7-數據分析

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7- 數據分析

【83】甲、乙、丙三位同學參加推薦甄選學科能力測驗,五科的成績如下表所示。設 S S、S分別代表甲、乙、丙三位同學五科成績的標準差。請仔細觀察表中數據,判 斷下列哪一選項表示 S、S、S的大小關係?     科目 學  成  生  績 社會 國文 自然 英文 數學 甲 100 70 80 60 50 乙 90 60 70 50 40 丙 80 56 64 48 40 (A) S > S > S (B) S > S甲  S (C) S > S丙  S (D) S > S甲  S (E) S甲  S > S【解答】(E) 【詳解】 10 0.8 = , =0.8 i i i i S S S S    乙 甲 丙 甲 乙 甲 丙 甲 【85】下圖為某年級國文、英文、歷史三科成績分布情形的直方圖。根據該圖,下列哪些推論 是合理的?(A)歷史的平均分數比國文的平均分數低 (B)歷史的平均分數最低 (C) 英文的標準差比國文的標準差小 (D)英文的標準差最大 (E)「國文與歷史之相關係數」比「國文與英文之相關係數」高。 【解答】(A)(B)(D) 【詳解】 由三個直方圖,可看出國文、英文兩科 50 分以上的占大多數,而歷史 50 分以下的占多數, 故歷史的平均分數最低,又英文科全距最大且各組人數相差不多,故標準差最大,而由直 方圖無法估算相關係數(要根據散布圖)

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【88】測量一物件的長度 9 次,得其長(公尺)為 2.43,2.46,2.41,2.45,2.44,2.48,2.46, 2.47,2.45。將上面數據每一個都乘以 100,再減去 240 得一組新數據為 3,6,1,5, 4,8,6,7,5。問下列選項,何者為真?(A)新數據的算術平均數為 5 (B)新數據的標準差為 2 (C)原數據的算術平均數為 2.45 (D)原數據的標準差為 0.2 (E)原數據的中位數為 2.45 【解答】(A)(B)(C)(E) 【詳解】 (1) X:2.43,2.46,2.41,2.45,2.44,2.48,2.46,2.47,2.45 Y:3,6,1,5,4,8,6,7,5,即 Yi 100Xi 240 (2)而 Y  9 1( 3  6  1  5  4  8  6  7  5 )  5……新算術平均數 SY (4 1 16 0 1 9 1 4 0) 9 1          2……新標準差 ∴ X 100 240  Y  2.45……原算術平均數 SY 100 SX  SX 0.02……原標準差 (3) 2.41,2.43,2.44,2.45,2.45,2.46,2.46,2.47,2.48 ∴ 原來之中位數為 2.45 【89】下列 5 組資料(每組各有 10 筆)A:1,1,1,1,1,10,10,10,10,10 B:1,1,1,1,1,5,5,5,5,5 C:4,4,4,5,5,5,5,6,6,6 D:1,1,2,2,3,3,4,4,5,5 E:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 試問哪一組資料的標準差最大?(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 【解答】(A) 【詳解】 根據定義:(標準差) 2  離均差平方的算術平均數 所以標準差大的資料遠離算術平均數 A 資料的算術平均數是 5.5 而其離均差為  4.5, 4.5, 4.5, 4.5, 4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5, 其平方和顯然是最大的 【91】某公司民國 85 年營業額為 4 億元﹒民國 86 年營業額為 6 億元﹐該年的成長率為 50%﹒87﹑88﹑ 89 三年的成長率皆相同﹐且民國 89 年的營業額為 48 億元﹒則該公司 89 年的成長率為__________%﹒ 【解答】100 【詳解】 3 3 6(1r) 48 (1 r)   8 r 1

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【92】根據統計資料,1 月分臺北地區的平均氣溫是攝氏 16 度,標準差是攝氏 3.5 度。一般外 國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱,已知當攝氏溫度為 x 時,華氏溫度為 y  5 9x  32;若用華氏溫度表示,則 1 月分臺北地區的平均氣溫是華氏 度, 標準差是華氏 度。(計算到小數點後第一位,以下四捨五入。) 【解答】60.8,6.3 【詳解】 y  5 9 x  32  yx 5 9  32  5 9.16  32  60.8 SY  5 9 SX  5 9.3.5  6.3 【93】某數學老師計算學期成績的公式如下:五次平時考中取較好的三次之平均值占 30%, 兩次期中考各占 20%,期末考占 30%。某生平時考成績分別為 68,82,70,73,85, 期中考成績分別為 86,79,期末考成績為 90,則該生學期成績為 。 (計算到整數為止,小數點以後四捨五入) 【解答】84 【詳解】 平時成績  3 85 73 82  3 240 80 學期成績  80  0.3  86  0.2  79  0.2  90  0.3  24  17.2  15.8  27  84 【94】某校高一第一次段考數學成績不太理想,多數同學成績偏低;考慮到可能是同學們適應 不良所致,數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 10 作為正式紀錄的成 績。今隨機抽選 100 位同學,發現調整後的成績其平均為 65 分,標準差為 15 分; 試問這 100 位同學未調整前的成績之平均 M 介於哪兩個連續正整數之間? (1) 40 ≤ M<41 (2) 41 ≤ M<42 (3) 42 ≤ M<43 (4) 43 ≤ M<44 (5) 44 ≤ M<45 【解答】(5) 【詳解】 令yi 10 xi 100 2 2 100 100 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (10 ) i i y y i i y i i y n y S nS n y y x nS n y n     

  

  2 2 100 100 2 2 1 1 100 15 100 65 100 100 15 100 65 4450 100 i i i i x x      

    

  100 1 4450 44.5 100 100 i i x x   

 

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【96】在某項才藝競賽中,為了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大,主辦單位規定:先 將 15 位評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數,再將與平均數相差超過 15 分的 評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績。現在有一位參賽者所獲 15 位評審的平均成績為 76 分,其中有三位評審給的成績 92、45、55 應剔除,則這個 參賽者的比賽成績為 分。 【解答】79 【詳解】 12 ) 55 45 92 ( 15 76    =79 【100】根據台灣壽險業的資料,男性從 0 歲、1 歲、…到 60 歲各年齡層的死亡率(單位:%) 依序為 1.0250, 0.2350, 0.1520, 0.1010, 0.0720, 0.0590, 0.0550, 0.0540, 0.0540, 0.0520, 0.0490, 0.0470, 0.0490, 0.0560, 0.0759, 0.1029, 0.1394, 0.1890, 0.2034, 0.2123, 0.2164, 0.2166, 0.2137, 0.2085, 0.2019, 0.1948, 0.1882, 0.1830, 0.1799, 0.1793, 0.1813, 0.1862, 0.1941, 0.2051, 0.2190, 0.2354, 0.2539, 0.2742, 0.2961, 0.3202, 0.3472, 0.3779, 0.4129, 0.4527, 0.4962, 0.5420, 0.5886, 0.6346, 0.6791, 0.7239, 0.7711, 0.8229, 0.8817, 0.9493, 1.0268, 1.1148, 1.2139, 1.3250, 1.4485, 1.5851, 1.7353。 經初步整理後,已知 61 個資料中共有 24 個資料小於 0.2。請問死亡率資料的中位數 為下列哪一個選項?(1) 0.2034 (2) 0.2164 (3) 0.2137 (4) 0.2085 (5) 0.2019。 【解答】(2) 【詳解】 61 個資料的中位數是第 31 個資料,自第 25 個資料到第 31 個資料依序為 0.2019, 0.2034, 0.2051, 0.2085, 0.2123, 0.2137, 0.2164, 故中位數為 0.2164,故選(2)。 【102】已知以下各選項資料的迴歸直線(最適合直線)皆相同且皆為負相關,請選出相關係數 最小的選項。 (1) 2 3 5 1 13 1 x y (2) 2 3 5 3 10 2 x y (3) 2 3 5 5 7 3 x y (4) 2 3 5 9 1 5 x y (5) 2 3 5 7 4 4 x y 【解答】(5)

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【詳解】 每個選項之X皆為10 3 ﹐Y皆為 5﹐由相關係數之定義知 1 2 2 2 2 2 2 4 1 5 ( ) ( 4) ( ) 8 ( 4) 4 4 3 3 3 0 4 1 5 14 448 ( ) ( ) ( ) ( 4) 8 ( 4) 96 3 3 3 3 r                        ﹐ 2 2 2 2 2 2 2 4 1 5 ( ) ( 2) ( ) 5 ( 3) 4 4 3 3 3 0 4 1 5 14 532 ( ) ( ) ( ) ( 2) 5 ( 3) 38 3 3 3 3 3 r                        ﹐ 3 2 2 2 2 2 2 4 1 5 ( ) 0 ( ) 2 ( 2) 4 4 3 3 3 0 4 1 5 14 112 ( ) ( ) ( ) 0 2 ( 2) 8 3 3 3 3 3 r                      ﹐ 4 2 2 2 2 2 2 4 1 5 ( ) 4 ( ) ( 4) 0 4 4 3 3 3 0 4 1 5 14 448 ( ) ( ) ( ) 4 ( 4) 0 32 3 3 3 3 3 r                      ﹐ 5 2 2 2 2 2 2 4 1 5 ( ) 2 ( ) ( 1) ( 1) 4 4 3 3 3 0 4 1 5 14 28 ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) ( 1) 6 3 3 3 3 r                        ﹐ 又 448 532 448 112 28 3 3 3     ﹐∴r1    r2 r4 r3 r5﹐故選(5)﹒ 註:由散布圖之分布情形﹐亦可很直觀看出r5是最小的﹒ 【乙 85】研究十位學生某次段考甲、乙兩學科測驗成績的相關性,設其相關係數為 r,若 r  1 表完全正相關,r  1 表完全負相關,0.7 | r | < 1 表高度相關,0.3 | r | 0.7 表中度 相關,0  | r | 0.3 表低度相關,r 0 表零相關。已知十位學生的成績如下: 學生代號 A B C D E F G H I J 總計 甲科測驗 3 4 8 9 5 6 7 7 6 5 60 乙科測驗 9 8 5 6 7 6 5 7 8 9 70 則此次甲、乙兩學科測驗之相關程度為 (A)高度相關 (B)中度相關 (C)低度相關 (D)完全正相關 (E)完全負相關 【解答】(A)

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【詳解】 甲科的平均數x 10 60 6,標準差 S X  (9 16 64 81 25 36 49 49 36 25) 62 10 1 3 乙科的平均數 y 10 70 7,標準差 S Y (81 64 25 36 49 36 25 49 64 81) 72 10 1 2     10 1 ) )( ( i i i y y x x  ( 3).2  ( 2).1  2.( 2)  3.( 1) ( 1).0  0.( 1)  1.( 2)  1.0  0.1  ( 1).2   19 ∴ r  2 3 10 19    5 . 24 19    0.78 ∴ 0.7  | r |  1,故為高度相關 【註】84 年亦考相關係數。本題用龍騰版母群體標準差公式 S  1 2  2 x x n i 龍騰版樣本標準差、康熙、南一版公式 S  1 2 1 2 1 1 1 x n n x n i i      。 【乙 86】某生第一次月考六科的平均成績(算術平均)為 80 分。若已知其中五科的成績為 68,80,80,80,86,則其成績的標準差為 分。 (標準差公式:S     n i i x x n 1 2 ) ( 1 ,x   n i i x n 1 1 【解答】6 【詳解】 另一成績為 6  80  (68  80  80  80  86)  86 故其標準差 [( 12) 0 0 0 6 6 ] 6 1  2 2  2 2  2 2  36 6(分) 【說明】本題用龍騰版母群體標準差公式 S  1(xx)2 n i ,龍騰版樣本標準差、康熙、南一版公式 S     1 1 2 ) ( 1 1 i i x x n【乙 88】下圖表兩組數據 x,y 的分布圖,試問其相關係數 r 最接近下列何值? (A) 1 (B) 0.5 (C) 0 (D) 0.5 (E) 1 【解答】(C) 【詳解】 各點散布範圍上、下、左、右成對稱狀態 毫無向上或向下趨勢表示零相關,故選(C)

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【乙 92】下圖為臺灣 SARS 疫情病例累計趨勢統計圖(3 月 31 日到 5 月 31 日): 從 4 月 22 日到 5 月 14 日共 23 天的每日平均新增病例數,最接近下列哪一個值? (1) 11 (2) 14 (3) 17 (4) 20 (5) 23 【解答】(3) 【詳解】 由統計圖中可看出 4 月 22 日病例數累計約為 100 例,5 月 14 日病例數累計約為 500 例 23 天共約增加 400 例,故每天平均新增病例數為 23 400 17.4 【乙 94】下列五個直方圖表示的資料,何者之標準差最大? (1) (2) (3) (4) (5) 【解答】(4) 【詳解】 「標準差」是資料與算術平均數的平均距離,是在檢查資料的「離散情形」。 (1) 的平均數約為 35,其資料的分佈是: 12 個 15,28 個 25,50 個 35,30 個 45,10 個 55 (2) 的平均數約為 35,其資料的分佈是: 24 個 15,56 個 25,100 個 35,60 個 45,20 個 55

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(3) 的平均數約為 45,其資料的分佈是: 12 個 25,28 個 35,50 個 45,30 個 55,10 個 65 (4) 的平均數約為 35,其資料的分佈是: 12 個 15,28 個 25,50 個 35,30 個 45,5 個 55,5 個 65 (5) 的平均數為 45,其資料的分佈是: 40 個 35,50 個 45,40 個 55 (4)的資料的「離散」較大,故(4)的標準差最大 【乙 95】某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分。下列的散佈圖中每個點( X , Y ) 分別 代表一位學生於此兩部分的得分,其中 X 表該生選擇題的得分,Y 表該生非選擇題的得 分。設 Z=X+Y 為各生在該測驗的總分。共有 11 位學生的得分數據。 試問以下哪些選項是正確的?(1) X 的中位數>Y 的中位數 (2) X 的標準差>Y 的標準差 (3) X 的全距>Y 的全距 (4) Z 的中位數=X 的中位數+Y 的中位數 【解答】(1)(2)(3)

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【詳解】 (1) 在散佈圖中,由左而右可看出 X 的中位數為第 6 個點的 X 坐標約為 35 在散佈圖中,由下往上可看出 Y 的中位數為第 6 個點的 Y 坐標約為 28 ∴ X 的中位數>Y 的中位數 (2) 散佈圖中 X 的數據資料約散佈在 15~48 之間 散佈圖中 Y 的數據資料約散佈在 22~36 之間 ∴ Y 的數據資料比 X 的數據資料集中 ∴ Y 的標準差<X 的標準差 (3) X 的全距約為 48-15=33 Y 的全距約為 36-22=14 ∴ X 的全距>Y 的全距 (4) Z=X+Y 但 Z 的中位數不一定等於 X 的中位數+Y 的中位數 (如:散佈圖中 11 位同學的總分 Z 由左而右約為 37,46,57,53,57,70,61, 73,70,78,84 由小而大重新排列為 37,46,53,57,57,61,70,70,73,78,84 ∴中位數為 61 ≠28+35) 【乙 97】根據一百多年來的氣象紀錄﹐美國 費城年雨量平均值為 41.0 英吋﹐標準差為 6.1 英吋﹒今欲將此項統計資料的單位由英制換為公制﹐請問該城市一百多年來年雨量的 標準差最接近下列的哪一個選項?(註:1 英吋等於 25.4 毫米﹒)(1)0.240 毫米 (2)1.61 毫米 (3)6.10 毫米 (4)155 毫米 (5)1041 毫米﹒ 【解答】(4) 【詳解】 標準差6.1英吋6.1 25.4 毫米154.94毫米 【乙 98-1】 A , B , C , D 是四組資料的散佈圖﹐如圖所示﹒利用最小平方法計算它們的迴歸直線﹐發 現有兩組資料的迴歸直線相同﹐試問是哪兩組? (1) A ﹑ B (2) A ﹑ C (3) A ﹑ D (4) B ﹑ C (5) B ﹑ D ﹒ 【解答】(4) 【詳解】 由散佈圖發現 B ﹐ C 為負相關﹐ A 為零相關﹐ D 為正相關﹐故選(4)﹒ B 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 A 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 C 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 D 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10

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【乙 98-2】經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之「年薪」與「就學年數」的資料﹐得到這 樣的結論:『員工就學年數每增加一年﹐其年薪平均增加 8 萬 5 千元』﹒試問上述結論 可直接從下列哪些選項中的統計量得到? (1)「年薪」之眾數與「就學年數」之眾數 (2)「年薪」之全距與「就學年數」之全距 (3) 「年 薪」之平均數與「就學年數」之平均數 (4)「年薪」與「就學年數」之相關係數 (5)「年薪」對 「就學年數」之迴歸直線斜率﹒ 【解答】(5) 【詳解】 設就學年數為 x ﹐年薪為 y ﹐則y8.5xk(萬元)﹐其中 k 為常數﹒顯然﹐年薪對就學年數 之迴歸線斜率為 8.5﹐故選(5)﹒ 【乙 99-1】某商店進一批水果﹐平均單價為每個 50 元﹐標準差為 10 元﹒今每個水果以進價的 1.5 倍為售價出售﹐則水果平均售價為每個__________元﹐標準差為__________元﹒ 【解答】75;15 【詳解】 平均售價=50 1.5=75 ,標準差 10 1.5 15   【乙 99-2】調查某國家某一年 5 個地區的香煙與肺癌之相關性﹐所得到的數據為 ( , )x y ﹐ i i 1 i ﹐2﹐3﹐4﹐5﹐其中變數X 表示每人每年香煙消費量(單位:十包)﹐Y 表示每 十萬人死於肺癌的人數﹒若已計算出下列數值: 5 1 135 i i x  

﹐ 5 2 1 3661 i i x  

﹐ 5 1 2842 i i i x y  

﹐ 5 1 105 i i y  

﹐ ﹐ 則X 與 Y 的相關係數r0.__________﹒ (參考說明:相關係數 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x y n x y r x x y y x n x y n y                  

【解答】0.875 【詳解】 ∵ 135 27 5 x  ﹐ 105 21 5 y  ﹐ ∴ 2 2 2842 5 27 21 0.875 3661 5 27 2209 5 21 r          ﹒

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【甲 85】高中某班學生數學月考的成績皆為 10 的倍數,採用組距為 10 並且組中點是各組上、 下限之平均數,將該班數學成績做成如下直方圖: 則該班數學月考成績之標準差為 (求至個位數) (求至個位數)。 【解答】15,29 【詳解】 算術平均數__x  35 1 (2  20  3  30  6  40  10  50  7 60  5  70  2  80)  7 360 變異數 S2 35 1 (2  400  3  900  6  1600  10  2500  7  3600  5  4900  2  6400)  ( 7 360 )2  7 20120 49 129600 49 11240  S  7 11240 15 【甲 86】有學生十人(甲、乙、…、癸),其期考數學成績與該學期數學課缺課,如下表如示: 設兩者的相關係數為 r,則 (A) 1 r  0.6 (B) 0.6 r  0.2 (C) 0.2 r 0.2 (D) 0.2  r 0.6 (E) 0.6 r 1 【解答】(A) 【詳解】 缺課平均數 10 1 __  x (1  2  3  3  4  3  5  6  3  0)  3 成績平均數__y 1 (100  90  90  80  70  70  60  60  80  100)  80 學 生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 缺課數 1 2 3 3 4 3 5 6 3 0 成 績 100 90 90 80 70 70 60 60 80 100

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  10 1 i i i y x 100  180  270  240  280  210  300  360  240  0  2180 SX  [( 2) ( 1) 0 0 1 0 2 3 0 ( 3) ] 10 1  2   2  2  2  2  2  2  2  2   2  8 . 2 SY  [202 102 102 02 ( 10)2 ( 10)2 ( 20)2 ( 20)2] 02 202 10 1 200 ∴ r  Y X i i i S S y x y x 10 10 10 1 __ __    . 200 8 . 2 10 2400 2180    560 22    0.9… ∴ 1  r   0.6 故選(A) 【甲 88】某班數學老師算出學期成積後,鑑於學生平時都很用功,決定每人各加 5 分(加分 沒人超過 100 分),則加分前與加分後,學生成績統計數值絕對不會改變的有: (A)算數平均數 (B)中位數 (C)標準差 (D)變異係數 (E)全距 【解答】(C)(E) 【詳解】 算術平均數,中位數加分後會改變 ∵ 變異係數  算術平均數 標準差 100% ∴ 變異係數會改變,而標準差及全距不會受到加分而改變 ∴ 正確為(C)(E) 【甲 89】某班有 48 名學生,某次數學考試之成績,經計算得算術平均數為 70 分,標準差為 5 分。後來發現成績登錄有誤,某甲得 80 分,卻誤記為 50 分,某乙得 70 分,卻誤記為 100 分,更正後重算得標準差為 S1分,試 S1與 S 之間,有下列哪種大小關係? (n 個數值 x1,x2,…,xn的標準差公式為 S     n i i x x n 1 2 __ ) ( 1     n i i x x n 1 2 __ 2 1 而__x   n i i x n 1 1 )(A) S1 S 5 (B) S 5 S1 S (C) S1 S (D) S S1 S 5 (E) S 5 S1 【解答】(B) 【詳解】   48 1 i i x  48  70  50  50  80 100  70  48  70 ∴ __x 70   48 1 2 i i x  48(702  S2)  502 1002  802  702  48(702  S2) 1200

(13)

而 S12  48 1 [ 48( 702 + S 2) 1200 ]  702  S2  25  S 2 ∴ S1  S 又 S 2  S 12  25  S12  10S1  25  (S1  5)2  S  S1  5  S  5  S1 ∴ S  5  S1  S 【說明】本題用龍騰版母群體標準差公式 S     n i i x x n 1 2 __ 2 1 ,龍騰版樣本標準差、 康熙、南一版公式為 S      n i i x x n 1 2 __ ) ( 1 1  ( ) 1 1 1 2 __ 2     n i i x n x n【甲 90】某班的 50 名學生參加一項考試,考題共有 100 題,全為 5 選 1 的單選題。計分法共 有 X、Y 兩種;若某壆生有 N 題放棄沒答,R 題答對,W 題答錯,則 X  R  4 W Y  R  5 N 。試問下列敘述哪些是正確的?(A)同一學生的 X 分數不可能大於 Y 分數 (B)全班 X 分數不可能大於 Y 分數的算術平均數 (C)任兩學生 X 分數的差之絕對值不 可能大於 Y 分數的差之絕對值 (D)用 X 分數將全班排名次的結果與用 Y 分數排名次是 完全相同的(E)兩種分數的相關係數為 1 【解答】(A)(B)(D)(E) 【詳解】 N:放棄沒答,R:答對,W:答錯 (A)∵ X  R  4 W ,Y  R  5 N ∴ X 為倒扣,Y 為加分 同一學生的 X 分數與 Y 分數最多只能相等 即當 R  100(全對)時,X  Y ∴ X  Y (B)XR 4 WYR 5 NXY (C)可舉反例說明 甲  乙 N R W 0  0 100 50 0  50 X甲  100  4 0 100,Y 甲  100  5 0 100

(14)

X乙  50  4 50 37.5,Y 乙  50  5 0 50 X甲  X乙  100  37.5  62.5,Y甲  Y乙  100  50  50 ∴ X差  Y差 (D)(E) N  R  W  100 Y  R  5 N  R  5 100WR 20  5 W 5 4R  5Y  100  W  4R…… 又 X  R  4 W  4X  4R  W……   得 5Y  4X  100  Y  5 4 X  20  X 與 Y 的相關係數 rXY  1  用 X 分數將全班排名次的結果與用 Y 分數排名次完全相同 【甲 91-2】某校想要了解全校同學是否知道中央政府五院院長的姓名,出了一份考卷。該卷共 有五 個單選題,滿分 100 分,每題答對得 20 分,答錯得零分,不倒扣。閱卷完畢後,校方 公布每題的答對率如下: 題號 一 二 三 四 五 答對率 80% 70% 60% 50% 40% 請問此次測驗全體受測同學的平均分數是(1) 70 分 (2) 65 分 (3) 60 分 (4) 55 分 【解答】(3) 【詳解】 (80%  70%  60%  50%  40%)  5  100 60%  100  60 【甲 91-1】空氣品質會受到污染物排放量及大氣擴散等因素的影響。某一機構為瞭解一特定地 區的空氣品質,連續二十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的 最大濃度。再繪製這二十八筆資料的散布圖(見下圖),現根據該圖,可知(1)此筆資料 中,該氧化物最大濃度的標準差大於 15 (2)此筆資料中,該氧化物最大濃度的中位數 為 15 (3)此筆資料中,平均風速的中位數介於 45 與 50 間 (4)若以最小平方法決定數 據集中直線趨勢的直線,則該直線的斜率小於 0

(15)

【解答】(3)(4) 【詳解】 圖中氧化物最大濃度之最大值 25、最小值 3 且中位數約在 10~15 之間 (1)15~25 及 15~3 的最大差只有 12,所以其標準差不會大於 15 (2)所以中位數不能正好為 15 (3)由風速 35 那點開始向右數,在第 14 與 15 點間就是風速的中位數其 位於 45 與 50 間 (4)由此圖的走向,很明顯的是由左上往右下斜 由此使用最小平方法所作出的趨勢直線大概也是由左上往右下斜 於是此直線的斜率就小於 0 故選(3)(4) 【甲 92】有一筆統計資料,共有 11 個數據如下(不完全依大小排列): 2,4,4,5,5,6,7,8,11,x 和 y 已知這些數據的算術平均數和中位數都是 6,且 x 小於 y。請選出正確的選項。(1) x  y 14 (2) y 9 (3) y 8 (4)標準差至少是 3 【解答】(1)(2) 【詳解】 2,4,4,5,5,6,7,8,11,x,y 2  4  4  5  5  6  7  8  11  x  y  66  x  y  14,已知 x  y x  6,則 2,4,4,5,5,x,6,7,8,11,y 的中位數  5 或 x 即中位數  6,不合題意 ∴ 6  x  y y  14  x  14  6  8 ∴ 7  y  8 ∴ (3)不合 標準差 S  1 (xx)2  1 (x2 11x2)

(16)

 (4 16 16 25 25 36 49 64 121 11 36) 10 1 2 2             x y  ( 40) 10 1 2 2   y x ∵ 6  x  7,x2  y2  x2  (14  x)2  2x2  28x  196  2(x  7)2  98 ∴ 98  x2  y2  100 8 . 5  S  6 ∴ (4)不合 【甲 96】某校高三共有 300 位學生,數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 X、Y 表示, 且每位學生的成績用 0 至 100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.016,試問 下列哪些選項是正確的?(1) X 與 Y 的相關情形可以用散佈圖表示 (2) 這兩次段考的數學成績適合用直線X=a+bY 表示 X 與 Y 的相關情形 (a,b 為常 數,b≠0) (3) X+5 與 Y+5 的相關係數仍為 0.016 (4) 10X 與 10Y 的相關係數仍為 0.016 (5) 若X′= X- X S X 、Y′= Y- Y SY ,其中 X 、 Y 分別為 X、Y 的平均數,S X、SY 分別為X、Y 的標準差,則 X′與 Y′的相關係數仍為 0.016 【解答】(1)(3)(4)(5) 【詳解】 (1) 300 位學生的(X , Y)可用散佈圖表示 (2) 若 X=a+bY,則 X 與 Y 的相關係數為 1 或-1 (3)(4)(5) 取 X′=aX+b,Y′=cY+d,其中 ac≠0, 則相關係數 r(X′ , Y′)= ac | ac | .r(X , Y)

∴ r(, Y+5)=r(X , Y)=0.016,r(10X , 10Y)=r(X , Y)=0.016

r( X- X SX , Y- Y SY )=r(X , Y)=0.016 【甲97】某人進行一實驗來確定某運動之距離d 與時間t的平方或立方成正比﹐所得數據如下﹕ 時間t(秒) 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 距離d (呎) 0.95 3.69 9.71 14.88 22.32 39.34 48.68 53.65 71.79 為探索該運動的距離與時間之關係﹐令xlog2tylog2d﹐即將上述的數據( , )t d 分別取以 2為底的對數變換﹐例如﹕(2,53.65)變換後成為(1,5.74)﹒已知變換後的數據( ,x y1 1)﹐(x y2, 2)﹐…﹐

(17)

y a bx﹐如下圖所示:試問下列哪些選項是正確的? (1)若d14.88﹐則3log2d4 (2)xy的相關係數小於0.2 (3)由右圖可以觀察出b2.5 (4)由右圖可以觀察出a2 (5)由右圖可以確定此運動之距離與時間的立方約略成正比﹒ 【解答】(1)(4) 【詳解】 (1)○;d14.88﹐∴t  1 x log 1 02  ﹐由圖知:3 y log2d4﹐ 或log 82 log 14.882 log 162 ﹐∴3log2d4﹒

(2)╳;由圖知:圖形接近完全正相關﹐∴ r ≒1(實際為 r ≒0.98044)﹒ (3)╳;由圖知:迴歸線 L 接近通過 ( 2,0)A 與 (0,4)B L m  ≒ 4 0 2 0 ( 2) AB m      ﹐∴ b ≒2 2.5 ﹒ (4)○; a 表 L 之 y 截距﹐∴ a ≒42﹒

(5)╳;令L y:  4 2xlog2d 4 2log2tlog 162 t2 d 16t2﹐ ∴距離與時間的平方略成正比﹒

數據

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參考文獻

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