ，但知名度不一定是 0.12。 10. 設 a，b，c 為實數，下列有關線性方程組 2 1 3 4 1 2 10 7 x y az x y bz x y z c            _ _ _  的敘述哪些是正確的？ (A) 若此線性方程組有解，則必定恰有一組解。 (B) 若此線性方程組有解，則 11a－3b≨7。 (C) 若此線性方程組有解，則 c＝14。 (D) 若此線性方程組無解，則 11a－3b＝7。 (E) 若此線性方程組無解，則 c≨14。 Ans：(D)(E) 【詳解】 △＝ 1 2 3 4 2 10 7 a b ＝28＋30a＋4b－8a－42－10b＝22a－6b－14， △z＝ 1 2 1 3 4 1 2 10 c  ＝4c＋30－4－8－6c＋10＝28－2c， (A) 若此線性方程組有解，則可能恰有一組解或無限多解。 (B)(C) 若此線性方程組有解，則 11a－3b≠7 或(11a－3b＝7，c＝14)。 (D) 若此線性方程組無解，則△ ＝0，即 11a－3b＝7。 (E) 若此線性方程組無解，則△ ＝0，△z≠0，即 c≠14。

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11. 如圖所示，正立方體 ABCD-EFGH 的稜長等於 2 (即AB＝2 )，K 為正方形 ABCD 的中 心，M、N 分別為線段BF，EF的中點，詴問下列哪些選項是正確的？ (A) KM ＝1 2 AB － 1 2 AD ＋ 1 2 AE 。 (B) (內積) KM ･ AB ＝1。 (C) KM 3。 (D) △KMN 為一直角三角形。 (E) △KMN 之面積為 10 2 。 Ans：(A)(D) 【詳解】 (A) 1 1( ) 2 2 KM KAAM  AM AK  AB AE ABAD ＝1 1 1 2 AB2AD2AE。 (B) KM AB ＝(1 1 1 2AB2 AD2AE)・AB＝ 1 2 AB 2_＝1 2 ×4＝2。 (C) KB 2，KM  3。 (D) 以 F 為原點建立空間座標系，M(0，0，1)，N(0，1，0)，K(1，1，2)，則 MK ＝(1，1，1)，MN ＝(0，1，1)， MK ・MN ＝0＋1－1＝0，故 MK ⊥MN 。 (E) MK＝ 3，MN ＝ 2，故△KMN 之面積為 6 2 。

第貳部分：選填題（佔 45 分）

說明： 1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (12–33)。 2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 從 1 到 100 的正整數中刪去所有的質數、2 的倍數及 3 的倍數之後，剩下最大的數為 ____(12)(13)_______。

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Ans：(12) 9，(13) 5 【詳解】 100，99，98，97，96，95，94，…… B. 坐標平面上有四點 O(0，0)，A(3，5)，B(6，0)，C(x，y)。今有一質點在 O 點沿AO方向前進AO距離後停在 P，再沿 BP 方向前進 2BP距離後停在 Q。假設此質點繼續沿CQ方 向前進 3CQ距離後回到原點 O，則(x，y)＝____(14)(15)，(16)(17)______。 Ans：(14) ，(15) 4，(16) 2，(17) 0 【詳解】 OP＝AO＝(3，5)，即 P(3，5)。 OQ＝OP2BP＝(3，5)＋2(3，5)＝(3，15)，即 Q(3，15)。 3 OQ CQ＝(3，15)＋3(3－x，15－y)＝(12－3x，60－3y)＝(0，0)，得 12－3x＝0，60－3y＝0，故 x＝4，y＝20。 C. 抽獎遊戲中，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得 消費劵，其金額分別為(抽得藍色球者)2000 元、(抽得紅色球者)1000 元。箱中已置有 2 顆藍色球及 5 顆紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希望參加者所得 消費劵金額的期望值為 300 元，則主辦單位應於箱內再置入_____(18)(19)______顆其他 顏色的球。 Ans：(18) 2，(19) 3 【詳解】設於箱內再置入 x 顆其他顏色的球，則 E＝2000× 2 2 5 x＋1000× 5 2 5 x＝300  4000＋5000＝300(x＋7)  x＋7＝30  x＝23。 D. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的 x 截距相差20，y 截距相差15。則這兩條平行直線 的距離為_____(20)(21)_______。 Ans：(20) 1，(21) 2 【詳解】 L1：3x＋4y＝60，L2：3x＋4y＝0，

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d(L1，L2)＝ ₂ ₂ 60 60 5 3 4   ＝12。 E. 假設 Γ1為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為 x＝ 3 4  且焦距（焦點到頂點的距離）為1 8。若Γ1與另一拋物線Γ2：y＝x 2_{恰交於一點，則}_Γ 1的頂點之 y 坐標為 _______(22) (23)_______。(化成最簡分數) Ans：(22) 9，(23) 8 【詳解】 Γ1：(x＋ 3 4) 2_＝1 2(y－k)  y＝2(x＋ 3 4 ) 2_＋k 2(x＋3 4 ) 2_＋k＝x2  2x2＋3x＋9 8 ＋k＝x 2  x2＋3x＋k＋9 8 ＝0 恰有一實根，  △＝32－4×1×(k＋9 8 )＝0  k＋9 8 ＝ 9 4  k＝9 8 。 F. 某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放 量的 75%。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的 排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少____(24).(25)____%的二 氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。) Ans：(24) 5，(25) 6 【詳解】 (1－x)5＝0.75  log(1－x)5＝log0.75＝log7.5－1＝0.8751－1＝0.1249，  5・log(1－x)＝0.1249  log(1－x)＝0.025＝0.975－1＝log9.44－log10＝log0.944

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 1－x＝0.944  x＝0.056 即每年減少 5.6％。 G. 坐標空間中 xy 平面上有一正方形，其頂點為 O(0，0，0)，A(8，0，0)，B(8，8，0)，C(0， 8，0)。另一點 P 在 xy 平面的上方，且與 O，A，B，C 四點的距離皆等於 6。若 x＋by ＋cz＝d 為通過 A，B，P 三點的平面，則(b，c，d)＝____(26)，(27)，(28)_____。 Ans：(26) 0，(27) 2，(28) 8 【詳解】設 P(4，4，z)，則 42＋42＋z2＝36  z2＝4  z＝2，即 P(4，4，2)。 A(8，0，0)代入  8＝d， B(8，8，0)代入  8＋8b＝d  8b＝0  b＝0， P(4，4，2)代入  4＋4b＋2c＝d  4＋0＋2c＝8  c＝2。 H. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1、F2，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設 P 為此橢圓與雙曲線的一個交點，且PF₁PF₂64，則F F ＝____(29)(30)____。 _{1 2} Ans：(29) 1，(30) 6 【詳解】設橢圓的方程式為 2 2 2 2 1 x y a  b  ，其中 a 2_＝b2_＋c2_，則雙曲線的方程式為 2 2 2 2 1 x y b  B  ，其中 b 2_＝B2_＋c2_。因 P 為橢圓與雙曲線的交點，(設PF ＞₁ PF ，)故 ₂ 1

PF ＋PF ＝2a，₂ PF －₁ PF ＝2b，得₂ PF ＝a＋b，₁ PF ＝a－b， ₂ 又PF₁PF₂＝a2_－b2_＝64＝c2_

c＝8，得F F ＝2c＝16。 _{1 2}

(10)

I. 在△ABC 中，AB＝10，AC＝9，cos∠BAC＝3 8。設點 P、Q 分別在邊AB、AC上使 得△APQ 之面積為△ABC 面積的一半，則PQ之最小可能值為______(31(32) (33) ______。 (化成最簡分數) Ans：(31) 1，(32) 5，(33) 2 【詳解】設AP＝x，BP＝y，則 a△APQ＝1 2 ・x・y・sinA ＝1 2 ・ 1 2 ・10・9・sinA＝ 1 2 a△ABC，故 xy＝45。由餘弦定理知，

PQ2＝x2_＋y2_{－2xycosA＝x}2_＋y2_－2×45×3

8＝x 2_＋y2_－135 4 ，又 x2_＋y2_{≧2xy＝2×45＝90，} 故PQ2≧90－135 4 ＝ 225 4  PQ≧ 15 2 。

(11)