极限与连续

第一章·函数与极限

高等数学课程

2020 年 2 月 12 日

.

.

.

.

数集与函数

.

第一节

.

.

数列的极限

.

第二节

.

.

函数的极限 I

.

第三节

.

.

函数的极限 II

.

第四节

.

.

无穷小量与无穷大量

.

第五节

.

.

.

.

数集与函数

.

第一节

.

.

数集与区间

.

A

.

.

函数的概念

.

B

.

.

函数的性质

.

C

.

.

函数的构建

.

D

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

←− 微积分的研究对象

复数集

_C

思考

_R

与

_Z

、

_C

、

_Q

分别有何区别？

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

←− 微积分的研究对象

复数集

_C

思考

_R

与

_Z

、

_C

、

_Q

分别有何区别？

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

←− 微积分的研究对象

复数集

_C

思考

_R

与

_Z

、

_C

、

_Q

分别有何区别？

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

←− 微积分的研究对象

复数集

_C

思考

_R

与

_Z

、

_C

、

_Q

分别有何区别？

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

←− 微积分的研究对象

复数集

C

思考

_R

与

_Z

、

_C

、

_Q

分别有何区别？

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

_{←− 微积分的研究对象}

复数集

C

思考

_R

与

_Z

、

_C

、

_Q

分别有何区别？

.

.

数集

人类对数的认识是逐步发展的：

自然数集

N

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

_{←− 微积分的研究对象}

复数集

C

.

.

有限区间

数轴上长度大于零的一段称为

区间

：

(

有限区间

无限区间

有限区间

有四种（ < b， 和 b 称为区间的

端点

）：

(

,

b

) = { |  <  < b}

有限

开区间

[

,

b

] = { | 

¶



¶

b}

有限

闭区间

(

,

b

] = { |  < 

¶

b}

[

,

b

) = { | 

¶

 < b}

例子

用区间表示下列数集：

(1) {

| 1 <  < 3}

(2) {

| −5

¶

 < 0}

.

.

有限区间

数轴上长度大于零的一段称为

区间

：

(

有限区间

无限区间

有限区间

有四种（ < b， 和 b 称为区间的

端点

）：

(

,

b

) = { |  <  < b}

有限

开区间

[

,

b

] = { | 

¶



¶

b}

有限

闭区间

(

,

b

] = { |  < 

¶

b}

[

,

b

) = { | 

¶

 < b}

例子

用区间表示下列数集：

(1) {

| 1 <  < 3}

(2) {

| −5

¶

 < 0}

.

.

有限区间

数轴上长度大于零的一段称为

区间

：

(

有限区间

无限区间

有限区间

有四种（ < b， 和 b 称为区间的

端点

）：

(

,

b

) = { |  <  < b}

有限

开区间

[

,

b

] = { | 

¶



¶

b}

有限

闭区间

(

,

b

] = { |  < 

¶

b}

[

,

b

) = { | 

¶

 < b}

例子

用区间表示下列数集：

(1) {

| 1 <  < 3}

(2) {

| −5

¶

 < 0}

.

.

有限区间

数轴上长度大于零的一段称为

区间

：

(

有限区间

无限区间

有限区间

有四种（ < b， 和 b 称为区间的

端点

）：

(

,

b

) = { |  <  < b}

有限

开区间

[

,

b

] = { | 

¶



¶

b}

有限

闭区间

(

,

b

] = { |  < 

¶

b}

[

,

b

) = { | 

¶

 < b}

例子

用区间表示下列数集：

.

.

无限区间

无限区间

有五种（其中  或 b 称为区间的

端点

）：

(−∞

,

b

) = { |  < b}

无限开区间

(

,

+∞) = { |  > }

无限开区间

(−∞

,

b

] = { | 

¶

b}

无限闭区间

[

,

+∞) = { | 

¾

}

无限闭区间

(−∞

,

+∞) =

R

例子

用区间表示下列数集：

(1) {

|  < 3}

(2) {

| 

¾

2}

.

.

无限区间

无限区间

有五种（其中  或 b 称为区间的

端点

）：

(−∞

,

b

) = { |  < b}

无限开区间

(

,

+∞) = { |  > }

无限开区间

(−∞

,

b

] = { | 

¶

b}

无限闭区间

[

,

+∞) = { | 

¾

}

无限闭区间

(−∞

,

+∞) =

R

例子

用区间表示下列数集：

.

.

区间

例 1

用区间表示下列数集：

(1)

¦



| − 2| < 1

©

(2)

¦



| + 3|

¾

5

©

(3)

¦



1

¶

| + 1| < 4

©

.

.

邻域

 的

邻域

U

(

,

δ

)：

¦



| − | < δ

©

= ( − δ

,



+ δ)

 的

去心邻域

_U

˚

_(

_,

_δ

_)：

¦



0 <

| − | < δ

©

= ( − δ

,



) ∪ (

,



+ δ)

 的

左邻域

：

_{( − δ}

,



)

 的

右邻域

：

_(

,



+ δ)

其中  称为邻域的

中心

，δ 称为邻域的

半径

．

.

.

邻域

 的

邻域

U

(

,

δ

)：

¦



| − | < δ

©

= ( − δ

,



+ δ)

 的

去心邻域

_U

˚

_(

_,

_δ

_)：

¦



0 <

| − | < δ

©

= ( − δ

,



) ∪ (

,



+ δ)

 的

左邻域

：

_{( − δ}

,



)

 的

右邻域

：

_(

,



+ δ)

其中  称为邻域的

中心

，δ 称为邻域的

半径

．

.

.

邻域

 的

邻域

U

(

,

δ

)：

¦



| − | < δ

©

= ( − δ

,



+ δ)

 的

去心邻域

_U

˚

_(

_,

_δ

_)：

¦



0 <

| − | < δ

©

= ( − δ

,



) ∪ (

,



+ δ)

 的

左邻域

：

_{( − δ}

,



)

 的

右邻域

：

_(

,



+ δ)

.

.

.

.

数集与函数

.

第一节

.

.

数集与区间

.

A

.

.

函数的概念

.

B

.

.

函数的性质

.

C

.

.

函数的构建

.

D

.

.

定义 1

设非空数集 D

_⊂

R

，如果存在一个对应规

则 ƒ ，使得对每个 

_{∈ D，都有一个确定的实数 y}

与之对应，则称 ƒ 为定义在 D 上的一个

函数

，记为

ƒ : D

−→

R

，简记为 y

_{= ƒ ()．}

 称为

自变量

；

y 称为

因变量

；

D 称为

定义域

；

Z

=

¦

y

y

= ƒ ()

,



∈ D

©

称为

值域

．

.

.

定义 1

设非空数集 D

_⊂

R

，如果存在一个对应规

则 ƒ ，使得对每个 

_{∈ D，都有一个确定的实数 y}

与之对应，则称 ƒ 为定义在 D 上的一个

函数

，记为

ƒ : D

−→

R

，简记为 y

_{= ƒ ()．}

 称为

自变量

；

y 称为

因变量

；

D 称为

定义域

；

Z

=

¦

y

y

= ƒ ()

,



∈ D

©

称为

值域

．

.

.

注记

两个函数相同，当且仅当两者的定义域和对应

规则都相同．

例 2

研究 y

_{=  和 y =}



2



是不是相同的函数．

例 3

研究 y

_{=  和 y =}

p



2

_{是不是相同的函数．}

.

.

注记

两个函数相同，当且仅当两者的定义域和对应

规则都相同．

例 2

研究 y

_{=  和 y =}



2



是不是相同的函数．

例 3

研究 y

_{=  和 y =}

p



2

_{是不是相同的函数．}

.

.

注记

两个函数相同，当且仅当两者的定义域和对应

规则都相同．

例 2

研究 y

_{=  和 y =}



2



是不是相同的函数．

例 3

研究 y

_{=  和 y =}

p



2

_{是不是相同的函数．}

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

2

对数里面要求大于零；

3

分母要求不能等于零．

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

2

对数里面要求大于零；

3

分母要求不能等于零．

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

2

对数里面要求大于零；

3

分母要求不能等于零．

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

2

对数里面要求大于零；

3

分母要求不能等于零．

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

2

对数里面要求大于零；

3

分母要求不能等于零．

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

3

分母要求不能等于零．

.

.

自然定义域

对未指明定义域的函数，通常根据函数表达式确定它

的

自然定义域

．例如

1

y

=

p

 的定义域为 D

= [0

,

+∞)，

2

y

= log

 的定义域为 D

= (0

,

+∞)，

3

y

=

1



的定义域为 D

= (−∞

,

0

) ∪ (0

,

+∞)．

求函数的自然定义域时有三个基本要求：

1

根号里面要求大于等于零；

.

.

自然定义域

例 5

用区间表示下列函数的定义域：

(1) y

= ln(2 + 6) +

p

5

− 

(2) y

=

_ln

_(−5)

1

练习 3

用区间表示下列函数的定义域：

(1) y

=

₄

_−

1

₂

+

p



+ 3

(2) y

= ln(



_

+1

₋₁

)

.

.

自然定义域

例 5

用区间表示下列函数的定义域：

(1) y

= ln(2 + 6) +

p

5

− 

(2) y

=

_ln

_(−5)

1

练习 3

用区间表示下列函数的定义域：

(1) y

=

₄

_−

1

₂

+

p



+ 3

(2) y

= ln(



+1

)

.

.

.

.

数集与函数

.

第一节

.

.

数集与区间

.

A

.

.

函数的概念

.

B

.

.

函数的性质

.

C

.

.

函数的构建

.

D

.

.

函数的奇偶性

定义 2

给定函数 y

_{= ƒ ()，}

1

如果 ∀

∈ D，总有 ƒ (−) = ƒ ()，则称 ƒ ()

为

偶函数

．

2

如果 ∀

∈ D，总有 ƒ (−) = −ƒ ()，则称 ƒ ()

为

奇函数

．

例子

, 

3

,

1



,

1



3

, sin , tn  为奇函数．

例子



2

, 

4

,

1



2

,

1



4

, cos  为偶函数．

.

.

函数的奇偶性

定义 2

给定函数 y

_{= ƒ ()，}

1

如果 ∀

∈ D，总有 ƒ (−) = ƒ ()，则称 ƒ ()

为

偶函数

．

2

如果 ∀

∈ D，总有 ƒ (−) = −ƒ ()，则称 ƒ ()

为

奇函数

．

例子

, 

3

,

1



,

1



3

, sin , tn  为奇函数．

例子



2

, 

4

,

1



2

,

1



4

, cos  为偶函数．

.

.

函数的奇偶性

定义 2

给定函数 y

_{= ƒ ()，}

1

如果 ∀

∈ D，总有 ƒ (−) = ƒ ()，则称 ƒ ()

为

偶函数

．

2

如果 ∀

∈ D，总有 ƒ (−) = −ƒ ()，则称 ƒ ()

为

奇函数

．

例子

, 

3

,

1



,

1



3

, sin , tn  为奇函数．

.

.

函数的奇偶性

例 6

判断下列函数的奇偶性：

(1) ƒ

() = 

4

− 2

2

+ 1

(2) ƒ

() = 

3

+ 

(3) ƒ

() = 

2

+  + 1

练习 4

判断下列函数的奇偶性：

(1) ƒ

() =

1

_{cos }

−

2

(2) ƒ

() =

e

_e





−1

₊₁

.

.

函数的奇偶性

例 6

判断下列函数的奇偶性：

(1) ƒ

() = 

4

− 2

2

+ 1

(2) ƒ

() = 

3

+ 

(3) ƒ

() = 

2

+  + 1

练习 4

判断下列函数的奇偶性：

(1) ƒ

() =

1

_{cos }

−

2

.

.

函数的周期性

定义 3

对于函数 y

_{= ƒ ()，如果存在正常数 T 使得}

ƒ

( + T) = ƒ () 恒成立，则称此函数为

周期函数

；满

足这个等式的最小正数 T，称为此函数的

周期

．

例子

y

= sin  和 y = cos  以 2π 为周期．

例子

y

= tn  和 y = cot  以 π 为周期．

.

.

函数的周期性

定义 3

对于函数 y

_{= ƒ ()，如果存在正常数 T 使得}

ƒ

( + T) = ƒ () 恒成立，则称此函数为

周期函数

；满

足这个等式的最小正数 T，称为此函数的

周期

．

例子

y

= sin  和 y = cos  以 2π 为周期．

例子

y

= tn  和 y = cot  以 π 为周期．

.

.

函数的周期性

定义 3

对于函数 y

_{= ƒ ()，如果存在正常数 T 使得}

ƒ

( + T) = ƒ () 恒成立，则称此函数为

周期函数

；满

足这个等式的最小正数 T，称为此函数的

周期

．

例子

y

= sin  和 y = cos  以 2π 为周期．

例子

y

= tn  和 y = cot  以 π 为周期．

.

.

函数的单调性

定义 4

设函数 y

_{= ƒ () 在区间  上有定义，对于区}

间  上的任意两点 

1

和 

2

，

1

若当 

₁

< 

₂

时有 ƒ

(

₁

) < ƒ (

₂

)，则称 ƒ () 在

区间  上是

单调增加的

；

2

若当 

₁

< 

₂

时有 ƒ

(

₁

) > ƒ (

₂

)，则称 ƒ () 在

区间  上是

单调减少的

；

.

.

函数的单调性

例子

y

=  在 (−∞

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= ln  在 (0

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= 1/ 在 (−∞

,

0

) 和 (0

,

+∞) 上单调减少．

例子

y

= 

2

在

_(−∞

,

0

] 上单调减少，在 [0

,

+∞)

上单调增加．

.

.

函数的单调性

例子

y

=  在 (−∞

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= ln  在 (0

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= 1/ 在 (−∞

,

0

) 和 (0

,

+∞) 上单调减少．

例子

y

= 

2

在

_(−∞

,

0

] 上单调减少，在 [0

,

+∞)

上单调增加．

.

.

函数的单调性

例子

y

=  在 (−∞

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= ln  在 (0

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= 1/ 在 (−∞

,

0

) 和 (0

,

+∞) 上单调减少．

例子

y

= 

2

在

_(−∞

,

0

] 上单调减少，在 [0

,

+∞)

上单调增加．

.

.

函数的单调性

例子

y

=  在 (−∞

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= ln  在 (0

,

+∞) 上是单调增加的．

例子

y

= 1/ 在 (−∞

,

0

) 和 (0

,

+∞) 上单调减少．

例子

y

= 

2

在

_(−∞

,

0

] 上单调减少，在 [0

,

+∞)

上单调增加．

.

.

函数的有界性

定义 5

设函数 y

_{= ƒ () 在数集  上有定义，如果存}

在一个正数 M，对于所有 

_{∈ ，恒有 |ƒ ()|}

_¶

M，则

称函数 ƒ

_{() 在数集  上}

有界

．若这样的 M 不存在，

则称 ƒ

_{() 在  上}

无界

．

如果函数在其定义域上有界，则称它为

有界函数

；否

则称它为

无界函数

．

例子

y

= sin ，y = cos  是有界函数．

.

.

函数的有界性

定义 5

设函数 y

_{= ƒ () 在数集  上有定义，如果存}

在一个正数 M，对于所有 

_{∈ ，恒有 |ƒ ()|}

_¶

M，则

称函数 ƒ

_{() 在数集  上}

有界

．若这样的 M 不存在，

则称 ƒ

_{() 在  上}

无界

．

如果函数在其定义域上有界，则称它为

有界函数

；否

则称它为

无界函数

．

例子

y

= sin ，y = cos  是有界函数．

.

.

函数的有界性

定义 5

设函数 y

_{= ƒ () 在数集  上有定义，如果存}

在一个正数 M，对于所有 

_{∈ ，恒有 |ƒ ()|}

_¶

M，则

称函数 ƒ

_{() 在数集  上}

有界

．若这样的 M 不存在，

则称 ƒ

_{() 在  上}

无界

．

如果函数在其定义域上有界，则称它为

有界函数

；否

则称它为

无界函数

．

例子

y

= sin ，y = cos  是有界函数．

.

.

函数的有界性

定义 5

设函数 y

_{= ƒ () 在数集  上有定义，如果存}

在一个正数 M，对于所有 

_{∈ ，恒有 |ƒ ()|}

_¶

M，则

称函数 ƒ

_{() 在数集  上}

有界

．若这样的 M 不存在，

则称 ƒ

_{() 在  上}

无界

．

如果函数在其定义域上有界，则称它为

有界函数

；否

则称它为

无界函数

．

.

.

函数的有界性

例 7

证明下列函数为有界函数：

(1) y

= sin  − 2 cos ；

(2) y

=

₃

_+

1

₂

．

练习 5

证明下列函数为有界函数：

(1) y

= sin  −

₂

_+

1

₂

；

(2) y

=

₁

_+



2

2

．

.

.

函数的有界性

例 7

证明下列函数为有界函数：

(1) y

= sin  − 2 cos ；

(2) y

=

₃

_+

1

₂

．

练习 5

证明下列函数为有界函数：

(1) y

= sin  −

₂

_+

1

₂

；

(2) y

=

₁

_+



2

2

．

.

.

函数的有界性

例 7

证明下列函数为有界函数：

(1) y

= sin  − 2 cos ；

(2) y

=

₃

_+

1

₂

．

练习 5

证明下列函数为有界函数：

(1) y

= sin  −

₂

_+

1

₂

；

(2) y

=



2

．

.

.

函数的有界性

类似地，我们可以定义函数有上界和有下界的概念．

对于所有 ，恒有

_{|ƒ ()| ≤ M ...}

有界

对于所有 ，恒有 ƒ

_()

_¶

M

1

. . . .

有上界

对于所有 ，恒有 ƒ

_()

_¾

M

2

. . . .

有下界

定理

ƒ

() 有界 ⇐⇒ ƒ () 有上界而且有下界．

.

.

函数的有界性

类似地，我们可以定义函数有上界和有下界的概念．

对于所有 ，恒有

_{|ƒ ()| ≤ M ...}

有界

对于所有 ，恒有 ƒ

_()

_¶

M

1

. . . .

有上界

对于所有 ，恒有 ƒ

_()

_¾

M

2

. . . .

有下界

定理

ƒ

() 有界 ⇐⇒ ƒ () 有上界而且有下界．

.

.

.

.

数集与函数

.

第一节

.

.

数集与区间

.

A

.

.

函数的概念

.

B

.

.

函数的性质

.

C

.

.

函数的构建

.

D

.

.

反函数

定义 6

设 y

_{= ƒ () 的定义域为 D，值域为 Z．如果}

对每个 y

_{∈ Z，有唯一的  ∈ D 满足 y = ƒ ()，则可}

以得到定义在 Z 上的函数 

_{= ƒ}

−1

_{(y)，称为 y = ƒ ()}

的

反函数

．

例 8

求函数 y

_{= 3 − 1 的反函数．}

例 9

求函数 y

_{= 2 ln  + 1 的反函数．}

.

.

反函数

定义 6

设 y

_{= ƒ () 的定义域为 D，值域为 Z．如果}

对每个 y

_{∈ Z，有唯一的  ∈ D 满足 y = ƒ ()，则可}

以得到定义在 Z 上的函数 

_{= ƒ}

−1

_{(y)，称为 y = ƒ ()}

的

反函数

．

例 8

求函数 y

_{= 3 − 1 的反函数．}

例 9

求函数 y

_{= 2 ln  + 1 的反函数．}

.

.

反函数

定义 6

设 y

_{= ƒ () 的定义域为 D，值域为 Z．如果}

对每个 y

_{∈ Z，有唯一的  ∈ D 满足 y = ƒ ()，则可}

以得到定义在 Z 上的函数 

_{= ƒ}

−1

_{(y)，称为 y = ƒ ()}

的

反函数

．

例 8

求函数 y

_{= 3 − 1 的反函数．}

例 9

求函数 y

_{= 2 ln  + 1 的反函数．}

.

.

复合函数

定义 7

设 y

_{= ƒ () 的定义域是 D(ƒ )， = g() 的}

值域是 Z

_{(g)，D(ƒ ) ∩ Z(g) 非空，则称 y = ƒ [g()]}

为 y

_{= ƒ () 和  = g() 的}

复合函数

．

例 10

两个函数 y

₌

p

 和 

= 1 − 

2

的复合函数

是 y

₌

p

1

− 

2

_．

例 11

三个函数 y

_{= sin 、 = }

2

_{− 1 和  = e}



的复合函数是 y

_{= sin(e}

2

_{− 1)．}

.

.

复合函数

定义 7

设 y

_{= ƒ () 的定义域是 D(ƒ )， = g() 的}

值域是 Z

_{(g)，D(ƒ ) ∩ Z(g) 非空，则称 y = ƒ [g()]}

为 y

_{= ƒ () 和  = g() 的}

复合函数

．

例 10

两个函数 y

₌

p

 和 

= 1 − 

2

的复合函数

是 y

₌

p

1

− 

2

_．

例 11

三个函数 y

_{= sin 、 = }

2

_{− 1 和  = e}



的复合函数是 y

_{= sin(e}

2

_{− 1)．}

.

.

复合函数

定义 7

设 y

_{= ƒ () 的定义域是 D(ƒ )， = g() 的}

值域是 Z

_{(g)，D(ƒ ) ∩ Z(g) 非空，则称 y = ƒ [g()]}

为 y

_{= ƒ () 和  = g() 的}

复合函数

．

例 10

两个函数 y

₌

p

 和 

= 1 − 

2

的复合函数

是 y

₌

p

1

− 

2

_．

例 11

三个函数 y

_{= sin 、 = }

2

_{− 1 和  = e}



.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

6

余割函数 y

= csc  =

1

sin 

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

6

余割函数 y

= csc  =

1

sin 

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

6

余割函数 y

= csc  =

1

sin 

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

6

余割函数 y

= csc  =

1

sin 

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

6

余割函数 y

= csc  =

1

sin 

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

6

余割函数 y

= csc  =

1

sin 

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

余割函数 y

_{= csc  =}

1

csc

2



= cot

2



+ 1

.

.

三角函数

1

正弦函数 y

= sin 

2

余弦函数 y

= cos 

3

正切函数 y

= tn 

4

余切函数 y

= cot 

5

正割函数 y

= sec  =

1

cos 

sec

2

_

_{= tn}

2

_

_{+ 1}

余割函数 y

_{= csc  =}

1

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (0

,

π

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y

∈ (−∞

+∞)

∈ (0

)

例子

rccos

(

1

₂

) =

π

₃

，rctn

₍

p

₃

3

_{) =}

π

₆

．

.

.

反三角函数

1

反正弦函数 y

= rcsin  ...  = sin y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [−

π

₂

,

π

₂

]

2

反余弦函数 y

= rccos  ...  = cos y



∈ [−1

,

1

]

,

y

∈ [0

,

π

]

3

反正切函数 y

= rctn  ...  = tn y



∈ (−∞

,

+∞)

,

y

∈ (−

π

₂

,

π

₂

)

4

反余切函数 y

= rccot  ...  = cot y

∈ (−∞

+∞)

∈ (0

)

.

.

初等函数

下面这六种函数，统称为

基本初等函数

：

1

常值函数 y

= c；

2

幂函数 y

= 

μ

；

3

指数函数 y

= 



；

4

对数函数 y

= log

；

5

三角函数 y

= sin ，y = cos ，等；

6

反三角函数 y

= rcsin ，y = rccos ，等．

由六种基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合