國立臺中教育大學數學教育學系
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授：林原宏 博士
國小學童
國小學童
國小學童
國小學童之
之
之直覺法則
之
直覺法則
直覺法則表現
直覺法則
表現
表現與
表現
與
與
與後設認知
後設認知
後設認知
後設認知
相關
相關
相關
相關性
性
性
性探討
探討
探討
探討
研究生：蘇瑩瑩 撰
中 華 民 國 九 十 九 年 五 月
中文摘要
中文摘要
中文摘要
中文摘要
本研究旨在探討國小學童「More A─More B」法則、「Same A─Same B」
法則、「無限細分」法則和「有限細分」法則等四個直覺法則 (intuitive rules)
的使用情形，進一步探討直覺法則反應和後設認知 (metacognition) 之相關 性，並應用潛在類別分析 (latent class analysis, LCA) ，將學童使用直覺法 則的結果分群，以供教師教學時分組的需要。
本研究主要結果摘要如下：
一、「More A─More B」法則和「Same A─Same B」法則間呈現負相關， 「有限細分」法則和「無限細分」法則間呈現負相關，「Same A─Same B」法則和「有限細分」法則之間呈現負相關。 二、四個直覺法則和其後設認知能力皆呈現正相關。 三、藉由LCA分析出學童最佳分群數為3群。群組一的學童主要使用「有 限細分」法則；群組二的學童主要使用「Same A─Same B」法則和「無 限細分」法則；群組三的學童主要使用「More A─More B」法則。 四、不同群組在四個直覺法則之後設認知能力的表現上均有顯著差異。 本研究結果提供對直覺法則更進一步的瞭解，以及教師在教學時分組 的依據和未來對於直覺法則及其後設認知之間的相關性研究之基礎。 關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字：：：直覺法則：直覺法則直覺法則直覺法則、、、後設認知、後設認知、後設認知後設認知、、、潛在類別分析潛在類別分析潛在類別分析 潛在類別分析
Abstract
This study was to investigate the performance of intuitive rules and its correlation with meta-cognition for pupils. In addition to the statistical description on performance of intuitive rules and correlation coefficients between intuitive rules and meta-cognition, the purpose of this study was to apply latent class analysis to classify pupils. Moreover, the results of this study would provide suggestions and references for teachers on adaptive teaching and remedial instruction.
Based on the correlation and latent class analysis, the results were as
follows:
1.The intuitive rule “More A─More B” had negative correlation with “Same A─Same B”. And the intuitive rule “Everything comes to an end” had negative correlation with “Everything can be divided by two”. The intuitive rule “Same A─Same B” had negative correlation with “Everything comes to an end”.
2.The results showed that there were positive relationship between intuitive rules and meta-cognition.
3.After finding the clustering by LCA, all the tast-takers could be classified into three groups. The primary intuitive rule used by students of groupⅠ w a s “Everything comes to an end”. Group II students would tend to use the intuitive rule “Same A─Same B” and “Everything comes to an end”. Group III students would tend to use the intuitive rule “More A─More B”.
4.For different groups, there existed a significant difference of the meta-cognition of the intuitive rules.
provide references for teachers on instruction; besides, they also provide the basis for future research on the relationship between intuitive rules and meta-cognition.
目
目
目
目
錄
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中文摘要 中文摘要 中文摘要 中文摘要………...………...………IIII 英文摘要 英文摘要 英文摘要 英文摘要………...………...………IIIIII II 第一章 第一章 第一章 第一章 緒論緒論緒論緒論………...………...………1 第一節 研究動機………...………...………1 第二節 研究目的………...………...………3 第三節 名詞解釋………...………...………4 第二章 第二章 第二章 第二章 文獻探討文獻探討文獻探討文獻探討………...……….7 第一節 直覺理論………...………...………7 第二節 直覺法則及其相關研究…...………...………19 第三節 後設認知及其相關研究…...………...………23 第四節 潛在類別分析之理論基礎...………...………30 第三章 第三章 第三章 第三章 研究方法研究方法研究方法研究方法………...……….39 第一節 研究架構………...………...………39 第二節 研究對象………...………...………40 第三節 研究工具………...………...………41 第四節 研究流程………...………...………44 第五節 資料分析………...………...………46 第四章 第四章 第四章 第四章 研究結果與討論研究結果與討論研究結果與討論研究結果與討論………...……….49 第一節 施測結果描述性分析……...………...………49 第二節 直覺法則相關性分析……...………...………51 第三節 後設認知相關分析………...………...………53 第四節 潛在類別分析………...………...………54 第五節 不同群組後設認知差異比較分析...………57
第五章 第五章 第五章 第五章 結論與建議結論與建議結論與建議結論與建議………...……….63 第一節 結論………...………...………63 第二節 建議………...………...………66 參考文獻 參考文獻 參考文獻 參考文獻………...………71 中文部份………...………71 英文部份………73 附錄 附錄 附錄 附錄………...………79 附錄一 數學直覺法則測驗工具………...………79 附錄二 試題編製參考文獻來源………...………87 附錄三 直覺法則正式試題編製說明………...…92
表目錄
表 2-1 Fischbein (1987) 直覺的分類 ...14 表 2-2 潛在類別分析分類樣本舉例 ...31 表 3-1 正式施測樣本類型一覽表 ...41 表 3-2 預試試卷試題變更一覽表 ...43 表 3-3 後設認知能力對照表 ...46 表 4-1 數學直覺法則題號、法則類別及法則存在比例 ...50 表 4-2 各直覺法則的相關情形 ...51 表 4-3 直覺法則和後設認知之相關 ...53 表 4-4 設定類別數下 LCA 分析直覺法則各資訊參數值 ...55 表 4-5 各群組的平均答題分數、比例和人數 ...55 表 4-6 不同群組在直覺法則中後設認知之描述統計量 ...57 表 4-7 不同群組之多變量變異數分析摘要表 ...58 表 4-8 不同群組之單變量變異數分析摘要表 ...60圖目錄
圖 1-1 角度相同但邊長不同之比較 ...4 圖 1-2 紙張相同但容量不同之比較 ...5 圖 2-1 Flavell (1981) 認知監控模式圖 ...24 圖 2-2 Brown (1987) 後設認知架構圖...26 圖 2-3 Paris 後設認知架構圖 ...27 圖 2-4 潛在類別分析分類結果舉隅 ...32 圖 3-1 研究架構圖 ...39 圖 3-2 研究流程圖 ...45 圖 4-1 各直覺法則間之關係圖 ...53 圖 4-2 潛在類別分析各群組中心折線圖 ...56第一章
第一章
第一章
第一章
緒論
緒論
緒論
緒論
本研究以四年級學童為對象，探討在數學領域中直覺法則(intuitive
rules)的表現情形，並以信心評量法(confidence rating method)分析在不同題
目中直覺法則的表現和受試者後設認知(met-acognition)之相關性，研究者 應用潛在類別分析(latent class analysis，簡稱 LCA)將受試者分群，進一步 探討各群組間四個直覺法則之後設認知能力的差異性，研究結果可供教師 在教學時作為分組的參考。本章共分三節加以做說明，依序為研究動機、 研究目的和名詞解釋。
第一節
第一節
第一節
第一節
研究動機
研究動機
研究動機
研究動機
在日常生活中，常有一些未經深思的結論脫口而出卻不自知，例如：「你 的個子很高，你的父母個子一定也很高」、「這個箱子很大，裡面一定裝了 很重的東西」、「你的國語成績很好，想必數學成績也很棒」、「他很胖，所 以跑得很慢」，這些被認為理所當然的事情，總是在不經意中就做出了結 論，而這些結論卻未必正確。 在數學方面，學童也會因為直覺反應(intuitive responses)而做出錯誤的 判斷，如「兩個長方形其周長相同，則其面積相同」、「兩杯同樣的水倒入 直徑不同的兩個杯子中，水位較高的杯子水比較多」(Huitger, 2003)、「考 慮線段 AB，並在上面任意選擇點 C，接著將線段 AB 劃分成二段相等的部 分，再將每段繼續劃分成一半，一定有一個分割點能夠剛好切割在點 C 上」，但是這個答案是錯的，因為如果選上的點是無理數，連續平分並不 會剛好切割在上面(Fischbein, 1987)。在科學方面，學童會誤以為「較大的 火車移動比較小的火車快」(Huitger, 2003)、「兩個火柴盒，一個裝滿沙子， 一個是空的，兩個同時以相同的方式從距離地面相同的高度往下拋出，重 的火柴盒會先著地」(謝展文，2000)。 由於直覺是心照不宣且堅定的一種原始感覺，所以會被大家忽略。然
而這些靠著直覺所得到的結論，很可能在學習的過程中成為迷思概念 (misconception)，所以造成迷思概念的原因，除了學科知識背景不足、受 到日常生活用語的影響、教學者錯誤的訊息傳遞、大眾媒體的誤導等因素 外，直觀的判斷是其中的一個重要因素。經由上述原因所形成的迷思概 念，通常都會偶發性的或長期性的主宰個人的信念，對於學習科學知識是 非常不利的(余民寧，1997)。
為了找出學童解題的規則性，Stavy, Tirosh, Tsamir, and Ronen (1996) 提出了直覺法則的理論，發現學童會依照題目的外在訊息特徵作答，而非 題目真正的意涵來思考，由此可提供教學者進行正確的解釋概念以及課程 的補救教學。
根據Stavy et al. (1996)以及Tirosh and Stavy (1999a, 1999b)在數學及科 學教育的研究中發現，學童在一些同類型的問題中直覺反應類似，這一類 題目和知識的分析及推理能力是不同的，它們有著相同的外在特徵，而直 覺的反應就依照某些法則在運作，到目前為止已經歸納出四種直覺法則， 分別為「More A─More B」、「Same A─Same B」、「Everything comes to
an end(有限細分法則)」和「Everything can be divided by two(無限細分法
則)」。
國內外的文獻多致力於找出各種題型，驗證是否符合四個直覺法則， 並提出適當的教學方法。例如，Stavy and Tirosh (2000)提出「認知衝突教 學(cognitive conflict)」和「搭橋類比教學(bridging analogy)」兩種教學法； 紀宗秀(2005)提出「預測(Predect)－觀察(Observe)－解釋(Explain)」，簡稱
POE 教學法，以提供教師在教學上的準備和課程進行時學生突發反應的處
理；郭竹晏(2008)透過 SCM 群集分析法(similarity-based robust clustering
method)將受試者於數學直覺法則的使用情形分群。然而，卻鮮有研究探討
直覺法則和後設認知之間的相關性。後設認知為「認知的認知」(cognition
知者高出一層的認知(許淑萍，2002)。為了測量學童的後設認知能力，本 研究採用後設認知之信心評量法，探討「學童使用直覺法則與否」與「後 設認知表現」兩者間的相關性。 每位學童的思考邏輯不同，對於直覺法則的使用情形也不同，若能分 析出各個學童受到直覺法則影響的差異，做適當的分組，便能協助教師在 教學時做有效率的教學。量性分群的方法有很多種，其中潛在類別分析可 以分析出學童概念結構的特質，可提供教學時分組的參考，就學習效率而 言，可依同結構(同質)的特性分組，針對迷思概念學習；然就互動與建構 學習而言，可刻意將同質組學生打散造成異質結構學童同組，以討論不同 結構間變化與同化的歷程(吳毓瑩、林原宏，1996)。 本研究之潛在類別分析以 Winmira 2001 軟體進行分析，依照四種直 覺法則的作答情形將受試學童進行分類，計算最佳分類模式後，判別各受 試樣本最適合歸類的組別，進一步探討每個群組在直覺法則中的共同特性 和各群組間的結構差異。分群之後，深入探討不同群組間四個直覺法則之 後設認知表現的差異性。研究結果可提供教師概念教學時採同質性分組， 補救教學時採異質性分組，期能提升教師教學成效和學童的學習效率。
第二節
第二節
第二節
第二節
研究目的
研究目的
研究目的
研究目的
本研究依據 Stavy, Tirosh, Tsamir, and Ronen (1996)提出的四個直覺法 則編製數學試題，研究對象為國小四年級的學童，分析結果除了討論直覺 法則的存在情形外，還要進一步探討直覺法則和後設認知的相關性，並將 受試者按照直覺法則的使用情形做分群，讓教師能在教學時便於採取異質 性分組教學及同質性補救教學，故本研究具體研究目的如下： (一)探討學童在回答數學問題時，四種直覺法則的使用情形。 (二)探討學童的直覺法則表現和後設認知之相關性。
(三)應用潛在類別分析，分析學童使用直覺法則的分群結果及各群特徵。 (四)探討各群組間各直覺法則之後設認知能力差異性。
第三節
第三節
第三節
第三節
名詞解釋
名詞解釋
名詞解釋
名詞解釋
壹 壹 壹 壹、、、、直覺直覺直覺直覺的定義的定義的定義的定義 Bruner (1977)引用Weber的解釋：「直覺就是直接的了解或認知。」認 為直覺是一種不靠正式的分析和證明為中介，所獲得的了解或認知。 Torff and Sternberg (2001)認為：「直覺就是不經深思熟慮的反應過程，順從且 不加批評的對事實產生共鳴。」本研究採用Fischbein (1987)的定義，認為 直覺是一種認知的類型(a type of cognition)，所有描述都是直接和不驗自 明(self-evident)的，不需要正式或經驗的証明。
貳 貳 貳
貳、、、、直覺法則直覺法則直覺法則直覺法則
直覺在反應問題時有一些共同的外在特徵，Stavy, Tirosh, Tsamir, and
Ronen (1996)將之歸納為四個直覺法則，分述如下： 一、More A─More B法則 如圖1-1所示，角1和角2的角度相同，但是邊長不同，請學童比較角1 和角2哪一個角度比較大。當學童回答「因為角1邊長較長，所以角1的角 度大於角2」，是依循「More A─More B」法則解題。此法則主要反應在 比較型的問題上，若二個物體或系統在A量(邊長)上有明顯的不同，表示 為A1>A2(即角1邊長>角2邊長)，要比較另一個B量(角度)的大小時，會受 到A量(邊長)明顯特徵影響，而做出不正確的反應。 2 1 圖 1-1 角度相同但邊長不同之比較
二、Same A─Same B法則 如圖1-2所示，同樣大的兩張紙捲成紙杯甲和紙杯乙，請學童比較 紙杯甲和紙杯乙哪一個紙杯可以裝的水比較多。若學童回答「因為兩張 紙一樣大，所以可以裝的水一樣多」，是依循「Same A─Same B」法則 解題。此法則亦反應在比較型的問題上。在此類問題中，比較的兩個物 體或系統A量(紙張大小)相同，當學童比較另一個B量(容量)時，會因為A 量(紙張大小)的明顯特徵而做出不適當的反應。 三、「有限細分」法則 此法則主要反映在連續細分型的問題上，當物體是物理上的材料，如 紙張、繩子、水等，要求將其不斷等分為相等的兩部份，由於連續細分的 過程達到分子或原子即會停止，所以此過程無法連續持續不斷進行，稱為 「有限細分」法則。 四、「無限細分」法則 此法則亦反映在連續細分型的問題上，當物體是屬於數學上的幾何物 件，如矩形、線段等，要求將其不斷等分為相等的兩部份，此過程可以連 續持續不斷進行，稱為「無限細分」法則。 參 參 參 參、、、後設認知、後設認知後設認知後設認知 為認知的再認知，Flavell (1976)定義後設認知為「個人對自己認知 長方形甲 長方形乙 紙杯甲 紙杯乙 圖 1-2 紙張相同但容量不同之比較
歷程的主動監 (active monitoring)、結果調整(consequent regulation)，以及 對所有認知過程的總匯集(orchestration)的能力」。本研究以信心評量法 來測驗學童後設認知行為中自我監控的能力。 肆 肆 肆 肆、、、潛在類別、潛在類別潛在類別潛在類別模式模式模式模式 潛在類別模式屬於混合模式(mixture model)的一支，即就受試者的反 應，依所指定的類別數進行分類分析後，探討各類別樣本群反應組型所 形成的特徵。
第二章
第二章
第二章
第二章
文獻探討
文獻探討
文獻探討
文獻探討
本研究以四年級學童為對象，採用四個直覺法則編製施測工具，除了 進行直覺法則相關分析外，進一步探討直覺法則的使用和後設認知能力之 間的相關性，並應用潛在類別分析將受試者分群，比較各群組間的結構性 之不同，以及各群組在四個直覺法則中後設認知表現的差異性，分析結果 期能幫助教師在教學時先行了解學童的思考特質，以及在正規教學時讓學 童採取異質性分組教學，實施補救教學時採取同質性分組教學。本章分四 小節，第一節為直覺理論；第二節為直覺法則及其相關研究；第三節為後 設認知及其相關研究；第四節為潛在類別分析之理論基礎。
第一節
第一節
第一節
第一節
直覺理論
直覺理論
直覺理論
直覺理論
壹 壹 壹 壹、、、、直覺的意義直覺的意義直覺的意義直覺的意義 平時閱讀一些研究文件或實驗結果時，常會看到作者引用「直覺」兩 個字，它似乎是一些分析理論的基本組合分子，存在於我們生活中，卻又 難以下定義。 Fischbein (1987)為了讓直覺不再是存在於個人的感覺之中，而是成為 可以被理解的結構，能加以組織各研究之間的關連性，於是定義了直覺的 基本意涵：「直覺」和「直覺知識(intuitive knowledge)」被視為是相等的， 它不是一個來源，不是一種方法，而是一種認知的類型，有著直接和不驗 自明的特徵，不需要正式或經驗的証明。Fischbein 又稱這種有別於分析性 思考的行為，是一種整體跳躍性的認知。 直覺在日常生活中的例子比比皆是，舉例而言，當準備穿越馬路時， 我們會觀察接近的汽車，如果越快看見汽車，就可以越快評估它的速度， 即使不知道車子切確的速度，也能從越來越接近的距離當中快速離開現 場。此時在腦中獲得的是全體性而且有完全架構的圖像，能對所有流入的 信息以反射的方式來做出反應，這就是直覺的表現。
而在學習過程中，通常會直覺的認為「每個數字後面都有一個數」、「整 體大於每一部分」、「如果身體沒有支撐則一定會落下」等等，這些敘述都 是直接和不驗自明的，不需要正式或經驗的証明，所以不驗自明是直覺的 一個一般特徵。相反的，「三角形角度的總和與二個直角是相等的」、「三 角形任兩邊的邊長和大於第三邊」的敘述並非不驗自明，所以不屬於直覺。 此外，Fischbein (1987)也強調了感知(perception)和直覺的不同，感知 是由視覺、聽覺、嗅覺、觸覺等所獲得的訊息，雖然也是直接的認知， 但是直覺是超出已知的事實，暗示在直接可得到的信息之外的一個推測。 例如：「我察覺在我前面有一張桌子」，雖然句中的桌子確實存在，也不 需要證明它，但是這並不是直覺知識。直覺是超出已知的事實，例如「兩 點之間最短的距離是直線」，表達的是直覺的推論，暗示在直接可得到的 信息之外的一個推測。 此外，直覺還擁有頑固的特質，一但建立後就很難改變，這使得直 覺有強迫性，進而影響到正確概念的學習。所以直覺概念的提出相當受到 爭議，贊成的認為它是每一個真實知識的基本來源，若沒有直覺，在科學 和數學上就沒有真正的創造力活動；反對的人則認為它對每一個真理的探 索產生誤導，被視為是整體的猜測，與科學的概念和詮釋是對立的，認為 直覺是迷思概念的主要來源，應該從正式的科學知識裡消除(蔡秉恆、黃天 佑，2005)。 貳 貳 貳 貳、、、、直覺的特性直覺的特性直覺的特性直覺的特性 Fischbein (1987)為了讓直覺更能讓人理解和察覺，他整理出直覺常見 的八個特徵，這些特性有時並存，有時會獨立出現，皆分述如下： 一 一 一 一、、、、不驗自明不驗自明不驗自明不驗自明 不驗自明是直覺的根本特徵。直覺的認知是前後一致、自我證明或自 我解釋的，Descartes (1967；引自Fischbein, 1987)也提及了「證據」和「確 信」為直覺的基本特徵。例如「整體大於每一部分」、「每個數字後面都
接著一個數字」，或者「二點確定一條直線」，這些敘述都是真實且沒有 辯解的需要。Spinoza (1967)舉了以下例子，在比例式中，如果有三個數字 1、2和3，可能會直覺的發現第四個比例項是6，因為6比3等於2比1。由於 數字很小，所以可以立刻下結論，不需要透過複雜的計算。這樣結論是不 驗自明並且肯定的。 二 二 二 二、、、、理所當然理所當然理所當然理所當然 第二個直覺的基本特徵是理所當然(certainty)。不驗自明和理所當然有 著高度相關，且這兩點彼此是不可或缺的，但是「理所當然」不等於「不 驗自明」。例如，在學校所學的數學定理，像「畢氏定理(Pythagoras)」和 「泰利斯定理(Thales)」，大多數人感覺理所當然但是並非不驗自明，是因 為能夠認同這些定理是經過專家的證明和學校教師的傳授。 而「理所當然」和「不驗自明」有何分別？Fischbein (1987)舉例，「考 慮線段AB，並在上面任意地選擇點C，接著將線段AB劃分成二段相等的部 分，再將每段繼續劃分成一半，是否有一個分割點能夠剛好切割在點C 上？」有77%的受試者回答「會」，在「不驗自明」的向度是高分，但是 在「理所當然(信心)」的向度是非常低分的。換句話說，這樣的題目讓他 們選出的答案是不驗自明的，但是由於題目複雜，所以答案並沒有非常肯 定。 所以對於個體而言，一個想法必須確定其真相，才會成為一個真實的 想法，而「直覺」是「對自己感覺有把握」的一個標準，並非客觀的真相， 「理所當然」又是直覺的其中一個標準，即個體會擁有主觀(subjectively) 判斷知識的標準。
Fischbein, Tirosh, and Melamed (1981)進一步利用下列公式來測量數
學敘述的直覺程度(degree of intuitiveness)，定義了直覺公式I = C×O，其
知，結合高度的不驗自明和高度的理所當然，便會產生高度的直覺。通 過使用特別的測驗量表，可以確定理所當然和不驗自明的程度，並且經由 測量，發現在表現出錯誤答案時顯示的信心比在正確答案時更高。 三 三 三 三、、、、頑固頑固頑固頑固
直覺一旦建立了，是非常頑固的(perseverance)，由 Fischbein, Tirosh, and Melamed (1981)所提出的直覺度公式，可關於某一答案的高度不驗自 明和高度理所當然，形成了強烈的直覺度，並確定了個別化直覺的觀點。 要消滅錯誤概念非常困難，頑固知識強化了錯誤的類型，學童即使有了正 式系統教育的教導，從學校所學得了概念性的知識，也很難影響其直覺的 知識背景，所以錯誤直覺和正確直覺並存，概念性解釋所有的生活，例如： 我們知道現在居住在地球上百萬年了，而地球一個圍繞著太陽旋轉。然 而，在學說發表的當下，在直覺上很難接受這樣的想法。 又例如科學已證實分子由原子組成，而原子是由極小的高速移動粒子 組成。不過，要直覺相信是原子是由高速移動的微粒子組成，有其困難性 存在，即使這是在學校所學得的知識，但是很難內蘊化成為不驗自明的事 實。 所以在做出反應的同時，個體往往會受到直覺頑固性的影響，做出錯 誤的反應，要如何解決科學概念之間的矛盾，對老師來說是個難題，必須 透過特殊的教育方法來導正，Fischbein (1987)建議讓學童明白知識和直覺 之間的衝突，並幫助發展科學概念的基模以超越他的直覺，所以教師必須 對學童的直覺認知有更深一層的認識，才能判斷概念學習過程中是否因直 覺的頑固性而影響了學習成效，並將正確的直覺應用於學習。 四 四 四 四、、、、強制性強制性強制性強制性 直覺的特徵包含個人推理方式的強制作用(coerciveness)，主觀的強加 自己絕對且獨特的解釋或表示法。通常，其他選擇會被排除在外而不被接 受。舉例而言，「在線外一點劃出來的平行線只有一條」能被接受，而其
他的選擇卻直覺的難以接受，例如「找不到平行線(Riemann 幾何)」或「可 以畫出無限條平行線(Lobachevsky 幾何)」。 在科學和數學的歷史上，即使一些學說被證明了以後，雖然勉強接受 正確的解釋，但直覺的強制本質常常對錯誤概念有著合理的解釋，造成此 錯誤概念的永存。舉例說明，推動理論錯誤解釋「身體會移動是因為被施 加了力量」，長時間阻礙了對慣性和等速運動的本質理解；「地球是宇宙 的中心」的直覺想法，妨害了哥白尼學說—太陽系動力學正確構想的發 展，即使證明太陽為中心的說法，仍會認為太陽從東邊升起，從西邊落下， 由此可見直覺強制性的影響。 Fischbein (1987)引用前面提到的例子，「考慮線段 AB，並在上面任意 地選擇點 C，接著將線段 AB 劃分成二段相等的部分，再將每段繼續劃分 成一半，是否有一個分割點能夠剛好切割在點 C 上？」超過 77%回答「是」， 但這個答案是錯誤的，因為如果選上的點是無理數，連續平分並不會剛好 切割在上面，而這些切割點都是有理數。受測的學童，從 7 年級開始就學 過無理數，但因直覺上平分的操作是無限的，所以會認為每一點都一定會 出現。原始無限直覺的強制作用，阻礙學生接受有不會切割到的點。 五 五 五 五、、、、理論的地位理論的地位理論的地位理論的地位 直覺是一個理論(theory)或一個微型理論，不僅是一種技巧或是一個特 定事實的感知。例如：「通過線外的一點，只能得到一條垂直的線」，直 覺會接受這個敘述的必要和普遍性；但是「二條相交的線其對頂角相等」 這個敘述，雖然確信但卻並非不驗自明，因為當看到圖示時，是透過視覺 感官察覺角度相等，此為感知而不是直覺。 Fischbein (1987)認為憑直覺所知道的是一種特性的普遍性，並進而提 出直覺理論的特性需要幾個方面來證實： (一)直覺從未被限制於陳述特性的普遍性，也不僅止於對某一事實的感知。 (二)直覺通過特殊現實，通常掌握原則、相關、法律、不變量的普遍性。
例如，直覺接受歐幾里德假設，不意味著實際能畫出與某一段線平行 的另一條段線；接受直覺假設，表示在任何實際可能的證據之外，能接受 在兩個方向二條線也許可以無限延伸，不會相交於遠處，同時，想像二條 平行的線是潛在特殊部分的無限引伸。線段的描述給予了直覺，在歐幾里 得(Euclid)假設中用一般特性表達出來。在心理上，動態地「看見」在兩個 方向的線繼續無限延伸，不會相交。 所以直覺不是一種單純的理論，更是用一個特殊的陳述中使用模型 所表達的理論—一個範例、比喻、圖、關於行為的修建等。 六 六 六 六、、、、外推性外推性外推性外推性 外推性(extrapolativeness)是個人直覺能力的測量，個體的直覺能力取 決於解決問題時需要多少個資訊，若個體有高度直覺能力，只需要很少的 暗示就能猜測答案。「理所當然」的感覺也是直覺的一個必要的特徵，否 則僅是猜測，所以直覺的最佳的描述是「資訊不完全和內在感覺理所當然 的特別組合」。 Westcott (1968；引自 Fischbein, 1987)提出「直覺的發生，是當個體沒 有足夠的資訊時所得到的結論」，他使用了這個定義作為測量直覺方法的 理論依據。例如，受試者得到的第一個暗示是「一月」，接著給受試者第 二個暗示「二月」，他也許會推論第五個答案是「五月」。 Bartlett (1958；引自 Fischbein, 1987)一樣建議了可以測量智力的方法， 推測「高度的直覺能力」和「運用最少的資訊」之間有高度關聯。 LeRoy (1960；引自 Fischbein, 1987)以簡潔的說法表示：「僅有的直覺 生產了無限的邏輯。」當處理無限過程或無限集合時，就會呈現跳躍式的 直覺，只要一和無限有關的動態形式出現，自然能推論不斷的延續的過 程，就像線段能無限延伸一樣。 對此情況 Poincaré (1906；引自 Fischbein, 1987)曾提到，「感覺自己能 夠設想同一次行動無限次的心理力量。」無限動態的概念用最單純的方式
直接表達，就是「直覺的外推能力」。 七 七 七 七、、、、整體性整體性整體性整體性 直覺也被描述做為整體性(globality)，綜合性的看法，與分析思維是相 對的，Bruner (1977)指出，分析思考是以一次前進一步為其特徵，步驟是 明顯的，人們能意識到所包含的知識和運思。LeRoy (1960；引自Fischbein, 1987)對直覺的解釋是「直接且快的洞察力」，沒有任何初步分析的一個綜 合性看法。想要一步步的前進、概念一個接著一個連接、從一點連接到另 一點這樣的論述，無法建立直覺的科學，因為直覺像是整體扼要的縮小在 一個圖像中。 直覺的整體性特徵使人想到完形(gestalt)的概念。它提供單一結構認 知，某一種狀況的整體性觀點或者洞察力。譬如說看一個人的黑白照片， 儘管顏色和大小是不同的，也可以馬上分辨出照片中的人，因為分析是取 決於其內部的基本要素，而不是分離的元素。再例如，如果學生第一次要 算出菱鏡體積的方程式，也許會根據長方形面積方程式推論，因為整體而 言，二個情況是相似的，兩個方法都有同樣的基本想法－底乘以高，所以 從一個情形轉換到其他情形不是依靠推論，而是掌握直覺。 八 八 八 八、、、、隱含性隱含性隱含性隱含性 以上我們提到的外推性結構，通常以不自覺的、隱含(implicitness)的 方式行動。例如：接受歐幾里德平行假設的學生，通常沒有察覺他在確認 其可能性之後，外推本身有限的經驗；要求定義固體概念的人，通常不明 白自己在心中已經有某些固態物體的範例－例如一片金属或一塊石頭，而 這時可藉由特殊的例子來測驗固體的定義，譬如粉狀物質應屬於固體或液 體。還有在投擲硬幣時，在多次出現硬幣的反面以後，會預測「出現人頭 的機率會更大」，卻沒察覺其錯誤的直覺預言機制。 而在事情的解釋上，會不自覺使用直覺的方法，例如，太陽系被拿來 做為原子的結構解釋；樹狀圖被用於組合問題；有方向的線段用來表示向
量。同樣在這些情況下，由於直覺的理解，熟練的過程會不自覺的出現。 參 參 參 參、、、、直覺的分類直覺的分類直覺的分類直覺的分類 Fischbein (1987)將直覺認知分成兩大類，第一種是依據「直覺扮演的 角色(role)」進行分類，包括「肯定的直覺(affirmatory)」、「猜測的 直覺 (conjectural)」、「預測的直覺(anticipatory)」和「結論的直覺(conclusive)」 四種。其中「肯定的直覺」可再細分成「語意的直覺(semantic)」、「關係 的直覺(relational)」、「推論的直覺(inferential)」和「共同的直覺(ground)」； 「猜測的直覺」針對特定領域可再細分成「專家的直覺(expert)」和「生手 的直覺(lay)」。「預測的直覺」和「結論的直覺」又可組合而成問題解決 的直覺。第二種是依據「直覺的起源(orgin)」，分成「最初的直覺(primary)」 和「二次的直覺(secondary)」。茲將各類直覺整理如表 2-1。 表 2-1 Fischbein (1987)直覺的分類 分類依據 類別 子分類 語意的直覺 關係的直覺 推論的直覺 共同的直覺 肯定的直覺 個別的(individual)直覺 專家的直覺 猜測的直覺 生手的直覺 預測的直覺 無 直覺扮演的角色 結論的直覺 無 最初的直覺 無 直覺的起源 二次的直覺 無
根據「直覺扮演的角色」來做分類，可分為：肯定的直覺、猜測的直 覺、預測的直覺和結論的直覺，說明如下： 一 一 一 一、、、、肯定的直覺肯定的直覺肯定的直覺肯定的直覺 肯定的直覺是各種被視為理所當然、不驗自明的表徵和詮釋(謝展文， 2000)。例如：「二點決定一直線」或「整體大於部分」。肯定的直覺依照 兩個不同準則可做細分，一個分成「語意的直覺」、「關係的直覺」和「推 論的直覺」；另一種是分成「共同的直覺」和「個別的直覺」，分別敘述 如下。 (一)語意的直覺 語意的直覺和概念的意義有關，舉例來說，直線的概念在不同的領域 有不同的意義，例如：行為上的(behavioral)意義─二點間最短的距離；物 理上的意義─一條光束；作圖上的意義─劃一直線；功能上的意義─一條 具有良好延伸性的細繩。力也有許多不同的詮釋，例如：公理上(axiomatic) 的意義─質量和加速度間的相互關係(F＝ma)；基本行為上的─一種努力的 感覺或者用力搬東西。另外，在數學加減法文字題的解題上，常會採用一 種方法來解題，當題目中出現「共」的字眼時，使用加法；出現「差」的 字眼時，則使用減法，這也是一種語意的直覺。 (二)關係的直覺 關係的直覺常表現在明顯且不驗自明的陳述上，某些是正確的，某些 是錯誤的，但是我們會不自覺的傾向接受這些被視為不驗自明、理所當然 的陳述。例如：「線外一點只能畫出一條平行線」、「整體大於部分」、 「一個物體要持續的運動，一定要不斷的施力」、「放在同一位置的兩個 物體，同時間且同樣的位置掉落，重的物體比輕的物體較快落地」。 (三)推論的直覺 推論的直覺有一種歸納或演繹的結構。當察覺一系統的組成元素 (elements)有某種共同的特性以後，會傾向於直覺地去推論和確認所有的元
素都具有相同的特性，也被描述成具有演繹的形式，例如：知A＝B且B＝ C，可以演繹出一個不驗自明的結論「A＝C」。 以上為「肯定的直覺」依照一種準則的分類，依另一種準則的分類如 下。 (一)共同的直覺 個人在孩童時期所受到的文化影響，自然發展形成基本表徵和詮釋， 即為「共同的直覺」。例如：「排隊排了好久，應該超過一小時了」為空 間和時間表徵的直覺；「嬰兒一定是肚子餓，所以哭了」是因果的直覺； 「因為天氣炎熱，所以在太陽底下曝曬的機車墊一定很熱」是基本的物理 特性的直覺，以上均屬於共同的直覺。 (二)個別的直覺 個別的直覺有別於共同的直覺，是個人所獲得的直覺，都是個人在日 常生活或活動中所發展出來的直覺，為個人所特別擁有，別人所沒有的直 覺。例如：「我不是星座專家，但我的直覺告訴我他一定是處女座」；「美 國人是天真的民族」；「我不相信他的承諾，我的直覺告訴我他是一個騙 子」。 二 二 二 二、、、、猜測的直覺猜測的直覺猜測的直覺猜測的直覺 猜測的直覺是對於未來事件的假設，關於某種現象的假設...等等，所 以猜測要成為直覺，要具有一定程度的自信。而猜測的直覺可分為專家的 直覺和生手的直覺。 (一)專家的直覺 在各領域的專家，憑藉著豐富的經驗和敏銳的觀察力，即使手中只有 少量的資訊，也能做出專業的猜測，如醫生、老師、工程師等等。舉例來 說，教師在課堂中，透過師生互動、隨堂測驗或批改作業，就能夠綜合且 準確的判斷學生是否達成某一學習目標。專家能夠從所獲得的資訊做選
擇，以決定資訊所代表的意義，並組織所有的資訊來衡量各種情況可能發 生的機率，達成有意義、可行的結論。其中最重要的是，專家有能力將模 糊、不明顯的資訊，轉換成相關的訊息。 (二)生手的直覺 在日常生活中，個體常會根據生活經驗的累積，對未來的事件做出臆 測，這並非基於專業的知識，而是表達關於未來事件的假設，做出自信的 直覺猜測，例如：「這個小孩子將來會成為一個偉大的數學家」；「我將 資金投資在這個項目上，相信一定會成功」。 三 三 三 三、、、、預測的直覺預測的直覺預測的直覺預測的直覺 預測的直覺代表最初的、整體性的觀點，藉以進行分析、完整發展一 個問題的解答(謝展文，2000)。 其中肯定的直覺和預測的直覺的區別，在於「認知行為的個別角色」 之不同。經由一個肯定的直覺，所接受的是一個不驗自明、理所當然的觀 點，例如：「通過線外一點僅有一線與該線平行」。預測的直覺並非簡單 的建立一個明顯的事實，而是試圖發現問題的一個解答，且是解題前一種 突然的結果。 另外，猜測的直覺和預測的直覺的區別，在於預測的直覺代表「解題 過程的一個階段」，而猜測的直覺為某一想法的評估和預測，並不包括在 一個系統的解題活動中。 四 四 四 四、、、、結論的直覺結論的直覺結論的直覺結論的直覺 結論的直覺是將一個問題解答的基本理念，綜合成為一個整體的、結 構化的觀點。Polya (1957；引自Fischbein, 1987)指出，學生回顧所完成的 解答，重新考慮和檢查這個過程和結果，便可以鞏固知識並發展解題的能 力。這種經由回顧解題的過程所獲得的快速而又直覺的論證，即是一種結 論的直覺。而預測的直覺和結論的直覺，組合成為問題解決的直覺。
以上是根據「直覺扮演的角色」進行分類，而第二種是依據「直覺的 起源」來做分類，主要是與肯定的直覺有關，依此分類法直覺可分為「最 初的直覺」和「二次的直覺」，說明如下。 一 一 一 一、、、、最初的直覺最初的直覺最初的直覺最初的直覺 根據皮亞傑認知發展理論，最初的直覺是在前運思期(pre-operational) 或是運思期(operational)形成的，是根據個人的生活經驗發展而來，為獨立 的認知信仰，不受任何系統教育的影響。其中，個人自生活中所學習的過 程稱為內隱學習(implicit Learning)，學習過程的產物稱為靜默知識(tacit kmowledge)(紀宗秀，2005)。 最初的直覺包含二個部份：即前面所提到共同的直覺和個別的直覺。 前面所提到的分類中，「共同的直覺」通常都是最初的直覺。例如：一個 五歲的小孩，如果改變一塊黏土的形狀，會直覺的認為也改變了黏土的量 與重量。 而學童在進入學校接受形式教育以後，最初的直覺仍有可能發生。例 如：在學習乘、除法的運算時，由於日常生活的經驗僅限於正整數的運算， 學童可能會直覺的將經驗外推，認為乘法運算的結果會變大、除法運算的 結果會變小。 二 二 二 二、、、、二次的直覺二次的直覺二次的直覺二次的直覺 為個人對於學習環境及特定社會情境交互影響下，所產生的知識結 構，隱含了一種假設，所以新的直覺或沒有自然根源的直覺，也可以發展 起來。由上可知，最初的直覺是依據普通的日常生活經驗發展而來；二次 的直覺並非經由自然的經驗所獲得，而是經由學校教育或社會教育學習而 來。所以，對於相同的概念來說，最初的直覺和二次的直覺有時是會有所 不同。 所以直覺是可以學習的，經由教育的力量，能從最初的直覺進化成二 次的直覺。Hahn (1956；引自Fischbein, 1987)也主張，經由適當的教學，直
覺可以被改變，進而形成二次的直覺。
第
第
第
第二
二
二節
二
節
節
節
直覺法則
直覺法則
直覺法則及其相關研究
直覺法則
及其相關研究
及其相關研究
及其相關研究
Stavy, Tirosh, Tsamir, and Ronen (1996)針對不同國家、不同年級的學 生，在不同領域的相關測驗顯示，學童在解題時會出現錯誤反應，研究歸 納出「直覺法則」的理論，分成四個種類為「More A─More B」法則、「Same
A─Same B」法則、「有限細分」法則和「無限細分」法則。 直覺法則主要說明學童在某一類別問題的回答上，大部分是根據問題 的外在特徵來做反應，依照日常生活經驗做外推，並非依照相關的概念來 做正確的思考，所以經常是一種過度的推論，某些題目的外在特徵似乎活 化了特定的規則，而呈現某些直覺的反應。但是學童對問題外在特徵的反 應並不一致，所以同一個題目裡可能會有一個以上的直覺法則反應出現， 皆分述如下。 壹 壹 壹 壹、、、、直覺法則的種類直覺法則的種類直覺法則的種類直覺法則的種類
Stavy, Tirosh, Tsamir, and Ronen (1996)將直覺法則分成「比較型問題 (comparison tasks)」和「連續細分型問題(successive division tasks)」。其
中「比較型問題」可細分為「More A─More B」法則和「Same A─Same B」 法則，「連續細分型問題」可細分為「有限細分」法則與「無限細分」法 則，用以預測直覺的反應。以下將此四種直覺法則概略分類說明： 一 一 一 一、、、、More A─More B法則法則法則 法則 此法則主要反應在比較型的問題上，當二個物體或系統在A量上有明 顯的不同，表示為A1>A2，學童被要求比較另一個B量的大小時，會受到A 量明顯特徵影響，而做出不正確的反應。舉例而言，如兩物體的體積 A1>A2，則學童會直覺的判斷，此兩物體的重量為B1>B2；在科學上也有 類似的例子，在兩杯不等量的水中加入等量的糖粉，此時水量為A1>A2， 學童若直覺的認為水越多越甜，則是因為水量的影響，而呈現B1>B2的錯
誤反應。
在比較型的問題中，許多學童會根據A1>A2推得B1>B2，例如「面積 愈大，周長愈大」、「數字越大，含未知數的式子也越大」、「距離愈長， 汽艇通過河流所需時間也愈長」、「動物體積愈大、細胞也愈多」等的反 應(Stavy & Tirosh, 1996; Stavy, Tirosh, Tsamir, & Ronen, 1996; Tirosh &
Stavy, 1999b)。 二 二 二 二、、、、Same A─Same B法則法則法則法則 此法則中被比較的兩個物體或系統A量相同(A1＝A2)，當比較另一個 B量時，即使B1不同於B2，學童會因為A的明顯特徵(A1＝A2)而做出不
適當的反應。Stavy and Tirosh (1996)猜測，學童在這類問題的反應是由問 題中特定、外在的特徵作反應，用的是直覺法則而非問題相關的概念。 舉例來說，一個正方形和一個圓形的周長相同，表示為A1＝A2，則 其面積關係應該為圓形大於正方形，但是學童在作答時，會因為周長相 同(A1＝A2)，而認為兩者的面積也會相同(B1＝B2)，做出不適當的反應。 另外在之前「More A─More B」法則舉的例子中，在兩杯不等量的水中 加入等量的糖粉，若學童遵循的是「加入的糖粉量相同(A1＝A2)」，則 會因為糖粉量的影響，而呈現「兩杯水一樣甜(B1＝B2)」的錯誤反應， 這也再次驗證，在不同問題中，學童可能出現一種以上的直覺法則反應。 三 三 三 三、、、「、「「「有有有限有限細分限限細分細分細分」」」法」法則法法則則與則與與「與「「「無限細分無限細分」無限細分無限細分」」」法則法則法則法則 此為連續細分型的問題，用來檢驗學童「無限」的概念(Nunez, 1991;
Tall, 1981; Fischbein, Tirosh, & Hess, 1979)。連續細分型的問題享有一些共
同的特徵，首先描述一個連續細分的過程，然後學生被要求來決定此過程 是否會結束，正確的反應是根據物體的本質來做出判斷。
當物體是數學上的幾何物體，例如，直線、線段、長方形或長方體等， 則可以不斷的細分，此過程是無窮盡的，因為幾何物體可被無限的細分。 當物體是物理上的，為一種材料，例如，水、銅線等，則無法不停細分下
去，此過程是有限的，因為連續細分的過程當到達分子或原子的階層，即 會停止。根據研究顯示，不管是數學或物理物體的問題，學童傾向於採 用一致性的反應，較低年級的學童傾 向於做 出有限的反應，即依循「有 限細分」法則；隨著年級的增加，學童則傾向於做出無限的反應，即「無 限細分」法則。 貳 貳 貳 貳、、、、直覺法則的相關研究直覺法則的相關研究直覺法則的相關研究直覺法則的相關研究
Stavy, Tirosh, Tsamir, and Ronen (1996)的直覺法則理論提出後，國內 外研究者進行了一些相關的分析，期能對於數學與科學教育有所裨益，茲 將研究敘述如下。
Stavy and Tirosh (2000)提出「搭橋類比教學」與「衝突介入教學」， 幫助學生在直覺法則的反應上，能夠正確的解題。其中「搭橋類比教學」 會先呈現一個定錨(anchoring)的問題，此問題已經沒有無關的表面特徵， 所以不會讓學童一看到題目就呈現直覺法則反應，所以這個定錨問題通常 用來引出正確的答案，能讓學童產生正確的直覺。接著出現搭橋(bridging) 問題，此搭橋問題中，無關的特徵會引出直覺法則。最後，將強烈暗示直 覺法則之標的(target)問題引進，而利用搭橋問題與標的問題的一些相同特 性，將直覺法則的影響降至最低。這一系列的問題，始於一個定錨問題， 經過一個搭橋問題，最後再到標的問題，如此將改善學生在標的問題上的 反應。而衝突教學是先以一個問題來引出學生的錯誤答案，接著再呈現一 個和學生錯誤答案衝突的情境，讓學生發覺自己的答案不適當。 紀宗秀(2005)也探討不同的教學方法，提出「預測─觀察─解釋」概念 改變教學法，弱化學童於測驗工具上依循著「More A ─ More B」與「Same
A ─ Same B」兩個直覺法則的思考，結果顯示學童於「POE」教學不僅能
夠成功的改變學童，並且有教學延宕效果，讓學童對概念的理解並非處於 短期記憶裡，而且發現由於概念的改變，學童能夠將習得的概念類化到其 他情境，甚至是沒有生活經驗的物質上。
謝展文(2000)參考國內外文獻編製直覺法則研究試題，並探討新的「習 慣化」法則和「More A─More A」法則是否普遍存在，測試結果顯示，四、 五、六年級的學生將算法操作習慣化的情況似有隨年級增加而上升的趨 勢，而在先後比較一些事物或概念時，都會針對該事物或概念中某一個屬 性先後作不同的比較，且這現象有隨年級增加而增加的趨勢，顯示了「More
A─More A」直覺法則存在的可能性。
何健誼(2002)探討新的直覺法則「Different A─Different B」和「Linear
A─Linear B」，發現受試學童對前者呈現明顯的直覺反應，認為物體的外
型改變了，某一些性質也跟著改變；後者並沒有出現明顯的直覺反應。研 究顯示，國內學童的測驗結果也呼應國外的研究，呈現出四個直覺法則的 反應，而不同年級間存在有顯著差異，但不同性別未呈現顯著差異。 張世昌(2002)也探討新的直覺法則，在大部分的除法問題上，高比例 的學童在解題時受到「因為 A＞B，所以 A－B 或 A÷B」法則的影響，總 是以大的數去除以小的數，導致在某些問題上造成錯誤的回答。 而在不同的領域當中，李美滿(2001)的直覺法則研究顯示，多數高二 學生在對不同形狀細菌的比較，部份學生會依著體積相等所以表面積的理 由而作出類似「Same A─Same B」的直覺誤判，而另有部分學生則因圖形 的感覺，而有類似直覺法則中「More A─More B」的表現。 張玉枝(2002)的研究是探討國二學童在詮釋國中地球科學課本中的圖 形時，是否有受直覺法則影響的跡象，結果顯示學生在回答箭頭停留位置 與箭頭長短圖形題目時，有隨「More A─More B」直覺法則判斷的可能。 楊美惠(2002)則探討直覺法則對國內 K－6 年級學童面積概念之影響。劉世能 (2002)的研究顯示在等量概念表現上，高年級學童會受分母和分子的影
響，而轉變成以整數知識及誤用「More A─More B」和「Same A─Same B」 的直覺法則判斷分數大小。詹婉華(2003)的研究呼應國小高年級學童的分 數答題受直覺法則「More A─More B」、「Same A─Same B」影響，主要影
響來自題目呈現的數字或題目呈現的圖形。
陳瑞發(2003)的研究顯示，低年級學童在簡單分數解題時有受直覺法 則的影響，根據數字的大小來解題的「More A─More B」直覺法則，以及 文字資訊相同或數字大小相同來解題的「Same A─Same B」直覺法則。 王慈莉(2003)則研究說明國小三年級學童在進行角的大小比較時，即 使具有角的保留概念，還是容易受直覺法則「More A─More B」以及「Same
A─Same B」的影響，尤其以弧線的大小影響最鉅。
第
第
第
第三
三
三節
三
節
節
節
後設認知
後設認知
後設認知及其相關研究
後設認知
及其相關研究
及其相關研究
及其相關研究
壹 壹 壹 壹、、、、後設認知理論後設認知理論後設認知理論後設認知理論 一 一 一 一、、、、後設認知的源起後設認知的源起後設認知的源起後設認知的源起 後 設 認 知 (meta-cognition) 此 一 名 詞 大 約 始 於 1970 年 ， 目 前 大 多 以
Flavell (1976)發表的「問題解決的後設認知觀(meta-cognitive aspests of problem solving)」當作後設認知ㄧ詞最早出現的文獻(楊宗仁，1991)。
Brown (1987)對後設認知發展的過程指出，後設認知概念有四個歷史 淵源：
(一)將來自於語文的報告視為認知歷程的傳統(verbal report as cognition process)。 (二)訊息處理理論的執行控制概念(executive control)。 (三)Piaget的自我調整理論(self-regulation)。 (四)Vygotsky的他人調整理論(other-regulation)。 二 二 二 二、、、、後設後設後設後設認知的認知的認知的認知的意義意義意義意義 國內外研究者針對後設認知提出許多看法。Flavell (1976)定義後設認 知為個人對自己認知歷程的主動監控、結果調整，以及對所有認知過程總 匯集的能力。Brown (1987)則認為後設認知是指個人具有關於自主思考和 學習的知識，並且如何控制的方法。
陳密桃(1980)認為後設認知是指個人對其認知歷程和認知結果的自我 覺知、自我監控，以及自我調整等之知識與能力。張春興(1994)認為所謂 後設認知是指個人對自己認知歷程的認知。魏麗敏(1995)認為後設認知即 在控制意義的形成過程，並加以指導、校正與調整，以達成解決問題或 適應環境的目的。許淑萍(2001)則認為後設認知是指個人對其認知歷程 的自我監控、自我覺知及認知結果的自我調整能力，當個人經由認知思 維從事求知活動時，自己既能明確瞭解他所學知識的性質與內容，而且 也能瞭解如何進一步支配知識，以解決問題。 綜合各研究者的定義，後設認知可以說是個人在進行活動時，對其認 知歷程自我瞭解和改變的能力。 三 三 三 三、、、、後設認知的理論模式後設認知的理論模式後設認知的理論模式後設認知的理論模式 自從Flavell (1976)發表「問題解決的後設認知觀」後，便開啟了後設 認知的研究，由於概念的不確定性，關於後設認知的內涵，有不同的解釋， 以下列述幾位代表性學者的看法。 (一一一)Flavell的觀點一 的觀點的觀點的觀點 Flavell (1976)在「問題解決的後設認知觀」一文中提出，後設認知是 「個人對於其認知過程的覺知及自我調整」，在1981年修改「後設記憶基 模 (meta-memory) 」 ， 提 出 「 認 知 監 控 模 式 (a model of cognitive
monitoring)」，將後設認知分為二大部分，一為後設認知知識(meta-cognition knowledge)，一為後設認知經驗(meta-cognition experiences)，如圖2-1所示。 圖2-1 Flavell (1981)認知監控模式圖 認知目標 後設認知經驗 後設認知知識 認知行動 個人變項 工作變項 策略變項
(1)認知目標 指個人行動的目的，認知行動會隨著目標的不同而有所改變，並對後 設認知知識和後設認知經驗產生影響。以閱讀為例，以休閒娛樂為目標的 閱讀，和以考取證照為目標的閱讀，其認知行動會有所不同。 (2)後設認知知識 指個體已獲得有關認知的知識，包含三個項目：個人變項(person
variables)、工作變項(task variables)、策略變項(strategy variables)。 1.個人變項 個人本身擁有的知識與信念，包含個體內(intraindividual)變項、個體 間(interindividual)的變項和及共通性(universal)變項的知識。個體內的知 識，是指自己對本身能力的了解，例如：阿亮知道自己數學比較好而國 語比較差；個體間的知識，是指瞭解自己與他人能力之差異，例如：小 喬跑步比小瑜快，但是游泳比小瑜慢；共通性知識是指人類認知運作的 共同特性，例如人類的短期記憶能力有限且易發生錯誤。 2.工作變項 個體對有關訊息之特質以及任務的要求，即使收到相同的訊息，但 要求不同，則工作難度及處理就不同。 3.策略變項 個體用以達成不同認知目標的策略或程序。有別於一般認知策略的目 的只在於完成目標，而後設認知策略則是用來監控認知策略的應用情形， 是更高層次的策略；例如學生在完成一個分數計算時，其過程為一種認知 策略，但同時使用分子與分母的交互計算來監控其運算式否正確，則此種 監控策略即為後設認知策略。 (3)後設認知經驗 個人於認知性活動之後，所獲得的認知與情意的知覺經驗(conscious experiences)，與一般認知經驗所不同的是，後設認知經驗可以引導當下正
在進行的認知活動。例如當一個學童在閱讀時，發現對於部分內容不太瞭 解，因而出現需求感，希望能透過一些方法來更加理解這些內容，這種經 驗，即為後設認知經驗。
(二二二)Brown的觀點二 的觀點的觀點的觀點
Brown (1987)以記憶的觀點，將後設認知分為「認知的調整」(regulation
of cognition)與「認知的知識」(knowledge about cognition)兩個相關變項，
如圖2-2所示。 圖2-2 Brown (1987)後設認知架構圖 1.認知的調整： 指認知過程的執行控制部分，包含計畫、監控與檢查等高層次的心理 歷程。涵蓋以下三項：計劃(planning)─預測結果、策略的安排和各種形式 的謬誤等；監控(monitoring activities)─對認知活動的監控、測試、修正、 或對認知策略加以重新安排等；檢查(checking outcome)─評估各種策略行 動的結果是否合乎效能與效率的標準(鄭麗玉，1992)。 2.認知的知識： 對自己認知資源的了解，以及個人與環境之間互動關係的知識，清楚 行動可行性、限制和優缺點，具有穩定性、可陳述、可能是錯的且較晚發 展等特性。 後 設 認 知 認 知 的 調 整 認 知 的 知 識 計畫 監控 檢查 個人與環境之間關係的知識 個人認知資源的知識
(三三三)Paris的觀點三 的觀點的觀點的觀點
Paris (Pariss & Cross, 1988) 將 後 設 認 知 區 分 為 認 知 的 自 我 評 估
(self-appraisal)與思考的自我經 (self-management)，如圖2-3所示。 圖2-3 Paris後設認知架構圖 (1)認知的自我評估 即個人對其自身能力、知識、工作及策略使用之評估。可以分為下列 三種： 1.陳述性知識(declarative knowledge)：對某項敘述性知識的瞭解，如：知道 大部分的知識性 在最後都會做本章的總結。 2.程序性知識(procedural knowledge)：對歷程或步驟的瞭解，如：知道如 何 文章。 3.條件性知識(conditional knowledge)：對影響學習之條件或有效學習策略 的適用條件、情境之瞭解，如：能夠利用前後文的線索理解文章中不甚 了解之處。 (2)思考的自我經 是指將認知的自我評估 於認知行動的動態層面，包含以下三方面 執行歷程( 金堂，1996)。 1.計畫(planning)：選擇特定的策略以達成目標，如：根據閱讀目的調整閱 後 設 認 知 調適 評 計劃 條件性知識 程序性知識 陳述性知識 認知的自我評估 思考的自我經
讀內容。 2.評 (evaluation)：即對自己學習狀況的評 ，或是評估自己是否達成學 習目標，如：問自己「我是否瞭解本文的主 ？」 3.調適(regualation)：對自我認知行動的調整。 貳 貳 貳 貳、、、、後設認知的評量方法後設認知的評量方法後設認知的評量方法後設認知的評量方法 由於後設認知為個人內隱的心理歷程，難以直接觀察得知，進而發展 出不同的評量方法，主要五種方法說明如下 春 ，2003； 金堂，1996； 陳密桃，1980；許淑萍，2002； 任，2003 ： 一 一 一 一、、、、 法法法法 法(interview method)主要是在受試者完成解題後，由研究者與受 試者進行 ，通常以一對一的個別方式進行，並使用 下 內 容，進而深入了解受試者在解題時所產生的心理思考歷程。此法主要用在 閱讀研究上，可分為「開放式」和「結構式」兩種 方法。「開放式」 的 為 者沒有事先決定的答案，也沒有預先設定的題目，問題來自 於受試者所提供的訊息；「結構式」的 ，問一些事先 好的特定問題， 受試者必須從兩個或兩個以上的選擇中擇其一來回答，以深入了解受試者 解題時的思考歷程。而數學解題研究所進行的 ，通常在受試者完成解 題工作後實施，為一種事後 (post-task interview)的方式。 二 二 二 二、、、、信心評量法信心評量法信心評量法信心評量法 此為一種自我預測的評量技 ，通常用於個人完成某些工作之後，且 在 未得到答案之前，要求受試者對個人所作答的答案先進行自我評量和 預測，然後將其預測的結果與實際的表現做比較，其預測的正確程度，能 夠做為後設認知的指標，即預測結果與實際答對的愈切合，則後設認知能 力愈高。 三 三 三 三、、、、放放放放 思考法思考法思考法思考法
利 用 或 影 材 ， 紀 受 試 者 利 用 同 時 性 語 言 表 達 (concurrent verbalization)，大 的說出所想的和所做的事情。而後研究者將 下的話 語轉 成 面資料，稱為「原案(protocols)」，再將原案進行編 的工作以 進行分析，以深入的了解受試者的解題歷程。放 思考法，原為 法的 另一種，但是在使用上，兩者仍有所不同。在使用放 思考法時，如果這 些受試者因為太過於專心工作以致於沒有 話，研究者就會輕 提 受試 者以求有 語化的行為。 四 四 四 四、、、、問問問問 調查法調查法調查法調查法
問 調查法(questionnaire survey method)為研究者根據後設認知理論
編製問 ，對於受試者進行 測驗，從受試者 答情形，了解受試者的 後設認知策略的了解或使用情形，可分為「直接調查」與「間接調查」兩 種。「直接調查」是指對受試者直接進行問 調查；「間接調查」是指針 對受試者的重要關係人，觀察受試者的日常表現來進行 。 五 五 五 五、、、、錯誤錯誤錯誤錯誤 測法測法測法測法
錯誤 測法(error detection method)通常是用來研究「後設認知經驗」
或「監控理解」。研究者會 意將一些錯誤或不一致的資料 入工作中， 要求受試者在完成時能 測出其中的錯誤，並根據受試者所 測出錯誤的 數目來評估受試者的認知監控能力。 本研究之目的在於探討學生解題後的認知行為，且需要大量實施，所 以採用信心評量法來測量四年級學童的直覺法則答題後的後設認知能力。 參 參 參 參、、、、後設認知相關研究後設認知相關研究後設認知相關研究後設認知相關研究 金堂(1996)研究六年級學生後設認知與數學解題表現的關係，結果 發現後設認知與數學解題表現有密切關係。王仁 (2004)探討補校成人學 生在後設認知策略教學之後對閱讀理解成效所產生的影響之研究，結果顯 示後設認知策略教學對成人學生閱讀理解表現有積極的效果。
黃月萍(2004)分析學童將算式表徵轉換成文字表徵的後設認知的能 力，研究顯示後設認知能力愈高的學生， 題能力愈佳，但是不同乘除類 型之後設認知能力並無差異存在。陳密桃(1980)探討國民中、小學生後設 認知的發展及其與閱讀理解之關係，並進而驗證後設認知的可教性及其教 學成效。研究結果發現後設認知是 發展的，多多少少是受認知型式、 制握信念、和成就動機等心理特質之影響，而且後設認知是可教的、可學 的。 金堂(1996)探討國小學生的後設認知、數學 慮與數學解題表現之 關係，研究結果發現國小學生在後設認知四個分量表得分與數學解題表現 為正相關；數學 慮得分與數學解題表現為 相關。 Pan (1993)以Schoenfeld的解題歷程模式，探討國小六年級學生數學解 題所表現的後設認知行為，研究分析發現成功的解題者通常表現較多次的 後設認知行為。Mayer(1987)以數學解題模式為基礎，對三至八年級的低數 學成就學童實施後設認知教學，結果發現經過後設認知教學的低成就學 童，在數學解題測驗成 上顯著高於沒有接受後設認知教學的低成就學 童。 綜合以上的研究，可知知識的學習和後設認知能力息息相關，因此本 研究探討直覺法則的反應是否會受到後設認知能力的影響。
第
第
第
第四
四節
四
四
節
節
節
潛在類別
潛在類別分析
潛在類別
潛在類別
分析
分析之理論基礎
分析
之理論基礎
之理論基礎
之理論基礎
一 一 一 一、、、、潛在類別分析基本概念潛在類別分析基本概念潛在類別分析基本概念潛在類別分析基本概念 潛在類別模式是一種潛在特質分析的模式，屬 合模式的一支( 原 ，1999)，可應用於能力 別、人 分類與問題 斷。潛在類別模式與試 題反應理論(item response theory, IRT)不同，因為試題反應理論是假定觀察
變項為連續 ，但是在資料的 集上，有時會造成困難，而潛在類別模式
的觀察變項可以為連續變數或類別變數；類別變數雖然不像連續變數具有 豐富的變異與可以計數的單位來進行多樣化的統計分析，但是類別變數卻
擁有容易取得、簡單容易操作的特點，例如人 變數、社會變數，都是類 別變數。而兩者的觀點，皆在以試題答對機率的觀點來看受試者的潛在特 質，並以 部獨立的前提為基礎( 、 原 ，1996)。因此，潛在類 別模型補足了試題反應理論分析僅能處理連續變數的缺 。 潛在類別模式是就受試者反應，依所指定的類別數進行分類分析後， 探討各類別樣本群反應組型所形成的模型，而潛在類別分析即是潛在類別 模式的一種分析方法。舉例而言，以表2-2為例，受試者在一份總數四題的 測驗，其反應情形如表所示。 表2-2 潛在類別分析分類樣本舉例 受試者代 反應組型(0代表答錯，1代表答對 A 1,1,0,0 B 1,1,1,0 C 0,0,1,1 D 0,1,1,1 E 0,0,1,0 此次分類預計將受試者分為2組，則受試者A和B的反應組型相較其他 人程度上較接近，所以分為一組；而受試者C、D和E的反應組型程度上較 類似，分為第二組，如圖2-4所示，此即為潛在類別分析的分類基本概念。
圖2-4 潛在類別分析分類結果舉 二 二 二 二、、、、潛在類別分析模式探討潛在類別分析模式探討潛在類別分析模式探討潛在類別分析模式探討 潛在類別的概念首由Lazarsfeld (1950)提出，此技 最早用於二分態度 的潛在類別估計，但實際應用於實務上，則是到Goodman (1974) 展到多 個類別的名義變數，以及最大概似法後，進行母數估計，獲得最佳的分類 模式後才得以發展。 潛在類別分析將類別變數的機率轉換成參數的模式，並藉由最大概似 估計法(maximum likelihood estimation，簡稱MLE)和 氏事後機率(Bayes’
posterior probability)，以機率決定樣本對該類別的 屬度，判別各個受試
樣本最適合歸類的類別，接著利用參數估計 代達成收 ，所獲得的機率
估計數即可應用於模式適配度(goodness of fit)檢驗。而最 使用於潛在
類別分析的方法為Dempster, Laird and Rubin (1977)提出的EM(expectation
and maximization)演算法，以下以數學算式說明。 受試者樣本 預設組別 歸類後反應組型 A(1,1,0,0) B (1,1,1,0) C (0,0,1,1) D (0,1,1,1) E (0,0,1,0) 組別 1 組別 2 1,1,0,0 0,0,1,1
(一一一)一 定義定義定義定義 1.假設受試者人數共N 人，以i=1,2,3…,N表示。 2. 分析的試題共有K題，以k=1,2,3…,K表示。 3.受試者對各試題的反應型態，以x表示，並使用二分法的計分方法，答 對為1，答錯為0，則受試者i對第k題的反應以xik，而對全部題目的反應 向量則為Xi。 4.可將受試者分為C個類別，以c=1,2,3…,C表示。 (二二二)參數二 參數參數參數 在潛在類別分析中，各類別 全部人數之比例和各類別受試者答對各 試題的機率，無法由觀察得知，必須估計兩個參數，說明如下。 1.類別c人數 全體受試人數比例為αc。 2.試題k在類別 c 的條件下，其條件機率(conditionl probability)，又稱通過 率為βkc。 舉例說明，假設測驗題目共有四題，則k=4，反應組型有 4 2 =16種， 從(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)…一直到(1,1,1,1)為止，第i位受試者的反應型 態為Xi，假設為(0,1,0,1)，則對第四題的反應 為Xi4=1。假設對第一類組 而言第四題很簡單，則θ41的 會較接近1，而θ41,θ42,θ43分別代表不同類別 第四題的答對機率。若第一類別的人數 全體人數約30%，則α1=0.3，且 1 α +α2+…+αc=1。潛在類別分析所要估計的參數，即為各類別的比例αc， 和試題的條件機率βkc。 (三三三)三 氏氏氏氏事後機率事後機率事後機率 事後機率 1.受試者第i題的試題反應向量Xi屬於類別c的機率，以 式事後機率表示 為
