八十九年度大學數學學力測驗試題與解答

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(1)

八十九年度大學數學學力測驗試題與解答

編輯囂

一、微楠分試題

單一部分:灑樺盟(每題始有…個攤璿擺正確的,答對得 5 分,答錯不倒扭,共 50 分, 將答案數i記在「答讀藍卡 J 上。) 1.設部數 f(玲在 x=2 可微分,曬數 h(x) 器 (f(x)+2x1+1f 。若 f(2) =一7

11

h'(2)

=

36

'則 1'(2) 之{踐踏何?

(1) 3

(2) 7

(3)

-5

(4)

-6

2.設 f

:[0

,

1] → R 為連續噩數,下列持者不能保證 f(x)=O

'

'V

xe[O

,

1]?

(l)

I~

I

f(t)

Idt 品。

(2)

I~

f(t)dt

=

0 ;

(3)

I:

f(t)dt 端。 ,

'V

x ε 扭, 1]

;

3.若凡>

0 '

b.

>

0 '

'V

n 這 1 '且I: a.

(1)ZJZ 叫斂;

(3)lh(4+ 吋 )>0

4. 軍級數玄之 (2x

+

3)" 之校教半撥撥何?

n!

(4)

I:f(t)dt 訝。 ,

'V x

,

ye[0

,

1]

0 I: b. 皆敢蝕,民日下月何智雄?

(2)

I:才必收斂;

(4)

I:

(a.

+丸 )x. 班卜 1 ,

]

]中必收斂。

(1) 0

(2)

1

(3)

e

(4)

_

,l.

e

5 設 L 品 lim

k =- ,其自 L 之值為何?

n啥叫~}n ,,/9n'+k'

(1)

山石一 3

(2) 1

(3) 2

(4)

J10

6. 設/路…連續函數且 r:f(sinx)dx=2 ' 則 r: xf(sinx)dx 之儷為何? (1) 方 (2) 2π(3) ;rl

(4)

2

;r2

I

x

+x

1

sin 土 x 的

7. 設 g(X)=1 2 . 一 x 與下肉之龍敘述中哪些是正確的?

10

,

x 拉 O (即) g 在 x=O 連續; (2己)

g'(O)

>

0 :

(內) g' 在 x=O 連續。

(1)

體(申)是正確的;

(2)

瑾(甲)、(乏,)是正確的; 弓,

4

(2)

科學教育月刊 黨 234 期 命暴民醫八十九年十一月

(3)

(甲)、(乙)、(內)皆正確 (4) (申)、(乙)、(詩)皆不正體 o

8. 下于自哪一個敘站表示 ihf(x)=+ ∞?

(1)

Y;f M>O' 至 0>0 攪得

0< 扯一叫 <0 ::::) f(特 >M

(2)

約 >0 '主 M>O 使得

O<lx-x

o

1<0 叫 f(x)>M ;

(3)

至 M>O' Y;f δ>0 瘦得

o

<

1

x -

Xo 1

<

0

=今 f(x)>M ;

(4)

30>0'

y;f

M>O 使得

O<lx 呵呵 1<δ::::) f(特 >M

0

i一互之…, 伏, y) 爭 (0, 0)

9. 設函數 g抖,力斗 x4+

l'

'則下駕嘴一個敘總是正確的?

I

0

,

(x

,

y)=(O

,

O)

(1)

J!EJ仰, y) ;存在;

(2)

htwg(XJ) 不存在;

你玩0,俯在;

糾穹叫不存在。

ox

10. 一飛機站將大草原,降落培點距公路最前點診為 20 公虫 'B 點 90 公外之公路上 A 點罷教護站(關于表如下)。教攤主拉在公路上轉譯為每小時 100 公殿,而在草景之則為 60 ,那麼救讚率也 A 至迫降點之最短詩詞為多少小詩?

./85

(1)

...Lτ (2) 一-

37

30

9011滋生

的:

( 4 ) i

a

--ø-J祖師,可戶「 第二臨分壇克題(Ej3王三樂題,將答案依作答說明輯記在?答寞卡」上所標末的列號 11 38 虞。每聽完全答暫得 5 分,容錯不fitlt白,來路全密封垂不給好。如果填完聽 答3聽聽眾的是勞數縛,部須以最館旁聽黨示。) 暇,設 f:R → R 為…鐘續國數且對 x, yeR'

f(x+

y) 認 f(x)f(y) 。若 f(2) 品 2 ,則 f(l) 之飽

為 J寸

設 f(特拉 vx+lxl '叮咚)之值為學

1-5sinx

x

'S,

tr

函數氏綜叫

,

。若 f 在 X 話 Z 可徵分,則數對 (m, 的

Imx+b

x>tr

一 48

(3)

八十九年度大學教學學力 jft1驗試題與解答 (箏,發學的 發 達全 之種寫一=--In 一一 ,其中In y 每每 J

戊.投 f(t) í每一連續草屋數呈 JI

2r

f(t)dt

=

xsin 痕,即 f(1)

臨線 r

=

5

(1

+cosO) 在。三 θ 歪扭之拉長f幸 運多箏 。 y 品 C 與齒鸝 y=8x 一 27xJ相交(如蠹所未 )

,

能使餾中兩個陰影區域的面積相等。 昏然對數路數 o

還多

C

e

O + β

j:jkidte 之值為一了一,則數對恤, β) 還 (5擊,每@)

自知轉圈 3x2+(y 叫1)2

=

1 與揖物鎮 y=2x2蜍竄點外選手亨幫餾交點, 與攤物輯用聾的這五域繞y軸接轉,員自所得的接轉體體棲馬 1'(

(28)

{捶 時,

F位, y, z) 泣如 +3y+2z+ 錯,員自 F紋, y, z) 在糖盟諒你2

+2y2

+Z2 話 70 之援大體態 ,最忌、{重鑄 造吾@

工、線性代數試題

:

i蠶嬋體(每題 5 分,共 50 分,請將答案畫u記在「答a;卡 J J立。) 、組潛聽(每題憶有一個選項是正確的,答對得 5 分,智錯不 fitJ 如。) 1.矩陣

O

2

3

4

10 II 12 13 14

20 21 22 23 24

30 31 32 33 34

40 41 42 43 44

」 的棋 (rank)為何?

(1)

1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

尋9 一

(4)

科學教穿用剎 車 234 期 中拳民國八十九年十一月

11 0

0 01

12 1 0

01

2.

~{f

A

= I

I •

一 14

1

1 01

10 1 -1 11

。',

..

', ny α

叫“川 4 間只 、 zaEEBB-EEEZZEES222Ed

***ee

ee**RY

***曲, ',*α曲, rzEz--ZZZEBZZZZIZEE--h m

A

(1)

(2

,

1)

(2)

(2,向 1)

(3)

(一2, 1) (4) ←2,的1)

3. 設 T:R

l

R

3 為一線性變換,講足

T(l,

1)

=

(1,

0

,

2)

, T(2,

3)

=

(1,一 1, 4) ,對 T紗, 11) 躊何?

(1) (-3

,

5

,

16)

(2) (3

,

5

,

16)

(3)

(一5, 3,一 16)

(4)

(5,一 3, 16)

4 揖 h[;1l 且 g(t)

=

t

11

(10

+(-1

則州)為何?

10

-11 叫 1 01 叫 1

1 1

1

1 叫 11

(1)

1_

.1

(2)

1 • _1

(3)

1

~

_1

(4)

1_

_1

12 -11

"1-1 21

"

1 0

21

" 1 2

01

5.

知之次裂 f 話 2x/

+3x/ +3x/

+2αXz月廿 >0) 盤空曠麓轉化成標準塑

/品 yf+2yzh5斤,則 a 之{鹿為何?

(1)

1

(2) 2

(3

)3

(4) 4

麗、多董濤擇錯(每關至少有一個選項建主體臨。每體現各自獨掛分,容對待 7 分,

答錯餌吋分;每題最低分數為 0 分,完全不答鞠 0 分。)

6.

W 為一有限離向最空間 Y 之子空間,試問下到哪些敘述主義正確的? (1)若 U 為 Y 的另一子空間,則 WuU 捧為 Y 之子空閑; (2) 若 U 爵 Y 的另一子空間,員UWnU 亦為 Y 之子空間;

(3)

W 的每一緝毒皇島J必為 Y 之某一組基麗的子集合; (4) 能 Y 之每一組基底中可找出一組 W 之基蹄。

7. 設 A 躊一個 mxn 醋組障 'li 設方程組 A主囂。只有 E 路。的辦 e 試時下到哪些教述是 IE磯

的? (1)對於照有的 beR"'

,

A正 =b 皆有解; (2) 設 bε R'" , 幸i Ai =b 有解,則其解唯一;

(3)

m

S

n ;

(4) nSm •

8. 設 A 與 B 為兩個 n 賠實方障,試問下列哪聾敘述是正確的? (l )AB 與 BA 有相闊的觀i(訂ace)

;

(2)AB 與 BA 有相闊的行對式鐘; (3)AB 與 BA 有相闊的秩; nv m、 J

(5)

八十九年度大學數學學力測驗試題與解答

(4)

AB 與 BA 有相間的特微多噴式(characteristic polynomial) 。 9. 設 A 與 B 為相蝕的 n 階質方蟬,試問下列哪些敘述至是:在權的? (1)若 A 還可逆方蟬,臭豆 8 非是可逆方障; (2) 若 A 露對稱方蟬,如 8 建立是對稱方障;

(3)

A 輿 B 有相闊的聽有體(eigenvalue)

;

(4)A 與 B 有相同的間有俏麗(eigenvector) 。 10. 設 A 為二階賣方陣 A=A-1 , 試問下列哪些敘總是芷確的? (l )A 的行到式個 det(A) 每於 1 或“

(2)

A 的宙語身 (A) 等於 2 或 0;

(3)

x2-1 露 A 的特續多環式; (4)A 可對角化。 第二部分:讀完恩(申奇三樂轍,將答案故作答說明創前在「薔蠹卡」上所標乖的列號 II 至 45 慮。每總兜全答對得 5 分,答錯不倒扣,朱兜受害對者不給脅。如聽城克闢 答軍要眾的是分數峙,也須以最睡好,自聽眾。)

12 3

4 61

設 h|;!11 ,農村械年閃發。

10 1 -1 01

L 設 T(柄,叭 , X"X.) 站 (X

1

x, +2丸 ,

x

2

+ 爪, 4x

l

+3xρ 抖抖 +2x

2

司馬

+X.) 為 r 上的線性嘴換,

若。為 Ker(T)的維擻 'ffñb 為 Im(T)的維數,其中

Ker(

T)

= {

(xl'吭 , X"X.)

E

R'

I 叭叭,鈍, X"X.) = 仰,

0

,

0

,

O)}

,

Im(T)

= {

T(XI ,X

1

,宅,XJ

I

(xl'x

2

, x"x.) ε 剖,

員自紋,的= (咎,發)。

設 ~(R) 表照者次數學於漢等於 3 的實係數多環式 , M

lx2

(R) 表所有的二踏實方糟。詩 T 為從 ~(R) 跌至 M

1

'2(的上的一個線娃變換,其定義為

1/(1)

1(2)

1

T(f(x)) 扭 .J

,._"

I

1/(3) 1(4)

I

111011011100110011

令 β=

{x

3

,

X2

,

X

,

1} 與 r ~

1

~

: 1

,

1:

J

,

1

~

: 1

,

1:

~

1

r 分別為何R) 與 M

2x2

(R)

1100

1'

100

1'

110

1'

10111

一位一

(6)

科學教育月刊 第 234 期 中移民闢八十九年十一月

I

l

l

-鹿村的叫 basis) ,鼠的 Y1l G***i 為 T 對 β 與 y 的矩陣表示,

β

1* b

* *

* *

c

喝醉

'

是主 )。

了.設 A 聽一餾之踏實方蟬,講足:

(i)

det(A)

=

2;

(ii)

tr(A)

=

0 ; (ii

i)

A 躊對稱經擁;

(i

v)

A

只辛苦頭髓格與盟幸事館 a 及 b' 其中 a>b ' 閱 (α' 的=(傘, CZID金) 。

皮.在波荷中,若 W 為臨{

(1,

1

,

0

,

0)

, (1,

0

,

1

,

1)

}所生撓的子空題,晨IJ (1, 2, 3, 4) 在 W

f 再 還乎是主發 @~ì

影向最(。此峙的仰伊ction)為仗,了

5τ~J

己設 A

= [:

~]

0

a 與凹的間有讀其中的 b 心

庚.承上題,

B

r

~警告書

,滿足 B

3

=A

' 到 B=I ~

7

A-1 可 EEEEEEEEEEEEEEd hu'1

,

1 'lnυ 司 J 勻,耐 111l rEEEEEBEBEE--﹒恥 …叫 eA

1xl Ix2 Ix3

Ix4

Ix5

2xl

2x2

2x3

2x4 2x5

主.設 A 口 13xl

3x2

3x3

3x4 叫。若 A几 (a

b

) A 其中明正轍,

4xl 4x2 4x3

4x4

4x5

5xl

5x2

5x3

5x4

5x5

則抖,的叫苦忌器,發梅)。

癸設Azljil

鵲之聽黨方痺,若對於 R' 上任意一點抖,仇 。與

……揖 O

買i目j川(… (陣平平, 平,耳刑平割) 。

A 岫 Y AV 甸、 w ny o 。 可也 用/ ζU 司令 M P 、 μ A 且可 A 峙 A 吋

1

ω

申一只 ••

L

草, EKT'" ,為

徽酌}

、←吋 Je

--一第川

一 52

(7)

第二部分:擴充題

甲 F

乙古

巴 40

庚芸

昌、線性代數答案 第一部分:選擇題 第…部分:填充題 甲

320

題號:

答藥!

(8

,

1)

內 (5,

-5

1r)

(8"

…1)

(1,

3)

1;1

八十九年度大學數學學力測驗試題與解答

1. 8

T.

-:-ln-::-2

5

-

1r

16

丙 (草,9,4)

(--41r4

3 )

-53 一

戊 i

簣,路,

15.

γ

(2

,

-1 )

1(15111315

)弓,了,

3

(55

,

99)

(23 1 4

弓'3)

數據

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參考文獻

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