4-1-3圓錐曲線-雙曲線

全文

(1)第四冊 1-3 圓錐曲線-雙曲線【定義】 1. 雙曲線(截痕)：當 0 ≤ β < α 時，則割平面和 Ω 交於上下兩曲線，在上下塞進兩個球(此時它們分居 Ω 的的上下兩部分)與割平面 E 相切於 F 和 F ' 點，而與 Ω 相切於圓 C1 和 C2 。 2. 雙曲線：設平面上兩相異點 F 與 F ' 及一正數 a ，且 FF ' > 2a ，則平面上滿足 | PF − PF ' |= 2a 的所有點 P 所形成的圖形稱為雙曲線， F , F ' 稱為焦點， FF ' 的中點稱為中心。 3. 中心：兩焦點連線段的中點。 4. 頂點：過兩焦點的直線與雙曲線的交點。 5. 貫軸：設過兩焦點的直線交雙曲線於 A, A' ，則 AA' 稱為貫軸， AA' 的長度稱為貫軸長。 6. 共軛軸：過中心且與長軸垂直的直線交雙曲線於 B, B ' ，則 BB ' 稱為共軛軸， 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.. BB ' 的長度稱為共軛軸長。焦距：焦點到頂點的距離，一般以 c 表示。. 焦半徑：雙曲線上任一點與焦點的連線段(有兩組 PF , PF ' )。弦：雙曲線上兩相異點的連線段。焦弦：過焦點的弦。正焦弦：焦弦中與貫軸長垂直者。漸近線：包含矩形對角線的直線。內部、外部：平面上除了雙曲線上之外，其餘部分被分為三部分，其中兩部分為含焦點的區域，稱為內部;另一部分為不含焦點的區域，稱為外部。註： (1) 橢圓內部的任意點 I ，恆有 IF + IF ' < 2a 。 (2) 橢圓外部的任意點 E ，恆有 EF + EF ' > 2a 。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P17.

(2) 【定義】 1. 貫軸平行 x 軸的雙曲線標準式：設雙曲線的兩焦點為 F (c,0), F ' ( −c,0) ，貫軸長 2a ，且 c > a > 0 ，則其方程式 x2 y2 為 2 − 2 = 1 ，其中 b 2 = c 2 − a 2 。 a b 證明：設 P ( x, y ) 為雙曲線上的任一點，則 PF − PF ' = 2a ⇔. ( x − c ) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = 2a. ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = ±2 a ⇔ ( x − c) 2 + y 2 = ( x + c) 2 + y 2 ± 2a ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = ( x + c ) 2 + y 2 ± 4a ( x + c ) 2 + y 2 + 4a 2 ⇔ ±4a ( x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx ⇔ ± a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + cx. ⇔ a 2 (( x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ) ⇔ b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 y2 − = 1。 a2 b2 2. 貫軸平行 y 軸的雙曲線標準式：設雙曲線的兩焦點為 F (0, c ), F ' (0,−c ) ，貫軸長 2a ，且 c > a > 0 ，則其方程 ⇔. x2 y2 式為 2 − 2 = −1 ，其中 b 2 = c 2 − a 2 。 a b 證明：設 P ( x, y ) 為雙曲線上的任一點，則 PF − PF ' = 2a ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 − x 2 + ( y + c ) 2 = 2a. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 − x 2 + ( y + c ) 2 = ±2 a. ⇔. x 2 + ( y − c ) 2 = x 2 + ( y + c) 2 ± 2a. ⇔ x 2 + ( y − c ) 2 = x 2 + ( y + c) 2 ± 4a x 2 + ( y + c ) 2 + 4a 2. ⇔ ±4a x 2 + ( y + c) 2 = 4a 2 + 4cy ⇔ ± a x 2 + ( y + c) 2 = a 2 + cy. ⇔ a 2 ( x 2 + ( y + c) 2 ) = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 + a 2 y 2 + 2a 2 cy + a 2 c 2 = a 4 + 2a 2 cy + c 2 y 2 ⇔ a 2 x 2 − ( c 2 − a 2 ) y 2 = − a 2 (c 2 − a 2 ) ⇔ a 2 x 2 − b 2 y 2 = − a 2 b 2 ⇔. x2 y2 − = −1 。 a 2 b2. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P18.

(3) 【類型】 1. 中心在原點(標準式)：方程式. x2 y2 − = 1 (左右型) a2 b2. x2 y2 − = −1 (上下型) b2 a2. | x |≥ a, y ∈ R (0,0) (± a,0) (0,±b) ( ± c ,0 ). x ∈ R, | y |≥ a (0,0) (0,± a ) ( ± b,0 ) (0,± c ). a2 c x = 0, y = 0. a2 c x = 0, y = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c. 2b 2 a 2a 2b 2c. c x±a a. c y±a a. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = a sec θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = b tan θ x y x y − = 0或 + = 0 a b a b 2 2 c = a + b2. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = b tan θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = a sec θ x y x y − = 0或 + = 0 b a b a 2 2 c = a + b2. 圖形. 範圍中心貫軸頂點共軛軸頂點焦點. x=±. 準線對稱軸正焦弦長貫軸長共軛軸長焦距焦半徑離心率參數式漸近線基本關係. e=. 第四冊第一章. y=±. 圓錐曲線 — P19. e=.

(4) 2.. 中心不在原點：方程式. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = −1 b2 a2. | x − h |≥ a, y ∈ R ( h, k ) ( h ± a, k ) ( h, k ± b ) ( h ± c, k ). x ∈ R, | y − k |≥ a ( h, k ) ( h, k ± a ) ( h ± b, k ) ( h, k ± c ). a2 x−h =± c x − h = 0, y − k = 0. a2 y−k = ± c x − h = 0, y − k = 0. 2b 2 a 2a 2b 2c. 2b 2 a 2a 2b 2c. c ( x − h) ± a a. c ( y − k) ± a a. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = h + a sec θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b tan θ x−h y−k − =0 a b x−h y−k 或 + =0 a b c2 = a2 + b2. PF c = >1 d ( P, L ) a ⎧ x = h + b tan θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + a sec θ x−h y−k − = 0或 b a x−h y−k + =0 b a c2 = a2 + b2. 圖形. 範圍中心貫軸頂點共軛軸頂點焦點準線對稱軸正焦弦長貫軸長共軛軸長焦距焦半徑離心率參數式. 漸近線. e=. e=. 基本關係【問題】 1. 試問型如 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 的方程式，何種條件下其圖形為一雙曲線？ 2. 試問幾個獨立條件可以決定雙曲線方程式？ 3. 試問參數式當中的角度 θ ，在圖形上的幾何意義是否表示點與中心的連線與 x 軸正向的夾角？ 4. 給定一個雙曲線的圖形，是否可用作圖方法求出此雙曲線的焦點？第四冊第一章. 圓錐曲線 — P20.

(5) 【證明】 1. 焦半徑： PF = ( x − c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + b 2 (. x2 − 1) = a2. (a 2 + b 2 ) 2 x − 2cx + (c 2 − b 2 ) a2. c c2 2 c x − 2cx + a 2 = ( x − a ) 2 = x − a ， 2 a a a c 同理 PF ′ = x + a 。 a 2. 正焦弦長：設過焦點 F (c,0) 與 x 軸垂直的弦交雙曲線於 (c, y ) ， =. 2 b2 b2 c2 y2 2 2 c 2 2 − = 1 ⇒ = ( − 1 ) ⇒ y = ± ， ⇒ y = b × y b a a2 a2 b2 a2 b2 b2 2b 2 故正焦弦長為 ( ) − (− ) = 。 a a a 【定義】 1. 等軸雙曲線：雙曲線中若貫軸長等於共軛軸長時，稱等軸雙曲線，此時二漸近線互相垂直。. 則. 2.. 共軛雙曲線：有共同的漸近線的兩雙曲線，稱為共軛雙曲線。有相同的漸近線且 Γ1 的貫軸、共軛軸分別為 Γ2 的共軛軸與貫軸。例如： ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 Γ1 : − = 1 Γ : − = −1 。的共軛雙曲線為 2 a2 b2 a2 b2. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P21.

(6) 【方法】 1. 求雙曲線方程式的解題步驟： (1) 先判別雙曲線為上下型或左右型。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = −1 ( a, b > 0 )形式； (a)若為上下型，則方程式為 b2 a2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 (b)若為左右型，則方程式為 − = 1 ( a, b > 0 )形式。 a2 b2 (2) 求出中心及貫軸長、共軛軸長。 2. 若已知漸近線為 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, L2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 ，則雙曲線的方程式可以表成形如 (a1 x + b1 y + c1 )(a 2 x + b2 y + c 2 ) = k 。 3. 任何雙曲線 L1 : ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 必可分解成 (a1 x + b1 y + c1 )(a 2 x + b2 y + c2 ) = k (k ≠ 0) 之型式，而漸近線為 a1 x + b1 y + c1 = 0 及 a 2 x + b2 y + c 2 = 0 。【討論】 1. 若 | PF − PF ' |= 2a < FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為雙曲線。 2.. 若 | PF − PF ' |= 2a = FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為兩射線。. 3.. 若 | PF − PF ' |= 2a > FF ' = 2c ，則 P 點軌跡無圖形。. 若方程式為 | ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 − ( x − x 2 ) 2 + ( y − y 2 ) 2 |= k 形式，則其圖形可能為雙曲線、兩射線或無圖形。 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1， 5. 若方程式為 p q 當 pq < 0 ，則圖形為雙曲線。 4.. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P22.

(7) 【性質】 1. 漸近線的意義： (說明一) 設雙曲線上一點 P( x1 , y1 ) ，過此點與 x 軸垂直的直線交較靠近的漸近線於 Q ( x1 , y 2 ) ，則 y1 − y 2 = b 2 ( =. b a. a. x1 a. 2. x1 − a + x1 2. 2. 2. − 1) −. ab. =. x1 − a + x1 2. 2. ，. 2. ab. 故 lim ( y1 − y 2 ) = lim x1 → ∞. bx1 b 2 = ( x1 − a 2 − x1 ) a a. x1 → ∞. x1 − a 2 + x1 2. =0。. (說明二) x2 y2 − = 1 上，若 L1 : bx − ay = 0, L2 : bx + ay = 0 ， a2 b2 2 2 | bx0 − ay 0 | | bx0 + ay 0 | | b 2 x0 − a 2 y 0 | a 2b 2 d ( P, L1 )d ( P, L2 ) = = ， × = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 此與 P ( x0 , y 0 ) 點無關。 2. 試證明從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等於共軛軸的半長。證明：設 P ( x0 , y 0 ) 在雙曲線. d ( F , L1 ) = d ( F ' , L1 ) =. 3.. 雙曲線. | bc | a2 + b2. =b。. a 2b 2 x2 y2 − = 1 。上任一點到兩漸近線距離乘積為定值 a2 b2 a2 + b2. 證明：設 P ( x0 , y 0 ) 在雙曲線上，兩漸近線 L1 : bx − ay = 0, L2 : bx + ay = 0 ， | bx0 − ay 0 | | bx0 + ay 0 | | b 2 x0 − a 2 y 0 | a 2b 2 ⇒ d ( P, L1 )d ( P, L2 ) = = 。 × = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 設圓 C1 ，點 P ，若圓 C 與圓 C1 相切時，並過點 P ，則其圓心軌跡為雙曲線。 2. 4.. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P23. 2.

(8) 【作圖】 1. 我們應該如何畫出雙曲線？可用如下方法：以點 F2 為圓心， 2a 為半徑畫圓 C ，取 F1 在圓 C 內，設 Q 在圓 C 上，取 F1Q 的中點 R ，過點 R 作 F1Q 的中垂線，過 Q 作直線 F2 Q ，兩線的交點 P 滿足到兩定點 F1 , F2 之距離差的絕對值 ( | PF1 − PF2 |= 2a < F1 F2 = 2c )為定值，所有動點 P 所組成的軌跡即為雙曲線，其中定點 F1 , F2 稱為雙曲線的焦點。. 第四冊第一章. 圓錐曲線 — P24.

(9)