李潢《緝古算經考注》之內容分析

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(1)附錄. 附錄附錄一《緝古算經考注》序武進李兆洛《緝古》何為而作也？蓋闡少廣、商功之蘊，而加精焉者也。商功之法，廣袤相椉，又以高若深椉之，為立積。今轉以積與差求廣袤高深，所求之數，最小數也。曷為以最小數為所求數？曰：「求大數，則實方廉隅，正負雜糅。求小數，則實常為負，方廉隅常為正也。」觀臺羨道、築隄穿河、方倉圓囤、芻甍輸粟，其形不一，概以從開立方除之，何也？曰：「一以貫之之理也。物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數。邪解立方，得兩壍堵，邪解壍堵，一為陽馬，一為鼈臑，陽馬居二，鼈臑居一，不易之率也。」今於平地之餘，續狹斜之法，無論為壍堵、為陽馬、為鼈臑，皆作立積。觀其立積內不以所求數椉者，為減積。以所求數一椉者，為方法。再椉者為廉法。所求數再自椉為立方，即隅法也。從開立方除之，得所求數。若繪圖於紙，令廣袤相椉，以所求數從橫截之，剖平冪為若干段，又以截高與所求數椉之。分立積為若干段，若者為減積，若者為方，若者為廉，若者為隅，條段分明，厯厯可指。作者之意，不煩言而解矣。其云廉母自椉為方母，廉母椉方母為實母者之分，開方之要術也。道光四年正月八日，薛玉堂畫水來澄江講院，以李雲門先生所注《緝古算經》見示。於是書立法之根，如鋸解木，如錐劃土，又復補正脫誤，條理秩然，信王氏之功臣矣。爰述大旨，以告世之習是書者，無復苦其難讀云。. 95.

(2) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 附錄二《緝古算經考注》序嘉應後學吳蘭修《緝古算經》一卷，唐太史丞王孝通撰并注。其上表稱：伏尋《九章‧商功篇》，有平地役功受袤之術。至於上寬下狹、前高後卑，正經之內，闕而不論。遂於平地之餘，續狹邪之法云云。凡高臺、羨道、築隄、穿河等二十術，皆以從立方開之。西法詳句股開方，而無帶從。《同文算指》有帶從平方，而無立方。梅定九補帶從立方三術，稱為至密，實未見此書也。且梅氏所舉皆正體立方，猶易布算，此則斜袤廣狹、割截附帶，以法御之，無不曲中，可謂思極豪芒，妙入無間者矣。今以其術考之，立法之要在求小數，以各差加小數而得大數，蓋以各差減大數，則乘除、加減、正負交變，以小數與各差相加，與他數相乘，用加而不用減法，尤簡易也。顧其詞旨深奧，卒不易曉，宋元以降，幾至廢絕。惟汲古閣有影鈔宋本，收於《四庫》、《知不足齋》、《微波榭》、《函海》，並刻之，傳寫脫誤。李雲門先生嘗校正之，釐為二卷，刊誤補闕凡七百餘字，每術附以算草及割截分并，虛實比例之旨。是書之蘊畢宣，王氏之真盡出，無庸以天元一術推算矣。道光壬辰程晴峯方伯命蘭覆算刻於廣州，距先生之没垂二十年。方伯為先生婿，受學最久，嘗刻先生《九章算術細草圖說》九卷、《海島算經細草圖說》一卷行於世云。. 96.

(3) 附錄. 附錄三上輯古算經表唐. 王孝通. 臣孝通言：臣聞九疇載敘，紀法著於彝倫；六藝成功，數術參於造化。夫為君上者，司牧黔首，布神道而設教，采能事而經綸，盡性窮源，莫重於算。昔周公制禮，有九數之名。竊尋九數，即《九章》是也。其禮按：當作理幽而微，其形秘而約，重句聊用測海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與於此者？其理幽而微，其形秘而約，重句聊用測海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與於此者？漢代張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同。魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注。徽思極毫芒，觸類增長，乃造重差之法，列於終篇。雖即未為司南，然亦一時獨步。自茲厥後，不繼前蹤。賀循、徐岳之徒，王彪、甄鸞之輩，會通之數無聞焉耳。但舊經殘駁，尚有闕漏，自劉已下，更不足言。其祖暅之《綴術》，時人稱其精妙，曾不覺方邑進行之術，全錯不通；芻甍方亭之問，於理未盡。臣今更作新術，於此附伸。臣長自閭閻，少小學算。鐫磨愚鈍，迄將皓首。鑽尋秘奧，曲盡無遺。代乏知音，終成寡和。伏蒙聖朝收拾，用臣為太史丞，比年已來，奉敕校勘傅仁均厤，凡駁正術錯三十餘道，即付太史施行。伏尋《九章‧商功篇》有平地役功受袤之術，至於上寬下狹、前高後卑，正經之內，闕而不論，致使今代之人不達深理，就平正之間，同欹邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？臣晝思夜想，臨書浩歎，恐一旦瞑目，將來莫覩，遂於平地之餘，續狹斜之法，凡二十術，名曰《緝古》。請訪能算之人，考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金。輕用陳聞，伏深戰悚。謹言。. 97.

(4) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 附錄四《緝古算經》提要清戴震等《緝古算經》一卷，唐王孝通撰。其結銜稱通直郞太史丞，其始末未詳。惟《舊唐書‧律歷志》戊寅歷條下，有武德九年校歷人算歷博士臣王孝通題，蓋卽其人也。是書一名《緝古算術》，《唐書‧藝文志》、《崇文總目》俱稱李淳風注。今案此本，卷首實題孝通撰幷注，則《唐志》及《總目》爲誤。又《宋志》作一卷，《唐志》、鄭樵《藝文略》俱作四卷，王應麟《玉海》謂今亡其三。案孝通原表稱二十術，檢勘書內，條目相同，並無闕佚，不知應麟何所據而云然也。書中大旨，以《九章‧商功篇》有平地役功受袤之術，其於上寬下狹、前高後卑，闕而不論，世人多不達其理。因於平地之餘，續狹斜之法。凡推朔夜半時月之所離者一術，推仰觀臺及羨道高廣袤者一術，推築堤授工上下廣及高袤不同者一術，推築龍尾堤者一術，推穿河授工斜正袤上廣及深幷漘上廣不同者一術，推四郡輸粟窖上下廣袤餘郡別出入及窖深廣者一術，推亭倉上下方高者一術，推芻甍圓囤者各一術，推方倉圓窖對待者五術，推句股邊積互求者六術，共合二十術之數。中間每以人戶道里、大小遠近，及材物之輕重、工作之時日，乘除進退，參伍以得。其法頗不以深淺爲次第，故讀者或不能驟通。而卒篇以後，由源竟委，端緒足尋，洵爲思極毫芒，曲盡事理。唐代明算立學，習此書者以三年爲限，亦知其術之精妙，非旦夕所克竟其義矣。其書世罕流播，此乃宋元豐七年祕書監趙彥若等校定刊行舊本，常熟毛扆得之章邱李氏，而影鈔傳之者。今詳加勘正，其文間有脫闕，不敢妄補。謹撮取其義，別加圖說，附諸本文之左，以便觀覽云。. 98.

(5) 附錄. 附錄五《緝古算經》跋清毛扆按《唐書‧選舉志》制科之目，明算居一，其定制云：凡筭學，《孫子》、《五曹》共限一歲，《九章》、《海島》共三歲，《張邱建》、《夏侯陽》各一歲，《周髀》、《五經筭》共一歲，《綴術》四歲，《緝古》三歲，《記遺》三等數皆兼習之。竊惟數學為六藝之一，唐以取士共十經。《周髀》家塾曾刊行之，餘則世有不能舉其名者。扆半生求之，從太倉王氏得《孫子》、《五曹》、《張邱建》、《夏侯陽》四種，從章丘李氏得《周髀》、《緝古》二種，後從黃俞邰又得《九章》。皆元豐七年秘書省刊板，字書端楷，雕鏤精工，真希世之寶也。每卷後有秘書省官銜姓名一幅，又一幅宰輔大臣，自司馬相公而下俱列名於後，用見當時鄭重若此。因求善書者刻畫影摹，不爽毫末，什襲而藏之。但焉得《海島》、《五經筭》、《綴術》三種，竟成完璧，並得好事者刊刻流布，俾數學不絕於世，所深願也。. 99.

(6) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 附錄六《疇人傳續編》之〈李潢傳〉清. 羅士琳. 李潢，字雲門，鍾祥人。乾隆三十六年進士，由翰林官至工部左侍郎，博綜羣書，尤精算學，推步律呂，俱臻微妙。與開花戴大司寇簡恪公，共究中西之奧，兩人皆宗中法，道同志合，交稱莫逆。著《九章算術細草圖說》九卷，附《海島算經》一卷，共十卷，簡恪序其書，謂潢嘗言：「陳其數者，下學之言也。知其義者，上達之功也。有數先有象，有象皆可繪。」舊注所云：「解此要當以棊」者，一一顯之於圖。於東原氏所謂：「舛錯不可通」者，一一疏而通之。探賾索隱，鉤深致遠，臚名標目，咸示古訓，亦猶劉徽「析理以辭，解體用圖」之意也。其自序《重差》圖云：「圖九，望海島，舊有圖解，餘八圖，今所補也。」同式形兩兩相比，所作四率，二三率相乘，與一四率相乘，同積。如欲作圖明之，第取一三率聯為一邊，又取二四率聯為一邊，作相乘長方圖之，自然分為四幂。又以斜弦界為同式句股形各二，則形勢驗矣。舊圖於形外別作同積二方，至兩形相去遼遠者，又必宛轉通之，皆可不必也。圖中以四邊形、五邊形立說，似與句股不類，然於本形外，補作句股形，則亦句股也。四率比例法，在《九章‧粟米》，謂之今有，一為所有率，二為所求率，三為所有數，四為所求數，在句股則統目之為率。劉氏注云：「句率、股率、見句、見股」者，是也。今祇云：「同式相比」者，取省易耳，異乘同除，則一也。書甫寫定，潢即一病不起，遺囑務俟吳門沈欽裴算校，方可付梓。越八年，嘉慶庚辰歲，其甥儀部程矞采，不敢違垂死言，延沈至家，為之校刊，以成其志。《九章》初經，東原戴氏從《永樂大典》中錄出，一刻於曲阜孔氏，再刻於常熟屈氏，悉依戴氏原校本刊刻，其時古籍甫顯，校訂較難。不無間有扞格，自是天下之習《九章》者，莫不家弆一編，奉為圭臬，而劉徽《九章》，亦從此有善本矣。潢又嘗因古《算經十書》中，《九章》之外最著者，莫如王孝通之《輯古》。唐制開科取士，獨《輯古》四條，限以三年，誠以是書隱奧難通，世所傳之長塘鮑氏、曲阜孔氏、羅江李氏各刻本，又悉依汲古閣毛影宋本，祇有原術文，而未詳其法，且復傳寫脫誤。雖經陽城張氏，以天元一術推演細草，但天元一術，創自宋元時人，究在王氏後，似非此書本旨。爰本《九章》古義，為之校正，凡其誤者糾之，闕者補之，著考注二卷，以明斜袤廣狹、割截附帶，分并虛實之原，務如其術乃止。稿未成，潢歿，後為南豐劉衡，授其同鄉揭某，以西士開方法，增補算學，并附圖解，刻於江西省中，喧賓奪主，殊亂其真。嗣儀部任粵東藩時，取江西刻本，削去圖草，仍以原考注刊布。武進李兆洛，為之序曰：「《緝古》何為而作也？蓋闡少廣、商功之蘊，而加精焉者也。商功之法，廣袤相乘，又以高若深乘之，為立積。今轉以積與差求廣袤高深，所求之數，最小數也。曷為以最小數為所求數？曰：『求大數，則實方廉隅，正負雜糅。求小數，則實常為負，方廉隅常為正也。』觀臺羨道、築隄穿河、方倉圓囤、芻甍輸粟，其形不一，概以從開立方除之，何也？曰：『一以貫之之理也。物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數。邪解立方，得兩壍堵，邪解壍堵，一為陽馬，一為鼈臑，陽馬居二，鼈臑居一，不易之率也。』今於平地之餘，續狹斜之法，無論為壍堵、為陽馬、為鼈臑，皆作立積。觀其立積內不以所求數乘者，為減積。以所求數一乘者，為方法。再乘者為廉法。所求數再自乘為立方，即隅法也。從開立方除之，得所求數。若繪圖於紙，令廣袤相乘，以所求數從橫截之，剖平冪為若干段，又以截高與所求數乘之。分立積為若干段，若者為減積，若者 100.

(7) 附錄. 為方，若者為廉，若者為隅，條段分明，歷歷可指。作者之意，不煩言而解矣。其云廉母自乘為方母，廉母乘方母為實母者之分，開方之要術也。道光四年正月八日，薛玉堂畫水來澄江講院，以李雲門先生所注《緝古算經》見示。於是書立法之根，如鋸解木，如錐劃地，又復補正脫誤，條理秩然，信王氏之功臣矣。爰述大旨，以告世之習是書者，無復苦其難讀云。」九章算術細草圖說、輯古算經考注。論曰：「算自明際寖疎，古籍散佚，前賢精義，百無一存，西士因得逞其技。明人驟見西法，詫為神奇，趨之若鶩，遂漫以為古法不逮，噫是何辭之傎歟。即有一二知算之士，狃於眾習，昧於絕詣，雖欲崇中黜西，而是非曲直，先已糢糊，又安能澈底窮源，直揭其短。侍郎信古能篤，實事求是，其於中西之學，孰優孰劣，早經了了於胸中。故所著《九章細草》、《輯古考注》二書，能發古人之真解，與古人息息相通，可謂力挽迴瀾，初非西學者所能窺其厓岸，倒置黑白也。《考注》第三問築隄下第四術，原稿奪注，劉君依例補之可也。惜其第三術羼列西法開方兩算草，與侍郎通體義例不協，不解何意，因思此蓋揭某妄增之草，方伯芟之未盡耳。余恐世支讀侍郎書者，以此議侍郎，故特表白之。」. 101.

(8) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 附錄七《緝古算經考注》之題目、答案與術曰題號卷上第一術. 題目、答案與術曰假令天正十一月朔、夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小餘一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分也。也當作法，據戊寅元術校改。今不取加時脫日字度。問天正朔夜半之時月在何處？答曰：在斗四度七百分度之五百三十。術曰：推朔夜半月度新術，不復加時日度，月蝕乃可用之。潢案：不復當依前注作不須，月蝕當作有定小餘。以章歲減朔月行定分，餘以乘朔日定小餘，滿日法. 而一，為先行分。不盡者，半法已以通上收成一，已上當作下者棄之。若先行分滿日行分而一，為度分，以減朔日夜半日所在度分。若度分不足減，加往宿度。其分不足減者，退一度為行分而減之。餘即朔日夜半月行所在度及分也。. 第二術. 假令太史造仰觀臺，上廣、袤少，下廣、袤多。上、下廣差二丈，上、下袤差四丈，上廣、袤差三丈，高多上廣一十一丈。甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人。夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉，乙縣四十三鄉，每鄉別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問臺道廣、高、袤，及縣別給高、廣、袤各幾何？答曰：臺高一十八丈；上廣七丈，下廣九丈；上袤一十丈，下袤一十四丈。甲縣給高四丈五尺；上廣八丈五尺，下廣九丈；上袤一十三丈，下袤一十四丈。乙縣給高一十三丈五尺；上廣七丈，下廣八丈五尺；上袤一十丈，下袤一十三丈。羨道高一十八丈；上廣三丈六尺，下廣二丈四尺；袤一十四丈。甲縣鄉人給高九丈；上廣三丈，下廣二丈四尺；上袤七丈，下袤一十四丈。乙縣鄉人給高九丈；上廣三丈六尺，下廣三丈；下袤七丈。求臺上下廣袤高術曰：. 以程功尺數乘二縣人，又以限日乘之，為臺積。又以上、下袤差乘上、下廣差，三而一，為隅陽幂。以乘截高為隅陽截積幂幂字衍。又半上、下廣差，乘斬當作壍上袤，為隅頭幂。以乘截高為隅頭截積。所得所得 102.

(9) 附錄二字衍并二積，以減臺積，餘為實。以上、下廣差并上、下袤差，半. 之，為正數。加截當作壍上袤，以乘截高，所得增隅陽幂，加隅頭幂，為方法。又并截高及截當作壍上袤與正數，為廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得臺下廣及上下袤、高。求均給積尺受廣袤術曰：以程功尺數乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。三因之，又以高幂乘之，以上、下廣差乘袤差而一，為實。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即乙高。以減本高，餘即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙高，以本高而一。所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一。所得加上袤，即甲上袤。其甲上廣、袤即乙下廣、袤。臺上廣、袤即乙上廣、袤。其後求廣、袤有增損者，皆倣此。求羨道廣袤高術曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉，又六因為積。又以道上廣多下廣數加上廣少袤，為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，為下廣少高。以乘下廣少袤為隅陽陽字衍文幂。又以下廣少上廣乘之，為鼈隅原脫積字。以減積，餘，三而一，為實。并下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，為鼈從橫廉幂。三而一，加隅陽幂，為方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下廣少高加之，為廉法，從。開立方除之，即下廣。加廣差，即上廣；加袤多上廣於上廣於上廣三字衍文，即袤；加廣廣當作高多袤，即道高。求羨道均給積尺，甲縣受廣、袤術曰：以均賦常積乘甲縣一十三鄉，又六因為積。以袤再乘之，以道上、下廣差乘臺高為法而一，為實。又三因下廣，以袤乘之，如上、下廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘甲袤，本袤而一。以下廣加之，即甲上廣。又以臺高乘甲袤，本袤除之，即甲高。第三術. 假令築隄，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸，東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步。上山三當四，下山六當五，水行一當二。平道踟蹰十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積，四縣共造，一日役畢。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問給斜、正袤與高，及下廣，并每人一日自穿、運、築程功，及隄上、下高、廣各幾何？答曰： 103.

(10) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 一人一日自穿、運、築，程功四尺九寸二分當作六分。西頭高三丈四尺一寸，上廣八尺，下廣七丈六尺二寸。東頭高三尺一寸，上廣八尺，下廣一丈四尺二寸，正袤四十八丈，斜袤四十八丈一尺。甲縣正袤一十九丈二尺，斜袤一十九丈二尺四寸，下廣三丈九尺，高一丈五尺五寸。乙縣正袤一十四丈四尺，斜袤一十四丈四尺三寸，下廣五丈七尺六寸，高二丈四尺八寸。丙縣正袤九丈六尺，斜袤九丈六尺二寸，下廣七丈，高三丈一尺。丁縣正袤四丈八尺，斜袤四丈八尺一寸，下廣七丈六尺二寸，高三丈四尺一寸。求人到程功運、築積尺術曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟蹰之間十加一，載輸一十四步，一返計一百二十四步。以古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，為實。却以一返步為法。除，得自運土到數也。又以一到負土數乘之，却以穿方一尺土數除之，得一人一日運功積。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土數除之，為法，除之，得穿用人數。復置運功積，以每人一日常積除之，得築用人數。并之得六人，共成二十九尺七寸六分。以六人除之，即一人程功也。求隄上、下廣及高、袤術曰：一人一日程功乘總人為隄積。以高差乘下廣差，六而一，為鼈幂。又以高差脫乘字小頭廣差，二而一，為大臥壍頭幂。又半高差乘上廣多東頭高之數，為小臥壍頭幂。并三幂，為大小壍鼈率。乘正袤多小高之數，以減隄積，餘為實。又置半高差，及半小頭廣差與上廣多小頭高之數，并三差，以乘正袤多小頭高之數。以加率為方法。又并正袤多小高、并上廣多小高及半高差，而增之兼而增之兼四字衍文半小頭廣差加之為廉法，從。開立方除之，即小高。加差即各得廣、袤、高。又正袤自乘、高差自乘，并，而開方除之，即斜袤。求甲縣高、廣、正、斜袤術曰：以程功乘甲縣人，以六因取積。又乘袤幂，以下廣差乘高差，以以當作為法，除之，為實。又并小頭上、下廣，以乘小高，三因之，為垣頭幂。又乘袤幂，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，得小頭脫袤字即甲袤。又以下廣差乘之，所得此二字衍文，以正袤除之。所得，加東頭下廣，即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤，以正袤除之，以加東頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以隄東頭高減甲高，餘自乘，并二位，以開方除之，即得斜袤。求高廣以本袤及高廣差求之以上十二字衍文。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣為後小高、廣。凡廉母自乘為方母，廉母乘方母為實母。求隄都積術曰： 104.

(11) 附錄. 置西頭高，倍之，加東頭高，又并西頭上、下廣，半而乘之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又并東頭上、下廣，半而乘之。并二位積，以正袤乘之，六而一，得隄積也。卷下第一術. 假令築龍尾隄，其隄從頭高、上上字衍文闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少。隄頭上、下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分。一日役畢。三縣共築，今從隄尾與甲縣，以次與乙、丙。問龍尾隄從頭至尾高、袤、廣，及各縣別給高、袤、廣各多少？答曰：高三丈，袤六丈六尺，上廣二丈四尺，下廣一丈八尺。甲縣高一丈五尺，袤三丈三尺，上廣二丈一尺。乙縣高二丈一尺，袤一丈三尺二寸，上廣二丈二尺二寸。丙縣高三丈，袤一丈九尺八寸，上廣二丈四尺。求龍尾隄廣、袤、高術曰：以程功乘總人為隄積，又六因之，為虛積。以少高乘少袤為隅幂，以少上廣乘之，為鼈隅幂幂當作積。以減虛積，餘，三約之，所得為實。并少高、袤，以少上廣乘之，為鼈從橫廉幂。三而一，加隅幂，為方法。又三除少上廣，以少袤、少高加之，為廉法，從。開立方除之，得下廣。加差即高、廣、袤。求逐縣均給積尺受廣、袤術曰：以程功乘當縣人為積尺。各六因積尺，又乘袤幂，廣差乘高為法，除之，為實。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，所得加末廣，即甲上廣。其甲上廣即乙末廣，其甲高即垣高。求實與都廉如前。又并甲上、下廣，三之，乘甲高，以乘袤幂，以法除之，得垣方，從。開立方除之，即乙袤。餘倣此。. 第二術. 假令穿河，袤一里二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸，南頭深二百四十一尺八寸，上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高；下廣四百六尺七寸五釐，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問逐郡各給斜、正袤、上廣及深，并漘上廣各多少？答曰：漘上廣五丈八尺二寸一分。甲郡正袤一百四十四丈，斜袤一百四十四丈三尺，上廣二十六丈四寸，深一十一丈一尺六寸。 105.

(12) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 乙郡正袤一百一十五丈二尺，斜袤一百一十五丈四尺四寸，上廣四十九丈九尺二寸，深一十八丈六尺。丙郡正袤五十七丈六尺，斜袤五十七丈七尺二寸，上廣四十八丈三尺六寸，深二十二丈三尺二寸。丁郡正袤二十八丈八尺，斜袤二十八丈八尺六寸，上廣五十二丈八寸，深二十四丈一尺八寸。術曰：如築隄術入之。(自注：覆隄為河，彼注甚明。高深稍殊，程功是同，意可知也。按：彼注當作彼法，此係術下注語，誤置於此)。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，為積。又六因，以乘袤幂，以上廣差乘深差為法，除之，為實。又并小頭上、下廣，以乘小頭深，三之，為垣頭幂。又乘袤幂，以法除之，為垣方。三因小頭上廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，即得小頭脫袤字為甲袤。求深、廣，以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭上廣，即甲上廣。以小頭深減南頭深，餘，以乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，并，而開方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、廣為後小深、廣，準甲求之，即得。求漘上廣術曰：以程功乘總人，又以限日乘之，為積。六因之，為實。以正袤除之，又以高除之。所得，以下廣減之，餘，又半之，即漘上廣。第三術. 假令四郡輸粟，斛法二尺五寸。一人作功為均，自上給甲，以次與乙、丙、丁。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗，丙郡輸粟二萬六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下廣一丈。各計粟多少均出丁夫。自穿、負、築，冬程人功常積一十二尺，一日役。問窖上、下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？答曰：窖上廣八丈，上袤九丈，下廣一十丈，下袤一十二丈，深三丈。甲郡八千七十二人，深一十二尺，下袤一十丈二尺，廣八丈八尺。乙郡七千二百七十二人，深九尺，下袤一十一丈一尺，廣九丈四尺。丙郡五千四百七十三人，深六尺，下袤一十一丈七尺，廣九丈八尺。丁郡二千九百三十三人，深三尺，下袤一十二丈，廣一十丈。求窖深、廣、袤術曰：以斛法乘總粟為積尺。又廣差乘袤差，三而一，為隅陽幂。乃置截上廣，半廣差加之，以乘截上袤，為隅頭幂。又半袤差乘截上廣，以隅陽幂及隅頭幂加之，為方法。又置截上袤及截上廣，并之，為大廣。又并廣差及袤差，半之，以加大廣，為廉法，從。開立方除之，即深。各加差，即合所問。 106.

(13) 附錄. 求均給積尺受廣、袤、深術曰：如築臺術入之。以斛法乘甲郡輸粟為積尺。又三因，以深幂乘之，以廣差乘袤差而一，為實。深乘上廣，廣差而一，為上廣之高。深乘上袤，袤差而一，為上袤之高。上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又并兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所得加上袤，即甲下袤。以廣差乘之，本深除之，所得加上廣，即甲下廣。若求乙、丙、丁，每以前下廣、袤為後上廣、袤。以次皆準此求之，即得。若求人數，各以程功約當郡積尺。第四術. 假令亭倉，上小、下大。上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已運出五十石四斗。問倉上、下方、高及餘粟深、上方各多少？答曰：上方三尺，下方九尺，高一丈二尺。餘粟深、上方俱六尺。求倉方、高術曰：以斛法乘容粟為積尺。又方差自乘，三而一，為隅陽幂。以乘截高，以減積，餘為實。又方差乘截高，加隅陽幂，為方法。又置方差，加截高，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。求餘粟高及上方術曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高幂，令方差幂而一，為實。(自注：此是大、小高各自乘，又相乘，各乘取高。是大高者，即是取高與小高并。潢按：是大高者之是當作凡)。高乘上方，方差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，得取出高。以減本高，餘即殘粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即餘粟上方。. 第五術. 假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功常積三十六尺，限八日役。自穿、築，二縣共造。今甲縣先到，問自下給高、廣、袤各多少？答曰：高四丈八尺，上廣三丈六尺，袤六丈六尺。求甲縣均給積尺受廣、袤術曰：以程功乘乙縣人數，又以限日乘之，為積尺。以六因之，又高幂乘之，又袤差乘廣而一，所得，又半之為實。高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。三因上袤之高，半之，為廉法，從。開立方除之，得乙高。以減甍高，餘即甲高。求廣、袤，依率求之。. 第六術. 假令圓囤上小、下大。斛法二尺五寸。以率徑一，周三。上、下周差 107.

(14) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 一丈二尺，高多上周一丈八尺。容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗。問殘粟去口上、下周、高，各多少？答曰：上周一丈八尺，下周三丈，高三丈六尺。去口一丈八尺，粟周二丈四尺。求圓囤上、下周及高術曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，為方亭之積。又以周差自乘，三而一，為隅陽幂。以乘截高，以減亭積，餘為實。又周差乘截高，加隅陽幂，為方法。又以周差加截高，為廉法，從。開立方除之，得上周。加差，而合所問。求粟去口術曰：以斛法乘出粟，三十六乘之，以乘高幂，如周差幂而一，為實。高乘上周，周差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，即去口。(自注：三十六乘訖，即是截方亭。之前方窖不別。按：之當作與)。置去口，以周差乘之，以本高除之，所所下脫得字加上周，即粟周。第七術. 假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升。欲作方倉一、圓窖一，盛各滿中，而粟適盡。令高、深等，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸。率：徑七、周二十二。問方、徑、深各多少？答曰：倉方四丈五尺三寸。窖徑四丈六尺二寸。高與深各一丈五尺五寸。求方徑高、深術曰：十四乘斛法，以乘粟數，二十五而一，為實。又倍多加少，以乘少數，又十一乘之，二十五而一。多自乘加之，為方法。又倍少數，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方、徑。. 第八術. 假令有粟一萬六千三百四十八石八斗。欲作方倉四、圓窖三，令高深等。方面少於圓徑一丈，多於高五尺。斛法二尺五寸。率：徑七、周二十二。問方、高、徑各多少？答曰：方一丈八尺，高、深一丈三尺，圓徑二丈八尺。術曰：以一十四乘斛法，以乘粟數，如八十九而一，為實。倍多加少，以乘少數，三十三乘之，八十九而一。多自乘加之，為方法。又倍少數， 108.

(15) 附錄. 以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方、徑。第九術. 假令有粟三千七十二石。欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方多於窖深二尺，少於倉高三尺，盛各滿中，而粟適盡。(自注：圓率、斛法並與前同)。問方、徑、高、深各多少？答曰：方、徑各一丈六尺，高一丈九尺，深一丈四尺。術曰：三十五乘粟，二十五而一，為率。多自乘，以并多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以減率，餘為實。并多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一。多自乘加之，為方法。又并多少，以乘一十四，如二十五而一，倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即窖深。各加差，即方、徑、高。. 第十術. 假令有粟五千一百四十五石。欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面與圓徑等，兩深亦同。其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中，而粟適盡。(自注：圓率、斛法並與前同。)問方、徑、深各多少？答曰：上方、徑各七尺，下方、徑各二丈八尺，深各二丈一尺。術曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，為方亭積。令方差自乘，三而一，為隅陽幂。以截多乘之，減積，餘，為實。以多乘差，加幂，為方法。多加差為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。. 第十一術假令有粟二萬六千三百四十二石四斗。欲作方窖六、圓窖四，令口小、底大，方面與圓徑等，其深亦同。其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中，而粟適盡。(自注：圓率、斛法並與前同。)問上、下方、深數各多少？答曰：方窖上方七尺，下方二丈八尺，深二丈一尺；圓窖上下方與方窖同。術曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，為方亭積尺。令方差自乘，三而一，為隅陽幂。以多乘之，以減積，餘為實。以多乘差，加幂為方法。又以多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。第十二術假令有句股相乘幂七百六、五十分之一，弦多於句三十六、十分之九。 109.

(16) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 問三事各多少？答曰：句十四、二十分之七，股四十九、五分之一，弦五十一、四分之一。術曰：幂自乘，倍多數而一，為實。半多數為廉法，從。開立方除之，即句。以弦多數加之，即弦。以句除幂，即股。第十三術假令有句股相乘幂四千三十六、五分之一，股少於弦六、五分之一。問弦多少？答曰：弦一百一十四、十分之七。術曰：幂自乘，倍少數而一，為實。半少為廉法，從。開立方除之，即股。加差即弦。第十四術假令有句弦相乘幂一千三百三十七、二十分之一，弦多於股一、十分之一。問股多少？答曰：九十二、五分之二。術曰：幂自乘，倍多而一，為立幂。又多再自乘，半之，減立幂，餘為實。又多數自乘，倍之，為方法。又置多數，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股。第十五術假令有股弦相乘幂四千七百三十九、五分之三，句少於弦五十四、五分之二。問股多少？. 答曰：六十八。術曰：幂自乘，倍少數而一，為立幂。又少數再自乘，半之，以減立幂，餘為實。又少數自乘，倍之，為方法。又置少數，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即句。加差即弦。弦除幂即股。第十六術假令有股弦相乘幂七百二十六，句七、十分之七。問股多少？答曰：股二十六、五分之二。. 110.

(17) 附錄. 術曰：幂自乘為實，句自乘為方法。從，開方除之，所得又開方即股。第十七術假令有股十六、二分之一。句弦相乘幂一百六十四、二十五分之十四。問句多少？. 答曰：句八、五分之四。. 術曰：幂自乘為實，股自乘為方法。從，開方除之，所得又開方即句。. 111.

(18) 李潢《緝古算經考注》之內容分析. 附錄八《緝古算經考注》開方前最終的方程式題號. 開方前最終的方程式(以現代數學符號表示). 開方法術文. 2.1 2.2 2.3 2.4 3.2. 3x3＋51X2＋215x＝5033 h3＋162h2＋8505h＝146802 . 375 x3＋276x2＋19184x＝633216 y3＋840y2＝4459000 6x3＋3002 . 4x2＋70197 . 2x＝246643 . 13. 從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之. 3.3 1.1 1.2 1.2 1.2 2.1 3.1 3.2 3.2. 31 y3＋10224 y2＋767232 y＝743620608 x3＋62 x2＋696 x＝38448 y3＋594 y2＝682803 z3＋693 z2＋42471 z＝683665 . 488 w3＋732 . 6 w2＋61288 . 92 w＝1508491 . 512 x3＋1728x2＋746496x＝7644119040 y3＋135y2＋4550y＝285000 x3＋315x2＋32400x＝435888 x3＋351x2＋40392x＝392688. 從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之. 4.1 4.2. x3＋15x2＋66x＝360 x3＋18x2＋108x＝1512 y3＋90y2＝839808 x3＋30x2＋264x＝20304 x3＋162x2＋8748x＝215784 y3＋603 . 92y2＋91199 . 8y＝32369022 89x3＋1550x2＋8825x＝572208 x3＋6 . 8x2＋15 . 2x＝4289 . 6 x3＋35x2＋441x＝5145 x3＋35x2＋441x＝5145 x3＋18 . 45x2＝6754 . 258. 從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之從。開立方除之. 第十六術. x3＋3 . 1x2＝1313783 . 1 2 . 2x3＋6 . 05x2＋5 . 324x＝1787701 . 2384 108 . 8x3＋14796 . 8x2＋643956 . 736x＝ 13705996 . 5504 x4＋59 . 29x2＝527076. 第十七術. x4＋272 . 25x2＝27079 . 9936. 卷上第二術. 第三術卷下第一術. 第二術第三術. 第四術第五術第六術第七術第八術第九術第十術第十一術第十二術第十三術第十四術第十五術. 6.1 6.2. 112. 從。開方除之，所得又開方從。開方除之，所得又開方.

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