八十九年度大學數學學力測驗試題與解答
編輯囂
一、微楠分試題
單一部分:灑樺盟(每題始有…個攤璿擺正確的，答對得 5 分，答錯不倒扭，共 50 分， 將答案數i記在「答讀藍卡 J 上。) 1.設部數 f(玲在 x=2 可微分，曬數 h(x) 器 (f(x)+2x1+1f 。若 f(2) =一711
h'(2)
=
36
'則 1'(2) 之{踐踏何?(1) 3
(2) 7
(3)
-5
(4)
-6
2.設 f:[0
,
1] → R 為連續噩數，下列持者不能保證 f(x)=O'
'V
xe[O
,
1]?
(l)
I~
I
f(t)
Idt 品。
(2)
I~
f(t)dt
=
0 ;
(3)
I:
f(t)dt 端。 ，'V
x ε 扭， 1];
3.若凡>0 '
b.
>
0 '
'V
n 這 1 '且I: a.(1)ZJZ 叫斂;
(3)lh(4+ 吋 )>0
4. 軍級數玄之 (2x
+
3)" 之校教半撥撥何?
n!(4)
I:f(t)dt 訝。 ，'V x
,
ye[0
,
1]
0 I: b. 皆敢蝕，民日下月何智雄?(2)
I:才必收斂;(4)
I:
(a.
+丸 )x. 班卜 1 ，]
]中必收斂。(1) 0
(2)
1
(3)
e
(4)
_
,l.e
5 設 L 品 lim
k =- ，其自 L 之值為何?
n啥叫~}n ，，/9n'+k'(1)
山石一 3
(2) 1
(3) 2
(4)
J10
6. 設/路…連續函數且 r:f(sinx)dx=2 ' 則 r: xf(sinx)dx 之儷為何? (1) 方 (2) 2π(3) ;rl(4)
2
;r2I
x
+x
1sin 土 x 的
7. 設 g(X)=1 2 . 一 x 與下肉之龍敘述中哪些是正確的?10
,
x 拉 O (即) g 在 x=O 連續; (2己)g'(O)
>
0 :
(內) g' 在 x=O 連續。(1)
體(申)是正確的;(2)
瑾(甲)、(乏，)是正確的; 弓，4
科學教育月刊 黨 234 期 命暴民醫八十九年十一月
(3)
(甲)、(乙)、(內)皆正確 (4) (申)、(乙)、(詩)皆不正體 o8. 下于自哪一個敘站表示 ihf(x)=+ ∞?
(1)
Y;f M>O' 至 0>0 攪得
0< 扯一叫 <0 ::::) f(特 >M
(2)
約 >0 '主 M>O 使得
O<lx-x
o
1<0 叫 f(x)>M ;
(3)
至 M>O' Y;f δ>0 瘦得
o
<
1x -
Xo 1<
0
=今 f(x)>M ;
(4)
30>0'
y;fM>O 使得
O<lx 呵呵 1<δ::::) f(特 >M
0i一互之…， 伏， y) 爭 (0， 0)
9. 設函數 g抖，力斗 x4+l'
'則下駕嘴一個敘總是正確的?I
0
,
(x
,
y)=(O
,
O)
(1)
J!EJ仰， y) ;存在;
(2)
htwg(XJ) 不存在;
你玩0，俯在;
糾穹叫不存在。
ox
10. 一飛機站將大草原，降落培點距公路最前點診為 20 公虫 'B 點 90 公外之公路上 A 點罷教護站(關于表如下)。教攤主拉在公路上轉譯為每小時 100 公殿，而在草景之則為 60 ，那麼救讚率也 A 至迫降點之最短詩詞為多少小詩?./85
(1)
...Lτ (2) 一-37
30
9011滋生的:
( 4 ) i
a
--ø-J祖師，可戶「 第二臨分壇克題(Ej3王三樂題，將答案依作答說明輯記在?答寞卡」上所標末的列號 11 38 虞。每聽完全答暫得 5 分，容錯不fitlt白，來路全密封垂不給好。如果填完聽 答3聽聽眾的是勞數縛，部須以最館旁聽黨示。) 暇，設 f:R → R 為…鐘續國數且對 x， yeR'f(x+
y) 認 f(x)f(y) 。若 f(2) 品 2 ，則 f(l) 之飽為 J寸
設 f(特拉 vx+lxl '叮咚)之值為學
1-5sinx
x
'S,
tr
函數氏綜叫,
。若 f 在 X 話 Z 可徵分，則數對 (m， 的Imx+b
x>tr
一 48八十九年度大學教學學力 jft1驗試題與解答 (箏，發學的 發 達全 之種寫一=--In 一一 ，其中In y 每每 J
戊.投 f(t) í每一連續草屋數呈 JI
2rf(t)dt
=
xsin 痕，即 f(1)
臨線 r=
5
(1
+cosO) 在。三 θ 歪扭之拉長f幸 運多箏 。 y 品 C 與齒鸝 y=8x 一 27xJ相交(如蠹所未 ),
能使餾中兩個陰影區域的面積相等。 昏然對數路數 o還多
Ce
O + βj:jkidte 之值為一了一，則數對恤， β) 還 (5擊，每@)
。
自知轉圈 3x2+(y 叫1)2=
1 與揖物鎮 y=2x2蜍竄點外選手亨幫餾交點， 與攤物輯用聾的這五域繞y軸接轉，員自所得的接轉體體棲馬 1'((28)
{捶 時，F位， y， z) 泣如 +3y+2z+ 錯，員自 F紋， y， z) 在糖盟諒你2
+2y2
+Z2 話 70 之援大體態 ，最忌、{重鑄 造吾@工、線性代數試題
:
i蠶嬋體(每題 5 分，共 50 分，請將答案畫u記在「答a;卡 J J立。) 、組潛聽(每題憶有一個選項是正確的，答對得 5 分，智錯不 fitJ 如。) 1.矩陣O
2
3
4
10 II 12 13 14
20 21 22 23 24
30 31 32 33 34
40 41 42 43 44
」 的棋 (rank)為何?(1)
1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
尋9 一科學教穿用剎 車 234 期 中拳民國八十九年十一月
11 0
0 01
12 1 0
01
2.
~{fA
= I
I •
一 141
1 01
10 1 -1 11
。'，何
躊
、..
', ny α對
數
叫“川 4 間只 、 zaEEBB-EEEZZEES222Ed***ee
ee**RY
***曲， '，*α曲， rzEz--ZZZEBZZZZIZEE--h mA
(1)
(2
,
1)
(2)
(2，向 1)(3)
(一2， 1) (4) ←2，的1)3. 設 T:R
l→
R
3 為一線性變換，講足T(l，
1)
=
(1,
0
,
2)
, T(2,
3)
=
(1，一 1， 4) ，對 T紗， 11) 躊何?
(1) (-3
,
5
,
16)
(2) (3
,
5
,
16)
(3)
(一5， 3，一 16)(4)
(5，一 3， 16)4 揖 h[;1l 且 g(t)
=
t
11
心
(10
+(-1
則州)為何?
10
-11 叫 1 01 叫 11 1
1
1 叫 11(1)
1_
.1
(2)
1 • _1
(3)
1
~_1
(4)
1_
_1
12 -11
"1-1 21
"
1 0
21
" 1 2
01
5.
知之次裂 f 話 2x/
+3x/ +3x/
+2αXz月廿 >0) 盤空曠麓轉化成標準塑
/品 yf+2yzh5斤，則 a 之{鹿為何?
(1)
1
(2) 2
(3
)3
(4) 4
麗、多董濤擇錯(每關至少有一個選項建主體臨。每體現各自獨掛分，容對待 7 分，
答錯餌吋分;每題最低分數為 0 分，完全不答鞠 0 分。)
6.
W 為一有限離向最空間 Y 之子空間，試問下到哪些敘述主義正確的? (1)若 U 為 Y 的另一子空間，則 WuU 捧為 Y 之子空閑; (2) 若 U 爵 Y 的另一子空間，員UWnU 亦為 Y 之子空間;(3)
W 的每一緝毒皇島J必為 Y 之某一組基麗的子集合; (4) 能 Y 之每一組基底中可找出一組 W 之基蹄。7. 設 A 躊一個 mxn 醋組障 'li 設方程組 A主囂。只有 E 路。的辦 e 試時下到哪些教述是 IE磯
的? (1)對於照有的 beR"'
,
A正 =b 皆有解; (2) 設 bε R'" ， 幸i Ai =b 有解，則其解唯一;(3)
m
S
n ;
(4) nSm •
8. 設 A 與 B 為兩個 n 賠實方障，試問下列哪聾敘述是正確的? (l )AB 與 BA 有相闊的觀i(訂ace);
(2)AB 與 BA 有相闊的行對式鐘; (3)AB 與 BA 有相闊的秩; nv m、 J八十九年度大學數學學力測驗試題與解答
(4)
AB 與 BA 有相間的特微多噴式(characteristic polynomial) 。 9. 設 A 與 B 為相蝕的 n 階質方蟬，試問下列哪些敘述至是:在權的? (1)若 A 還可逆方蟬，臭豆 8 非是可逆方障; (2) 若 A 露對稱方蟬，如 8 建立是對稱方障;(3)
A 輿 B 有相闊的聽有體(eigenvalue);
(4)A 與 B 有相同的間有俏麗(eigenvector) 。 10. 設 A 為二階賣方陣 A=A-1 ， 試問下列哪些敘總是芷確的? (l )A 的行到式個 det(A) 每於 1 或“(2)
A 的宙語身 (A) 等於 2 或 0;(3)
x2-1 露 A 的特續多環式; (4)A 可對角化。 第二部分:讀完恩(申奇三樂轍，將答案故作答說明創前在「薔蠹卡」上所標乖的列號 II 至 45 慮。每總兜全答對得 5 分，答錯不倒扣，朱兜受害對者不給脅。如聽城克闢 答軍要眾的是分數峙，也須以最睡好，自聽眾。)12 3
4 61
設 h|;!11 ，農村械年閃發。
10 1 -1 01
L 設 T(柄，叭 ， X"X.) 站 (X
1
…x， +2丸 ，
x
2+ 爪， 4x
l
+3xρ 抖抖 +2x
2
司馬+X.) 為 r 上的線性嘴換，
若。為 Ker(T)的維擻 'ffñb 為 Im(T)的維數，其中Ker(
T)
= {(xl'吭 ， X"X.)
ER'
I 叭叭，鈍， X"X.) = 仰，
0
,
0
,
O)}
,
Im(T)
= {T(XI ，X
1
，宅，XJ
I
(xl'x
2
， x"x.) ε 剖，
員自紋，的= (咎，發)。
設 ~(R) 表照者次數學於漢等於 3 的實係數多環式 ， Mlx2
(R) 表所有的二踏實方糟。詩 T 為從 ~(R) 跌至 M1
'2(的上的一個線娃變換，其定義為1/(1)
1(2)
1
T(f(x)) 扭 .J,._"
I
1/(3) 1(4)
I
111011011100110011
令 β=
{x
3,
X2,
X,
1} 與 r ~
1
~
: 1
,
1:
J
,
1
~
: 1
,
1:
~
1
r 分別為何R) 與 M
2x2
(R)
1100
1'
100
1'
110
1'
10111
一位一科學教育月刊 第 234 期 中移民闢八十九年十一月
I
l
l
-鹿村的叫 basis) ，鼠的 Y1l G***i 為 T 對 β 與 y 的矩陣表示，
β
1* b
* *
* *
c
喝醉'
是主 )。
了.設 A 聽一餾之踏實方蟬，講足:
(i)
det(A)
=
2;
(ii)
tr(A)
=
0 ; (ii
i)
A 躊對稱經擁;(i
v)
A
只辛苦頭髓格與盟幸事館 a 及 b' 其中 a>b ' 閱 (α' 的=(傘， CZID金) 。
皮.在波荷中，若 W 為臨{
(1,
1
,
0
,
0)
, (1,
0
,
1
,
1)
}所生撓的子空題，晨IJ (1， 2， 3， 4) 在 W
f 再 還乎是主發 @~ì
影向最(。此峙的仰伊ction)為仗，了
5τ~J
己設 A
= [:
~]
0a 與凹的間有讀其中的 b 心
庚.承上題，B
r
~警告書，滿足 B
3=A
' 到 B=I ~
7
A-1 叫 可 EEEEEEEEEEEEEEd hu'1,
1 'lnυ 司 J 勻，耐 111l rEEEEEBEBEE--﹒恥 …叫 eA設
辛
1xl Ix2 Ix3
Ix4
Ix5
2xl
2x2
2x3
2x4 2x5
主.設 A 口 13xl3x2
3x3
3x4 叫。若 A几 (a
b
) A 其中明正轍，
4xl 4x2 4x3
4x4
4x5
5xl
5x2
5x3
5x4
5x5
則抖，的叫苦忌器，發梅)。
癸設Azljil
鵲之聽黨方痺，若對於 R' 上任意一點抖，仇 。與……揖 O
買i目j川(… (陣平平， 平，耳刑平割) 。
A 岫 Y AV 甸、 w ny o 。 可也 用/ ζU 司令 M P 、 μ A 且可 A 峙 A 吋據
1答
分
ω
申一只 ••L
草， EKT'" ，為徽酌}
、←吋 Je--一第川
一 52第二部分:擴充題
