1225 數列級數02解答

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1225 數列級數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設i 1,若級數 50 3 1 ( )n n i a bi   

,則 a  2b  (A)  1 (B)  3 (C)1 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 50 50 3 2 3 50 1 1 ( )n ( )n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i             

 [(  i)  (  1)  i  1]  [(  i)  (  1)  i  1]  …  [(  i)  (  1)  i  1]  (  i)  (  1)  0  0 … 0  i  1  1  i a bi 即 a  1,b  1 ∴ a 2b  3 ( )2.設 a、b、c、d 四正數成等比數列,若 a  b  8,c  d  72,則公比為 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設四數為 a﹐ar﹐ar2﹐ar3  2 3 8 72 a ar ar ar        2 (1 ) 8 1 72 9 (1 ) a r ar r ∴ r  3(負不合) ( )3.設 p、q 為二相異正整數,且 an為一等差數列的第 n 項。若 ap  q,aq  p,則 ap q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1,公差 d ∵ ap q ∴ a1 (p 1)d q… ∵ aq p ∴ a1 (q 1)d p… 由   (p q)d q p d q p 1 p q      d  1 代回 a1 (p  1)(  1)  q a1 p q  1 因此 ap q a1 (p q 1)d (p q  1)  (p q  1)  (  1)  0 ( )4.設一凸 n 邊形,各內角成等差數列,若公差為 4,最大內角為 172,則邊數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 外角度數分別為 8、12、16、…,又外角和 8 12 16… 360  2 8 ( 1) 4 360 2 n n        (n 12)(n  15)  0  n  12 ( )5.設一等比數列第 4 項為 2,第 7 項為1 4,則公比為 (A) 1 4 (B) 1 8 (C)1 (D) 1 2 【龍騰自命題.】 解答 D ( )6.試求 2 與  486 之間加入 4 個數成等比,求公比為 (A)  3 (B)3 (C)  3 (D)2 【龍騰自命題.】

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解答 C 解析  486  2r5  r5 243  r  3 ( )7.求等差級數

   

    7 2 3 68的總和為何? (A) 420 (B) 427 (C) 486 (D) 488 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 由題意知a1 7,da2     a1

   

2 7 5

1 1 68 7 1 5 n a  a nd     n  16 n   則所求

   

7 2 3 68

 

7 68 16 2                 61 8 488 ( )8.設兩整數a﹐ b 的等差中項為 5,等比中項為 4,則 2 2 ab  (A)38 (B)58 (C)68 (D)78 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 2 5 2 4 a b ab       由得a10b 代入得

10  b

b 16  2 10 16 0 bb  

b8



b2

0 ∴ b8或 2 當b8時,a2;當b2時,a8 故a2b2822264 4 68 ( )9.若 1 n n i i S a  

,已知 Sn  n2  3n,則 a20  (A)23 (B)46 (C)64 (D)42 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 a20 S20 S19 202 3  20  192 3  19  42 ( )10.設三數成等比數列,其和為 63,其乘積為 1728,其公比大於 1,則公比為 (A)3 (B)7 (C)9 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設三數為x r ﹐x﹐xr ∵ 其乘積為 1728 ∴ x3 1728,得 x  12 ∵ 其和為 63 ∴ x x xr 63 r     12 12 12r 63 r     4r 2 17r  4  0  r  4 或1 4(不合) ( )11.已知一等差級數前 n 項和為 5n2,求公差為 (A)10 (B)15 (C)5 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 Sn 5n2 a1 S1 5 a1 a2 S2 5  22 20 ∴ a2 20  5  15,公差 d a2 a1 10 ( )12.已知等比數列首項為 4 ,且a832 2,求此數列之公比 r (A) 2 (B) 2 (C) 1 2  (D) 1 2

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【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ a1 4,a832 2 由 1 7 1 8 1 n n aa r   aa r

 

7 7 7 32 2 4 r r 8 2 2          ∴ r  2 ( )13.已知 4 0 ( ) 25 k ak b   

, 5 2 ( ) 24 k ak b   

,則 a  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b       a 2,b  1 ( )14.已知等比數列第 4 項為 45 ,第 7 項為 5 3  ,則下列何者為非? (A)首項a1 1215 (B)公比 1 3 r  (C)第10項 10 5 81 a   (D) 5 729為此數列的第12 項 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 由 1 1 n n aa r  知 3 4 1 6 7 1 45 5 3 a a r a a r          由 得 3 1 1 27 3 r    r  代入式得a1 1215 則 3 10 7 5 1 5 3 27 81 aa r            2 2 12 10 5 1 5 81 3 729 aa r       ( )15.若 1  2  4  8 … 2n  1000,則 n 之最小整數值為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 1 1 2 4 8 2 1000 2 1 n n          2n  1 1001 n 1 最小整數值為 10 n 最小整數值為 9 ( )16. 1 n n i i S a  

,若 Sn  n2  3n,則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an Sn Sn  1 n2 3n (n  1)2 3(n  1)  2n  2 ( )17.設一等比數列之公比為 r,若其前 n 項和為 Sn,已知 S10  5,S20  15,則 S40  (A)75 (B)20 (C)30 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 10 10 ( 1) 5 1 a r S r     , 20 20 ( 1) 15 1 a r S r    

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∴ 20 10 1 3 1 r r     r 10 1 3 r10 2 ∵ 5 1 a r  ∴ 40 4 40 ( 1) 5 (2 1) 75 1 a r S r        ( )18.求級數 20 3 ( 15) k k  

的和為 (A)  90 (B)  63 (C)  60 (D)  75 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 20 3 18 23 ( 15) 15 18 63 2 k k        

( )19.設 2 1 ( ) 1 f x x   ,則 10 2 ( ) n f n

的值為 (A)10 11 (B) 36 55 (C) 72 55 (D)全部皆非 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ( ) 21 1( 1 1 ) 2 1 1 1 f x x x x       故 10 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 3 2 4 3 5 8 10 9 11 n f n            

1(1 1 1 1) 36 2 2 10 11 55      ( )20.若兩等差數列第 n 項之比為(3n  1):(7n  1),則兩數列前 7 項和之比為 (A)11:24 (B)13:27 (C)3:7 (D)4:9 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ S7 7a4 ∴ S7:S'7 7a4:7a'4 a4:a'4 13:27 ( )21.若兩等差級數,前 n 項和之比為(3n  1):(7n  1),則兩數列第 7 項之比為 (A)11:24 (B)13:27 (C)3:7 (D)4:9 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ a7:b7 13a7:13b7 S13:S'13 [3(13)  1]:[7(13)  1]  4:9 ( )22.在1 4和 4 81之間插入 3 個正數,使這 5 個數成等比數列,則插入的第三數為 (A) 1 6 (B) 1 9 (C) 2 16 (D) 2 27 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 1 1 4 a  , 5 4 81 a   4 1 4 814r  2 3 r  (負不合) 插入的第三數為 3 3 4 1 1 2 2 ( ) 4 3 27 aa r    ( )23. 2 1 ( 1) n k k   

(A) 3 2 2 3 6 nnn (B) 3 2 3 6 nnn (C) 3 2 2 3 6 nnn (D) 3 2 3 6 nnn 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 〈法一〉 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 1 ( 1) 0 1 2 ( 1) ( 1)( )[2( 1) 1] 6 2 3 6 n n k k k n k n n n n n n                  

〈法二〉

(5)

2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 ( 1) ( 2 1) 2 1 ( 1)(2 1) ( 1) 2 3 2 6 2 6 n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n                      

 

( )24.已知四個正數a、 b 、c、 d 為一等比數列,若a b 20,a b c   d 65,則a (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設等比數列的公比為rr0) 則bar,  2 c ar ,  3 d ar 20   a ba ar 20  a(1 r) 20  a b  c d 65  20   c d 65  c d 45  ar2ar345  2 (1 ) 45 ar r : 2 (1 ) 45 (1 ) 20  ar r a r  2 9 4  r  3 2   r (負不合) 3 2  r 代回 : (1 3) 20 2   aa8 ( )25.設a、 b 、c三數成等比數列,且滿足a b c  9及a2b2c2189,則等比中項 b (A) 6 (B) 2 (C)1 2 (D) 6 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ abc成等比數列 ∴ b2ac 2 2 2 189 abc   a2c2189b2 9 a b c    a c  9 b

a c

 

2 9 b

2  a22acc281 18b b 2 

2 2

ac 2 ac81 18b b  2 

2

189 b 2b2 81 18b b  2  18b 108  b 6 〈法二〉 設等比數列abc的公比為rbar, 2 car 9 a b c    2 9 aarar  

2

1 9 a  r r  2 2 2 189 abc   2

 

2

 

2 2 189 aarar   2 2 2 2 4 189 aa ra r   2

2 4

1 189 arr

(6)

2 2 4 2 1 189 9 1 a r r a r r      



2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        

2 1 21 a  r r   aarar221  :2ar 12  ar 6 ∵ barb 6

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