介電質小角度彎曲波導近似公式的分析

全文

(1)⊕ 國立中山大學光電工程研究所碩士論文. 介電質小角度彎曲波導近似公式的分析 Closed-Form Solutions of Dielectric Waveguides with Micro Bends. 研究生：王建銘撰指導教授：張弘文博士. 中華民國九十六年六月.

(2)

(3)

(4)

(5) 誌. 謝. 本篇論文的完成，首先要感謝我的指導教授張弘文博士，在他悉心的教導之下，使我可以在數值理論的基礎上紮根，並且對於論文理論以及程式方面給予多方的協助，並使我在對學習研究以及為人處事上獲益良多。另外還要感謝所上的老師在學業上所提供的協助，由於他們的教誨，使我獲得不少知識以及幫助。同時要感謝在實驗室中的二位博士班學長程偉麒學長、劉先墉學長，和已畢業的黎聯群學長，兩年來照顧我的學業以及生活的照顧，同時在作論文過程時更是提供了不少寶貴的建議。也感謝同學楊易錚、楊昇默、李宗桂、楊仁光，以及學弟盧世敏、賴聲州、施健華，在口試期間的幫忙，讓我能安心準備口試。最後要感謝我父母辛苦的養育和栽培，有了他們在背後的大力支持，我才能夠完成碩士學業以及論文研究。本論文感謝國立中山大學發展國際一流大學及頂尖研究中心計畫和國科會-特殊數值方法在積體光學圓柱座標的分析及應用(NSC 94-2215-E-110-012)的贊助。王建銘. 2007,6 于西子灣. I.

(6) 介電質小角度彎曲波導近似公式的分析中文摘要直彎曲(straight bending)光波導在以往的分析中是一個困難的問題，傳統上波導計算方式是光束傳播法(beam propagation method, BPM），但是因為 BPM 使用單向傳播與近光軸近似，對電質彎曲波導無法進行反射計算。直彎曲波導的斜面左右兩側的座標系統不匹配，造成各種計算方法上的困難。本論文中引入解析連續法去處理介電質波導直彎曲的所導致的斜面邊界電磁場必須連續的邊界條件。此法可以處理斜面兩側座標系統的不匹配，計算量與誤差可以大幅降低，由電磁場連續條件可推得兩組耦合積分方程式。再利用 Galerkin 最小平方誤差(lease squared error) 法推導出矩陣方程。利用波導的對稱結構的特性，可再簡化矩陣計算量。本論文主要的結果是求得小角度彎曲光波導的穿透係數和反射係數近似公式。再利用精確數值解的結果，推導出直彎曲波導的散射矩陣（scattering matrix），應用在兩段式彎曲波導（two-corner bends）的不同變化上。. II.

(7) Closed-Form Solutions of Dielectric Waveguides with Micro Bends. Abstract Analysis of dielectric straight bending waveguides has been a difficult problem in the past.. Traditionally the task for computing. bending of optical waveguides is carried out by the beam propagation method (BPM).. However, due its assumptions on one-way propagation. and paraxial approximation, BPM is unable to consider the reflection of dielectric straight-bent waveguides when the bending angles are large. In a straight-bent waveguide, two coordinate systems are needed to fully describe the ongoing complex scattering process in the transition region of the waveguide.. It is extremely hard to analyze such an. unbounded problems with two incompatible coordinate systems even for those general-purpose methods like the finite-difference, finite-element. In this thesis, we use the analytic continuity method (ACM) to deal with the boundary conditions that both the tangential electromagnetic field components must be continuous across the bending line.. This method. can handle the mismatch of two coordinate systems and decrease the amount of calculation and error for small bending angles. From the two coupled integral equation we can derive matrix equation via Galerkin least squared error method. The main part of this thesis contains the derivation of the approximate formula of the transmission and reflection matrices (scattering matrices) for a micro-bent waveguide.. We show numerical. results of various two-corner bends using cascading of these scattering matrices. III.

(8) 目錄誌謝.................................................................................. I 中文摘要.........................................................................II Abstract ..........................................................................III 目錄............................................................................... IV 第一章導論 ...................................................................1 1.1 簡介 ...........................................................................1. 第二章小角度直彎曲介電質波導理論分析 ...............4 2.1 解析連續法的理論架構 ...........................................4 2.2 對稱結構的理論架構 ...............................................5 2.3 彎曲對稱結構的分析 ...............................................9. 第三章小角度直彎曲介電質波導數值計算結果 .....21 3.1 近似解與數值解之比較 .........................................22 3.2 不同折射率的場型及能量圖之比較......................28 3.3 單模的數值模擬 .....................................................33. 第四章兩段式彎曲波導理論分析 .............................38 4.1 串接散射矩陣 .........................................................39 4.2 順向兩段式彎曲波導的理論分析 .........................43 4.3 反向兩段式彎曲波導的理論分析 .........................47 IV.

(9) 第五章兩段式彎曲波導數值計算結果 .....................52 5.1 順向兩段式彎曲波導數值模擬 .............................52 5.2 反向兩段式彎曲波導數值模擬 .............................63 5.3 兩段式彎曲波導數值結果討論 .............................77. 第六章結論與未來研究 .............................................78 參考文獻........................................................................80 附錄 A............................................................................82 附錄 B............................................................................85 中英對照表....................................................................87. V.

(10) 第一章導論 1.1 簡介光波導(optical waveguides)的製作在積體光學中是極為重要的一環，因為它可符合未來輕薄短小及低成本的趨勢，加上波導物理性質穩定、不受電磁干擾、損耗低等優點，所以在光通訊產業中扮演著非常重要的角色，因此如何分析各種形式的光波導是我們當前的重要課題之ㄧ。光波導計算方式常以較簡單快速的 BPM 進行分析，但是因為 BPM 使用大量近似，對於彎曲的波導( bent waveguide)，會因為在彎曲所造成的斜面左右兩側的座標系統不完全匹配，而造成計算上的困難(如處理吸波邊界條件)。如果利用有限元素法(finite-element method, FE)或者是頻域有限差分法(FD-FD)去分析彎曲波導結構，則會有計算量過大的問題，導致分析的結果不夠精確。此外，像 FD-TD 等方法也會因為所考慮的結構過於複雜(如處理吸波邊界條件)，使其精確度受到質疑。彎曲的光波導在以往的分析中是一個困難的問題，是因為在彎曲的介面左右兩側上的邊界條件(boundary condition)不易處理。不過其實本篇論文所使用的結構在很早之前就有人討論過，H. F. Taylor 在 70 年代有兩篇論文就極具代表性[1] [2]。1974 年的一篇主要在探討的. 1.

(11) 是有彎曲結構的介電質波導中能量耗損的情形[1]，他把彎曲的情況分成多段直接彎曲和平滑彎曲兩種情形，並把平滑彎曲近似成和緩的多段彎曲來進行比較；他發現只要有彎曲，就會有能量消耗，而且會是跟彎曲的距離呈現一個震盪的關係，兩種情況的震盪週期會不一樣。另外在 1977 年的一篇是用 sum rule 的方法來處理介電質波導在彎曲處模態轉換的問題，進而討論能量是以何種情形產生損耗[2]。這兩篇其實都可以算是最早期的同調耦合（coherent coupling）相關的期刊論文。另外對於直彎曲波導的應用，像是多段連續彎曲波導，也曾有對於兩段彎曲間的距離長度和彎曲個數跟能量損耗的關係來做討論 [3]，主要是利用同調耦合對彎曲的影響來做分析，而彎曲波導翻轉的次數也會影響損耗的大小。之後也有人解出同調耦合效率跟波前（phase-front）振動的 close form expressions，並且和 PBM （Propagating Beam Method）來做比較[4]。近期也有人對平滑彎曲波導和多段彎曲波導來做比較，多段彎曲可作為是平滑彎曲的近似，而對於多段彎曲所轉彎的角度不同，則會影響波導的平移距離及傳輸的能量，都是可以拿來跟平滑彎曲做比較[5]。直彎曲波導這個結構對於其他的電子儀器也可以一起搭配著應用，像是能量分配裝置（power divider）或是掃描機（spatial scanner）. 2.

(12) [6]，都顯示著這個結構在光電領域其實是有不錯的運用空間。前面所提到對直彎曲波導的分析大部分都是利用同調耦合，而我這個題目主要是提出解析連續法(analytic continuity method) [7] [8]和利用對稱結構(symmetrical structure) [8]特性的方法，來求解小角度直彎曲介電質波導的反射、穿透問題。直彎曲介電質波導的介面左右兩側座標系統不完全匹配的問題，則可以由解決滿足兩種斜邊的邊界條件(TE/TM wall boundary condition) [9]的解求得。. Fig.1-1 彎曲介電質波導. 3.

(13) 第二章小角度直彎曲介電質波導理論分析 2.1 解析連續法的理論架構. zˆ. xˆ′. xˆ. zˆ′. 2θ. Fig.2-1 直彎曲波導示意圖 Fig.2-1 是一個直彎曲波導結構示意圖，彎曲的角度為 2θ 度。我們現在就利用此結構說明解析連續法。首先，我們可以看到斜邊左側為 x, z 的座標系統，斜邊右側為 x′, z′ 的座標系統，左右兩側的座標系統是不相同的，但是斜邊兩側在各自的區域中是連續的。我們由波導理論可知左右兩側場量的函數是解析函數，所以可以利用此特性，使斜邊左側的場由左側的斜線區解析連續到斜邊，使斜邊右側的場由右側的斜線區解析連續到斜邊，再配合上斜邊上的邊界條件（場量的連續及垂直微分連續），使左側的場連續到右側區域，如此便克服了左右兩側座標系統不匹配的問題。 4.

(14) 2.2 對稱結構的理論架構. 入射波:. 入射波:. a sin k x x exp( − jk z z ). 0. 0. a sin k x x exp( − jk z z ). 反射波:. x z. 反射波:. 0. Fig.2-2 平行板波導場量示意圖在本篇論文中使用了一個重要的求解觀念，便是如何將一個具有對稱性結構的問題，利用對稱性的觀念將問題簡化，並求出實際結構的結果，這樣可以將原本有方向轉變的問題變成單一方向的問題。以下將以一個最簡單的平行板波導 (planar waveguide) 作為例子，如. Fig.2-2。首先假設只有左邊有入射波入射，因此我們可以將左邊的電場入射波根據上下為電牆的邊界條件寫成: a sin k x x exp(− jk z z ) ，由於整個波導為均勻介質，其反射波將為零。對於右邊的電場，其右邊並沒有入射波，因此入射波為零，反而其反射波因為左邊有入射波入射，因此場量將和左邊的入射波相同。由於平行板波導具有左右對稱性的特性，對場量而言可以區分為奇對稱與偶對稱，因此可以假設在 z=0 上有電牆或磁牆的存在，如. Fig.2-3 所示。以對稱軸為電牆時，首先我們假設左邊的電場入射波是同樣為: a sin k x x exp(− jk z z ) ，由於電場在電牆上的值為零，因此反 5.

(15) 射波必須為: − a sin k x x exp( jk z z ) ，以符合在 z=0 上電牆的邊界條件。由於電牆有奇函數對稱的特性，因此在右邊的場量須變號並且依照行進的方向分別對應於右邊的入射波與反射波，我們可以得到右邊的入射波是為 : − a sin k x x exp( jk z z ) ，反射波為 : a sin k x x exp(− jk z z ) ，如. Fig.2-3 所示。同樣的在以對稱軸為磁牆時，假設入射波為 : a sin k x x exp(− jk z z )，對磁牆而言是電場對法線微分為零的關係，因此反射波為: a sin k x x exp( jk z z ) ，以符合磁牆的邊界條件。而磁牆有偶函數對稱的特性，其右邊的場量為同號並且依照行進方向對應於右邊的入射波以及反射波，可以得到入射波為: a sin k x x exp( jk z z )，以及入射波為: a sin k x x exp(− jk z z ) 。入射波:. 入射波:. 電牆. a sin k x x exp( − jk z z ). − a sin k x x exp( jk z z ). − a sin k x x exp( jk z z ). a sin k x x exp( − jk z z ). 反射波:. 入射波:. 0. 反射波:. 磁牆. 入射波:. a sin k x x exp( − jk z z ). a sin k x x exp( jk z z ). a sin k x x exp( jk z z ). a sin k x x exp( − jk z z ). 反射波:. 0. x z. x. 反射波:. Fig.2-3 平行板波導電牆與磁牆對稱示意圖. 6. z.

(16) 將此結果對應 Fig.2-1 所示的波傳播情形時，可以發現以下結果:. 假定為電場入射. L. MW（偶對稱）. EW（奇對稱）. ∂u ( x, z ) =0 ∂n. u ( x, z ) = 0. (. +. )/2. 穿透係數解=(磁牆反射係數－電牆反射係數) ÷ 2 =(偶對稱反射係數－奇對稱反射係數) ÷ 2 反射係數解=(磁牆反射係數＋電牆反射係數) ÷ 2 =(偶對稱反射係數＋奇對稱反射係數) ÷ 2. 因此根據以上推導結果，我們可以發現任何一個擁有對稱性的結構均可以利用其特性，在對稱軸上分別加上電牆以及磁牆的邊界條件後便只須計算其半邊結構，然後將兩者計算出來的結果加以合併便可以算出實際結構的結果。這樣對於彎曲的結構可用對稱拆成兩半後，並只需要計算其中一種方向，而無須去考慮彎曲部分的問題。. 7.

(17) 雖然對稱性解法適當的解決了電磁波在波導中行進時遇到彎曲結構時，波在整個結構上有兩個行進方向的問題，也剛好適用在本論文的結構上，然而這個理論只能用以有對稱性的結構作為計算模型，一旦波導的結構為非對稱性結構時，例如斜面左右兩側介質不匹配或是在斷面的情況下，此理論將無法適用，如此就必須要另找其他數學理論加以解決。. 8.

(18) 2.3 彎曲對稱結構的分析我們現在就利用解析連續法開始對直彎曲波導的結構來做分析。先考慮 TE mode 的情況，由於波導中介質連續，需滿足連續條件與垂直微分連續條件。. ( II ). nˆ = cosθ zˆ + sin θ xˆ. ( I). 穿. 入射. θ θ. 透. nˆ xˆ′. zˆ′. 反射 xˆ. ( 0,0 ). zˆ. 2θ. Fig.2-4 小角度直彎曲介電質波導示意圖由波導理論可推得斜邊兩側場型的方程式為： u (1) ( x, z ) = φ j ( x ) e. − jβ j z. N. + ∑ rn , j ⋅ φn ( x ) e+ jβn z. (2.3-1). n =1. N. u (2) ( x, z ) = ∑ φn ( x′ ) e − j βn z′tn , j. (2.3-2). n =1. 由解析連續條件，可知斜面的場量與垂直微分場量需滿足下列方程式連續條件： u1 = u2 垂直微分連續條件： ∇u1 ⋅ n = ∇u2 ⋅ n. 9.

(19) 我們重新設定座標系統，如此可以將原本斜面兩側座標系統不匹配，轉換為同座標系統，計算量與誤差可以大幅降低。. n = z ⋅ cosθ + x ⋅ sinθ. θ n. x. z 可以看到斜邊的法線向量 n = z ⋅ cosθ + x ⋅ sinθ 所以在斜邊上 z ⋅ cosθ + x ⋅ sin θ = 0 經過計算後我們可以得到一組新的座標系統如下列所示：. z ⋅ cosθ = − x ⋅ sin θ ⇒ z = − x ⋅ tan θ. 10.

(20) 我們現在把對稱結構的特性套用在彎曲波導上，可以把連續條件改成下列兩種對稱形式：連續條件：奇對稱時 u1 = 0 垂直微分連續條件：偶對稱時 ∇u1 ⋅ nˆ = 0 接著就對奇對稱和偶對稱開始來進行討論分析。. (ㄧ)奇對稱： u ( x, z ) = 0. L +. 我們首先假設左邊的入射場在斜邊邊界上滿足了連續條件後，會變成下列所示方程式： N. u o ( x ) = φ1 ( x ) e− j β1z + ∑ φn ( x ) e+ jβn z rno = 0. （2.3-3）. n =1. 接著轉換座標系統，令 z = − x tan θ ，然後可以得到新的方程式： N. u o ( x ) = φ1 ( x ) e+ jβ1x tanθ + ∑ φn ( x ) e− j βn x tanθ rno n =1. o = uinc ( x, z ( x) ) + uro ( x, z ( x) ) = 0. （2.3-4）. (. ). *. 移項後以反射區的共軛（complex conjugate）φi ( x ) e jβi x tan θ 做基底對兩邊做積分：. ∑ φ ( x) e β. j i x tan θ. i. uro ( x ) rno = − φi ( x ) e j βi x tan θ uinc ( x ) , i = 1,. 假設 β i 是實數 ⇒ ( e− jβ x tanθ ) = e jβ x tanθ ； *. j. j. 若 β i 是純虛部 ⇒ ( e− jβ x tanθ ) = e− jβ x tanθ ； *. j. j. 11. ,N.

(21) 這邊假設 β i 是實數，我們就可以得到一組奇對稱時的精確數值解： ⎡ r11o ⎢ ⎡⎣ Aio, j ⎦⎤ ⎢ ⎢ ⎢ rNo1 ⎣. r1oN ⎤ ⎥ ⎥ = − ⎡bio, j ⎤ ⎣ ⎦ ⎥ o ⎥ rNN ⎦. Aio, j = φi ( x ) e j βi x tanθ φ j ( x ) e. − j β j x tan θ. β. ,. Bio, j = φi ( x ) e j βi x tanθ φ j ( x ) e. j β j x tan θ. ⎡ β1 ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0. 0. β2 0. 0⎤ ⎥ ⎥, 0⎥ ⎥ βN ⎦. 因為我們主要是在探討小角度時的情況，所以當 θ. 1 時，我們. 可以得到下列一些近似： sin θ ≈ tan θ ≈ θ ， cosθ ≈ 1（不考慮 θ 2 項）。接著我們就可以去簡化 Aio, j , Bio, j 兩個積分矩陣： Aio, j = φi ( x ) e j βi x tan θ φ j ( x ) e = φi ( x ) φ j ( x ) ⎡1 + e ⎢⎣. (. − j β j x tan θ. ). j βi − β j x tan θ. − 1⎤ ⎥⎦. (. = φi ( x ) φ j ( x ) + φi ( x ) φ j ( x ) e. (. ). j βi − β j x tan θ. ). −1. ≅ δ i , j + j φi ( x ) x φ j ( x ) ( β i − β j )θ. Aio, j ≅ δ i , j + j φi ( x ) x φ j ( x ) ( βi − β j )θ. （2.3-5）. A o = I + jΦix− j θ. （2.3-6）. Φix− j. ⎡ φi ( βi − β j ) x φ j ⎤ ⎣ ⎦. 12.

(22) Bio, j = φi ( x ) e j βi x tan θ φ j ( x ) e = φi ( x ) φ j ( x ) ⎡1 + e ⎣⎢. j β j x tan θ. (. ). j β j + β i x tan θ. − 1⎤ ⎦⎥. (. = φi ( x ) φ j ( x ) + φi ( x ) φ j ( x ) e. (. ). j β j + βi x tan θ. ). −1. Bio, j ≅ δ i , j + j φi ( x ) ( β i + β j ) x φ j ( x ) θ. （2.3-7）. B o = I + jΦix+ j θ. （2.3-8）. Φix+ j. ⎡ φ ( x) (β + β ) x φ ( x) ⎤ i j j ⎣ i ⎦. 在這邊已經得到簡化過後的 Aio, j , Bio, j 兩積分矩陣的近似公式，接著利用 AR = −B 把反射係數 R 算出：. A o R o = −B o A o = I + ΔA o , B o = I + ΔBo , ΔA o ≈ jΦix− j θ , ΔBo ≈ jΦix+ j θ. ( I + ΔA ) R o. o. = − ( I + ΔB o ). R o = − ( I + ΔA o ). −1. ( I + ΔB ) o. ≅ − ( I − ΔA o )( I + ΔBo ). 13.

(23) ΔA o. 1, ⇒. ( I + ΔA ). o −1. ≈ I − ΔA o + ( ΔA o ). 2. R o ≅ − ⎡⎣I − ΔA o ⎤⎦ ⎡⎣I + ΔB o ⎤⎦ ΔA o ≈ jΦix− j θ , ΔBo ≈ jΦix+ j θ R o ≅ − ⎡⎣I − j Φix− j θ ⎤⎦ ⎡⎣ I + j Φix+ j θ ⎤⎦ = − ⎡⎣I + j Φix+ j θ − jΦix− j θ + Φix− j Φix+ j θ 2 ⎤⎦ = −I − j ( Φix+ j − Φix− j )θ ≈ −I − 2 j Φ x βθ ,. Φx. ⎡ φi x φ j ⎤ ⎣ ⎦. 經過上面的計算，我們可以得到奇對稱時反射係數的近似公式： R o = −I − 2 j ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ βθ. （2.3-9）. 14.

(24) （二）偶對稱： ∂n. =0 +. ∂u ( x, z ). L + 我們假設左邊的入射場為： N. u e ( x, z ) = φ1 ( x ) e− jβ1z + ∑ φn ( x ) e+ jβn z rne. （2.3-10）. n =1. 在斜邊邊界上滿足了垂直微分連續條件 ∇u e ( x ) ⋅ nˆ = 0 ，再經過座標系統轉換成 z = − x tan θ 後，可由下面的運算過程得到一個在斜邊上新的方程式： ⇒. ∂u ∂u cos θ + sin θ = 0 ∂z ∂x. N ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ − j β1φ1 ( x ) e− j β1z + ∑ rne j β nφn ( x ) e jβn z ⎟ cos θ n =1 ⎝ ⎠ N ⎛ ⎞ + ⎜ φ1′ ( x ) e− j β1z + ∑ rneφn′ ( x ) e j βn z ⎟ sin θ = 0 n =1 ⎝ ⎠ N ⎛ ⎞ ⇒ ⎜ − j β1φ1 ( x ) e jβ1x tan θ + ∑ rne j β nφn ( x ) e− jβn x tan θ ⎟ cos θ n =1 ⎝ ⎠ N ⎛ ⎞ + ⎜ φ1′ ( x ) e jβ1x tan θ + ∑ rneφn′ ( x ) e− jβn x tan θ ⎟ sin θ = 0 n =1 ⎝ ⎠. ⇒ (φ1′ ( x ) sin θ − j β1φ1 ( x ) cos θ ) e j β1x tan θ N. + ∑ r (φn′ ( x ) sin θ + j β nφn ( x ) cos θ ) e n =1. e n. − j β n x tan θ. =0. （2.3-11）. 移項後以反射區的共軛 ⎡⎣(φi′( x ) sin θ + j β iφi ( x ) cosθ ) e− jβi x tan θ ⎤⎦ 做基底 *. 對兩邊做積分；. 15.

(25) ( 若 β 是純虛部 ⇒ ( e 假設 βi 是實數 ⇒ e. ) ). − j β j x tan θ *. − j β j x tan θ *. i. =e. j β j x tan θ. =e. − j β j x tan θ. ；；. 我們在這邊假設 β i 全部是實數，可以看到反射區的共軛如下： ⎡⎣(φi′ ( x ) sin θ + j βiφi ( x ) cos θ ) e − j βi x tan θ ⎤⎦. *. = (φi′ ( x ) sin θ − j β iφi ( x ) cos θ ) e+ j βi x tan θ. 我們就可以得到下面這個方程式：. ∑ r (φ ′ ( x ) sin θ − j β φ ( x ) cos θ ) e β e n. j i x tan θ. i. i i. ure ( x ). e = − (φi′ ( x ) sin θ − j β iφi ( x ) cos θ ) e jβi x tan θ uinc ( x ) , i = 1,. ,N. 在這邊可以得到一組偶對稱時的精確數值解： ⎡ r11e ⎢ e ⎡⎣ Ai , j ⎤⎦ ⎢ ⎢ ⎢ rNe1 ⎣. r1eN ⎤ ⎥ ⎥ = − ⎡ Bie, j ⎤ ⎣ ⎦ ⎥ e ⎥ rNN ⎦. Aie, j = (φi′ ( x ) sin θ − j β iφi ( x ) cos θ ) e j βi x tan θ (φ ′j ( x ) sin θ + j β jφ j ( x ) cos θ ) e Bie, j = (φi′ ( x ) sin θ − j β iφi ( x ) cos θ ) e j βi x tan θ (φ ′j ( x ) sin θ − j β jφ j ( x ) cos θ ) e. β. ⎡ β1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0. 0. β2. 0. 0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ β N ⎥⎦. 16. − j β j x tan θ. j β j x tan θ.

(26) 因為我們主要是在探討小角度時的情況，所以當 θ. 1 時，我們. 可以得到下列一些近似： sin θ ≈ tan θ ≈ θ ,cosθ ≈ 1（不考慮 θ 2 項）。接著我們就可以去簡化 Aie, j , Bie, j 兩個積分矩陣： Aie, j = (φi′ ( x ) sin θ − j βiφi ( x ) cos θ ) e jβi x tan θ (φ ′j ( x ) sin θ + j β jφ j ( x ) cos θ ) e = φi′ ( x ) e j βi x tan θ φ ′j ( x ) e. sin 2θ + j β j φi′ ( x ) e j βi x tanθ φ j ( x ) e. − j β j x tan θ. − j βi φi ( x ) e jβi x tan θ φ ′j ( x ) e. − j β j x tan θ. sin θ + β i β j φi ( x ) φ j ( x ) e. (. − j β j x tan θ. − j β j x tan θ. sin θ. ). j βi − β j x tan θ. Aie, j ≅ j β j φi′ ( x ) φ j ( x ) θ − j β i φi ( x ) φ ′j ( x ) θ. (. + β i β j φi ( x ) φ j ( x ) 1 + e. (. ). ). j βi − β j x tan θ. −1. ≅ j β j φi′ ( x ) φ j ( x ) θ − j β i φi ( x ) φ ′j ( x ) θ + β i β j φi ( x ) φ j ( x ). (. + β i β j φi ( x ) φ j ( x ) e. (. ). j βi − β j x tan θ. ). −1. ≅ j β j φi′ φ j θ − j β i φi φ ′j θ + β i β j δ i , j + j β i β j φi ( β i − β j ) x φ j θ Aie, j ≅ βi β j δ i , j + j β j φi′ φ j θ − j β i φi φ ′j θ. （2.3-12）. + j β i β j φi ( β i − β j ) x φ j θ. A e ≅ β 2 + j ⎡ φi′ φ j ⎤βθ − j β ⎡ φi φ ′j ⎤ θ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + j β ⎡ φi ( β i − β j ) x φ j ⎤ βθ ⎣ ⎦ Φix− j. ⎡ φ β − β ) x φ ⎤, Ψ j j i ⎣ i( i ⎦. （2.3-13）. ⎡ φi′ φ j ⎤ , Ψ j ⎣ ⎦. ⎡ φi φ ′j ⎤ ⎣ ⎦. A e ≈ β 2 + j Ψ i βθ − j βΨ jθ + j βΦix− j βθ = β 2 ⎡⎣I + j β −2 Ψ i βθ − j β −1Ψ jθ + j β −1Φix− j βθ ⎤⎦. A e = β 2 ⎡⎣I + ΔA e ⎤⎦ , ΔA e = j β −2 Ψ i βθ − j β −1Ψ jθ + j β −1Φix− j βθ. 17.

(27) Bie, j = (φi′ ( x ) sin θ − j β iφi ( x ) cos θ ) e jβi x tan θ (φ ′j ( x ) sin θ − j β jφ j ( x ) cos θ ) e = φi′ ( x ) e j βi x tan θ φ ′j ( x ) e. sin 2θ − j β j φi′ ( x ) e jβi x tanθ φ j ( x ) e. − j β j x tan θ. − j βi φi ( x ) e jβi x tan θ φ ′j ( x ) e. sin θ − β i β j φi ( x ) φ j ( x ) e. − j β j x tan θ. (. j β j x tan θ. − j β j x tan θ. sin θ. ). j βi − β j x tan θ. Bie, j ≅ − j β j φi′ ( x ) φ j ( x ) θ − j β i φi ( x ) φ ′j ( x ) θ. (. − β i β j φi ( x ) φ j ( x ) 1 + e. (. ). ). j βi + β j x tan θ. −1. ≅ − j β j φi′ ( x ) φ j ( x ) θ − j β i φi ( x ) φ ′j ( x ) θ − β i β j φi ( x ) φ j ( x ). (. − β i β j φi ( x ) φ j ( x ) e. (. ). j βi + β j x tan θ. ). −1. ≅ − j β j φi′ φ j θ − j β i φi φ ′j θ − β i β j δ i , j − j β i β j φi ( β i + β j ) x φ j θ. Bie, j ≅ − β i β j δ i , j − j β j φi′ φ j θ − j β i φi φ ′j θ − j β i β j φi ( β i + β j ) x φ j θ. B e ≅ −β 2 − j ⎡ φi′ φ j ⎤βθ − ⎣ ⎦ − j β ⎡ φi ( β i − β j ) x φ j ⎣ Φix+ j. j β ⎡ φi φ ′j ⎤ θ ⎣ ⎦ ⎤ βθ ⎦. （2.3-14）. （2.3-15）. ⎡ φ (β + β ) x φ ⎤ j j ⎣ i i ⎦. B e ≈ −β 2 − j Ψ i βθ − j βΨ jθ − j βΦix+ j βθ = −β 2 ⎡⎣I + j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ + j β −1Φix+ j βθ ⎤⎦. B e = −β 2 ⎡⎣I + ΔB e ⎤⎦ , ΔB e = j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ + j β −1Φix+ j βθ. 在這邊已經得到簡化過後的 Aie, j , Bie, j 兩積分矩陣的近似公式，接著利用 AR = −B 把反射係數 R 算出： 18.

(28) A e R e = −B e , ΔA e = j β −2 Ψ i βθ − j β −1Ψ jθ + j β −1Φix− j βθ ΔB e = j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ + j β −1Φix+ j βθ A e = β 2 ⎡⎣I + ΔA e ⎤⎦ , B e = −β 2 ⎡⎣I + ΔB e ⎤⎦ β 2 ⎡⎣ I + ΔA e ⎤⎦ R e = β 2 ⎡⎣ I + ΔB e ⎤⎦ −1. R e = ⎡⎣I + ΔA e ⎤⎦ ⎡⎣ I + ΔB e ⎤⎦ ≅ ⎡⎣I − ΔA e ⎤⎦ ⎡⎣I + ΔB e ⎤⎦. ΔA e. 1, ⇒. ( I + ΔA ). e −1. ≈ ( I − ΔA e ). ΔA e = j β −2 Ψ i βθ − j β −1Ψ jθ + j β −1Φix− j βθ ΔB e = j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ + j β −1Φix+ j βθ R e ≅ − ⎡⎣ I − j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ − j β −1Φix− j βθ ⎤⎦ B e = ⎡⎣I − j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ − j β −1Φix− j βθ ⎤⎦ ⎡⎣I + j β −2 Ψ i βθ + j β −1Ψ jθ + j β −1Φix+ j βθ ⎤⎦ ≈ I + 2 j β −1Ψ jθ + j β −1Φix+ j βθ − j β −1Φix− j βθ = I + 2 j β −1Ψ jθ + 2 j β −1Φ x β 2 θ ,. Φx. ⎡ φi x φ j ⎤ ⎣ ⎦. 經過上面的計算，我們可以得到偶對稱時反射係數的近似公式： R e ≅ I + 2 j β −1 ⎡ φi φ ′j ⎤ θ + 2 j β −1 ⎣⎡ φi x φ j ⎦⎤ β 2 θ ⎣ ⎦. 19. （2.3-16）.

(29) （三）穿透係數及反射係數：整理一下前面所得到在奇對稱及偶對稱時的反射係數近似公式如下： R o ≈ −I − 2 j ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ βθ = −I − 2 j Φ x βθ R e ≈= I + 2 j β −1 ⎡ φi φ ′j ⎤ θ + 2 j β −1 ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ β 2 θ ⎣ ⎦ = I + 2 j β −1Ψ jθ + 2 j β −1Φ x β 2 θ. 利用上面的近似公式我們可以得到穿透係數及反射係數的近似公式：穿透係數解 = (偶對稱反射係數-奇對稱反射係數) ÷ 2 R o ≈ −I − 2 j Φ x βθ R e ≈ I + 2 j β −1Ψ jθ + 2 j β −1Φ x β 2 θ T = ( Re − Ro ) 2 T = I + j β −1Ψ jθ + j Φ x βθ + j β −1Φ xβ 2 θ T = I + j β −1 ⎡⎣ φi φ ′j ⎤⎦ θ + j ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ βθ + j β −1 ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ β 2 θ. （2.3-17）. 反射係數解 = (偶對稱反射係數+奇對稱反射係數) ÷ 2 R o ≈ −I − 2 j Φ x βθ R e ≈ I + 2 j β −1Ψ jθ + 2 j β −1Φ x β 2 θ R = ( Re + Ro ) 2 R = j β −1Ψ jθ − j Φ x βθ + j β −1Φ xβ 2 θ R = j β −1 ⎡⎣ φi φ ′j ⎤⎦ θ − j ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ βθ + j β −1 ⎡⎣ φi x φ j ⎤⎦ β 2θ. 20. （2.3-18）.

(30) 第三章小角度直彎曲介電質波導數值計算結果我們在第二章已經從小角度直彎曲介電質波導的理論分析，得到了穿透係數 T 及反射係數 R 的近似公式和數值精確解，在這一個章節我們將會對近似解和數值解作計算結果的比較，以及討論當我們利用不同基底作積分時對數值解會有何影響，最後再使用以數值解得到的穿透係數和反射係數畫出小角度直彎曲介電質波導的場型圖及能量圖，並討論單模（single mode）及多模（multi-mode）的差異。. nˆ = cosθ zˆ + sin θ xˆ. L. θ θ. Ltot 2d. nˆ. xˆ ′ xˆ. ( 0,0). zˆ. zˆ′. 2θ. Fig.3-1 小角度直彎曲介電質波導結構示意圖. 這邊我們需要利用能量守恆[10]來完成穿透係數 T 矩陣的近似公式在對角線值的修正，我們可以使用下面的公式： t jj = 1 − ∑ tij Re ⎡⎣ βi β j ⎤⎦ − ∑ rij Re ⎡⎣ β i β j ⎤⎦ , 2. i≠ j. 2. i≠ j. 21. ( i = 1,… , N ). （3.0-1）.

(31) 3.1 近似解與數值解之比較參數：n1=1.5; n2=1.0; ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=12 λ ;. d=1.2 λ ; L=(Ltot-2d)/2; V=8.4298; Total ACM modes=27; Input/Output guiding modes=6; （我們算出來的T及R為Total modes ×Total modes的矩陣，因為受限於表格大小，所以在這邊只列出前4個導波模態(guiding mode)的部份）. CASE 1： θ = 0.1 （彎曲角度為 2θ = 0.2 ） Ra：近似解（×e-06） 0 2.2684 0 5.4736. 2.2148 0 7.4932 0. 0 7.1836 0 17.395. 4.8029 0 16.307 0. 0.13948 7.1780 0.45771 17.383. 4.7994 0.37612 16.296 0.86213. Re：數值解（×e-06） 0.045513 2.2665 0.14919 5.4696. 2.2129 0.18347 7.4874 0.41973. Re：數值解（基底為 φ ( x ) ）（×e-06） 0.046037 2.2665 0.15093 5.4694. 2.2129 0.18669 7.4872 0.42738. 0.14127 7.1778 0.46365 17.383. 4.7992 0.38410 16.296 0.88114. 表3-1 反射係數R的近似解和數值解在 θ = 0.1 時的比較. 22.

(32) Ta：近似解 0.999876642 0.015849019 0 0.001285106. 0.015474283 0.999741505 0.016833946 0. 0 0.016138297 0.999733491 0.016694514. 0.001127642 0 0.015650432 0.999868628. 0.015472880 0.999740405 0.016831627 0.000162693. 0.000134498 0.016136074 0.999732388 0.016692170. 0.001126781 0.000146216 0.015648235 0.999748249. Te：數值解 0.999876606 0.015847582 0.000143693 0.001284125. Te：數值解（基底為 φ ( x ) ） 0.999876607 0.015847582 0.000143690 0.001284125. 0.015472880 0.999740409 0.016831628 0.000162682. 0.000134495 0.016136075 0.999732396 0.016692171. 0.001126781 0.000146206 0.015648235 0.999748275. 表3-2 穿透係數T的近似解和數值解在 θ = 0.1 時的比較. 表3-1和表3-2的最後一欄為數值解在積分時所取基底不同時的結果：奇對稱時為 φi ( x ) e jβ x tanθ ↔ φi ( x ) ； i. 偶對稱時為 (φi′ ( x ) sin θ − j βiφi ( x ) cos θ ) e jβ x tanθ ↔ φi ( x ) 。 i. （在附錄A我們有利用least-squared error以 rn 或是把 rn = an + jbn 拆成. an 和 bn 來計算，證明我們所取的基底的正確性。）這邊所有穿透係數T及反射係數R的數值結果都是取其絕對值的解，下面將會列出其他角度時的結果。 23.

(33) CASE 2： θ = 0.5 （彎曲角度為 2θ = 1 ） Ra（×e-05） 0 1.1342 0 2.7368 Re（×e-05） 0.11303 1.1108 0.37067 2.6861 Re（×e-05） 0.11431 1.1101 0.37491 2.6845. 1.1074 0 3.7466 0. 0 3.5918 0 8.6976. 2.4015 0 8.1537 0. 1.0845 0.45571 3.6740 1.0432. 0.34656 3.5226 1.1377 8.5477. 2.3570 0.93483 8.0128 2.1441. 1.0838 0.46362 3.6718 1.0620. 0.35092 3.5202 1.1522 8.5423. 2.3554 0.95446 8.0075 2.1910. 表3-3 反射係數R的近似解和數值解在 θ = 0.5 時的比較. Ta 0.99691146 0.07924509 0 0.00642553 Te 0.99691866 0.07906568 0.00358635 0.00630305 Te 0.99691867 0.07906569 0.00358629 0.00630307. 0.07737141 0.99351744 0.08416973 0. 0 0.08069148 0.99331581 0.08347257. 0.00563821 0 0.07825216 0.99671052. 0.07719624 0.99351928 0.08388021 0.00405866. 0.00335686 0.08041393 0.99332098 0.08317996. 0.00553073 0.00364762 0.07797784 0.99371669. 0.07719625 0.99351939 0.08388024 0.00405838. 0.00335680 0.08041396 0.99332119 0.08318003. 0.00553076 0.00364735 0.07797791 0.99371735. 表3-4 穿透係數T的近似解和數值解在 θ = 0.5 時的比較 24.

(34) CASE 3： θ = 1 （彎曲角度為 2θ = 2 ） Ra（×e-05） 0 2.2684 0 5.4736 Re（×e-05） 0.44282 2.0833 1.4542 5.0718 Re（×e-05） 0.44748 2.0776 1.4698 5.0586. 2.2148 0 7.4932 0. 0 7.1836 0 17.395. 4.8029 0 16.307 0. 2.0335 1.7859 6.9180 4.0970. 1.3597 6.6356 4.4697 16.206. 4.4505 3.6714 15.190 8.4376. 2.0280 1.8158 6.9004 4.1683. 1.3757 6.6168 4.5234 16.163. 4.4377 3.7460 15.148 8.6166. 表3-5 反射係數R的近似解和數值解在 θ = 1 時的比較. Ta 0.98758790 0.15849019 0 0.01285106 Te 0.98771832 0.15705877 0.01427106 0.01187499 Te 0.98771838 0.15705884 0.01427082 0.01187516. 0.15474283 0.97381089 0.16833946 0. 0 0.16138297 0.97298777 0.16694514. 0.01127642 0 0.15650432 0.98677628. 0.15334525 0.97419143 0.16603063 0.01612659. 0.01335784 0.15916955 0.97342465 0.16461228. 0.01041994 0.01449337 0.15431731 0.97499734. 0.15334532 0.97419185 0.16603087 0.01612555. 0.01335762 0.15916978 0.97342543 0.16461281. 0.01042010 0.01449235 0.15431786 0.97499984. 表3-6 穿透係數T的近似解和數值解在 θ = 1 時的比較 25.

(35) CASE 4： θ = 5 （彎曲角度為 2θ = 10 ） Ra（×e-04） 0 1.1342 0 2.7368 Re（×e-04） 0.49955 0.51535 1.7484 0.97586 Re（×e-04） 0.48670 0.54779 1.7080 1.0585. 1.1074 0 3.7466 0. 0 3.5918 0 8.6976. 2.4015 0 8.1537 0. 0.51418 2.0335 1.5254 5.1356. 1.6402 1.4143 5.7243 2.5449. 0.86857 4.6069 2.4574 11.549. 0.54114 2.0007 1.6185 5.0689. 1.5995 1.5299 5.5977 2.8383. 0.94342 4.5503 2.7142 11.447. 表3-7 反射係數R的近似解和數值解在 θ = 5 時的比較. Ta 0.61906913 0.79245093 0 0.06425528 Te 0.72586271 0.62835005 0.30128852 0.04339469 Te 0.72586124 0.62835420 0.30129310 0.04338391. 0.77371414 0.54065579 0.84169730 0. 0 0.80691485 0.57651519 0.83472569. 0.05638211 0 0.78252159 0.58582036. 0.61349268 0.44038551 0.58092837 0.32314620. 0.28200860 0.55692328 0.44037565 0.57360232. 0.03807991 0.29041761 0.53772243 0.47198436. 0.61349734 0.44038388 0.58094455 0.32314741. 0.28201300 0.55693733 0.44036212 0.57363853. 0.03806795 0.29041901 0.53776386 0.47198780. 表3-8 穿透係數T的近似解和數值解在 θ = 5 時的比較 26.

(36) 我們從上面一些反射係數和穿透係數的數值結果比較來看，可以發現由近似公式所得到的穿透係數積分矩陣解經過能量守恆的修正之後，在 θ ≤ 1 （彎曲角度為 2θ ≤ 2 ）的條件下，跟數值精確解的值在導波模態的部分都還蠻接近的，角度越小的話誤差值也會跟著越小；而近似公式中反射係數的部分雖然對角線的值等於零，不過我們可以由它的積分矩陣看到，奇模和偶模耦合的部份跟數值解的結果相差不大，所以我們的近似公式在小角度的情況下，是有一定的準確度的。我們另外觀察式（2.3-17）和式（2.3-18）穿透係數和反射係數的近似公式和表3-1到表3-8的數值結果，可以發現一個有趣的地方，除了對角線的值以外，奇模跟奇模耦合的部分都等於零，這可以跟我們第二章所得到的這兩個近似公式作一個對照，因為奇函數跟奇函數積分的值為零，剛好符合這種結果。. 27.

(37) 3.2 不同折射率的場型及能量圖之比較這邊我們要以第二章所算出穿透係數 T 和反射係數 R 的精確解來畫出小角度直彎曲介電質波導的場型圖及能量圖，並比較當折射率. n1 及 n2 的比值不一樣時，會有什麼差別。. 參數：ns=[n2, n1, n2];. d=2 λ ;. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ;. L=(Ltot-2d)/2;. θ = 5 （彎曲角度為 2θ = 10 ）. n1: n2 1.5 : 1. 3.5 : 1. 1.5 : 1.485. 0.17066. 0.00059. 0.03567. 0.99997. 0.9999999. 0.22341. 3.76e-08. 3.59e-08. 1.13e-10. 能量穿透能量T. (first mode) 穿透能量T. (guiding modes) 反射能量R. (guiding modes) 表3-9 彎曲角度為10°時不同折射率比例下T和R的能量比較. 28.

(38) CASE 1：n1 = 1.5;. n2 = 1.0;. V = 14.05;. Input/Output guiding modes = 9;. Total ACM modes=70;. 50 45. x-position (μm). 40 35 30 25 20 15 10 5 -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-2 小角度直彎曲介電質波導彎曲角度為10°時的場型圖. 0.8. x-position (μm). 50 45. 0.7. 40. 0.6. 35. 0.5. 30 25. 0.4. 20. 0.3. 15. 0.2. 10 0.1. 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-3 小角度直彎曲介電質波導彎曲角度為10°時的能量圖 29.

(39) CASE 2：n1 = 3.5;. n2 = 1.0;. V = 42.149;. Input/Output guiding modes = 27;. Total ACM modes=85;. 50 45. x-position (μm). 40 35 30 25 20 15 10 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-4 小角度直彎曲介電質波導彎曲角度為10°時的場型圖. 1. 50. 0.9. x-position (μm). 45 40. 0.8. 35. 0.7. 30. 0.6. 25. 0.5. 20. 0.4. 15. 0.3. 10. 0.2. 5. 0.1. 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-5 小角度直彎曲介電質波導彎曲角度為10°時的能量圖 30.

(40) CASE 3：n1 = 1.5;. n2 = 1.485;. V = 2.6591;. Input/Output guiding modes = 2;. Total ACM modes=93;. 50 45. x-position (μm). 40 35 30 25 20 15 10 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-6 小角度直彎曲介電質波導彎曲角度為10°時的場型圖. x-position (μm). 0.55 50. 0.5. 45. 0.45. 40. 0.4. 35. 0.35. 30. 0.3. 25. 0.25. 20. 0.2. 15. 0.15. 10. 0.1. 5. 0.05. 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-7 小角度直彎曲介電質波導彎曲角度為10°時的能量圖 31.

(41) 我們從前面三種例子的場型圖和能量圖，跟表3-9中的數據作一下對照，可以發現因為折射率比值的差異，可能會大幅的影響導波模態的能量。看到Fig.3-7折射率為小對比的能量圖，我們發現到大部分的能量都跑出波核(core)的範圍到波覆(cladding)裡去，所以它的導波模態能量變的很小，不到0.3；而在折射率為大對比的情況下，模態不易從波核跑出，所以導波模態能量相對的會比較高，幾乎接近1。. 32.

(42) 3.3 單模的數值模擬我們在前面的小節所做的數值結果分析都是在多模的情況下討論，這邊我們就作一些小角度直彎曲介電質波導在單模時的分析。. CASE 1：參數：n1=1.5; n2=1.0; ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ;. d = 0.2 λ ; L=(Ltot-2d)/2; V = 1.405; Total ACM modes=67; Input/Output guiding modes = 1;. θ. 穿透係數T能量. 反射係數R能量. 5°. 0.96016. 2.82e-07. 1°. 0.99839. 5.26e-09. 0.5°. 0.99959. 3.29e-10. 0.1°. 0.99998. 5.26e-13. 表3-10 單模時不同彎曲角度下T和R能量的比較. 33.

(43) θ = 5 （彎曲角度為 2θ = 10 ）. 50 45. x-position (μm). 40 35 30 25 20 15 10 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-8 小角度直彎曲介電質波導單模場型圖. 1.2. 50 45. 1. x-position (μm). 40 35. 0.8. 30 25. 0.6. 20 0.4. 15 10. 0.2. 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-9 小角度直彎曲介電質波導單模能量圖. 34.

(44) CASE 2：參數：n1=1.5; n2=1.4; ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ;. d = 0.45 λ ; L=(Ltot-2d)/2; V = 1.5226; Total ACM modes=89; Input/Output guiding modes = 1;. θ. 穿透係數T能量. 反射係數R能量. 5°. 0.75699. 3.99e-08. 1°. 0.98874. 7.82e-11. 0.5°. 0.99717. 4.92e-12. 0.1°. 0.99989. 7.88e-15. 表3-11 單模時不同彎曲角度下T和R能量的比較. 35.

(45) θ = 5 （彎曲角度為 2θ = 10 ）. 50 45. x-position (μm). 40 35 30 25 20 15 10 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-10 小角度直彎曲介電質波導單模場型圖 0.9 50. 0.8. 45 0.7. x-position (μm). 40 35. 0.6. 30. 0.5. 25. 0.4. 20. 0.3. 15 0.2. 10. 0.1. 5 0. -10. 0. 10 20 z-position (μm). 30. 40. Fig.3-11 小角度直彎曲介電質波導單模能量圖 36.

(46) 我們在上面兩種彎曲角度的圖上都可以看到單模時的直彎曲介電質波導在彎曲的介面處都會有輻射（radiation）產生，這個現象會隨著角度變小而減少，反射的能量也會隨著角度變小，只有穿透能量會因為角度變小而增大。而在決定波核寬度方面，因為在折射率比為. 1.5:1.4的情況下，我們波核寬度是取到剛好從多模變成單模的寬度，所以導波模態可能多少會受到在波覆的模態影響，而產生些許的震盪。導波模態能量因為是單模的情況，所以跟折射率比例一樣時的多模比較的話會較少。. 37.

(47) 第四章兩段式彎曲波導理論分析我們在第二章所分析的直彎曲介電質波導，只是單一基本結構的分析，在這個章節我們就開始來對直彎曲波導的應用來進行分析。小角度直彎曲波導通常會應用在大角度緩慢彎曲波導的近似上，是利用多個小角度直彎曲波導連接在一起，近似成一個大的彎曲波導。一般來說小角度直彎曲波導的應用會有兩種形式，一種是相同彎曲角度順向連接的形式，如 Fig.4-1 所示；另一種也是以相同的彎曲角度，但是在第二個連接處會有一個翻轉的過程，如 Fig.4-2 所示。接著我們就開始對這兩種應用來進行分析。. Fig.4-1 順向兩段式彎曲波導. Fig.4-2 反向兩段式彎曲波導. 38.

(48) 4.1 串接散射矩陣（Cascade Scattering Matrix）. Sa. +. I1. I. − 1. a ⎡ R11 ⎢ a ⎣ T21. T12a ⎤ ⎥ R a22 ⎦. I. Sb. + 2. −. I2. b ⎡ R11 ⎢ b ⎣ T21. +. I3. T12b ⎤ ⎥ R b22 ⎦. −. I3. c ⎡ S11 S1c2 ⎤ ⇒ Sc = ⎢ c c ⎥ ⎣S 21 S 22 ⎦. Fig.4-3 連續散射矩陣示意圖 Fig.4-3 是兩組散射矩陣連接起來的示意圖。在我的論文裡每一個散射矩陣都是代表了一個直彎曲波導的系統，由第二章分析所得到的反射係數 R 及穿透係數 T 組合而成。第四章的內容主要就是要把兩個小系統整合成一個獨立的系統，而 Sc 散射矩陣就是由兩個小系統 +. −. 的散射矩陣整合在一起以後的結果，變成是一組由 I 1 、 I 3 為入射波， −. +. I 1 為反射波， I 3 為穿透波的一個系統，而這個以 Sc 散射矩陣形成的系. 統也可以跟另一個一樣的系統以同一種模式結合在一起，以此類推，形成更大的系統。所以這邊我們所要分析的串接散射矩陣系統在小角度直彎曲波導裡的應用就相對的重要。. 首先，我們要了解散射矩陣是怎麼形成的。從 Fig.4-3 來看，S a 可 39.

(49) 以看作是一個斜面或是兩個不匹配系統的介面。我們從圖可以看到當 +. −. +. a S a 有兩個入射波 I 1 、 I 2 入射時， I 1 入射波會乘上一個反射係數 R11 得. −. +. −. 到反射波 I 1 ，乘上一個穿透係數 T21a 得到穿透波 I 2 ；而 I 2 入射波會乘 +. 上一個反射係數 R a22 到反射波 I 2 ，乘上一個穿透係數 T12a 得到穿透波 −. +. −. +. −. I 1 ；所以最後我們可以得到 I 1 、 I 1 、 I 2 、 I 2 的關係式如下： a ⎡ I 1− ⎤ ⎡ R11 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ I 2+ ⎥ ⎢ Ta ⎣ ⎦ ⎣ 21. T12a ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − R a22 ⎥⎦ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦ +. （4.1-1）. S a 的散射矩陣可以利用（4.1-1）式來求得，而 S b 也是同理可得。既然已經知道了散射矩陣形成的原理，現在就可以開始來分析 Fig.4-3 +. −. −. +. −. +. 這個散射系統，首先，令 I 1 、 I 3 為已知的入射波， I 1 、 I 2 、 I 2 、 I 3 為這系統裡一些未知的反射波及穿透波；我們將這系統裡未知的波以聯立方程式表現出來如下所示： −. +. −. (1). −. ( 2). −. ( 3). −. ( 4). a I 1 = R11 I 1 + T12a I 2 +. +. a I 2 = T21a I 1 + R 22 I2 −. +. b I 2 = R11 I 2 + T12b I 3 +. +. I 3 = T21b I 2 + R b22 I 3. 先利用消去法處理式(2)及式(3)，如下所示： +. +. −. ( 2). −. +. −. ( 3). I 2 = T21a I 1 + R a22 I 2 b I 2 = R11 I 2 + T12b I 3. 40.

(50) b b a ⋅ ( 2 ) + ( 3) ⇒ ( I − R11 R11 R 22 ) I 2 = R11b T21a I 1 + T12b I 3 −. b a ⇒ I 2 = ( I − R11 R 22 ) −. (. −. (R T I +T I ). −1. +. b ⇒ I 2 = H1 R11 T21a I 1. +. b a + 11 21 1. b 12. −. ) (H = (I − R R ) ). + T12b I 3 ,. − 3. −. b 11. 1. a −1 22. ( 5). ( 2 ) + R 22a ⋅ ( 3) ⇒ ( I − R a22 R11b ) I 2 = T21a I 1 + R 22a T12b I 3 +. a b ⇒ I 2 = ( I − R 22 R11 ) +. (. +. −1. (T I. a + 21 1. +. −. a ⇒ I 2 = H 2 T21a I 1 + R 22 T12b I 3. +. +. −. −. ) (H. a + R 22 T12b I 3 ,. ). 2. a b = ( I − R 22 R11 ). −1. ). ( 6). −. +. −. 這樣子我們就可以把 I 2 、 I 2 用兩個已知的入射波 I 1 、 I 3 表示出來。 b ⎡ I −2 ⎤ ⎡ H1R11 T21a ⎢ ⎥=⎢ ⎢ I +2 ⎥ ⎢ H Ta ⎣ ⎦ ⎣ 2 21. +. + H1T12b ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − a H 2 R 22 T12b ⎥⎦ ⎢⎣ I 3 ⎥⎦. （4.1-2）. −. I 2 、 I 2 的結果出來了以後，我們就可以利用式(5)和式(6)這些解， −. +. 帶到式(1)及式(4)裡，把最重要的兩個解（ I 1 為反射波， I 3 為穿透波）求出，運算式如下： −. +. −. (1). +. +. −. ( 4). a I 1 = R11 I 1 + T12a I 2. I 3 = T21b I 2 + R b22 I 3 −. ( = H (T I. +. ) T I ) −. b I 2 = H1 R11 T21a I 1 + T12b I 3 +. I2. 2. a + 21 1. + R a22. b 12. − 3. ( 5) ( 6). 41.

(51) (. −. (1) + T12a ⋅ ( 5) ⇒ I 1. +. −. ). +. b a = T12a H1 R11 T21a I 1 + T12b I 3 + R11 I1. a b ⇒ I 1 = ( R11 + T12a H1R11 T21a ) I 1 + T12a H1T12b I 3 −. +. +. ( 4 ) + T21b ⋅ ( 6 ) ⇒ I 3 = T21b H 2. −. (T I. a + 21 1. (7). −. ⇒ I 3 = T21b H 2 T21a I 1 + ( R b22 + T21b H 2 R a22 T12b ) I 3 +. +. −. +. ). −. + R a22 T12b I 3 + R b22 I 3. (8). −. +. −. 這樣子我們也就可以把 I 3 、 I 1 用兩個已知的入射波 I 1 、 I 3 表示出來。 a b ⎡ I 1− ⎤ ⎡ R11 + T12a H1R11 T21a ⎢ ⎥=⎢ ⎢ +⎥ ⎢ T21b H 2 T21a ⎣I 3 ⎦ ⎣. −. + ⎤ ⎡I1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − a R b22 + T21b H 2 R 22 T12b ⎦⎥ ⎣⎢ I 3 ⎦⎥. T12a H1T12b. （4.1-3）. +. 我們在這邊求出了 I 1 、 I 3 以後，就可以把兩個子系統整合起來的散射系統 Sc 求出，結果如下所示： c a b ⎡ S11 ⎤ S1c2 ⎤ ⎡ R11 + T12a H1R11 T21a T12a H1T12b ⎥=⎢ ⎥ SC = ⎢ a ⎢⎣S c21 S c22 ⎥⎦ ⎢⎣ T21b H 2T21a R b22 + T21b H 2 R 22 T12b ⎥⎦ b b H1 = ( I − R11 R a22 ) , H 2 = ( I − R a22 R11 ) −1. −1. 42. （4.1-4）.

(52) 4.2 順向兩段式彎曲波導的理論分析. ( III ). θ. ( II ). nˆ ′. θ. ( 0′, 0′ ). ( I) L. θ θ. zˆ. xˆ ′′ 4θ. nˆ. ( 0,0). 2d. Ltot. zˆ ′′. xˆ′ zˆ′. xˆ. 2θ. Fig.4-4 順向兩段式彎曲波導結構示意圖前面我們已經把散射矩陣求出，現在就利用這個結果把它套用在. Fig.4-4 這個結構上，假設只有第 I 區有入射波入射，我們就可以把此結構簡化成 Fig.4-5 的形式如下： +. I1. −. I1. +. +. ⎡R T ⎤ ⎢T R⎥ ⎣ ⎦. I2. −. PI 2. ⎡ 0 P⎤ ⎢P 0 ⎥ ⎣ ⎦. PI 2. −. I2. ⎡R ⎢T ⎣. T⎤ R ⎥⎦. +. I3. 0. Fig.4-5 順向兩段式彎曲波導散射矩陣示意圖因為波從第 I 區和第 II 區的斜邊連接處走到第 II 區和第 III 區的 43.

(53) 斜邊連接處需要乘上一個傳播項 P，而第二個連接處反射回來的波傳回第一個連接處也需要乘上傳播項 P，所以當我們假設第 II 區的長度為 W 時，可以令傳播項 P 如下面所示： ⎡ e − jβ1W ⎢ 0 P=⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0. ⎤ ⎥ ⎥, 0 ⎥ ⎥ e− jβ NW ⎦. 0. 0. 0. ( P )i , j = δ i , j e − j β W. （4.2-1）. i. 因為兩個子系統為相同的結構，所以反射係數 R 和穿透係數 T +. 的值是相同的。 I 2 為第一個接面的穿透波，經過第 II 區乘上一個傳播 −. 項 P 後，變成第二個連接處的入射波；而 I 2 為第二個接面的穿透波，經過第 II 區乘上一個傳播項 P 後，變成第一個連接處的入射波。 +. I1. −. I1. ⎡R T ⎤ ⎢T R⎥ ⎣ ⎦. +. +. I2. −. PI 2. PI 2. ⎡ 0 P⎤ ⎢P 0 ⎥ ⎣ ⎦. −. I2. 我們可以利用 4.1 小節所推導出來的串接散射矩陣套用在第一個子系統和中間的傳播區上，利用（4.1-4）式，就可以把傳播區和第一個子系統合併： +. I1. −. I1. +. TP ⎤ ⎡R ⎢ PT PRP ⎥ ⎣ ⎦. 合併後整個系統就可以變成如 Fig.4-6 所示：. 44. PI 2 −. I2.

(54) +. I1. TP ⎤ ⎡R ⎢ PT PRP ⎥ ⎣ ⎦. −. I1. +. +. PI 2 −. I2. ⎡R T ⎤ ⎢T R⎥ ⎣ ⎦. I3. 0. Fig.4-6 合併 Fig.4-5 後的散射矩陣示意圖有了這個結構以後，就可以利用串接散射矩陣來分析這個系統。首先把 Fig.4-6 套用在 Fig.4-3 上，如下所示： a ⎡ R11 Sa = ⎢ ⎢⎣ T21a. TP ⎤ T12a ⎤ ⎡ R ⎥=⎢ ⎥ a ⎥⎦ ⎢⎣ PT PRP ⎥⎦ R 22. b ⎡ R11 Sb = ⎢ ⎢⎣ T21b. T12b ⎤ ⎡ R T ⎤ ⎥=⎢ ⎥ R b22 ⎥⎦ ⎢⎣ T R ⎥⎦. a b ⎡ R11 T21a + T12a H p1R11 Sc = ⎢ ⎢ T21b H p2 T21a ⎣. ⎤ ⎥ a R b22 + T21b H p2 R 22 T12b ⎥⎦ T12a H p1T12b. TPH p1T ⎡ R + TPH p1RPT ⎤ ⎥ =⎢ ⎢⎣ TH p2 PT R + TH p2 PRPT ⎥⎦ H p1 = ( I − RPRP ) , H p2 = ( I − PRPR ) −1. −1. 得到新的 Sc 矩陣後，我們就可以利用它及 4.1 小節的計算結果，得到穿透及反射係數和第 II 區的場型： + ⎡ I 1− ⎤ ⎡ R + TPH p1RPT TPH p1T ⎤ ⎡I1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ R + TH p2 PRPT ⎥⎦ ⎢ I − ⎥ ⎢ I 3+ ⎥ ⎣ TH p2 PT ⎣ ⎦ ⎣ 3⎦. （4.2-2）. + ⎡ I 2− ⎤ ⎡ H p1RPT H p1T ⎤ ⎡I1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ I 2+ ⎥ ⎢ P −1H p2 PT P −1H p2 PRPT ⎥ ⎢ I 3− ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣. （4.2-3）. 45.

(55) +. −. −. +. −. +. 由於只有 I 1 為入射波、 I 3 = 0 的情形下，得到 I 1 、 I 2 、 I 2 、 I 3 的解，如下所示： −. (. ). +. I 1 = R + TPH p1RPT ⋅ I 1 +. +. I 2 = P −1H p2 PT ⋅ I 1 − 2. + 1. +. +. I = H p1RPT ⋅ I. （4.2-4）. I 3 = TH p2 PT ⋅ I 1. 我們可以在數值分析的部份利用計算出來的 Sc 矩陣得到這個系 −. +. −. +. 統的穿透係數和反射係數為何，然後利用 I 1 、 I 2 、 I 2 、 I 3 的結果把場型及能量畫出。. 46.

(56) 4.3 反向兩段式彎曲波導的理論分析 2θ nˆ. ( II ). θ θ. ( I) L. xˆ ′′. Incident. θ θ. ( 0,0). 2d. Ltot. Transmission. ( 0′,0′). Reflection. zˆ. xˆ. zˆ′′. ( III ). nˆ. zˆ′. xˆ ′. 2θ. Fig.4-7 反向兩段式彎曲波導結構示意圖 Fig.4-7 的結構在前兩區的分析上跟 Fig.4-4 的分析大同小異，不過兩種結構在第 III 區的部份方向不一樣，在這邊需要有對模態翻轉的動作，不過只需對奇模做翻轉，對偶模沒影響，所以可以令翻轉係數 F 為： ⎡1 ⎢0 F=⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0. 0. ⎤ ⎥ ⎥, 0 ⎥ N −1 ⎥ ( −1) ⎥⎦. 0. 0. ( F )i , j = δ i , j ( −1). i −1. （4.3-1）. 我們先來看第 II 區跟第 III 區之間的斜面邊界，當這個結構第 II 區被拉直的時候，我們可以看到第 III 區的傳播方向是朝下的，這跟原本的轉彎方向是相反的，所以我們必須做第一次的翻轉，使所有的彎曲方向相同，便於計算邊界上的係數；等到斜面邊界的計算完成了以後，必須再回復原來的傳播方向，所以必須再作一次的翻轉，不過 47.

(57) 只有穿透波需要做翻轉的動作，所以斜面邊界就會形成如下圖所示的一個小系統：. +. PI 2 −. I2. ⎡ 0 F⎤ ⎢F 0 ⎥ ⎣ ⎦. ⎡ 0 F⎤ ⎢F 0 ⎥ ⎣ ⎦. ⎡R T ⎤ ⎢T R⎥ ⎣ ⎦. +. I3. 0. 接著可以像 4.2 小節的情形一樣利用串接散射矩陣來合併這個斜面邊界的系統，利用（4.1-4）式，我們可以得到下面的結果： +. PI 2 −. I2. +. ⎡FRF FT ⎤ ⎢ ⎥ R ⎦⎥ ⎣⎢ TF. ⎡ 0 F⎤ ⎢F 0 ⎥ ⎣ ⎦. I3 0. ⇓ +. PI 2 −. I2. ⎡FRF FTF ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ FTF FRF ⎦⎥. +. I3 0. 經過上面的計算，我們就可以在第二個斜面邊界上得到新的散射矩陣，我們可以令 R = FRF, T = FTF 。假設只有第 I 區有入射波入射，我們就可以把此結構簡化成. Fig.4-8 的形式如下：. 48.

(58) +. I1. ⎡R T ⎤ ⎢T R⎥ ⎣ ⎦. −. I1. +. +. I2. −. PI 2. ⎡ 0 P⎤ ⎢P 0 ⎥ ⎣ ⎦. PI 2. ⎡R T ⎤ ⎢ ⎥ T R ⎣ ⎦. −. I2. +. I3. 0. Fig.4-8 反向兩段式彎曲波導散射矩陣示意圖以下的分析幾乎就同 4.2 小節一樣。我們可以利用 4.1 小節所推導出來的串接散射矩陣套用在第一個子系統和中間的傳播區上，利用（4.1-4）式，就可以把傳播區和第一個子系統合併： +. I1. −. I1. ⎡R T ⎤ ⎢T R⎥ ⎣ ⎦. +. +. I2. −. PI 2. PI 2. ⎡ 0 P⎤ ⎢P 0 ⎥ ⎣ ⎦. −. I2. ⇓ +. I1. −. I1. +. TP ⎤ ⎡R ⎢ PT PRP ⎥ ⎣ ⎦. PI 2 −. I2. 合併後整個系統就可以變成如 Fig.4-9 所示： +. I1. −. I1. TP ⎤ ⎡R ⎢ PT PRP ⎥ ⎣ ⎦. +. PI 2 −. I2. +. ⎡R ⎢ ⎣T. T⎤ ⎥ R⎦. Fig.4-9 簡化 Fig.4-8 後的散射矩陣示意圖. 49. I3. 0.

(59) 有了這個結構以後，就可以利用串接散射矩陣來分析這個系統。首先把 Fig.4-9 套用在 Fig.4-3 上，如下所示： a ⎡ R11 Sa = ⎢ ⎢⎣ T21a. TP ⎤ T12a ⎤ ⎡ R ⎥=⎢ ⎥ R a22 ⎥⎦ ⎢⎣ PT PRP ⎥⎦. b ⎡ R11 Sb = ⎢ ⎢⎣ T21b. T12b ⎤ ⎡ R T ⎤ ⎥=⎢ ⎥ R b22 ⎥⎦ ⎢⎣ T R ⎥⎦. a b ⎡ R11 T21a + T12a H p1R11 Sc = ⎢ ⎢ T21b H p2 T21a ⎣. ⎤ ⎥ b b a b R 22 + T21H p2 R 22 T12 ⎥⎦ T12a H p1T12b. ⎡ R + TPH p1RPT ⎤ TPH p1T ⎥ =⎢ ⎢ TH p2 PT ⎥ R TH PRPT + p2 ⎣ ⎦. (. H p1= I − RPRP. ). −1. (. , H p2 = I − PRPR. ). −1. 得到新的 Sc 矩陣後，我們就可以利用它及 4.1 小節的計算結果，得到穿透及反射係數和第 II 區的場型： + ⎡ I 1− ⎤ ⎡ R + TPH RPT ⎤ ⎡I1 ⎤ TPH p1T p1 ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ R + TH p2 PRPT ⎥⎦ ⎢ I 3− ⎥ ⎢ I 3+ ⎥ ⎢⎣ TH p2 PT ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. （4.3-2）. ⎡ I −2 ⎤ ⎡ H p1RPT ⎤ ⎡ I 1+ ⎤ H p1T ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ I +2 ⎥ ⎢ P −1H p2 PT P −1H p2 PRPT ⎥ ⎢ I 3− ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣. （4.3-3）. 50.

(60) +. −. −. +. −. +. 由於只有 I 1 為入射波、 I 3 = 0 的情形下，得到 I 1 、 I 2 、 I 2 、 I 3 的解，如下所示： −. (. ). +. I 1 = R + TPH p1RPT ⋅ I 1 +. +. I 2 = P −1H p2 PT ⋅ I 1 − 2. + 1. +. +. I = H p1RPT ⋅ I. （4.3-4）. I 3 = TH p2 PT ⋅ I 1. 我們比較 4.2 小節和 4.3 小節可以看到，兩邊的結構除了第 III 區的轉彎方向不一樣使的反向兩段式彎曲波導需要在第二個斜面邊界做翻轉的處理之外，大致上是一樣的，所以我們將會在下一個章節對兩種結構：順向及反向兩段式彎曲波導，作一些數值模擬分析，看看這兩個結構在彎曲時能量的變化，比較一下兩者之間的差別。另外我們會在附錄 B 擺上散射矩陣對稱的證明。. 51.

(61) 第五章兩段式彎曲波導數值計算結果這一章我們主要是要對前一個章節所分析的順向以及反向兩段式彎曲波導作數值計算，看看兩種結構在不同的參數下進行模擬計算會出現什麼樣子的結果，而這兩種結構也可以作一下比較。我們在接下來的計算將會分別對兩種結構針對不同的角度、不同的折射率、以及單模和多模的差異性來做分析，最後再對這兩種結構作一個總結性的討論。. 5.1 順向兩段式彎曲波導數值模擬 Pz. Lxt. θ. θ. nˆ ′. zˆ ′′. xˆ ′′. Px. ( 0′, 0′ ) L Ltot. θ θ. xˆ ′ zˆ′. Lzi. xˆ. 4θ. nˆ. 2d. zˆ. Lxt. Wx. W. 2θ. ( 0,0). Wz. Lz. Fig.5-1 順向兩段式彎曲波導結構參數示意圖. 52. Lzt.

(62) （一）不同角度之比較我們一開始先對 Fig.5-1 的結構做不同角度的分析，看看在不同角度下能量的分布，以及穿透能量和反射能量的大小。. 參數：n1=1.5; n2=1.0; ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ;. d=2 λ ; L=(Ltot-2d)/2; W=30 λ ; Lzi=5 λ ; V=14.05;. Lzt=10 λ ;. Total ACM modes=63;. Input/Output guiding modes=9;. CASE 1： θ = 1 （總彎曲角度為 4θ = 4 ）. x-position (μm). 0.55 45. 0.5. 40. 0.45. 35. 0.4. 30. 0.35. 25. 0.3. 20. 0.25. 15. 0.2. 10. 0.15. 5. 0.1. 0. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-2 順向兩段式彎曲波導總彎曲 4°時能量圖. 53. 0.05.

(63) CASE 2： θ = 2.5 （總彎曲角度為 4θ = 10 ）. 50. 0.6. 45. x-position (μm). 40. 0.5. 35 0.4. 30 25. 0.3. 20 15. 0.2. 10 0.1. 5 0. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-3 順向兩段式彎曲波導總彎曲 10°時能量圖 CASE 3： θ = 5 （總彎曲角度為 4θ = 20 ）. 0.8 50. 0.7 0.6. x-position (μm). 40. 0.5 30. 0.4 0.3. 20. 0.2 10 0.1 0 -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-4 順向兩段式彎曲波導總彎曲 20°時能量圖. 54.

(64) CASE 4： θ = 7.5 （總彎曲角度為 4θ = 30 ）. 0.9. 60. 0.8. x-position (μm). 50. 0.7 0.6. 40. 0.5 30. 0.4. 20. 0.3 0.2. 10 0.1 -10. 0. 10 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-5 順向兩段式彎曲波導總彎曲 30°時能量圖 CASE 5： θ = 10 （總彎曲角度為 4θ = 40 ） 1 0.9. 60. 0.8. x-position (μm). 50. 0.7 0.6. 40. 0.5 30. 0.4 0.3. 20. 0.2. 10. 0.1 0. -10. 0. 10 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-6 順向兩段式彎曲波導總彎曲 40°時能量圖. 55.

(65) 能量. 穿透能量 T. 穿透能量 T. 反射能量 R. 總彎曲角度. (first mode). (guiding modes) (guiding modes). (4θ=) 4°. 0.97835. 0.9999981. 4.44e-09. 10°. 0.89854. 0.9999846. 2.70e-08. 20°. 0.63269. 0.9998571. 2.08e-07. 30°. 0.20492. 0.9970110. 5.43e-07. 40°. 0.054521. 0.9753180. 3.57e-06. 表 5-1 順向兩段式彎曲波導不同角度時的能量. 從上面的數據可以發現彎曲角度越大，能量的損耗也會越明顯，不過全部模態的穿透和反射能量基本上還是很接近 1，符合能量守恆的原則。. 56.

(66) （二）不同折射率之比較這裡要比較的是在不同的折射率比例下，波在傳播時輻射的情形及能量損耗的程度，n1 : n2 分別是大對比 3.5 : 1、中對比 1.5 : 1、和小對比 1.5 : 1.485。因為 1.5 : 1 的情形在前面已經有了，這邊就模擬. 3.5 : 1 和 1.5 : 1.485 在 θ = 5 時的能量圖，之後再對三種比例的結果來做分析。. 參數：ns=[n2, n1, n2];. L=(Ltot-2d)/2;. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ; W=30 λ ; Lzi=5 λ ;. d=2 λ ;. Lzt=10 λ ;. θ = 5 （總彎曲角度為 4θ = 20 ）. n1: n2 1.5 : 1. 3.5 : 1. 1.5 : 1.485. 0.63269. 0.69530. 0.074. 0.9998571. 0.9999868. 0.088. 2.08e-07. 5.14e-07. 2.58e-10. 能量穿透能量T. (first mode) 穿透能量T. (guiding modes) 反射能量R. (guiding modes) 表5-2 彎曲角度為20°時不同折射率比例下T和R的能量比較. 57.

(67) CASE 1：n1 = 3.5;. n2 = 1.0;. V = 42.149;. Input/Output guiding modes = 27;. Total ACM modes=79;. 1 50. 0.9 0.8. x-position (μm). 40. 0.7 0.6. 30. 0.5 0.4. 20. 0.3 0.2. 10. 0.1 0 -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-7 順向兩段式彎曲波導的總彎曲 20°時能量圖 CASE 2：n1 = 1.5;. n2 = 1.485;. V = 2.6591;. Input/Output guiding modes = 2;. Total ACM modes=88; 0.55 0.5. 50. 0.45 0.4. x-position (μm). 40. 0.35 0.3. 30. 0.25 0.2. 20. 0.15 0.1. 10. 0.05 0 -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-8 順向兩段式彎曲波導的總彎曲 20°時能量圖. 58.

(68) 看了上面的結果可以發現在相同的角度下，折射率比例越小，則輻射的情形會越嚴重，所以第 III 區的穿透能量就會很小，至於反射能量，因為這種結構的反射本來就不大，故影響比較不顯著。. （三）單模的數值模擬前面的小節所做的數值結果分析都是在多模的情況下討論，這邊我們就對兩段式彎曲波導作一些在單模時的數值模擬，再以總彎曲角度 20°的能量圖作代表，比較一下跟多模的差異。. CASE 1：n1 = 1.5;. n2 = 1.0;. 參數：ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ; Lzi=5 λ ;. d=0.2 λ ; L=(Ltot-2d)/2; W=30 λ ; V=1.405;. Total ACM modes=59;. Input/Output guiding mode=1;. 59. Lzt=10 λ ;.

(69) 能量穿透能量 T. 反射能量 R. (4θ=) 4°. 0.99663. 2.11e-08. 10°. 0.98102. 7.01e-07. 20°. 0.92289. 4.07e-07. 40°. 0.73079. 6.24e-06. 總彎曲角度. 表 5-3 順向兩段式彎曲波導不同角度時單模的能量. 1.2 50 1 x-position (μm). 40 0.8 30 0.6 20. 0.4. 10. 0 -10. 0.2. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-9 順向兩段式彎曲波導單模總彎曲 20°能量圖. 60.

(70) CASE 2：n1 = 1.5;. n2 = 1.4;. 參數：ns=[n2, n1, n2];. d=0.45 λ ; V=1.5226;. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ; Lzi=5 λ ;. L=(Ltot-2d)/2;. W=30 λ ;. Lzt=10 λ ;. Total ACM modes=83;. Input/Output guiding mode=1;. 能量穿透能量 T. 反射能量 R. (4θ=) 4°. 0.96729. 1.95e-10. 10°. 0.81595. 1.78e-08. 20°. 0.48835. 1.15e-07. 40°. 0.12606. 1.18e-07. 總彎曲角度. 表 5-4 順向兩段式彎曲波導不同角度時單模的能量. 61.

(71) 0.9 0.8. 50. 0.7 x-position (μm). 40. 0.6 0.5. 30. 0.4 20. 0.3 0.2. 10. 0.1 0 -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-10 順向兩段式彎曲波導單模總彎曲 20°能量圖. 從上面的數值結果可以發現，因為單模時只有第一個模態在波核裡面跑，角度大時第一個模態的穿透係數會變小，再加上彎曲時會有輻射產生，在折射率為小對比時尤為明顯，所以彎曲角度越大時穿透能量也會跟著變小。. 62.

(72) 5.2 反向兩段式彎曲波導數值模擬 Pz. Lzt. ( III ) 2θ. ( II ) Px. nˆ. transmission θ θ. (I). xˆ ′′. ( 0′,0′). L Ltot. incident. θ θ. 2d. zˆ′. Wx. xˆ ′. reflection. zˆ. nˆ. xˆ ( 0,0). Lzi. zˆ′′. 2θ. W. Wz. Lz. Fig.5-11 反向兩段式彎曲波導結構參數示意圖. （一）不同角度之比較我們一開始先對 Fig.5-11 的結構做不同角度的分析，看看在不同角度下能量的分布，以及穿透能量和反射能量的大小。. 參數：n1=1.5; n2=1.0; ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ;. d=2 λ ; L=(Ltot-2d)/2; W=30 λ ; Lzi=5 λ ; V=14.05;. Total ACM modes=63;. Input/Output guiding modes=9;. 63. Lzt=10 λ ;.

(73) CASE 1： θ = 1 （彎曲角度為 2θ = 2 ）. x-position (μm). 0.55 45. 0.5. 40. 0.45. 35. 0.4. 30. 0.35. 25. 0.3. 20. 0.25. 15. 0.2. 10. 0.15. 5. 0.1. 0. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. 0.05. Fig.5-12 反向兩段式彎曲波導彎曲2°時能量圖 CASE 2： θ = 2.5 （彎曲角度為 2θ = 5 ） 0.7 50 45. 0.6. x-position (μm). 40 0.5. 35 30. 0.4. 25 20. 0.3. 15 0.2. 10 5. 0.1 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-13 反向兩段式彎曲波導彎曲 5°時能量圖. 64.

(74) CASE 3： θ = 5 （彎曲角度為 2θ = 10 ）. 0.8 50. 0.7. 45. 0.6. x-position (μm). 40 35. 0.5. 30 0.4. 25 20. 0.3. 15 10. 0.2. 5. 0.1. 0 -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-14 反向兩段式彎曲波導彎曲 10°時能量圖 CASE 4： θ = 7.5 （彎曲角度為 2θ = 15 ）. 0.9 0.8. 50. 0.7 x-position (μm). 40. 0.6 0.5. 30. 0.4 20. 0.3 0.2. 10. 0.1 0. -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-15 反向兩段式彎曲波導彎曲 15°時能量圖. 65.

(75) CASE 5： θ = 10 （彎曲角度為 2θ = 20 ） 1. 60. 0.9. x-position (μm). 50. 0.8 0.7. 40. 0.6 0.5. 30. 0.4 20. 0.3 0.2. 10. 0.1 0. -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. Fig.5-16 反向兩段式彎曲波導彎曲 20°時能量圖. 能量. 穿透能量 T. 穿透能量 T. 反射能量 R. 彎曲角度. (first mode). (guiding modes). (guiding modes). (2θ=) 2°. 0.78889. 0.9999989. 3.07e-09. 5°. 0.23358. 0.9999825. 1.85e-08. 10°. 0.22394. 0.9998643. 2.50e-07. 15°. 0.51039. 0.9992745. 1.27e-06. 20°. 0.37379. 0.9429154. 1.73e-07. 表 5-5 反向兩段式彎曲波導不同角度時的能量. 66.

(76) 從上面的數據可以發現彎曲角度越大，能量的損耗會越明顯，不過導波模態的穿透能量都還蠻大的，說明了大部分能量其實都還是集中在波核裡，少數會在彎曲時輻射出去。（二）不同折射率之比較這裡要比較的是在不同的折射率比例下，波在傳播時輻射的情形及能量損耗的程度，n1 : n2 分別是大對比 3.5 : 1、中對比 1.5 : 1、和小對比 1.5 : 1.485。因為 1.5 : 1 的情形在前面已經有了，這邊就模擬. 3.5 : 1 和 1.5 : 1.485 在 θ = 5 時的能量圖，之後再對三種比例的結果來做分析。參數：ns=[n2, n1, n2];. L=(Ltot-2d)/2;. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ; W=30 λ ; Lzi=5 λ ;. d=2 λ ;. Lzt=10 λ ;. θ = 5 （彎曲角度為 2θ = 10 ） n1: n2 1.5 : 1. 3.5 : 1. 1.5 : 1.485. 0.22394. 0.041114. 0.0038. 0.9998643. 0.9999737. 0.021. 2.50e-07. 9.97e-07. 7.59e-11. 能量穿透能量T. (first mode) 穿透能量T. (guiding modes) 反射能量R. (guiding modes) 表5-6 彎曲角度為10°時不同折射率比例下T和R的能量比較 67.

(77) CASE 1：n1 = 3.5;. n2 = 1.0;. V = 42.149;. Input/Output guiding modes = 27;. Total ACM modes=79;. x-position (μm). 1.1 50. 1. 45. 0.9. 40. 0.8. 35. 0.7. 30. 0.6. 25. 0.5. 20. 0.4. 15. 0.3. 10. 0.2. 5 0 -10. 0.1 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-17 反向兩段式彎曲波導彎曲 10°時能量圖 CASE 2：n1 = 1.5;. n2 = 1.485;. V = 2.6591;. Input/Output guiding modes = 2;. Total ACM modes=89; 0.55 0.5. 50. 0.45. x-position (μm). 45 40. 0.4. 35. 0.35. 30. 0.3. 25. 0.25. 20. 0.2. 15. 0.15. 10. 0.1. 5 0 -10. 0.05 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-18 反向兩段式彎曲波導彎曲 10°時能量圖. 68.

(78) 看了上面的結果可以發現在相同的角度下，折射率比例越小，則輻射的情形會越嚴重，大部分的能量在第一次轉彎的時候就已經從波核跑出，所以第 III 區的穿透能量就會很小，至於反射能量，因為這種結構的反射本來就不大，故影響比較不顯著。. （三）單模的數值模擬前面的小節所做的數值結果分析都是在多模的情況下討論，這邊我們就對兩段式彎曲波導作一些在單模時的數值模擬，再以彎曲角度. 10°的能量圖作代表，比較一下跟多模的差異。. CASE 1：n1 = 1.5;. n2 = 1.0;. 參數：ns=[n2, n1, n2];. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ; Lzi=5 λ ;. d=0.2 λ ; L=(Ltot-2d)/2; W=30 λ ; V=1.405;. Total ACM modes=60;. Input/Output guiding mode=1;. 69. N λ =10;. Lzt=10 λ ;.

(79) 能量穿透能量 T. 反射能量 R. (2θ=) 2°. 0.99706. 9.61e-10. 5°. 0.98168. 3.18e-08. 10°. 0.92790. 4.72e-07. 20°. 0.74301. 1.68e-06. 彎曲角度. 表 5-7 反向兩段式彎曲波導不同角度時單模時的能量. 1.2. 50 45. 1. x-position (μm). 40 35. 0.8. 30 25. 0.6. 20 0.4. 15 10. 0.2. 5 0 -10. 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-19 反向兩段式彎曲波導單模彎曲 10°能量圖. 70.

(80) CASE 2：n1 = 1.5;. n2 = 1.4;. 參數：ns=[n2, n1, n2];. d=0.45 λ ; V=1.5226;. λ =1.55 μ m ; Ltot=30 λ ; Lzi=5 λ ;. L=(Ltot-2d)/2;. W=30 λ ;. N λ =10;. Lzt=10 λ ;. Total ACM modes=84;. Input/Output guiding mode=1;. 能量穿透能量 T. 反射能量 R. (2θ=) 2°. 0.98730. 1.76e-10. 5°. 0.91799. 6.50e-09. 10°. 0.67257. 8.06e-08. 20°. 0.16172. 6.42e-07. 彎曲角度. 表 5-8 反向兩段式彎曲波導不同角度時單模時的能量. 71.

(81) 0.9 0.8. 50 45. 0.7. x-position (μm). 40 0.6. 35. 0.5. 30 25. 0.4. 20 0.3. 15 10. 0.2. 5 0 -10. 0.1 0. 10. 20 30 z-position (μm). 40. 50. 60. Fig.5-20 反向兩段式彎曲波導單模總彎曲 10°能量圖. 從上面的的數值結果可以發現，因為單模時只有第一個模態在波核裡面跑，角度大時第一個模態的穿透係數會變小，再加上彎曲時會有輻射產生，在折射率為小對比時尤為明顯，所以彎曲角度越大時穿透能量也會跟著變小。. 72.