1225 數列級數02解答

1225 數列級數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設i 1，若級數 50 3 1 ( )n n i a bi   



，則 a  2b  (A)  1 (B)  3 (C)1 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 50 50 3 2 3 50 1 1 ( )n ( )n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i             





 [(  i)  (  1)  i  1]  [(  i)  (  1)  i  1]  …  [(  i)  (  1)  i  1]  (  i)  (  1)  0  0 … 0  i  1  1  i  a  bi 即 a  1，b  1 ∴ a  2b  3 （ ）2.設 a、b、c、d 四正數成等比數列，若 a  b  8，c  d  72，則公比為 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設四數為 a﹐ar﹐ar2_﹐ar3  2 3 8 72 a ar ar ar        2 (1 ) 8 1 72 9 (1 ) a r ar r  _{ }  ∴ r  3（負不合） （ ）3.設 p、q 為二相異正整數，且 an為一等差數列的第 n 項。若 ap  q，aq  p，則 ap  q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1，公差 d ∵ ap  q ∴ a1 (p  1)d  q… ∵ aq  p ∴ a1 (q  1)d  p… 由   (p  q)d  q  p  d q p 1 p q      d  1 代回 a1 (p  1)(  1)  q  a1 p  q  1 因此 ap  q a1 (p  q  1)d  (p  q  1)  (p  q  1)  (  1)  0 （ ）4.設一凸 n 邊形，各內角成等差數列，若公差為 4，最大內角為 172，則邊數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 外角度數分別為 8、12、16、…，又外角和 8 12 16… 360  2 8 ( 1) 4 360 2 n n      _{  }  (n  12)(n  15)  0  n  12 （ ）5.設一等比數列第 4 項為 2，第 7 項為1 4，則公比為 (A) 1 4 (B) 1 8 (C)1 (D) 1 2 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）6.試求 2 與  486 之間加入 4 個數成等比，求公比為 (A)  3 (B)3 (C)  3 (D)2 【龍騰自命題.】

解答 C 解析  486  2r5  r5 243  r  3 （ ）7.求等差級數

   

    7 2 3 68的總和為何？ (A) 420 (B) 427 (C) 486 (D) 488 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 由題意知a₁ 7，da₂     a₁

   

2 7 5









1 1 68 7 1 5 n a  a n d     n  16 n   則所求

   

7 2 3 68

 

7 68 16 2                 61 8 488 （ ）8.設兩整數a﹐ b 的等差中項為 5，等比中項為 4，則 2 2 a b  (A)38 (B)58 (C)68 (D)78 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 2 5 2 4 a b ab   _    _  由得a10b 代入得



10  b



b 16  2 10 16 0 b  b  



b8



b2



0 ∴ b8或 2 當b8時，a2；當b2時，a8 故_a2_b2₈2₂2_{64 4} ₆₈ （ ）9.若 1 n n i i S a  



，已知 Sn  n2 _{ 3n，則 a20  (A)23 (B)46 (C)64 (D)42} 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 a20 S20 S19 202 3  20  192 3  19  42 （ ）10.設三數成等比數列，其和為 63，其乘積為 1728，其公比大於 1，則公比為 (A)3 (B)7 (C)9 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設三數為x r ﹐x﹐xr ∵ 其乘積為 1728 ∴ x3 1728，得 x  12 ∵ 其和為 63 ∴ x x xr 63 r     12 12 12r 63 r     4r 2_ 17r  4  0  r  4 或1 4（不合） （ ）11.已知一等差級數前 n 項和為 5n2_{，求公差為 (A)10 (B)15 (C)5 (D)20} 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 Sn  5n2 a1 S1 5 a1 a2 S2 5  22 20 ∴ a2 20  5  15，公差 d  a2 a1 10 （ ）12.已知等比數列首項為 4 ，且a₈32 2，求此數列之公比 r (A) 2 (B) 2 (C) 1 2  (D) 1 2

【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ a₁ 4，a₈32 2 由 1 7 1 8 1 n n a a r   a a r

 

7 7 7 32 2 4 r r 8 2 2          ∴ r  2 （ ）13.已知 4 0 ( ) 25 k ak b   



， 5 2 ( ) 24 k ak b   



，則 a  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b     _{ }   a  2，b  1 （ ）14.已知等比數列第 4 項為 45 ，第 7 項為 5 3  ，則下列何者為非？ (A)首項a₁ 1215 (B)公比 1 3 r  (C)第10項 ₁₀ 5 81 a   (D) 5 729為此數列的第12 項 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 由 1 1 n n a a r  知 3 4 1 6 7 1 45 5 3 a a r a a r          由 得 3 1 1 27 3 r    r  代入式得a₁ 1215 則 3 10 7 5 1 5 3 27 81 a a r  _  _{ }  _     2 2 12 10 5 1 5 81 3 729 a a r   _ _    （ ）15.若 1  2  4  8 … 2n  1000，則 n 之最小整數值為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 1 1 2 4 8 2 1000 2 1 n n  _          2n  1 ₁₀₀₁  _n  _{1 最小整數值為 10}  _{n 最小整數值為 9} （ ）16. 1 n n i i S a  

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，若 Sn  n2  3n，則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an  Sn  Sn  1 n2 3n  (n  1)2 3(n  1)  2n  2 （ ）17.設一等比數列之公比為 r，若其前 n 項和為 Sn，已知 S10  5，S20  15，則 S40  (A)75 (B)20 (C)30 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 10 10 ( 1) 5 1 a r S r     ， 20 20 ( 1) 15 1 a r S r    

∴ 20 10 1 3 1 r r     r 10 ₁  ₃  _r10 ₂ ∵ 5 1 a r  ∴ 40 4 40 ( 1) 5 (2 1) 75 1 a r S r        （ ）18.求級數 20 3 ( 15) k k  



的和為 (A)  90 (B)  63 (C)  60 (D)  75 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 20 3 18 23 ( 15) 15 18 63 2 k k        



（ ）19.設 2 1 ( ) 1 f x x   ，則 10 2 ( ) n f n 

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的值為 (A)10 11 (B) 36 55 (C) 72 55 (D)全部皆非 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ( ) ₂1 1( 1 1 ) 2 1 1 1 f x x x x       故 10 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 3 2 4 3 5 8 10 9 11 n f n            

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1(1 1 1 1) 36 2 2 10 11 55      （ ）20.若兩等差數列第 n 項之比為(3n  1)：(7n  1)，則兩數列前 7 項和之比為 (A)11：24 (B)13：27 (C)3：7 (D)4：9 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ S7 7a4 ∴ S7：S'7 7a4：7a'4 a4：a'4 13：27 （ ）21.若兩等差級數，前 n 項和之比為(3n  1)：(7n  1)，則兩數列第 7 項之比為 (A)11：24 (B)13：27 (C)3：7 (D)4：9 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ a7：b7 13a7：13b7 S13：S'13 [3(13)  1]：[7(13)  1]  4：9 （ ）22.在1 4和 4 81之間插入 3 個正數，使這 5 個數成等比數列，則插入的第三數為 (A) 1 6 (B) 1 9 (C) 2 16 (D) 2 27 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 1 1 4 a  ， ₅ 4 81 a   4 1 4 814r  2 3 r  （負不合） 插入的第三數為 3 3 4 1 1 2 2 ( ) 4 3 27 a a r    （ ）23. 2 1 ( 1) n k k   



(A) 3 2 2 3 6 n  n n (B) 3 2 3 6 n  nn (C) 3 2 2 3 6 n  n n (D) 3 2 3 6 n  nn 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 〈法一〉 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 1 ( 1) 0 1 2 ( 1) ( 1)( )[2( 1) 1] 6 2 3 6 n n k k k n k n n n n n n                  





〈法二〉

2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 ( 1) ( 2 1) 2 1 ( 1)(2 1) ( 1) 2 3 2 6 2 6 n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n                      







 

（ ）24.已知四個正數a、 b 、c、 d 為一等比數列，若a b 20，a b c   d 65，則a (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設等比數列的公比為r（r0） 則bar，  2 c ar ，  3 d ar 20   a b  a ar 20  a(1 r) 20  a b  c d 65  20   c d 65  c d 45  _ar2_ar3₄₅  2 (1 ) 45 ar r ： 2 (1 ) 45 (1 ) 20  _  ar r a r  2 9 4  r  3 2   r （負不合） 3 2  r 代回 ： (1 3) 20 2   a  a8 （ ）25.設a、 b 、c三數成等比數列，且滿足a b c  9及a2b2c2189，則等比中項 b (A) 6 (B) 2 (C)1 2 (D) 6 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ a、b、c成等比數列 ∴ _b2_ac 2 2 2 189 a b c   a2c2189b2 9 a b c    a c  9 b 



a c

 

2 9 b



2  _a2_2ac_c2_{81 18} _{b b} 2 



2 2



a c 2 ac81 18b b  2 



2



189 b 2_b2 _{81 18b b}  2  18b 108  b 6 〈法二〉 設等比數列a、b、c的公比為r 則bar， 2 car 9 a b c    2 9 aarar  



2



1 9 a  r r  2 2 2 ₁₈₉ a b c   ₂

 

2

 

₂ 2 189 a  ar  ar   2 2 2 2 4 189 a a r a r   2



2 4



1 189 a r r 

：









2 2 4 2 1 ₁₈₉ 9 1 a r r a r r      











2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        





2 1 21 a  r r   _a_ar_ar2₂₁  ：2ar 12  ar 6 ∵ bar ∴ b 6