國中數學6 3 2資料的分析

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。

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2 資料的分析

本節課程學習重點: ◎能理解算術平均數的意義,能計算出一群未分組、已分組資料的算術平均數。 ◎能知道將幾份同類資料合併時,算術平均數的計算方式只和各資料次數占總次數的相對比例有關。 ◎能理解算術平均數易受到極端值的影響。 ◎能理解中位數的意義,能計算出一群有序資料的中位數,能計算已分組資料的中位數所在組別。 ◎能理解眾數的意義,能計算出一群資料的眾數。 ◎能理解當資料值平移或乘上某個不為 0 之定數時,算術平均數、中位數、眾數皆會相對應變化。 ◎能理解百分位數的意義。 ◎能計算出未分組資料的第 n 百分位數,能理解百分位數可以表示某資料組在總資料中的相對位置。 ◎能自資料之累積相對次數分配表及折線圖中求出已分組資料的第 n 百分位數。 ◎能報讀身體質量指數(kg/m2 )百分位數表。 ◎能理解四分位數的意義。 ◎能知道第 25 百分位數相當於 Q1,第 50 百分位數相當於 Q2,第 75 百分位數相當於 Q3。 ◎能理解四分位數可以表示某資料組在總資料中的相對位置。 ◎能利用一群資料的最小值、Q1、Q2、Q3、最大值等 5 個數值繪製盒狀圖。 ◎能理解四分位距和全距的意義,能計算一組資料的四分位距和全距。 ◎能利用四分位距和全距間的差異描述整組資料的分散程度。 ◎能利用盒狀圖來分析幾組資料間的關係。 一、算術平均數、中位數與眾數: 資料經過整理成次數分配表或繪製成次數分配圖,如圓形圖、長條圖、直方圖和折線圖後,就可以 大致掌握整組資料分布的情形或變化的趨勢,除了圖表展示外,也會以一些數值代表某一群資料, 來對該群資料做描述、與其他同類資料做比較或對照個別資料的相對位置等。 ◎算術平均數:(集中趨勢) (1)在日常生活中常常會見到平均數的應用,例如:數學科的班級平均分數,就是班上同學數學科的 總分除以總人數所得到的分數。 (2)將一群資料數值的總和除以資料的個數就稱為這群資料的算術平均數(平均數),計算方式如下: 如果有 n 個資料 a1、a2、…、an,則它們的平均數=(a1+a2+…+an)÷n=

a1+a2+…+an n 。 練習 1:國中班際盃女子籃球比賽,已知甲、乙兩隊上場的 5 名隊員, (1)若甲隊隊員身高分別如下:156、163、167、157、172(公分),則甲隊隊員的平均身高 是多少公分? (2)若將乙隊的 5 名隊員身高與 160 公分比較,分別低 10 公分、低 2 公分、不高不低、 高 6 公分、高 10 公分,則乙隊隊員的平均身高是多少公分?(Hint:平移) 練習 2:康康國中三年一班某次數學科考試成績分布如下表: 成績(分) 100 90 80 人數(人) 3 20 17 則此次數學科考試全班平均分數是幾分?

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 【觀念釐清】平均數常被用來代表一群資料的特徵,所以同類資料通常可以用平均數來進行比較。 例如:在練習 1 中,甲隊平均身高為 163 公分,乙隊平均身高為 160.8 公分,可以說 甲隊的平均身高高於乙隊,但這不表示甲隊每位隊員的身高一定都高於乙隊。 練習 3:美娟四次數學測驗的平均分數是 87 分,已知前三次測驗的成績分別是 86 分、91 分、83 分, 則美娟第四次測驗的成績是幾分? 【觀念釐清】上例中,前三次測驗的分數減去平均分數的值如下表: 分數(分) 86 91 83 分數減去平均分數的值 -1 +4 -4 則可由此表判斷第四次測驗成績。 因為前三次測驗的分數減去平均數的和為:-1+4+(-4)=-1,所以表示第四次的測驗 成績比平均數多 1,即 87+1=88(分)。 練習 4:三年三班 30 位同學的平均身高為 157.4 公分,這學期轉來一位身高 176 公分的同學,則 這 31 位同學的平均身高是多少公分? 練習 5:康康國中三年一班,男生平均身高為 170 公分,女生平均身高為 165 公分,若男生人數占全班 人數的 3 5,則全班的平均身高為多少公分? 練習 6:民生國中三年二班男生的平均體重為 54 公斤,女生的平均體重為 48 公斤,若女生人數占全班 人數的 1 3,則全班的平均體重為多少公斤? 【觀念釐清】當資料是以分組的次數呈現時, 資料總和=(每組組中點的數值)×(次數)後再相加, 平均數=資料總和總次數 。 例如:右表為三年二班某週課餘自修時間的次數 分配表,其中12~15小時的有10人,因為不知道 這10人的原始時間,所以一般會將各組資料視為 均勻分布於該組上,以組中點13.5小時表示這一 組10人的平均時間,而以13.5×10=135小時表示 這10人的總時間。 時間(小時) 組中點 次數(人) 3~6 4.5 1 6~9 7.5 3 9~12 10.5 4 12~15 13.5 10 15~18 16.5 6 18~21 19.5 4 21~24 22.5 2 合計 30

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 練習 7:下表為三年甲班數學隨堂測驗成績次數分配表,則三年甲班學生的平均分數為幾分? 分數(分) 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 合計 次數(人) 3 5 6 8 13 5 40 練習 8:右圖為三年三班學生身高的次數分配折線圖, 則三年三班學生的平均身高為幾公分? 【觀念釐清】算術平均數的計算方式: (1)未分組資料:資料數值的總和除以資料個數。 (2)已分組資料:將各組組中點的數值乘以次數後相加得到總和,再除以資料個數。 ◎中位數:(集中趨勢) (1)公園裡有甲、乙兩群遊客在休閒散步,他們的年齡分別如下: 甲群:13 , 13 , 14 , 14 , 15 , 16 , 16 , 16 , 27(歲); 乙群:4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 60 , 63(歲)。 可以分別算出這兩群遊客的平均年齡: 甲群平均年齡=(13+13+14+14+15+16+16+16+27)÷9=16(歲); 乙群平均年齡=(4+4+5+5+6+6+6+6+60+63)÷10=16.5(歲)。 若只說有兩群平均年齡約 16 歲的遊客,則可能被認為是兩群國中生在公園裡,與實際情況不符, 所以用平均數 16.5 歲來代表乙群的年齡資料並不恰當,在資料值裡特別大或特別小的值叫做這群 資料的極端值,乙群年齡資料的平均數受到極端值 60、63 的影響,此時平均數就不適合用來顯示 整體資料的特徵。 (2)為了避免極端值影響平均數的情形,將資料由小到大依序排列後,取最中間的數來代表這組資料, 這個數就稱為這組資料的中位數。一群資料中位數的求法如下: 將一組 n 個資料,由小到大依序排列, (a)如果 n 為奇數時:中位數為排在最中間的數,即第 n+12 個數。 (b)如果 n 為偶數時:中位數為排在最中間兩個數的平均數,即第 n 2個與第( n 2+1)個數的平均數。 以上述甲、乙兩群遊客年齡為例: 甲群的年齡:13 , 13 , 14 , 14 , 15 , 16 , 16 , 16 , 27,中位數=15(歲); 乙群的年齡:4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 60 , 63,中位數=(6+6)÷2=6(歲); 所以用 6 歲來代表乙群遊客的年齡,會比較接近實際情形。 10 12 14 8 6 4 2 0 身高(公分) 130140 150160170180190 12 8 5 3 2 次 數()

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 練習 9:(1)有 9 位青少年,年齡分別為 13 , 10 , 11 , 10 , 14 , 15 , 17 , 15 , 16(歲),則這群青少年年齡的 中位數為多少? (2)有 6 位老師,年齡分別為 42 , 45 , 40 , 42 , 43 , 46(歲),則這群老師年齡的中位數為多少? 練習 10:下列各群資料的中位數分別為多少? (1) 2 , 3 , 6 , 9 , 10 , 14 , 17 (2) 9 , 7 , 3 , 3 , 12 , 14 , 25 , 3 , 4 , 13 , 5 , 9 練習 11:志芳的公司有 47 位員工,員工薪資的次數分配表如下,則員工薪資的中位數為多少? 薪資(元) 19000 22000 24500 28000 32000 36000 60000 90000 員工數(人) 2 3 15 10 10 3 3 1 練習 12:三民國中三年四班有 42 位同學,每人投籃 10 次後,命中球數的次數分配表如下,則投籃 命中球數的中位數為多少? 命中球數(次) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 次數(人) 5 3 8 8 7 4 3 2 1 1 練習 13:下表為三年六班學生體重的次數分配表,則該班學生體重的中位數在哪一組? 練習 14:下圖為龍華國中參加糾察隊甄選的同學身高次數分配折線圖,則參選同學身高的中位數在 哪一組? 次 數() 15 18 21 12 9 6 3 0 身高(公分) 140 150 160 170 180 2 7 13 20 3 190 體重(公斤) 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 合計 次數(人) 4 12 10 3 1 30

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 ◎眾數:(集中趨勢) 百貨公司或零售商想知道哪樣產品、哪種規格最暢銷,以作為日後訂貨的參考,這時所參考的數值 就是眾數。一群數值資料中出現次數最多的數值,稱為眾數。 【說明】以公園裡甲、乙兩群遊客年齡為例: 甲群:13 , 13 , 14 , 14 , 15 , 16 , 16 , 16 , 27(歲); 乙群:4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 6 , 60 , 63(歲)。 得到甲、乙兩群遊客年齡的眾數分別為 16 歲、6 歲。 練習 15:新奇百貨公司上一季某牌電視各尺寸銷售量的紀錄如下表,則上一季電視銷售量的眾數是 哪一種尺寸? 尺 寸(吋) 32 37 42 47 銷售量(臺) 88 79 210 84 練習 16:下圖為三年一班學生屈膝仰臥起坐次數分配長條圖,則屈膝仰臥起坐次數的眾數為多少? 次 數() 6 5 4 3 2 1 0 21 23 26 28 30 31 34 36 37 39 40 42 45 46 48 50 次數(次) 練習 17:康強高中語文實驗班有 40 位學生,某次舉行國文、英文能力檢測,成績整理成下表: 算術平均數 中位數 眾數 國文成績(分) 70 68 67 英文成績(分) 45 48 51 (1)後來發現國文試題中有一題敘述有誤,導致無人答對,因此將每人國文成績加 5 分, 則調整後,國文成績的算術平均數、中位數、眾數分別為幾分? (2)又因英文試題太過艱深,成績偏低,所以將每人英文成績乘以 4 3,則調整後,英文成績 的算術平均數、中位數、眾數分別為幾分? 【觀念釐清】(1)由上例可知,當整組資料同時加、減或乘上一個不為 0 的數時,該組資料的 算術平均數、中位數與眾數,也會同時加、減或乘上這個數。 (2)利用算術平均數、中位數和眾數來代表一群資料或呈現這群資料的集中趨勢。 (3)算術平均數會受極端值影響,而中位數、眾數不受極端值影響。 練習 18:有一群資料的算術平均數、中位數、眾數分別為 30、28、31,則 (1)將該群資料全部加 20 後的算術平均數、中位數、眾數分別為多少? (2)將該群資料全部乘以 30 後的算術平均數、中位數、眾數分別為多少?

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 二、百分位數與四分位數: ◎百分位數:(未分組資料) 練習 19:康強國中舉辦音樂比賽,其中長笛組共有 13 位選手參加初賽,成績由低而高排序如下: 36 , 37 , 37 , 39 , 39 , 40 , 41 , 41 , 42 , 42 , 42 , 44 , 47 (1)若規定成績在中位數以上(含)的選手可以進入複賽,則進入複賽的人數占參加人數的 百分率為多少?(以四捨五入取到整數位) (2)若換成規定成績在中位數以下(含)的選手淘汰,則淘汰的人數占參加人數的百分率 為多少?(以四捨五入取到整數位) 練習 20:一群資料為 42 , 45 , 40 , 42 , 43 , 46,試求: (1)中位數以上(含)的資料占全部資料的百分率為多少? (2)中位數以下(含)的資料占全部資料的百分率為多少? 【觀念釐清】在計算一群資料值的中位數時,當資料由小到大排序後可得到: (1)小於或等於中位數的資料至少占一半(50%)。 (2)大於或等於中位數的資料也至少占一半(50%)。 中位數可用來呈現該群資料的分布情形,也可將其中個別資料與中位數對照,得到該筆 資料在這群資料中所占的相對位置。 ◎百分位數: (1)當資料數量很多,且分布的範圍很大時,除了中位數以外,就需要有更多個可以參照的數值資料 供參考和比較,才能更詳細呈現資料的分布情形,也讓個別資料能更精細呈現相對位置。 (2)當一群資料個數很多時,比較常用的方式是以 99 個數將整群資料分成 100 等分,這 99 個數稱為 百分位數,如下圖,第 k 百分位數以 Pk表示(k=1 , 2 , 3 , … , 99),Pk是指這群資料的個數中, 至少有 k%的資料小於或等於 Pk,且至少有(100-k)%的資料大於或等於 Pk。 資料由小到大排序 至少 k%資料小於或等於 Pk 至少(100-k)%資料大於或等於 Pk 最大 最小 Pk ◎未分組資料第 k 百分位數(Pk)的計算方法: 先將資料由小到大排序。 假設這群資料的個數為 N,令 N×k%=a, (1)若 a 是整數,則取第 a、(a+1)個資料的平均值當作 Pk(2)若 a 不是整數,取 a 的整數部分再加 1 得到 b,則取第 b 個資料當作 Pk

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 練習 21:籃球校隊舉辦籃球隊員徵選,參加徵選的共有 120 位同學,身高由低而高排列如下表所示: 152 153 153 155 155 156 157 158 158 158 158 160 160 160 160 161 161 161 161 161 162 162 162 163 163 163 164 165 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 171 171 171 171 171 171 171 172 172 172 172 173 173 173 173 173 173 174 174 174 174 175 175 175 175 175 175 176 176 176 177 177 177 179 179 179 179 179 179 180 180 180 180 180 181 182 182 183 183 183 185 (單位:公分) 則 P24、P50、P75分別為多少? 【觀念釐清】上例中,當資料由小到大排序後,P24=165 公分,得至少有 24%的人,身高小於或等於 165 公分,且至少有 76%的人,身高大於或等於 165 公分,實際上,由原始資料知道: (1)身高小於或等於 165 公分的人有 36 個,占 30%。 (2)身高大於或等於 165 公分的人有 93 個,約占 78%。 練習 22:某次健康檢查中測量了 241 位同學的脈搏每分鐘跳動次數,得到的資料記錄如下表, 則 P20、P50、P72分別為多少? 脈搏跳動次數(次) 64 66 71 73 75 78 82 88 92 95 次數(人) 16 21 21 31 36 31 31 26 21 7 累積次數(人) 16 37 58 89 125 156 187 213 234 241 【觀念釐清】(1)在練習 21 中,以由小到大排序後的 120 個數中,第 60、61 個數的平均數當作 P50, 恰好是這 120 個數的中位數。同理,在練習 22 中,以由小到大排序後的 241 個數中, 第 121 個數當作 P50,也恰好是這 241 個數的中位數。 (2)一群資料由小到大排序後的第 50 百分位數 P50,等於這一群資料的中位數。 身高(公分) 152 153 155 156 157 158 160 161 162 163 164 165 166 167 168 次數(人) 1 2 2 1 1 4 4 5 3 3 1 9 4 8 6 累積次數(人) 1 3 5 6 7 11 15 20 23 26 27 36 40 48 54 身高(公分) 169 170 171 172 173 174 175 176 177 179 180 181 182 183 185 次數(人) 10 5 7 4 6 4 6 3 3 6 5 1 2 3 1 累積次數(人) 64 69 76 80 86 90 96 99 102 108 113 114 116 119 120

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 ◎百分位數:(已分組資料) 如果資料已分組,則可以利用累積相對次數分配折線圖,約略找出百分位數所代表的值。 例如:某高中語文資優班甄試,第一階段有 320 名學生報考,成績滿分 100 分,考生成績的累積相對 次數分配表,如下表: 成績(分) 次數(人) 相對次數(%) 累積相對次數(%) 20~30 4 1.25 1.25 30~40 8 2.5 3.75 40~50 16 5 8.75 50~60 52 16.25 25 60~70 80 25 50 70~80 80 25 75 80~90 52 16.25 91.25 90~100 28 8.75 100 合計 320 100 再利用上表畫出累積相對次數分配折線圖,如下圖: 累 積 相 對 次 數( %) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20 30 40 50 60 70 80 90 100分數(分) 0 1.25 3.75 8.75 25 50 75 91.25 100 若要求這一群資料的第 75 百分位數(P75),可以在圖 3 中縱軸 75%的位置畫一條水平線,再從其 與累積相對次數折線的交點向下作鉛直線,得到與橫軸交於 80 分的位置,即表示第 75 百分位數 (P75)為 80 分,如下圖: 累 積 相 對 次 數( % ) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20 30 40 50 60 70 80 90 100 分數(分) 0 1.25 3.75 8.75 25 50 75 91.25 100 因為 P75=80 分,由上圖可知「至少有 75%的成績小於或等於 80 分,且至少有 25%的成績大於或 等於 80 分」。

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 練習 23:曉明國中為國三 900 位學生舉辦一次數學能力檢定測驗,下圖為成績的累積相對次數分配 折線圖。試求這 900 位學生的第 5 百分位數(P5),第 40 百分位數(P40),第 82 百分位數(P82) 與第 99 百分位數(P99)各是多少? 練習 24:身體質量指數(BMI)是體適能的一項紀錄,同學可根據自己的身高、體重,代入公式 BMI= 體重(kg) 身高(m)×身高(m),就可以得到自己身體的 BMI 值。 下面是臺、閩地區某學年度 13~15 歲男生身體質量指數百分位數表,則 百分位數 年齡 5th 10th 15th 25th 50th 75th 85th 90th 95th 13 15.75 16.32 16.82 17.63 19.49 22.49 24.84 26.53 28.69 14 16.10 16.87 17.40 18.14 20.00 22.95 25.23 26.67 29.20 15 16.57 17.22 17.74 18.16 20.43 23.10 25.43 27.44 30.12 資料來源:教育部體育署 (1)15 歲男生 BMI 值的第 75 百分位數為多少? (2)小豪(男生)今年 14 歲,他的 BMI 值約為第 50 百分位數,如果他的身高為 160 公分, 則他的體重大約是幾公斤? (3)如果 BMI 值小於第 10 百分位數表示過輕,大於第 90 百分位數表示過重,在第 10 百分 位數到第 90 百分位數之間為適中,則對於一個 13 歲,身高為 160 公分的男生,體重 60 公斤是否適中? 練習 25:下面是臺、閩地區某學年度 13~15 歲女生身體質量指數百分位數表,則 百分位數 年齡 5th 10th 15th 25th 50th 75th 85th 90th 95th 13 15.75 16.32 16.77 17.58 19.29 21.56 23.23 24.72 27.11 14 16.41 17.09 17.53 18.26 19.90 22.07 23.87 25.22 27.08 15 16.67 17.35 17.83 18.63 20.23 22.40 24.09 25.35 27.68 (1)13 歲女生 BMI 值為 23.23kg/m2,是第幾百分位數? (2)小妍(女生)今年 15 歲,她的 BMI 值約為第 75 百分位數,如果她的身高為 150 公分, 則她的體重大約是幾公斤? (3)對於一個 14 歲,身高為 160 公分的女生,體重 48 公斤是超過第 50 百分位數? 累 積 相 對 次 數( % ) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100分數(分) 5 12 25 40 55 71 82 92 99 100

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 ◎四分位數: 一群資料百分位數中的 P25、P50、P75大約是排在這群資料的 1 4、 2 4、 3 4位置的數,因此又稱為這群 資料的第 1、第 2、第 3 四分位數,分別以 Q1、Q2、Q3表示,即 Q1=P25、Q2=P50、Q3=P75。 練習 26:好康連鎖超市共聘有 50 位員工,員工薪資次數分配表如下,則好康連鎖超市員工薪資的 Q1、Q2、Q3分別為多少? 薪資(元) 22500 24500 28000 32000 36000 60000 員工數(人) 15 10 10 8 5 2 練習 27:快樂國中舉辦學生歌唱大賽,一年級共有 26 位學生參加,下表是成績的次數分配表, 則成績的 Q1、Q2、Q3分別為多少? 成績(分) 68 74 77 80 85 88 91 95 次數(人) 3 4 3 3 2 5 4 2 【觀念釐清】四分位數與百分位數的角色就像直尺上的刻度一樣,可以衡量個別資料和群體的關係, 百分位數像是比較細的刻度,而四分位數是比較大的刻度,因此對於資料群體描繪的 分配,百分位數的描述較為細膩。 三、盒狀圖、全距與四分位距: ◎盒狀圖: 知道一群資料的「最小值、Q1、Q2、Q3、最大值」等 5 個數值,則可以根據這 5 個數值,繪製出 這群資料的盒狀圖,如下圖,作法說明如下: 步驟一:畫出橫軸,以適當的刻度標示出最小值、Q1、Q2、Q3、最大值。 步驟二:在軸上最小值、Q2、最大值的上方分別畫出直線段。 步驟三:以 Q2直線段的長當作寬,以 Q1到 Q3的長當作長,由橫軸上 Q1處向 Q3處畫一個長方形。 步驟四:畫橫線連接「最小值、Q1」與「Q3、最大值」。 最小值 Q1 Q2 Q3 最大值 練習 28:觀察資料:3 , 3 , 3 , 4 , 5 , 5 , 7 , 9 , 12 , 13 , 14 , 20,繪製這群資料的盒狀圖。

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 練習 29:觀察資料:3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 13 , 15,繪製這群資料的盒狀圖。 【觀念釐清】盒狀圖可以畫成水平的或鉛直的。 ◎全距和四分位距:(分散程度) 如果已知一群資料的最小值、Q1、Q2、Q3、最大值,則 (1)這群資料中最大值減去最小值就是這群資料的全距。 (2)這群資料的第 3 四分位數(Q3)減去第 1 四分位數(Q1)就是這群資料的四分位距。 【說明】山腳國中三年甲班有 40 人,第一次段考班上數學成績的最高分為 95 分,最低分為 32 分, Q1=45 分,Q2=62 分,Q3=78 分。 (1)最高分減去最低分是 95-32=63(分),則稱 63 分為班上成績的全距。 (2)Q3減去 Q1是 78-45=33(分),則稱 33 分為班上成績的四分位距。 練習 30:快樂國中舉辦學生繪畫比賽,有 30 位學生參加,下表是成績次數分配表,則 成績(分) 75 77 80 82 85 88 91 95 96 次數(人) 1 2 4 6 5 4 5 2 1 (1)成績的 Q1、Q2、Q3分別為多少? (2)成績的全距和四分位距分別為多少? 練習 31:下表是阿民在半年中每次加班時數次數分配表,則 加班時數(小時) 1 2 3 4 5 6 7 8 次數(天) 6 8 5 2 3 2 1 1 (1)加班時數(小時)的 Q1、Q2、Q3分別為多少? (2)加班時數(小時)的全距和四分位距分別為多少? 【觀念釐清】利用盒狀圖、全距和四分位距可以呈現資料分布的範圍,如下圖: 全部資料範圍 全距 四分位距 最小值 Q1 Q2 Q3 最大值 後 1 4資料範圍 中間 1 2資料範圍 前 1 4資料範圍

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 練習 32:山腳國中三年甲、乙兩班學生人數都是 40 人,下圖是第一次段考英語科分數的盒狀圖,則 分數(分) 10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 乙班 甲班 60 68 89 100 40 50 58 75 88 42 (1)哪一班的全距比較大? (2)哪一班的四分位距比較大? 【觀念釐清】在上例中,可以由圖中資訊,進行以下的探討: (1)在下圖中, (a)甲班的最高分比乙班大,最低分比乙班小,即甲班的全距大於乙班,表示甲班分數 從最低到最高的分布範圍比乙班廣。 (b)甲班的四分位距大於乙班,表示甲班分數從 Q1到 Q3的分布範圍比乙班廣。 乙班 甲班 全距 全距 四分位距 四分位距 100 40 88 42 (2)一般段考分數如果未滿 60 分就說不及格,在下圖中, (a)甲班的 Q1為 60 分,即甲班分數低於 60 分的人數小於或等於甲班的 1 4, 而甲班有 40 人,所以不及格人數少於或等於 40× 1 4=10(人)。 (b)乙班的 Q2為 58 分,即乙班分數 58 分以下(含)的人數大於或等於乙班人數的 1 2, 而乙班有 40 人,所以不及格人數至少 40× 1 2=20(人)。 由(1)、(2)我們可以確定乙班不及格人數多於甲班不及格人數。 乙班 甲班 60 68 89 100 40 50 58 75 88 42

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 (3)在下圖中,因為甲班的 Q3為 89 分,乙班的最高分為 88 分,所以可以確定甲班最少 有 1- 3 4= 1 4的人數,其分數高過乙班的最高分。 乙班 甲班 60 68 89 100 40 50 58 75 88 42 練習 32:下圖是山腳國中三年甲、乙兩班第一次段考自然科分數的盒狀圖,則 分數(分) 10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 乙班 甲班 (1)哪一班的全距比較大? (2)哪一班的四分位距比較大? (3)段考分數如果未滿 60 分則不及格,若甲、乙班人數一樣多,則甲、乙兩班中,哪一班 不及格的人數比較多? 自我評量 1. 泰德家去年每期電費如下表,則這 6 期的平均電費為多少? 期別 一 二 三 四 五 六 電費(元) 2500 1900 2400 3700 3900 3000 2. 三年五班 31 位同學的平均體重是 54 公斤,第一次段考後有一位同學轉出,全班的平均體重變為 54.3 公斤,則轉出的同學體重是多少公斤?

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 3. 右圖為三年一班學生屈膝仰臥起坐次數分配直方圖,則 (1)平均數為多少? (2)中位數位於哪一組中? (3)Q1、Q3分別位於哪一組中? 4. 下圖為榮華國中 600 位學生數學競賽成績的累積相對次數折線圖,則 累 積 相 對 次 數( %) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 20 30 40 50 60 70 80 90 100分數(分) 0 2.5 10 15 40 50 75 90 100 (1)這 600 位學生的第 10 百分位數是幾分? (2)這 600 位學生的第 75 百分位數是幾分? (3)這 600 位學生的第 60 百分位數在哪一組中? (4)成績小於或等於 60 分的至少有多少人? (5)成績大於或等於 80 分的至少有多少人? (6)成績在 70~80 分的有多少人? 5. 下面是臺 閩地區某學年度 17~18 歲女生身體質量指數百分位數表,則 百分位數 年齡 5th 10th 15th 25th 50th 75th 85th 90th 95th 17 16.9 17.6 17.9 18.7 20.3 22.3 23.8 25.1 27.6 18 17.0 17.6 18.0 18.7 20.2 22.2 23.7 24.9 27.0 (1) 17 歲女生 BMI 值的第 75 百分位數是多少? (單位:kg/m2) (2)鈺雯(女生)今年滿 18 歲,她的 BMI 值約為第 15 百分位數,如果她的體重為 40.5 公斤,則她的 身高是幾公分? 0 2 4 6 8 10 12 20 25 30 35 40 45 50 次數(次) 次 數()

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 6. 大偉、小民為了參加馬拉松比賽,每天練跑公里數由小到大排列如下表: 大偉 3 5 5 7 7 10 10 12 12 15 15 20 21 25 30 36 42 42 44 45 小民 3 5 7 9 10 11 12 15 17 18 20 22 25 28 31 35 37 40 42 42 42 (單位:公里) (1)分別求出大偉、小民練跑公里數的 Q1、Q2、Q3。 (2)分別求出大偉、小民練跑公里數的全距、四分位距。 (3)分別畫出大偉、小民練跑公里數的盒狀圖。 習作 1. 下表是甲、乙兩人的數學作業成績,依下表回答問題: 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 78 91 70 82 79 乙 75 63 95 70 77 (1)以 5 次成績的平均數來比較,誰的成績比較好? (2)以 5 次成績的中位數來比較,誰的成績比較好? (3)以 5 次成績中的最高分來比較,誰的成績比較好? (4)每次成績分高低,以高的次數來比較,誰的成績比較好? 2. 下圖為某班數學成績的次數分配直方圖,依下表回答問題: 0 2 4 6 8 10 12 14 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 成績(分) 相 對 次 數( % ) (1)該班共有學生多少人? (2)該班數學成績的平均分數為幾分? (3)該班數學成績的中位數在哪一組?

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 3. 某校三年級共有 250 位同學,每人都接受定點投籃測驗,一次投 10 球,投籃命中球數的次數分配表 如下: 命中球數(球) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次數(人) 5 16 20 21 32 41 36 30 22 15 12 (1)投籃命中球數的第 20 百分位數是幾球? (2)投籃命中球數的第 50 百分位數是幾球? (3)投籃命中球數的第 80 百分位數是幾球? 4. 下表為 14~16 歲的男生身體質量指數(BMI)百分位數表:身體質量指數(BMI)=身高(m)×身高(m) 體重(kg) 年齡 百分 位數 5th 10th 15th 25th 50th 75th 85th 90th 95th 14 歲 16.1 16.7 17.1 17.1 19.2 21.5 23.6 25.1 27.4 15 歲 16.8 17.4 17.7 18.4 19.8 21.8 23.6 25.1 27.6 16 歲 17.2 17.8 18.2 18.8 20.0 22.7 24.2 25.5 27.7 (1) 15 歲男生第 25 百分位數的 BMI 值是多少? (2)小馬今年 16 歲,身高 150 公分,若他的 BMI 值約為第 50 百分位數,則小馬的體重大約幾公斤? 5. 下表是豐安國中三年甲班同學的體重累積相對次數分配表。 體重(公斤) 次數(人) 累積次數(人) 相對次數(%) 累積相對次數(%) 35~40 4 4 10 40~45 6 45~50 25 50~55 10 25 55~60 15 60~65 2 65~70 2 5 合 計 40 100 (1)完成上表。 (2)根據(1)所完成的累積相對次數分配表,繪製累積相對次數分配折線圖。

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 (3)利用(2)所完成的累積相對次數分配折線圖,算出學生體重的 P10、P50、P90。 (4)利用(2)所完成的累積相對次數分配折線圖,算出學生體重的 Q1、Q2、Q3。 6. 下表是甲、乙兩組數據。 甲 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 乙 72 72 72 78 78 78 84 84 84 90 90 90 (1)在下面空格中繪製這兩組數據的盒狀圖。 (2)試比較甲、乙兩組數據的平均數與中位數的大小。 (3)試比較甲、乙兩組數據的全距與四分位距的大小。 7. 已知某群資料的盒狀圖如下圖,那麼這群資料的累積相對次數分配折線圖最有可能是下列哪一個 圖形? 最小值 Q1 Q2 Q3 最大值 (A) 資料數值 累 積 相 對 次 數( %) 0 25 50 75 100 (B) 資料數值 累 積 相 對 次 數( %) 0 25 50 75 100 (C) 資料數值 累 積 相 對 次 數( %) 0 25 50 75 100 (D) 資料數值 累 積 相 對 次 數( %) 0 25 50 75 100

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 8. 阿良將全校學生某次數學成績分成 1~15 分、16~30 分、31~45 分、46~60 分等四組,並製成圓形 圖,其中該校數學成績的第 25、50、75 百分位數分別為 14 分、32 分、45 分。若下列有一選項為此 資料的圓形圖,則此圖為何? (A) 1~15 16~30 46~60 31~45 (B) 1~15 16~30 46~60 31~45 (C) 1~15 16~30 46~60 31~45 (D) 1~15 16~30 46~60 31~45 類題補充 1. 將 15 個數由小到大排列得 1、1、2、3、a、a、b、b、c、c、c、9、11、11、12,已知此 15 個數的 中位數為 6,眾數為 7,算術平均數為 6,求 a+b+c 之值。 2. 有七位學生體重分別為 44、74、39、42、61、53、58 公斤,今加入一位學生後,其算術平均數較 原先的算術平均數增加 1 公斤,則這八位學生體重之中位數為 公斤。 3. 某班共有 36 位學生,在第一次段考數學成績中沒有同分的學生,若這 36 位學生數學成績的第 1 四分位數為 56 分,第 3 四分位數為 87 分,則這 36 位學生數學成績在 87 分以上的有 人。 4. 有 10 個正整數,若加入一個數 34 後,此 11 個正整數的中位數會是 35;若加入一個數 38 後, 此 11 個正整數的中位數會是 37,則原來 10 個正整數之中位數為多少? 5. 某電視臺舉辦金頭腦大賽,分初賽和決賽兩階段進行,已知初賽成績如下: 參賽者號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答對題數(題) 7 6 6 5 5 8 8 7 4 6 9 8 6 5 5 6 若成績大於或等於中位數,則可進入決賽,其餘的都要淘汰,則淘汰率為多少? 6. 有一組資料恰成等差數列,共 12 項,四分位距是 18,則公差為多少?

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。 加強練習 1. 某班 40 位學生,每個人的身高都不一樣,且身高的中位數是 167 公分,但後來發現其中有一位 同學的身高登記錯誤,將 173 公分誤寫成 163 公分,經重新計算後,關於正確的中位數,下列 敘述何者正確? (A)大於 167 公分 (B)小於 167 公分 (C)等於 167 公分 (D)無法確定 2. 某班老師算出此班 30 位學生的數學成績,決定每人加 5 分,加分後沒有人超過滿分。若全班成績 加分前的總分為 A 分,平均為 a 分;加分後的總分為 B 分,平均為 b 分,則下列關係何者錯誤? (A) A=30a (B) B=30b (C) b=a+5 (D) B=A+5

3. 若 10 位同學的體重分別為 45、55、60、70、58、62、42、68、57、63,則下列選項何者正確? (A)中位數是 60 公斤 (B)中位數是 59 公斤 (C)算術平均數是 63 公斤 (D)算術平均數是 60 公斤 4. 右圖是甲、乙兩班各 40 位學生參加數學競賽成績的盒狀圖, 則哪一個班級的四分位距較大? (A)甲班 (B)乙班 (C)一樣大 (D)無法比較 5. 小珺參加數學能力檢定,在 5 萬名考生中排名 1800~2000 之間, 若他的成績是第 a 百分位數,則 a=? (A) 94 (B) 95 (C) 96 (D) 97 6. 某國中新生健康檢查統計資料中,男生有 450 人,女生有 300 人。已知男生平均身高為 x 公分, 女生的平均身高比男生的平均身高少 8 公分,則全部新生的平均身高比男生的平均身高少幾公分? 7. 榮榮在 5 場籃球比賽中,進球數分別為 9、7、8、9、x,若這組數的眾數和算術平均數恰好相等, 則這組數的中位數是 。 8. 宏宏參加 102 年臺東自行車 100K 比賽,騎完全程所花的時間是 3 小時 36 分,比賽成績的百分位數 是 92,當時比賽人數是 8000 人報名參加,則在參賽選手中成績比宏宏好的至少有 人。 9. 有一筆統計資料,共有 11 個數據如下(不完全依照大小排列):2、4、4、5、5、6、7、8、11、x

和 y,已知 x、y 皆為整數,且 x<y,若這些數據的算術平均數和中位數都是 6,則 x=? y=? 10. 龜山國中輔導室對全體國二學生做英語、數學成就測驗,小琦的英語原始分數 76 分,為第 85 百分位數,數學原始分數 68 分,為第 88 百分位數。根據這些資料,下列敘述何者正確? (A)從英語、數學成就測驗的分數分別為 76 分、68 分,就可以推斷小琦的英語程度一定比數學好 (B)小琦的英語成績大於或等於同國中 85%的國二學生 (C)小琦的數學成績大於或等於同國中 12%的國二學生 (D)如果分別對全體國二學生,將英語、數學成績排名,小琦英語成績的排名會比數學的排名前面 11. 調查某班 40 名學生每週使用電腦時數,統計結果如右表, 關於該班學生每週使用電腦時數的敘述,下列何者正確? (A)第 50 百分位數必為 8.5 小時 (B) 7.0 小時 中位數 11.0 小時  (C)全班約有 75%的學生每週使用電腦時數超過 11.0 小時 (D)約有 20 名學生每週使用電腦時數在 2.3 到 11 小時之間 12. 當資料的範圍很大時,可以用下列何者來描述某資料值在全體資料的位置? (A)第 1 四分位數 (B)第 3 四分位數 (C)百分位數 (D)中位數 13. 會計小姐在核算薪水時,誤將薪資最高的職員的薪水多寫了兩個 0 (即變成為原來的 100 倍), 則下列選項何者有變? (A)算數平均數 (B)中位數 (C)眾數 (D)四分位距 14. 幸福國中全校男生體重的算術平均數是 56 公斤,女生體重的算術平均數是 48 公斤;若全校體重的 算術平均數是 54 公斤,則男生與女生的人數比為何? (A) 3:1 (B) 1:3 (C) 6:7 (D) 7:6 15. 小華參加學力測驗,總人數 30 萬人,小華排名是第 132000 名,小華學力測驗成績最有可能為 第幾百分位數? (A) 46 (B) 66 (C) 56 (D) 76 16. 右圖是九年 2 班學生第一次段考數學考試成績的盒狀圖, 則下列的統計量有 項可以由此盒狀圖看出。 (甲)算術平均數 (乙)中位數 (丙)眾數 (丁)第 60 百分位數 (戊)第 75 百分位數 (己)最高分 (庚)四分位距 (辛)有人考 70 分 乙班 0 20 40 60 80 100 甲班 成績(分) 平 均 數 8.5 小時 第 10 百分位數 2.3 小時 第 25 百分位數 7.0 小時 第 75 百分位數 11.0 小時 0 10 40 60 70 90 20 10 30 40 50 60 70 80 90100

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數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。

Ans:1.(A);2.(D);3.(B);4.(A);5.(C);6. 3.2;7. 9;8. 640;9. x=6,y=8;10.(B);11.(B); 12.(C);13.(A);14.(A);15.(C);16. 4。

數據

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參考文獻

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